2012

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2. (2,5) Na lista de funções abaixo, existe uma função f tal que
~~
(0,0) existe para todo vetar
unitário li e f não é contínua em (O,O).
y3
(I) f(x, y) =
x2
{
O
+ y2
se
(x, y)
se
(x, y) = (O,O)
(11I) f(x, y) = V2X2 + 5y2
=/=
(O,O)
(II) f(x, y) =
x2y
x4 + y2
{ O
se
(x, y) =/=(O,O)
se
(x, y) = (O,O)
ff
.
2. (2,5) Na lista de funções abaixo, existe uma função f tal que ~~(O,O) existe para todo vetar
unitário ü e f não é contínua em (O,O).
x2y
(x, y) =1=
(O, O)
(x, y) =1=(O, O)
se (x, y) = (O,O)
(lIl) f(x, y) = V3X2 + 4y2
(x, y) = (O, O)
(1) f(x, y) =
~4
{
O
I
~.?
se
B
-AMAT 2454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II
2o semestre de 2012 - Segunda Prova - 15/10/2012
(3,0) Seja f : R2 → R uma função diferenciável. Sabe-se que:
(I) a imagem da curva Γ : R → R3 dada por Γ(t) = (t + 1, t2 , 2t5 + t4 − 2t3 − t2 ) está contida no
gráfico de f ,
(II) a derivada direcional de f no ponto (3, 4), na direção do vetor ~u = (−
√
√
2
2
,
)
2
2
é igual a 31
√
2
.
2
Determine:
1. a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (3, 4, f (3, 4)).
De (I) segue que
f (t + 1, t2 ) = 2t5 + t4 − 2t3 − t2 .
(1)
Como f é diferenciável temos, pela regra da cadeia:
∂f
∂f
(t + 1, t2 ) · 1 +
(t + 1, t2 ) · 2t = 10t4 + 4t3 − 6t2 − 2t.
∂x
∂y
Tomando t = 2,
∂f
∂f
(3, 4) · 1 +
(3, 4) · 4 = 10 · 16 + 4 · 8 − 6 · 4 − 4 = 164.
∂x
∂y
(2)
De (II), sendo f diferenciável, temos
√
√
√
2
− 2 ∂f
31 2
∂f
(3, 4) ·
+
(3, 4) ·
=
.
∂x
2
∂y
2
2
Portanto
−
∂f
∂f
(3, 4) +
(3, 4) = 31.
∂x
∂y
Somando as equações (2) e (3), temos
5 ∂f
(3, 4) = 195 ⇒
∂y
∂f
(3, 4)
∂y
(3)
= 39.
De (6),
∂f
(3, 4)
∂x
= 8.
Portanto
∇f (3, 4) = (8, 39)
Além disso, tomando t = 2 em (1)
f (3, 4) = (2 · 25 + 24 − 2 · 23 − 22 ) = 60.
Portanto, a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (3, 4, f (3, 4)) = (3, 4, 60) é
(z − 60) = 8(x − 3) + 39(y − 4), ou
z = 8x + 39y − 120.
2. a equação da reta tangente à curva de nı́vel de f que contém o ponto (3, 4) nesse ponto.
Se T~ é um vetor tangente à curva de nı́vel de f no ponto (3, 4), temos
T~ · ∇f (3, 4) = 0 ⇔ T~ = λ(−39, 8),
λ ∈ R.
Portanto, a equação da reta tangente é
(x, y) = (3, 4) + λ(−39, 8),
λ ∈ R.
-BMAT 2454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II
2o semestre de 2012 - Segunda Prova - 15/10/2012
(3,0) Seja f : R2 → R uma função diferenciável. Sabe-se que:
(I) a imagem da curva Γ : R → R3 dada por Γ(t) = (t2 , t − 1, t5 + t4 − 4t3 + 2t2 ) está contida no
gráfico de f ,
(II) a derivada direcional de f no ponto (4, 1), na direção do vetor ~u = (−
√
√
2
2
,
)
2
2
√
é igual a 11 2.
Determine:
1. a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (4, 1, f (4, 1)).
De (I) segue que
f (t2 , t − 1) = t5 + t4 − 4t3 + 2t2 .
(4)
Como f é diferenciável temos, pela regra da cadeia:
∂f
∂f 2
(t , t − 1) · 2t +
(t + 1, t2 ) · 1 = 5t4 + 4t3 − 12t2 + 4t.
∂x
∂y
Tomando t = 2,
∂f
∂f
(4, 1) · 4 +
(4, 1) · 1 = 5 · 16 + 4 · 8 − 12 · 4 + 8 = 72.
∂x
∂y
(5)
De (II), sendo f diferenciável, temos
√
√
√
2
− 2 ∂f
∂f
(4, 1) ·
+
(4, 1) ·
= 11 2.
∂x
2
∂y
2
Portanto
−
∂f
∂f
(4, 1) +
(4, 1) = 22.
∂x
∂y
Subtraindo (6) de (5), temos 5 ∂f
(4, 1) = 50 ⇒
∂x
∂f
(4, 1)
∂x
= 10.
(6)
De (6),
∂f
(4, 1)
∂y
= 32.
Portanto,
∇f (4, 1) = (10, 32)
Além disso, tomando t = 2 em (4)
f (4, 1) = (25 + 24 − 4 · 23 − 2 · 22 ) = 24.
Portanto, a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (4, 1, f (4, 1)) = (4, 1, 24) é
(z − 24) = 10(x − 4) + 32(y − 1), ou
z = 10x + 32y − 48.
2. a equação da reta tangente à curva de nı́vel de f que contém o ponto (4, 1) nesse ponto.
Se T~ é um vetor tangente à curva de nı́vel de f no ponto (4, 1), temos
T~ · ∇f (4, 1) = 0 ⇔ T~ = λ(−32, 10),
λ ∈ R.
Portanto, a equação da reta tangente é
(x, y) = (4, 1) + λ(−32, 10),
λ ∈ R.