Mecânica de Sistemas de Partículas

Mecânica de Sistemas de Partículas
Prof. Lúcio Fassarella
* 2013 *
1. A velocidade de escape de um planeta ou estrela é de…nida como sendo a menor velocidade requerida na superfície
do objeto para que uma partícula escape do seu campo gravitacional, negligenciando as forças dissipativas devidas a
atmosfera (se for o caso). Discuta a ideia e deduza a velocidade de escape da Terra.
2. Considere uma partícula em queda próximo à superfície da Terra sob ação da gravidade e força dissipativas.
(a) Deduza a equação de movimento sob a hipótese de que a força de dissipação é proporcional a rapidez da partícula;
(b) Integre a equação para obter a velocidade em função do tempo;
(c) Deduza a velocidade terminal da partícula (a velocidade limite quando o tempo de queda é su…cientemente longo).
3. 1 Um pêndulo balístico é um dispositivo usado para medir a velocidade de um projétil, sendo constituido por um bloco
de madeira de massa M e por uma corda de comprimento L. O procedimento usado para medir a velocidade de um
projétil de massa m consiste em disparar o projétil no bloco em repouso com ângulo de incidência horizontal e medir o
deslocamento angular do pêndulo em relação a vertical. Deduza a velocidade do projétil em função de M , L, m e .
4. 2 Uma partícula de massa m se move em uma dimensão com dinâmica governada pela equação diferencial
d @L
dt @ x_
@L
= 0;
@x
onde
m2 4
x_ + mx_ 2 V (x) V 2 (x) :
12
Deduza a expressão explícita da equação de movimento da partícula e descreva a natureza física do sistema a partir
dela.
L=
5. Considere o sistema formado por três massas m0 , m1 e m2 dispostas num plano próximas a superfície da Terra conforme
a …gura, onde d denota a distância entre as roldadas R1 e R2 .
(a) Determine a posição de equilíbrio do sistema e as condições sobre as massas para que o equilíbrio possa ocorrer.
(b) Desenvolva um modelo dinâmico para descrever a evolução do sistema de uma posição inicial para a posição de
equilíbrio.
(c) Elabore um programa de computador para calcular a solução do ítem a e plotar dinamicamente a solução do item
b.
1 Problema
obtido com modi…cações de [1, p.33].
obtido com modi…cações de [1, p.33]. Resposta: a partícula se movimenta sob ação da força F =
movimento é equivalente a 2a. Lei de Newton com essa força.
2 Problema
1
V 0 – ou seja, a equação de
6. Quando uma partícula se move sob ação de uma força dependente da velocidade F = F (r; r_ ), um potencial generalizado
é um campo U = U (r; v) tal que
@U
d @U
F (r; r_ ) =
;
@r
dt @v
onde as derivadas são de…nidas em coordenadas cartezianas por
@
=
@r
@ @ @
;
;
@x @y @z
;
@
=
@v
@
@
@
;
;
@vx @vy @vz
:
(a) 3 Deduza a força que age sobre um partícula de massa m que se move no espaço sob a in‡uência da força derivável
do seguinte potencial generalizado (onde é um vetor …xo no espaço):
U (r; v) = V (r) +
L ; L = mr
v:
(b) 4 Considere que uma partícula se move sob ação da seguinte força
F (r; r;
_ r•) =
r3
1
r_ 2
2r•
r
r
c2
onde r é a posição da partícula e c > 0 é uma constante. Determine um potencial generalizado U = U (r; v) para
essa força dependente da velocidade e aceleração.
7. Considere um sistema de duas partículas de massas m1 e m2 e denote suas posições relativas a um sistema de coordenadas
inercial por r1 e r2 , respectivamente. Denote por M , R e Lq a massa total, o centro de massa e o momento angular
relativo a um ponto q …xo no sistema de referência.
(a) Denotando por Fe a resultante das forças externas sob o sistema, prove que se o sistema satisfaz a equação
• = Fe ;
MR
então ele cumpre a Forma Fraca da Lei da Ação e Reação: as forças que as partículas do sistema exercem uma
sobre a outra têm a mesma magnitude, a mesma direção e sentidos opostos.
