Computação II - IF32R / Teoria / Prova 1

Lista de Exercícios 1 – MAD0100
(Métodos de prova e indução matemática)
Ricardo
Exercício 1: Prove que:
(a) a soma de três inteiros consecutivos é divisível por 3.
(b) 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n+1)! – 1
Exercício 2: Muitos argumentos INCORRETOS são baseados numa falácia (argumento que
pode ser falso) denominada begging the question (fugir à questão). Esta falácia ocorre
quando um ou mais passos de uma prova são baseados na verdade da proposição a ser
provada. Ou seja, esta falácia ocorre quando uma proposição é “provada” usando a
própria proposição. Por isso, esta falácia muitas vezes é chamada de raciocínio
circular.
Para provar o resultado de que se n2 é par, então n é par, o seguinte raciocínio foi
utilizado. Se n2 é par, então n 2  2k , onde k é inteiro. Portanto, n  2m , onde m é
inteiro. Logo, n é par.
Onde está o erro na prova acima? Qual seria o argumento correto? (note que o resultado
é correto, mas o método de prova está errado).
Exercício 3: Uma colônia de morcegos é contada a cada dois meses. As quatro primeiras
contagens são 1.200, 1.800, 2.700 e 4.050. Se esta taxa de crescimento continuar, qual
será a 12a contagem? Escreva e resolva uma relação de recorrência.
Exercício 4: Prove que o número de folhas em qualquer árvore binária é o número de nós com
dois filhos mais 1.
Exercício 5: Uma progressão geométrica (PG) é uma seqüência de termos com um termo
inicial a tal que cada termo a seguir é obtido multiplicando-se o termo anterior por uma
mesma razão r  1 . Prove a fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma PG
( n  1 ):
a  ar  ar 2    ar n1 
a(1  r n )
1 r
Exercício 6: Uma coleção S de cadeias de caracteres é definida por recorrência por:
a) a e b pertencem a S.
b) se x pertence a S, então xb também pertence.
Quais das cadeias a seguir pertencem a S?
(a) a
(b) ab
(c) aba
(d) aaab
(e) bbbbb
Exercício 7: Prove que, para todo n  2 , n é um número primo ou é um produto de números
primos.
Exercício 8: Prove que, dados dois números quaisquer x e y, xy  x y .
Exercício 9: Seja A a média de n números x1, x2, ..., xn. Prove que pelo menos um dos xi é maior
ou igual a A.
Exercício 10: Seja A a média de n números x1, x2, ..., xn. Prove que pelo menos um dos xi é
maior ou igual a A.
Exercício 11: Prove que, para x e y positivos, x  y se, e somente se, x 2  y 2 .
Exercício 12: Em qualquer grupo de k pessoas, k  1, cada pessoa cumprimenta, com aperto
de mão, todas as outras pessoas. Encontre uma fórmula para o número de apertos de
mão e prove-a usando indução.
Exercício 13: Prove que qualquer quantia em selos maior ou igual a 14 centavos pode ser
obtida usando-se apenas selos de 3 e 8 centavos.
Exercício 14: Dê uma definição recorrente para x , o comprimento da cadeia x.
Exercício 15: Os valores de p e q são definidos da seguinte maneira:
p
1 5
1 5
e q
2
2
a) Prove que 1  p  p 2 e 1  q  q 2
b)Prove que a forma fechada para a sequência de Fibonacci F(n) é dada por:
F ( n) 
pn  qn
n 1
pq
c) Finalmente, prove que:
n
n
5 1 5 
5 1 5 

 

 n 1
F ( n) 
5  2 
5  2 
Exercício 16: Prove que uma cerca reta com n estacas tem n-1 travessas para qualquer n  1 .
Prove usando o Primeiro Princípio da Indução Matemática e depois repita a prova
usando o Segundo Princípio da Indução Matemática.
Exercício 17: Prove que n 2  2n  3 para n  3 .