Nullstellensatz projetivo. Seja k um corpo infinito e seja R = k[X 0

Nullstellensatz projetivo.
Seja k um corpo infinito e seja R = k[X0 , . . . , Xn ]. Um polinômio F ∈ R
não define uma função Pn (k) → k pois por exemplo se F é um polinômio
homogêneo (ou seja F é soma de monômios do mesmo grau) então F (λx) =
λd F (x) onde d é o grau de F . Quando x ∈ k n+1 denotamos com x o
elemento correspondente de Pn (k). Já vimos o exemplo da cônica projetiva
X12 = X0 X2 (observe que se trata de uma equação homogênea) no plano
projetivo P2 (k). Agora vamos formalizar algumas coisas.
Definição (Raiz de um polinômio). Sejam F ∈ R, x ∈ Pn (k). Dizemos
que x é raiz de F se F (λx) = 0 para todo λ ∈ k. Neste caso escrevemos
F (x) = 0.
• Se F é homogêneo de grau d então F (λx) = λd F (x) logo F (x) = 0
se e somente
Pr se F (x) = 0.
• Se F =
i=1 Fi com Fi homogêneo de grau αi para todo i =
1, . . . , r (com αi 6= αj se i 6= j) então F (x) = 0P
se e somente se
Fi (x) = 0 para todo i = 1, . . . , r. De fato F (λx) = ri=1 λαi Fi (x) =
0 para todo λ ∈ k implica Fi (x) = 0 para todo i = 1, . . . , r pois k
é um corpo infinito.
• Pelo mesmo argumento do item acima, se F1 , . . . , Fr são polinômios
homogêneos então F1 + . . . + Fr = 0 se e somente se Fi = 0 para
todo i = 1, . . . , r.
Definição (Conjunto algébrico projetivo). Seja S ⊆ R. Definamos
Vp (S) := {x ∈ Pn (k) : F (x) = 0 ∀F ∈ S}.
Se I é o ideal gerado por S então Vp (S) = Vp (I).
• Um ideal I de R é dito homogêneo se pode ser gerado por elementos
homogêneos. Pela observação acima, todo conjunto projetivo tem
a forma Vp (I) com I ideal homogêneo.
• Como R é um anel Noetheriano, os conjuntos projetivos têm a
forma Vp (F1 , . . . , Ft ) com Fi ∈ R. Além disso podemos supor que
os Fi sejam homogêneos pela observação acima.
• Seja R+ := (X0 , X1 , . . . , Xn ), ideal maximal de R com R/R+ ∼
= k.
Como o vetor nulo não tem um correspondente projetivo temos
Vp (R+ ) = ∅ (vazio projetivo). Essa é uma diferência importante
entre o caso afim e o caso projetivo. R+ é chamado de ideal “irrelevante”.
• Seja p : k n+1 − {0} → Pn (k) a aplicação canônica, p(x) = x. Se I
é um ideal homogêneo de R então
Vp (I) = p(V (I) − {0}).
De fato, se x ∈ Vp (I) (com x 6= 0) e F ∈ I então F (λx) = 0 para
todo λ ∈ k, em particular F (x) = 0 logo x ∈ V (I). Isso mostra ⊆.
1
2
Vamos mostrar ⊇. Sejam x ∈ V (I) − {0}, F ∈ I e λ ∈ k, queremos
mostrar que F (λx)
0. Sejam F1 , . . . , FP
r geradores homogêneos
P=
r
de I, assim F = i=1 Ai Fi e F (λx) = ri=1 λd Ai (λx)Fi (x) = 0
pois Fi ∈ I para todo i e x ∈ V (I).
• Vp (0) = Pn (k), Vp (R) = Vp (R+ ) = ∅.
• Se x = (x0 , x1 , . . . , xn ) com x0 6= 0 vamos considerar o caso x0 = 1,
então
{x} = Vp (X1 − x1 X0 , . . . , Xn − xn X0 ).
•
•
•
•
•
Isso mostra que os pontos são conjuntos projetivos (pelo mesmo
argumento aplicado a uma coordenada não nula).
