ABORDAGEM DA FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA

X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
ABORDAGEM DA FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA NUMA
PERSPECTIVA CONCEITUAL E GRÁFICA NO ENSINO MÉDIO
José Geraldo de Araújo Pereira
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais - CEFET-MG
[email protected]
João Bosco Laudares
Pontifícia Universidade Católica - PUC-MINAS
[email protected]
Resumo: Este artigo apresenta uma pesquisa de Mestrado, em desenvolvimento, que
estuda uma abordagem metodológica da Função Exponencial e Logarítmica numa
perspectiva conceitual e gráfica no ensino médio. Foram elaboradas atividades
referenciadas em Polya, quanto a resolução de problemas, Frienlander, quanto a
interpretação geométrica e gráfica, e em Laudares e Miranda quanto a focalização na
compreensão conceitual. Foram elaboradas atividades que contemplaram problemas das
Ciências Biológicas e Matemática Financeira, com a abordagem do conceito das Funções
Exponenciais e Logarítmicas. Para interpretação gráfica, foi utilizado traçado de gráfico
privilegiando a variação de parâmetros das funções, bem como a relação de simetria das
duas funções, levando o estudante a entender a inversão das mesmas. Foi utilizado o
Software Winplot, no tratamento das translações horizontais e verticais das Funções
Exponenciais e Logarítmicas. Para validação das atividades, as mesmas foram aplicadas
em turmas do ensino médio - técnico cujos resultados estão sendo analisados.
Palavras-chave: Educação Matemática; Função Exponencial e Logarítmica em
abordagem conceitual; Interpretação gráfica da Função Exponencial e Logarítmica.
INTRODUÇÃO
É apresentado nesse artigo o desenvolvimento de uma pesquisa em Mestrado em
Ensino de Ciências e Matemática, quanto à abordagem do ensino e aprendizagem das
Funções Exponenciais e Logarítmicas. Foram elaboradas atividades que contemplaram
problemas das Ciências Biológicas e Matemática financeira, com a abordagem do conceito
das Funções Exponenciais e Logarítmicas. Para interpretação gráfica, foi utilizado traçado
de gráficos privilegiando a variação de parâmetros das funções, bem como a relação de
simetria das duas funções, levando o estudante a entender a inversão das mesmas. Foi
utilizado o Software Winplot, no tratamento das translações horizontais e verticais das
funções Exponenciais e Logarítmicas. Para validação das atividades, as mesmas foram
aplicadas em turmas do ensino médio-técnico cujos resultados estão sendo analisados.
Especificamente, para o tratamento conceitual foram utilizados itens tais como:
crescimento/decrescimento, simetrias, interseções do gráfico com os eixos coordenados,
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procedimentos assintóticos das curvas, taxa de variação, condições iniciais ou de contorno,
sendo os dois últimos itens analisados em problema. Para interpretação gráfica e sua
análise, foram trabalhadas as funções com variação de parâmetros com o objetivo da
compreensão do comportamento das funções.
ENSINO
APRENDIZAGEM
DAS
FUNÇÕES
EXPONENCIAIS
E
LOGARÍTMICAS
Os logaritmos foram inventados, no começo do século 17, como um instrumento
auxiliar dos cálculos aritméticos, transformando produtos em somas, quocientes em
diferenças. Além do seu emprego generalizado para tornar possíveis operações aritméticas
complexas, as funções Logarítmicas, juntamente com suas inversas, as Exponenciais,
revelaram-se possuidoras de notáveis propriedades, que as qualificam como modelos ideais
para certos fenômenos de variação, nos quais a grandeza estudada aumenta (ou diminui)
com taxa de variação proporcional à quantidade daquela grandeza existente no momento
dado.
Segundo (CORRÊA, 1989), as aulas que antecedem o estudo de logaritmos, como
potenciação, têm o objetivo de preparar o terreno para esse estudo, isto é, constituem prérequisitos importantes para a construção gradativa do conceito de logaritmo.
Uma das metas principais do ensino e aprendizagem de matemática é a focalização
na compreensão conceitual, na visão de (MIRANDA, LAUDARES, 2007), quando se
busca a ênfase nas estratégias de estudo, as quais se fazem com abordagens variadas, sejam
elas descritivas explicativas e de análise, com diversidade de metodologias do tipo
algébrica, numérica ou geométrica. O tratamento conceitual matemático atrelado às
situações e a resolução de problemas das ciências e da realidade, fugindo da abstração
restrita, contribui para uma compreensão significativa das proposições matemáticas.