(b) Denotando por Neq o torque resultante das forças externas em relação ao ponto q, prove que se o sistema satisfaz
a equação do item a e a equação
_ q = Neq ;
L
então o sistema cumpre a Forma Forte da Lei da Ação e Reação: as forças que as partículas do sistema exercem
uma sobre a outra têm mesma a magnitude, a direção da reta de…nida pelas posições das partículas e sentidos
opostos.
8. 5 Um barril que pesa 10 kg e está em repouso sobre uma balança recebe água despejada de uma altura de 5 m a uma
taxa de 60 kg por minuto. Determine a leitura da balança quando o tempo de despejo for T , supondo que o barril não
tenha transbordado.
9. 6 Considere um foguete de massa inicial M0 (que inclui a massa do combustível) cujas taxa de exaustão A = jdM=dtj e
velocidade de exaustão u dos gases propelentes são constantes.
(a) Desprezando a resistência do ar e assumindo que aceleração da gravidade g é constante, escreva e resolva a equação
de movimento do foguete, levando em conta que a massa total de combustível é mc < M0 .
(b) Supondo M0 , mc e u são …xados, determine a taxa de exaustão que maximiza a altitude alcançada pelo foguete.
(c) Resolva os ítens a e b sem desprezar a resistência do ar.
(d) Resolva os ítens a e b considerando que a aceleração da gravidade num ponto do espaço é proporcional ao inverso
do quadrado da distância ao centro da Terra.
(e) Resolva os ítens a e b sem desprezar a resistência do ar e considerando que a aceleração da gravidade num ponto
do espaço é proporcional ao inverso do quadrado da distância ao centro da Terra.
3 Problema
4 Na
obtido com modi…cações de [1, p.32].
eletrodinâmica de Weber, essa expressão (com o valor adequado da constante
) de…ne a força eletromagnética que uma carga localizada
2
r_
na origem atrai/repele (dependendo do sinal de ser ) uma carga localizada na posição r. Resposta: U (r; r_ ) = r 1 2c
2 .
5 Problema obtido com modi…cações de [2, p.229].
6 Problema obtido com modi…cações de [2, p.230]. Os ítens c, d e e dependem de considerações adicionais para serem abordados e podem não
possuir soluções exatas.
2
10. 7 Uma massa m formada de fragmentos e gases envolve uma estrela de massa M . Considere que a massa m é muito
menor do que M e que o raio da estrela é desprezível em comparação com as distâncias entre a estrela e os fragmentos e
partículas dos gases. Suponha que os fragmentos e gases tenham inicialmente uma energia mecânica total E e momento
angular total L.
(a) Mostre que existe uma energia máxima E que pode ser perdida pelo material devido ao atrito interno.
(b) Mostre que o material tende a se concentrar num anel com centro na estrela devido a perda de energia, calcule a
energia dissipada E máxima e o raio r do anel estacionário.
(Observação: o anel estacionário não precisa ser homogêneo ou uniforme.)
(Sugestão: use o Método dos Multiplicadores de Lagrange.)
11. Elabore uma apresentação sobre o Espalhamento de Rutherford, conforme de…nido e descrito em [2, Seção 4.8 (pp.212215), Exercício 31 (p.234)].
12. Elabore uma apresentação sobre o Espalhamento Compton, conforme de…nido e descrito em [2, Exercício 27 (p.233)].
References
[1] H. Goldstein: Classical Mechanics - Second Edition. Addison-Wesley Publishing Company, 1980.
[2] K.R. Symon: Mecânica. Editora Campus: Rio de Janeiro, 1982.
7 Problema
obtido com modi…cações de [2, p.231].
3
Resoluções
Dinâmica de Sistemas de Partículas –Questão 8: Um barril que pesa 10 kg e está em repouso sobre uma balança
recebe água despejada de uma altura de 5 m a uma taxa de 60 kg por minuto. Determine a leitura da balança após transcorrido
um intervalo de tempo t1 > 0 desde o início do despejo de água, supondo que o barril não tenha transbordado.
Resolução. Denote por g a aceleração da gravidade, mb = 10 kg a massa do barril, h = 5 m e = 60 kg= min =
1 kg= s.
