Geometria Básica - Professores da UFF

19/04/2011
Dirce Uesu
Relações:
Considere a figura:
-
Vale as seguintes relações:
Teorema: Lei do Cossenos
Vamos provar que:
OBS:
Exemplos: bissetriz interna, altura, mediana...
Prova: Pela lei dos cossenos:
Multiplicando por n e m respectivamente
Exemplo: Calcule o raio R da figura ao lado.
Prova:
Exemplo: Calcule o raio R da figura ao lado.
Prova:
Exemplo: Calcule o raio R da figura ao lado.
Prova:
Exemplo: Calcule o raio R da figura ao lado.
Prova:
Exemplo: Calcule o raio R da figura ao lado.
Prova:
R = 6/7
Exercício:
1) Determine as medidas das três bissetrizes internas de um triângulo
ABC qualquer, de lados a, b e c.
2) Determine as medidas das três bissetrizes externas de um triângulo
ABC qualquer, de lados a, b e c.
3) Faça todos os exercícios da apostila : aula 10 – triângulo retângulo
Da aula 3 de Polígonos Convexos, vimos:
Polígono regular é um polígono convexo tal que:
i)
todos os lados são congruentes entre si;
ii)
todos os ângulos são congruentes entre si.
Exemplos:
Da aula 3 de Polígonos Convexos, vimos:
Polígono regular é um polígono convexo tal que:
i)
todos os lados são congruentes entre si;
ii)
todos os ângulos são congruentes entre si.
Exemplos:
- triângulo equilátero é triângulo regular.
- quadrado é quadrilátero regular.
Da aula 3 de Polígonos Convexos, vimos:
Polígono regular é um polígono convexo tal que:
i)
todos os lados são congruentes entre si;
ii)
todos os ângulos são congruentes entre si.
Exemplos:
- triângulo equilátero é triângulo regular.
- quadrado é quadrilátero regular.
- pentágono regular, etc
Da aula 3 de Polígonos Convexos, vimos:
Polígono regular é um polígono convexo tal que:
i)
todos os lados são congruentes entre si;
ii)
todos os ângulos são congruentes entre si.
Exemplos:
- triângulo equilátero é triângulo regular.
- quadrado é quadrilátero regular.
- pentágono regular, etc
OBS:
Um polígono regular é equilátero e equiângulo.
Teorema:
a)
b)
Teorema:
a)
b)
Teorema:
a)
b)
Teorema:
a)
b)
Teorema:
a)
Prova:
Teorema:
a)
Prova:
Mostrar que:
-os lados são congruentes
-os ângulos são congruentes.
Teorema:
a)
Prova:
Mostrar que:
-os lados são congruentes
-os ângulos são congruentes.
-
Teorema:
a)
Prova:
Mostrar que:
-os lados são congruentes
-os ângulos são congruentes.
-
Teorema:
b)
Prova:
Teorema:
b)
Prova:
Teorema:
b)
Prova:
-
Teorema:
b)
Prova:
)
Teorema:
b)
Prova:
-
pois tem congruentes:
i)
ii)
(
)
Teorema:
b)
Prova:
Propriedade 1:
Propriedade 1:
Prova:
Para efeitos de ilustração vamos considerar o hexágono regular ABCDEF.
Propriedade 1:
Prova:
Para efeitos de ilustração vamos considerar o hexágono regular ABCDEF.
Propriedade 1:
Prova:
Para efeitos de ilustração vamos considerar o hexágono regular ABCDEF.
Propriedade 1:
Prova:
Para efeitos de ilustração vamos considerar o hexágono regular ABCDEF.
Propriedade 1:
Prova:
Para efeitos de ilustração vamos considerar o hexágono regular ABCDEF.
Propriedade 1:
Prova:
Para efeitos de ilustração vamos considerar o hexágono regular ABCDEF.
Propriedade 2:
OBS:
1)
2)
1)
2)
3)
4)
Centro O, raio AO, apótema OM, ângulo cêntrico
OBS:
Considere um polígono regular de n lados.
Vamos calcular o lado e o apótema dos polígonos regulares e função do raio
da circunferência circunscrita a estes polígonos.
QUADRADO
a) Construção:
b) Cálculo do lado em função de R (raio):
c) Cálculo do apótema em função de R (raio):
HEXÁGONO REGULAR
a) Cálculo do lado em função de R (raio):
b) Cálculo do apótema em função de R (raio):
c) Construção:
TRIÂNGULO EQUILÁTERO:
a) Construção:
b) Cálculo do lado em função de R (raio):
c) Cálculo do apótema em função de R (raio):
Exercícios:
OBS: Em todos os exercícios, tente duas soluções : com uso de
fórmulas e com o uso da demonstração (esta é a mais importante)
Exercícios:
-
-
-
Resolva todos os exercícios da apostila
Em todos os exercícios, tente duas soluções : com uso de
fórmulas e com o uso da demonstração (esta é a mais
importante)
Resolva os exercícios do livro FUNDAMENTOS DE
MATEMÁTICA ELEMENTAR – volume 10
Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo
Bibliografia:


Dolce, O., Pompeo, J. N., Fundamentos de Matemática
Elementar - Volume 9 - Geometria Plana. Ed.Atual, 2005.
Pesco, D.U., Arnaut, R.G.T. Geometria Básica - Volume 1 CEDERJ, 2009.