O entendimento conceitual pode ser facilitado com resolução de problema, sendo
estruturada por (POLYA, 1995) com quatro fases. Primeira, compreensão do problema;
segunda, busca de diversos itens relacionados como, por exemplo, a incógnita está
relacionada aos dados, e estabelecimento de um plano. Terceira execução do plano. E
quarta retrospecto da resolução completa com uma discussão fazendo um retrospecto da
resolução completa, revelando-a e discutindo-a.
Assim, na elaboração conceitual, (POLYA, 1995) defende a necessidade do
raciocínio heurístico, o qual se faz com suporte em todo o capital acumulado de saberes e
da sua mobilização, formulando hipóteses e conjecturas. É aquele, segundo o mesmo autor,
que não se considera final e rigoroso, mas apenas provisório e plausível.
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“À medida que avança o nosso exame do problema, prevemos com
clareza cada vez maior o que deve ser feito para a sua resolução e como
isso deve ser feito. Ao resolver um problema matemático, podemos
prever, se tivermos sorte, que um certo teorema conhecido poderá ser
utilizado, que um certo problema já anteriormente resolvido poderá ser
útil, que a volta à definição de um certo problema já anteriormente
resolvido poderá ser útil, que a volta á definição de um certo termo
técnico poderá ser necessária. Não prevemos essas coisas com certeza,
apenas com um certo grau de plausibilidade”. (POLYA, 1995, p.130).
A construção e análise de gráficos das Funções Exponenciais e Logarítmicas são
tratadas com a interação da Álgebra e Geometria.
Segundo (FRIENDLANDER, 1995), a interpretação geométrica, torna a
compreensão mais fácil para a obtenção da inversa e da resolução de equações e
inequações Exponenciais e Logarítmicas e neste caso, a resolução gráfica é menos tediosa
e mais rápida que a solução algébrica.
De acordo com o PCN’s, a ênfase do estudo das diferentes funções deve estar no
conceito da função e em suas propriedades em relação às operações, na interpretação de
seus gráficos e nas aplicações dessas funções. Assim, o ensino pode ser iniciado
diretamente pela noção de função para descrever situações de dependência entre duas
grandezas, o que permite o estudo a partir de situações contextualizadas, descritas
algébrica e graficamente.
Nos livros didáticos analisados, existe o interesse em se trabalhar a Função
Exponencial e Logarítmica, explorando os seus parâmetros, destacando a construção
gráfica e trabalhando de maneira significativa o uso das aplicações práticas envolvendo
cada item.
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Foi realizada extensa revisão bibliográfica referente ao tema investigado e
encontradas as seguintes produções acadêmicas do ensino-aprendizagem de Exponenciais
e Logarítmicas.
Título
Analise do processo de
argumentação e prova em relação
ao tópico logaritmos, numa
coleção de livros didáticos e
Autor
Instituição
Ano
Tipo
Fernando T. da
Silva
PUC/SP
2007
Dissertação
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numa seqüência de ensino
Resolução das Inequações
logarítmicas; um olhar sobre a
produção dos alunos
Análise de uma intervenção
didática sobre desigualdades
inequações logarítmicas no
ensino médio
Uma Seqüência de Ensino
Usando o Programa Winplot: Em
Busca de uma Aprendizagem
Autônoma do Aluno
A concepção de um software de
Matemática para auxiliar na
aprendizagem dos alunos da 1ª
série do ensino médio no estudo
das funções Exponenciais e
Logarítmicas
Logaritmos: proposta de uma
seqüência de ensino utilizando
calculadora
Metodologia para
desenvolvimento da capacidade
cognitiva no ensino de
Matemática: Assimilação e
retenção de conteúdos as funções
exponenciais e logarítmicas
Logaritmos – Aspectos Históricos
e Didáticos
Margarete da S.
H. C. Clara
Maria S. G.
Saldanha
PUC/SP
2007
Dissertação
PUC/SP
2007
Dissertação
2007
Dissertação
Caren S. Berlez Centro U. F. Santa Maria RS
Elpídio de
Araújo
PUC/SP
2005
Dissertação
Mônica Karrer
PUC/SP
1999
Dissertação
Jorge A.
