UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIC¸OSA Centro de

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA
Centro de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Gabarito da 2a Lista - MAT 138 - Noções de Álgebra Linear 2017-I
1.
2. (a) S = {(0, −2, 3)}
(b) Como a matriz de coeficientes do sistema é não inversı́vel (tem determinante nulo), não
é possı́vel utilizar o método da matriz inversa para resolver o sistema.
3. (a) S = {(2, −1)}.
(b) S = {(3, −1, 2)}.
4. (a) (i) nunca o sistema terá uma única solução; (ii) k 6= 4; (iii) k = 4.
(b) (i) k 6= 1 e k 6= −2; (ii) k = 1; (iii) k = −2.
(c) (i) k 6= 2 e k 6= −3; (ii) k = −3; (iii) k = 2.
(d) (i) k 6= 3; (ii) k = 3; (iii) para nenhum k ∈ IR.
5. (a) k = 1
6. (a) a 6=
2
5
(b) k = 2.
e b ∈ IR;
7. (a) k = −6
(b) a =
2
5
e b = 0;
(c) a =
2
5
e b 6= 0.
(b) k = 13.
8. S = {λ ∈ IR; λ 6= 0, λ 6= −1, e λ 6= 1}.

9. (a) det A = −1 6= 0 logo, existe A−1 e A−1
(b) S1 = {(−1, −5, 4)};
S2 = {(−1, −5, −3)};
10. (a) −5a + 2b + c = 0;
(d) a ∈ IR\{1, −2};

0
1 −1
=  2 −2 −1  .
−1
1
1
(b) 2a − b + c = 0;
(e) −a + b + 2c = 0;
S3 = {(2, −8, 4)}.
; (c) para quaisquer a, b e c em IR;
; (f ) y + z = 0 e x + 2y − t = 0.
11. (a) Se ad − bc 6= 0, então a matriz dos coeficientes do sistema é inversı́vel, logo terá uma


única solução dada por
12. (a)
x
y
= A−1
e
f
=
1
ad−bc
d −b
−c
a
2(1) + 3(−1) − (−1) = 0
1 − 4(−1) + 5(−1) = 0
2(−2) + 3(2) − (2) = 0
−2 − 4(2) + 5(2) = 0
2(−1) + 3(1) − (1) = 0
(c) x = −1, y = 1 e z = 1, logo
−1 − 4(1) + 5(1) = 0
(b)
1
e
f


=


de−bf
ad−bc
af −ce
ad−bc


.


(d) 3x = −3, 3y = 3 e 3z = 3, logo
2(−3) + 3(3) − (3) = 0
−3 − 4(3) + 5(3) = 0
(e) Porque em um sistema homogêneo se (x1 , y1 , z1 ) e (x2 , y2 , z2 ) são soluções então,
k1 (x1 , y1 , z1 ) + k2 (x2 , y2 , z2 )
também é solução para todo k1 , k2 ∈ IR.
13. (a) S = {(0, 0, 0)} o sistema é possı́vel e determinado;
(b) S = {(2, 1, 2)} o sistema é possı́vel e determinado;
(c) sistema impossı́vel, não tem solução;
(d) S = {(−1 − 4z,
1
3
+ 2z, z); z ∈ IR} o sistema é possı́vel e indeterminado;
(e) S = {(0, −w, −w, 0, w); w ∈ IR} o sistema é possı́vel e indeterminado;
(f ) S = {(12 + 26z, −14 − 33z, z, 3 + 10z); z ∈ IR} o sistema é possı́vel e indeterminado;
7
1 17
(g) S = {( 16
, − 16
, 8 )} o sistema é possı́vel e determinado;
(h) sistema impossı́vel, não tem solução;
(i) S = {(0, 0, 0)} o sistema é possı́vel e determinado;
(j) sistema impossı́vel, não tem solução;
(k) S = {( 34 , − 22 , 2, − 38 )} o sistema é possı́vel e determinado;
(l) sistema impossı́vel, não tem solução;
(m) S = {(2, −1, −2)} o sistema é possı́vel e determinado;
(n) S = {(−4, 2, 10)} o sistema é possı́vel e determinado;
(o) S = {(5, 1)} o sistema é possı́vel e determinado;
(p) S = {(−20, y, −32 + 4y); y ∈ IR} o sistema é possı́vel e indeterminado;
(q) sistema impossı́vel, não tem solução;
(r) S = {(1, 2, 2 − 2)} o sistema é possı́vel e determinado;
(s) S = {(3 − 4y + 5z, y, z, 7 − 9y + 13z); y, z ∈ IR} o sistema é possı́vel e indeterminado;
t, − 53
t, − 79
t, t); t ∈ IR} o sistema é possı́vel e indeterminado;
(t) S = {(− 209
33
11
33
(u) sistema impossı́vel, não tem solução;
(v) S = {(−z + 2t, 1 + 2z z, t); z, t ∈ IR} o sistema é possı́vel e indeterminado;
(x) S = {(1 − 3y − w, y, 2 + w, 3 + 2w, w); y, w ∈ IR} o sistema é possı́vel e indeterminado.
14. (a) k = −6;
(b) k = 2;
(c) k = −1.
15. (a) (V ); (b) (F ); (c) (V ); (d) (V ); (e) (V ); (f ) (F ).
16. Devem ser processadas 20T de cada tipo de combustı́vel.
17. 1, 5T de plástico normal e 2, 5T de plástico especial.
18. Devem ser utilizadas 3, 2g de A, 4, 2g de B e 2g de C.
19.
2