A força F (t) exercida pela balança num instante t realiza duas ações:
(i) suporta o peso m (t) g do barril mais a água nele contida (derramada desde o início do processo em t = 0) e
(ii) pára a massa de água dm (t) =dt que continuamente cai e atinge o barril com velocidade v
Pelas condições do problemas, temos:
p
m (t) = mb + t e v = 2gh:
A variação do momento da água que atinge e pára no barril entre t e t +
p (t +
t)
p (t) = [m (t + t)
|
{z
m (t)]
}
m assa de água
donde segue:
t é dada por
(v 0)
| {z }
;
variação da velo cidade
p
dp
dm
2gh:
=
v=
dt
dt
Então, da 2a. Lei de Newton concluimos que a força exercida pela balança num instante t > 0 é dada por
F (t)
dp
dt p
2gh:
= mb g + gt +
= m (t) g +
Para ilustrar, após t = 1 min a leitura da balança é dada por (g
F (60 s)
710N:
4
10 m= s2 ):
Dinâmica de Sistemas de Partículas – Questão 9a: Considere um foguete de massa inicial M0 (que inclui a
massa do combustível) cujas taxa de exaustão A = jdM=dtj e velocidade de exaustão u dos gases propelentes são constantes.
Desprezando a resistência do ar e assumindo que aceleração da gravidade g é constante, escreva e resolva a equação de
movimento do foguete, levando em conta que a massa total de combustível é mc < M0 .
Resolução. Considere o movimento descrito de um referencial inercial, com eixo vertical orientado para cima.
De…nimos os seguintes parâmetros:
- t : tempo de funcionamento do foguete;
- y (t) : altitude do foguete; y0 = 0 : altitude inicial do foguete;
- v (t) = y_ (t) : velocidade do foguete;
- M (t) : massa do foguete (incluindo o combustível ainda armazenado); mc : massa total de combustível;
- A (t) = M_ (t) : taxa de combustão do foguete (M_ = A);
- u (t) : rapidez dos gases propelidos do foguete no instante t (a velocidade dos gases é u);
- P (t) = M (t) v (t) : momento do foguete no instante t;
- g = g (y) : aceleração gravitacional na altitude y; g0 = g (y0 ) : aceleração da gravidade no ponto de
lançamento do foguete;
- f = f (y; v) : força de resistência do ar, dependente da altitude e da velocidade do foguete;
- F (t) = : força externa que atua no foguete no instante t.
Após um intervalo de tempo t 6= 0 su…cientemente pequeno, considerando que v (t) u (t) é a velocidade
dos gases propelidos em relação ao observador inercial no instante t, temos que o momento do foguete e gases
expelidos no instante t + t é dado por
P (t +
t)
M (t +
t) v (t +
t) + [M (t)
M (t +
t)] [v (t)
u (t)] :
Pela 2a. Lei de Newton, F (t) é igual a taxa de variação do momento em relação ao tempo:
P (t +
F (t)
=
No limite
t) P (t)
t
M (t + t) v (t + t) + [M (t)
t)] [v (t)
M (t +
t)
t) [v (t +
M (t +
t
v (t)] + [M (t +
t
t)
u (t)]
M (t)] u (t)
M (t) v (t)
:
t ! 0, obtemos a equação de movimento do foguete:
F (t) = M (t)
d
d
v (t) + u (t) M (t) :
dt
dt
Considerando a de…nição de taxa de exaustão (A = M_ ) e que a expressão da força externa que atua no foguete
é dada por
F (t) = M (t) g (y) f (y; v) ;
obtemos
d
v (t) =
dt
g (y)
f (y; v)
u (t)
+
A (t) :
M (t)
M (t)
Equivalentemente:
d
1
u (t)
v (t) +
f (y; v) + g (y) =
A (t) :
dt
M (t)
M (t)
Agora, com as suposições (i) A = jdM=dtj constante, (ii) u constante, (iii) g constante, (iv) f
M (t) = M0
At (0
t
mc =A) ;
obtemos a equação simpli…cada:
d
uA
v (t) =
dt
M0 At
g:
A solução dessa equação é dada por:
v (t) = v0 + u ln
M0
M0 At
5
gt ; 0
t
mc =A:
0 e usando