Vp é decrescente: é fácil mostrar que se I e J são ideais de R e
I ⊆ J então Vp (I) ⊇ Vp (J). T
P
Se Ji são ideais de R então i Vp (Ji ) = Vp ( i Ji ) (fácil).
Se F ∈ R, x ∈ k n+1 e F (λx) = 0 para infinitos λ ∈ k então
F (λx) = 0 para todo λ ∈ k. De fato escrevendo F = F1 + . . . + Fr
com os Fi homogêneos
P de grau αi (com αi 6= αj se i 6= j) então
F (λx) = 0 significa ri=1 λαi Fi (x) = 0 para infinitos λ ∈ k logo
Fi (x) = 0 para todo i = 1, . . . , r.
Se I, J são ideais de R então Vp (I) ∪ Vp (J) = Vp (I ∩ J). A inclusão
⊆ é fácil, agora vamos mostrar ⊇. Suponha F (λx) = 0 para todo
λ ∈ k e para todo F ∈ I ∩ J e x 6∈ Vp (I), e vamos mostrar que
x ∈ Vp (J). Como x 6∈ Vp (I) existe G ∈ I tal que G(ax) 6= 0 para
algum a ∈ k, assim G(λx) = 0 só para um número finito de λ (pelo
item acima). Se F ∈ J temos então F (ax)G(ax) = F G(ax) = 0
pois F G ∈ I ∩ J, assim F (ax) = 0 cada vez que G(ax) 6= 0. Isso
acontece para infinitos a ∈ k, logo F (ax) = 0 para todo a ∈ k, e
como isso vale para todo F ∈ J obtemos x ∈ Vp (J).
Pelos itens acima, os conjuntos algébricos projetivos são os conjuntos fechados de uma única topologia, chamada de topologia de
Zariski (projetiva).
Definição. Seja V ⊆ Pn (k). O ideal de V é
Ip (V ) := {F ∈ R : F (x) = 0 ∀x ∈ V } E R.
•
•
•
•
Ip (V ) é um ideal homogêneo e radical de R (fácil).
Ip é decrescente: se V ⊆ W então Ip (V ) ⊇ Ip (W ).
Se I é um ideal de R então I ⊆ Ip (Vp (I)).
Se V é um conjunto algébrico projetivo então Vp (Ip (V )) = V . De
fato escrevendo V = Vp (I), I ⊆ Ip (V ) logo Vp (Ip (V )) ⊆ Vp (I). Por
outro lado se x ∈ V = Vp (I) então F (x) = 0 para todo F ∈ Ip (V )
logo x ∈ Vp (Ip (V )).
• Ip (Pn (k)) = (0), Ip (∅) = R.
• Seja I um ideal de R. Então I é homogêneo se e somente se cada
vez que F1 + . . . + Fr ∈ I com os Fi homogêneos, Fi ∈ I para
todo i = 1, . . . , r. A implicação ⇐ é fácil, agora mostraremos ⇒.
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Se I é gerado por polinômios homogêneos Gi de grau αi considera
F = F0 + . . . + Fr ∈ I onde Fi é homogêneo de grau i ou nulo.
Mostraremos que
resultado seguirá por indução. Escreva
PFr ∈ I, o P
P
r
i=0 Fi = F =
i Ui Gi =
i,j Uij Gi com Uij homogêneo de grau
j,
assim
identificando
os
termos
do mesmo grau obtemos Fr =
P
U
G
logo
F
∈
I.
r
i i,r−αi i
• Seja I um ideal homogêneo de R. Se Vp (I) 6= ∅ então Ip (Vp (I)) =
I(V (I)). De fato se F ∈ Ip (Vp (I)) e x ∈ V (I), se x 6= 0 então
x ∈ Vp (I) logo F (x) = 0 assim F (x) = 0. Além disso F (0) = 0
pois se F (0) 6= 0 existe uma componente homogênea de grau 0 de
F logo I = R (pois I é um ideal homogêneo: veja o item acima)
assim Vp (I) = ∅, o que é falso. Isso mostra que F ∈ I(V (I)). Se
F ∈ I(V (I)) e x ∈ Vp (I) então x ∈ V (I) logo F (x) = 0.