Barbosa
Universidade
Católica de
Brasília
1998
Dissertação
1989
Texto
resultado
de pesquisa
Roseli de A.
Corrêa
UNESP- SP
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A Apropriação da Ferramenta
logaritmo a partir de situações
com exponenciais aliada ao uso
da calculadora
Uma seqüência de ensino para a
introdução de Logaritmo: estudos
Exploratórios Usando a
Calculadora
O Ensino De Logaritmo Na
Prática De Alguns Professores Do
Ensino Médio
Periódico
Mônica Karrer,
Sandra Magina
PUC – SP
1999
(Educação
Matemática
Pesquisa)
Mônica Karrer,
Sandra Magina
UNESP - Rio
Claro
2000
Periódicos
Luiz A.
Moreira
PUC - MG
2008
(Bolema)
Texto
resultado
de pesquisa
Foram estabelecidos os seguintes objetivos:
GERAL:
Estudar o comportamento gráfico e o conceito das Funções Exponenciais e
Logarítmicas, quanto as suas características que a diferenciam das demais funções, seja
pela representação gráfica ou em situações da vida real, nas ciências e na tecnologia,
privilegiando o seu tratamento conceitual.
ESPECÍFICOS:
 Analisar os PCN’s quanto ao ensino médio, relativamente ao ensino e
aprendizagem das Funções Exponenciais e Logarítmicas;
 Verificar em livros textos didáticos de ensino médio, como são abordados o
conteúdo e a metodológica das Funções Exponenciais e Logarítmicas;
 Elaborar atividades que privilegiam o entendimento conceitual das Funções
Exponenciais e Logarítmicas, com a análise de problemas;
 Buscar entendimento das Funções Exponenciais e Logarítmicas por meio da
interpretação e análise gráfica, com auxilio de Softwares Matemáticos.
ELABORAÇÃO DAS ATIVIDADES DIDÁTICAS
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Foram propostas 6 (seis) atividades, com níveis de dificuldades crescentes. A
primeira e a segunda atividades exploraram o conceito das Funções Exponenciais e
Logarítmicas, dando ênfase a Ciência Biológica e a Matemática Financeira. Nessas
atividades, mostramos a relação entre as variáveis dependente e independente e o
comportamento das funções.
A terceira e quarta atividades abordaram a interpretação dos parâmetros das
funções, analisando o comportamento das mesmas com variação dos mesmos. Na quinta
atividade é explorada a interpretação da função inversa, através de recursos gráficos para a
sua obtenção, levando o estudante a deduzir que as funções exponenciais e Logarítmicas
são inversas. A sexta atividade utiliza o software matemático Winplot, para esboço de
gráficos e deslocamento de curvas (translações).
Neste artigo serão apresentadas duas atividades, uma de compreensão conceitual e
outra de interpretação gráfica.
1ª ATIVIDADE:
Nessa atividade foi explorado o Conceito da Função Exponencial e Logarítmica,
dando ênfase a Ciência Biológica (crescimento vegetativo).
OBJETIVOS:
 Identificar e representar graficamente as variáveis em estudo;
 Relacionar e classificar o gráfico em estudo com as funções já conhecidas;
 Analisar e descrever relação entre variáveis definidas;
 Formalizar a lei que descreve o fenômeno.
HABILIDADES:
 Reconhecer e interpretar informações relativas a problemas, construindo
conjecturas;
 Aprender a fazer tratamento de dados, com a montagem de tabelas e plotagem
gráfica;
 Usar a intuição na problematização, durante a exploração do problema, e validar
as conjecturas levantadas na avaliação dos resultados.
O quadro seguinte apresenta a 1ª atividade.
