Sistemas Homogéneos - Universidade de Aveiro › SWEET

álgebra linear – 2010/11
2.3. sistemas homogéneos
folha de exercı́cios
página 1/3
departamento de matemática
universidade de aveiro
1. Considere o sistema de equações lineares
3x + y = k 2 − 9
x − 2y = k 2 + k − 6
Determine o valor do parâmetro real k para o qual o sistema é homogéneo.
2. Para cada alı́nea, considere o sistema de equações lineares homogéneo que tem
como matriz dos coeficientes a matriz dada e encontre o conjunto solução desse
sistema.




1 2 3
1 −2 3
3 1 
(a)  −1 3 0 
(b)  1
−1 8 3
1
5 3

(c)

1 3 −2 −1
 −2 1
0
4 
1 10 −6
1

(e)






1
2
3
1
6

2
0
3 −1 

4 −2 

3
1 
9 −3

(d)

1 −2
0
3
 −3
6
1 −4 
2 −4 −1
1
(f)

1 2 1 −1 3

1 2 2
1 2 
(g)
2 4 2 −1 7
2 −1 6
0 −3 7
−3
1 3 −5
1 4


1
1 −2 3 2
 2 −1
3 4 1 

(h) 
 −1 −2
3 0 1 
3
0
1 7 3
3. Para cada sistema de equações lineares, escreve a sua forma matricial e expresse
o conjunto solução como a soma de uma solução particular desse sistema com a
solução geral do sistema homogéneo associado.


 x+y+z =2
 x − y − 4z = −4
2x + y = 3
x + 2y + 5z = 2
(a)
(b)


x + y + 2z = 0
x−y−z =0
(c)

2x + y − z − w = −1



3x + y + z − 2w = −2
−x − y + z + w = 2



−2x − y + 2w = 3

x + y − z − 5t = 2



y + z − 4t = −1
(d)
y + z + w + t = −1



2x − 4z + w + t = 6
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4. Dado o sistema de equações lineares homogéneo

x+y+z+t=0



x + ay + 2z + 3t = 0
x + y + az + 4t = 0



x + y + z + at = 0
determine os valores de a para os quais o sistema
(a) não admite solução;
(b) é simplesmente indeterminado (ou seja, com grau de indeterminação 1), e
resolva-o neste caso.
5. Considere o sistema de equações lineares escrito na forma matricial




a
1 0  
0
 0 −2 1  x



  y  =  −1 
 −4
 −7 
0 b 
z
0 −1 2
c
(a) Para que valores de a, b e c o terno (1, 2, 3) é solução do sistema?
(b) Existem valores de a, b e c de modo que o sistema homogéneo associado seja
indeterminado?
6. Em cada caso, ou demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo
mostrando que é falsa. Assuma que é dado um sistema de equações lineares cuja
matriz ampliada é a matriz M e a forma escalonada dessa matriz é a matriz R.
(a) Se o sistema é homogéneo então a única solução é a solução trivial.
(b) Se o sistema possui uma solução não trivial então não pode ser um sistema
homogéneo.
(c) Se o sistema possui a solução trivial então é homogéneo.
(d) Se o sistema é homogéneo e possui uma solução não trivial então tem infinitas
soluções não triviais.
(e) Se o sistema é homogéneo e possui uma solução não trivial então R tem uma
linha de zeros.
(f) Se o sistema é homogéneo e R tem uma linha de zeros, então existem soluções
não triviais.
(g) Se o sistema é homogéneo e M é uma matriz m × n e tem caracterı́stica m
então o sistema tem apenas a solução trivial.
mat
ua
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1. k = −3.
2. (a) − 95 z, − 53 z, z : z ∈ R ;
(b) {(0,
2 0, 0)};
13
4
2
z
+
w,
z
−
w,
z,
w
:
z,
w
∈
R
;
(c)
7
7
7
7
(d) {(2y − 3w, y, −5w, w) : y, w ∈ R};
(e) {(2z, −z, z) : z ∈ R};
(f) {(9z − 5w − 2t + 11r, 24z − 10w − 7t + 29r, z, w, t, r) : z, w, t, r ∈ R};
(g) {(−7t
3t, −t, t) : y, t ∈ R}; 13 − 2y, y, 23
w
+
3t,
w,
t
:
z
∈
R
.
(h) − 4 w − 2t, 4 w + 6t, 11
4
3. (a)
(b)
(c)
(d)
{(1, 1, 0) + (0, 0, 0)};
{(−2, 2, 0) + (z, −3z, z) : z ∈ R};
{(1, −1, 0, 2) + (0, 0, 0, 0)};
{(3, −1, 0, 0, 0) + (2x, −x, x, 0, 0) : x ∈ R}.
4. (a) a ∈ ∅;
(b) a = 1 e CS = {(−y, y, 0, 0) : y ∈ R}.
5. (a) a = −2, b = −1 e c = 4;
6. (a) F;
(b) F;
(c) V;
(b) Não.
(d) V;
(e) F;
mat
ua
(f) F;
(g) F.