FICHA DE PREPARAÇÃO PARA EXAME N.º 19

FICHA DE PREPARAÇÃO DE
EXAME N.º 19
2016/2017
10/05/2017
TURMA:12.ºA
1. Seja z um número complexo de argumento
13𝜋
7
Indica um argumento de  z , simétrico do conjugado de z.
[A]
8
7
[B]

7
[C]
6
7
2. Seja 𝜃 um número real pertencente ao intervalo ]𝜋,
Considera o número complexo 𝑧 = −3𝑐𝑖𝑠𝜃
[D] 
3𝜋
2

7
[
A que quadrante pertence a imagem geométrica do complexo z ?
[A] Quarto
[B] Terceiro
[C] Segundo
[D] Primeiro
3. Na figura está representado, no plano complexo, um triângulo equilátero [OAB]
Sabe-se que:
. O ponto O é a origem do referencial;
. O ponto A pertence ao eixo real e tem abcissa igual a 1;
. O ponto B pertence ao quarto quadrante e é a imagem
geométrica de um complexo z
Qual das afirmações seguintes é verdadeira ?
11𝜋
6
11𝜋
𝑐𝑖𝑠
6
5𝜋
√3𝑐𝑖𝑠 3
5𝜋
[A] 𝑧 = √3𝑐𝑖𝑠
[B] 𝑧 =
[C] 𝑧 =
[D] 𝑧 = 𝑐𝑖𝑠
3
4. Sejam k e p dois números reais e sejam z1 = (3k+2) + pi e z 2 = (3p-4)+(2-5k)i dois
números complexos.
Quais os valores de k e p para os quais z1 é igual ao conjugado de z2 ?
[A] k = -1 e p = 3
[B] k = 1 e p = 3
[C] k = 0 e p = -2
[D] k = 1 e p = -3
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𝜋
5. Em ℂ, conjunto dos números complexos, considera 𝑧 = 3𝑐𝑖𝑠 ( − 𝜃), com 𝜃 ∈ 𝐼𝑅
8
Para qual dos valores seguintes de 𝜃 podemos afirmar que z é um número imaginário puro ?
[A] −
𝜋
2
[B]
𝜋
2
[C]
𝜋
8
[D]
5𝜋
8
6. Considera em ℂ a equação 𝑧 3 − 2𝑧 + 4 = 0
6.1. Mostra que -2 é uma solução da equação.
6.2. Determina todas as soluções da equação.
6.3. As imagens geométricas, no plano complexo, das soluções da equação são os vértices
de um triângulo. Determina o perímetro desse triângulo.
7. Em ℂ, conjunto dos números complexos, considera: 𝑧1 =
8𝑐𝑖𝑠𝜃
−1+√3𝑖
e 𝑧2 = 𝑐𝑖𝑠(2𝜃)
Determina o valor de 𝜃 pertencente ao intervalo ]0, 2𝜋[, de modo que 𝑧̅1 × 𝑧2 seja um
número real.
8. Seja ℂ o conjunto dos números complexos.
8.1. Seja n um número natural
Determina
 
3  i 4 n6  2cis  
 6  , sem recorrer à calculadora. Apresenta o resultado na
 
2cis 
5
forma trigonométrica.
  
,
 4 2 
8.2. Seja   
𝜋
Sejam z1 e z2 dois números complexos tais que 𝑧1 = 𝑐𝑖𝑠𝛼 e 𝑧2 = 𝑐𝑖𝑠 (𝛼 + ).
2
Mostra, analiticamente, que a imagem geométrica de z1 + z2, no plano complexo, pertence
ao 2.º quadrante.
9. Seja 𝜌 um número ral positivo, e seja 𝜃 um número real pertencente ao intervalo ]0, 𝜋[
Em ℂ, conjunto dos números complexos, considera z 
1 i
e w   2i
( cis ) 2
Sabe-se que z = w
Determina o valor de 𝜌 e o valor de 𝜃
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