Se a altura de uma planta dobra a cada mês, durante um certo período de sua vida,
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e supondo que sua altura inicial, é de 1 cm, então:
a) Qual o valor para o instante inicial?
b) Qual é a altura da planta ao final do 1º mês, e sucessivamente no final do 2º, até o 10º
mês?
c) Identifique a variável dependente e independente em estudo, e dê nome para elas?
d) Construa uma tabela que represente essa situação.
e) Plote no sistema de eixos os dados da tabela construída, indicando a variável
dependente na vertical e independente na horizontal.
f) Una os pontos.
g) Interpretando o gráfico dê um valor aproximado da altura para:
a) 2,5 meses.
b) 4 meses e 10 dias.
c) 5 meses e 20 dias.
h) A curva obtida no item ¨f¨ corresponde a uma função:
a) do 1º grau (cujo gráfico é uma reta)?
b) do 2º grau (uma parábola)?
c) uma curva desconhecida?
i) Qual o comportamento das grandezas envolvidas?
j) O gráfico é uma função crescente ou decrescente? Justifique?
k) Repita “o gráfico construído no item ¨f” e trace uma reta que tangencia a curva, a partir
do ponto inicial. O que você conclui a respeito das coordenadas dos pontos da reta e da
curva?
l) Existe um valor extremo num determinado ponto do gráfico (mínimo ou máximo)?
m) Formalize usando as variáveis nomeadas, uma lei de formação que melhor se ajusta ao
gráfico. A relação encontrada é denominada “Função Exponencial” (cujo gráfico é
uma Exponencial).
2ª ATIVIDADE:
Nessa atividade, foi explorada a construção gráfica (Translações: horizontais e
verticais) das funções Exponenciais e Logarítmicas, utilizando um Software Matemático
Winplot.
OBJETIVOS:
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 Construir gráficos das Funções Exponenciais e Logarítmicas, utilizando o Winplot;
 Determinar o domínio e o conjunto imagem dessas funções;
 Construir as translações horizontais e verticais dos seus gráficos.
HABILIDADES:
 Trabalhar com recursos de informática;
 Manusear o Winplot.
O quadro seguinte apresenta a 2ª atividade.
Foram dadas as Funções Exponenciais e Logarítmicas, explorando a translação dos
gráficos, a partir das funções básicas:
e
, para
, com o
auxílio do WINPLOT. Assim, a atividade explorou as funções na sua diversidade.
Translação Vertical
Translação Horizontal
Foi explorado cada um dos tipos de translação, como o exemplo a seguir:
. Considere
.
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Para facilitar a interpretação gráfica foram solicitadas respostas para as
seguintes questões:
a) Usando a notação de intervalo, determine a imagem das funções.
b) Determine os pontos em que as curvas cortam os eixos coordenados, se houver.
d) Quando x diminui o que acontece com as curvas?
e) Quando x aumenta o que acontece com as curvas?
f) Existe um valor de y, para o qual as curvas se aproximam?
g) Nas funções acima há uma translação horizontal ou vertical, em relação à
?
h) Plote, num mesmo sistema de eixos, os gráficos para o valor de “ ’ e “ ”.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Todas as atividades já foram aplicadas com o objetivo de fazer sua validação, em
turmas de ensino médio-técnico profissional de um CEFET. A pesquisa está na fase de
análise dos resultados, e logo após será escrita e defendida a dissertação. Os objetivos
específicos da pesquisa quanto à análise dos PCN’s e abordagem de livros-textos
relativamente ao ensino-aprendizagem das Funções Exponenciais e Logarítmicas, já foram
cumpridas e este estudo será apresentado na dissertação.
REFERÊNCIAS BILIOGRAFICAS
BRASIL, Secretária de Educação Média e Tecnológica. PCN + Ensino Médio: Brasília: p.
141. Disp.: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf. Acesso
em 20 de setembro de 2009.
CORRÊA, R. A. Logaritmos – Aspectos históricos e didáticos. Anais do I º Encontro
Paulista de Educação Matemática. Campinas –SP, PUC - CAMP, p.85–86, 1989.
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FRIEDLANDER, Alex; HADAS, Nurit. Ensinando valor absoluto numa abordagem
em espiral. In: DOMINGUES, Hygino H. (tradutor). As idéias da Álgebra. São Paulo,
Editora Atual, cap.29, p.244-254, 1995.
MIRANDA, Dimas Felipe de; LAUDARES, João Bosco. Informatização no Ensino da
Matemática: Investindo no ambiente de aprendizagem. Zetetiké. Campinas, v.15, n.27,
p.71-88, jan., jun., 2007.
POLYA, G. A arte de resolver problemas, Rio de Janeiro: Editora Interciência. 1975.
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