Teorema (Nullstellensatz projetivo). Seja k um corpo algebricamente
fechado. Seja I um ideal homogêneo de R, e V = Vp (I).
√
√
(1) Vp (I) = ∅ se e somente se I =√R+ ou I = R.
(2) Se Vp (I) 6= ∅ então Ip (Vp (I)) = I.
Demonstração. Se I = R então (1) é obvio, agora suponha I 6= R,
em particular 0 ∈ V (I) (pois I é homogêneo). Lembrando que Vp (I) =
p(V (I) − {0}) temos √
que Vp (I) = ∅ se e somente se V (I) = {0}, assim pelo
Nullstellensatz afim I = I(V (I)) = I({0}) = R+ √
. Para mostrar (2) observe que como V = Vp (I) 6= ∅, Ip (V ) = I(V (I)) = I pelo Nullstellensatz
afim.
Definição. Seja V um conjunto algébrico projetivo. Definamos
Γh (V ) := R/Ip (V ).
L
• Uma k-álgebra S é chamada de graduada se S = m∈N Sm onde
cada Sm é um k-subespaço vetorial de S e Sa Sb ⊂ Sa+b para todo
a, b. Os elementos de Sm são chamados de elementos homogêneos
de grau m. Por exemplo R = k[X0 , . . . , Xn ] tem estrutura natural
de k-álgebra graduada.
• Se V é um conjunto
L algébrico projetivo então Γh (V ) é uma kálgebra graduada n∈N Sm , onde Sm é a imagem via R → Γh (V )
do espaço dos polinômios homogêneos de grau m. Isso segue do
ponto acima lembrando que Ip (V ) é homogêneo.
• Seja V ⊆ Pn (k) um conjunto projetivo. Os conjuntos algébricos
projetivos não vazios contidos em V correspondem aos ideais homogêneos radicais de Γh (V ). Logo Vp e Ip são bijeções uma a
inversa da outra entre a famı́lia dos conjuntos projetivos não vazios
contidos em Pn (k) e a famı́lia dos ideais homogêneos radicais de R
que não contêm R+ (ou seja, diferentes de R+ e de R).
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Se F ∈ R e F = F + Ip (V ) ∈ Γh (V ), e x ∈ Pn (k), dizemos que x é raiz
de F - e escrevemos F (x) = 0 - se F (x) = 0. Isso não depende da escolha
de F .
Definição (Aberto padrão). Seja V um conjunto algébrico projetivo e
f ∈ Γh (V ). Definamos D+ (f ) := {x ∈ V : f (x) 6= 0}. Se trata de um
aberto de Zariski chamado de aberto padrão.
Seja V um conjunto algébrico projetivo. Todo aberto não vazio de V é
união finita de alguns dos D+ (f ) com f ∈ Γh (V ), em particular os abertos
padrões formam uma base da topologia de Zariski de V (induzida por aquela
de Pn (k)). A demonstração é analoga à do caso afim: se U é um aberto não
vazio de Pn (k) então V − U = Vp (F1 , . . . , Fr ) com cada Fi ∈ R polinômio
homogêneo de grau positivo, e se fi = Fi + Ip (V ) ∈ Γh (V ) então U =
D+ (f1 ) ∪ . . . ∪ D+ (fr ).
Como visto na aula passada Pn (k) = D+ (X0 ) ∪ . . . ∪ D+ (Xn ).
Exercı́cios.
(1) Mostre que um conjunto algébrico projetivo V = Vp (I) é irredutı́vel
se e somente se Ip (V ) é um ideal primo.
(2) Se V ⊆ Pn (k) então Vp (Ip (V )) é o fecho topologico de V .
(3) Mostre que Pn (k) é Noetheriano (ou seja, toda cadeia crescente de
abertos estabiliza).
(4) Mostre que Pn (k) é quase-compacto.
(5) Mostre que se A é uma k-álgebra graduada e I é um ideal homogêneo de A então A/I é uma k-álgebra graduada.
√
(6) Mostre que se I é um ideal homogêneo então I é um ideal homogêneo.