XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Segunda Fase – Nível Universitário PRIMEIRO DIA PROBLEMA 1 x 2008 x 2 nx, para cada n , e seja mn o valor mínimo 2008 m assumido por f n . Determine tal que o limite lim n existe e é não-nulo, e calcule esse n n limite (para esse valor de ). Seja f n : dada por f ( x) PROBLEMA 2 3 No , considere a 1 elipse 41y 2 41z 2 80 yz 36 y 36 z 81 0, definida 2 e a elipse pelas x0 equações definida pelas equações y0 e e 71x 41z 40 xz 18x 36 z 81 0. Prove que existe uma única superfície cônica de revolução 2 2 no 3 que intersecta o plano x 0 em superfície com o plano z = 0. 1 e o plano y 0 em 2, e determine a interseção dessa PROBLEMA 3 Mostre que existem a1 , a2 ,..., tais que a série a x n 1 n n converge para todo x e, definindo f ( x ) an x n , temos: n 1 i) f é uma bijeção de em que satisfaz f ´( x) 0, x . ii) f ( ) A , onde A {x | p( x) polinômio com coeficientes inteiros tal que p( ) 0} é o conjunto dos algébricos reais. XXX Olimpíada Brasileira de Matemática – Segunda Fase – Nível Universitário www.obm.org.br XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Segunda Fase – Nível Universitário SEGUNDO DIA PROBLEMA 4 Seja Q [0,1] [0,1] 2 um quadrado de lado 1 e f : Q uma função contínua e positiva. Prove que é possível dividir Q em duas regiões R1 e R2 de mesma área, separadas por um segmento de reta, tais que R1 f ( x, y)dxdy R2 f ( x, y)dxdy. PROBLEMA 5 Prove que não existe uma matriz 7 7, A (aij )1i , j 7 , com aij 0,1 i, j 7 cujos autovalores (contados com multiplicidade) são: 6, –5, –5, 1, 1, 1, 1. PROBLEMA 6 Prove que ( n ) n 1 2 2 1 1 , 0. 2 n1 n2 XXX Olimpíada Brasileira de Matemática – Segunda Fase – Nível Universitário www.obm.org.br