Produtos de Vetores

Bacharelado Engenharia Civil
Disciplina:Física Geral e Experimental I
1° período
Prof.a: Msd. Érica Muniz
Cálculo Vetorial
Grandeza Vetorial
• Algumas vezes necessitamos mais
que um número e uma unidade
para representar uma grandeza
física.
• Sendo assim, surgiu uma
representação matemática que
expressa outras característica de
uma grandeza... O VETOR
Considerações
• Grandezas Escalares: são completamente
definidas pelo módulo acompanhada da
unidade de medida. Exemplo: temperatura,
massa, tempo.
• Grandezas Vetoriais: para ser caracterizada, é
necessário saber não apenas a sua
intensidade ou módulo mas também a sua
direção e o seu sentido. Geralmente a
grandeza vetorial é indicada poruma letra
com uma setinha (por exemplo, v ). Exemplos:
Força, velocidade, aceleração.
Exemplo
A palavra grandeza representa, em Física,
tudo o que pode ser medido e a medida
de uma grandeza física pode ser feita
direta ou indiretamente. Entre as várias
grandezas físicas, há as escalares e as
vetoriais. A alternativa que apresenta
apenas grandezas escalares é:
a) temperatura, tempo, velocidade e massa.
b) tempo, energia, aceleração e volume.
c) área, massa, energia, temperatura e
velocidade.
d) velocidade, aceleração, força, tempo e
pressão.
e) massa, área, volume, energia e
temperatura.
O que é um Vetor?
• É um ente matemático representado por um
segmento de reta orientado. E tem algumas
características básicas.
• Possui módulo. (Que é o comprimento da reta)
• Tem uma direção.
• E um sentido. (Que é pra onde a “flecha” está
Sentido
apontando).
Direção da
Módulo
Reta Suporte
Segmento orientado
Segmento de reta ao qual se associa um sentido.

Notação: a
Elementos
Representação geométrica:

a
A
B – extremidade
 - direção
|AB| - módulo ou intensidade

referência
reta suporte
B
A – origem
Sentido – de A para B
r – reta suporte
s - referência
Comparação entre vetores
• Vetores Iguais
a
r
b
s
Mesmo Módulo
Mesma Direção
Mesmo Sentido
a=b
O vetor a é igual ao vetor b.
Comparação entre vetores
• Vetores Opostos
a
r
b
s
c
t
Sobre os vetores b e c podemos afirmar:
Tem o mesmo módulo, mesma direção mas
sentidos opostos.
a=b=-c
O vetor c é oposto aos vetores a e b.
Direção e Sentido
• Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a
mesma direção se as retas suportes desses segmentos
são paralelas ou coincidentes:
• Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos
orientados se eles têm mesma direção.
• Dois segmentos orientados opostos têm sentidos
contrários.
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Na Figura 2.1 temos 4 segmentos
orientados,
com origem em pontos diferentes,
que representam o mesmo vetor.
São considerados como vetores
iguais, pois possuem a
•mesma direção
•mesmo sentido
Figura 2.1: Segmentos orientados
representando o mesmo vetor
•mesmo comprimento
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Vetores Colineares
Dois vetores e são colineares se tiverem a
mesma direção. Em outras palavras: são
colineares
se
tiverem
representantes
pertencentes a uma mesma reta ou a retas
paralelas.
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Vetores Coplanares
Se vetores não nulos (não importa o número
de
vetores)
possuem
representantes
pertencentes a um mesmo plano p, diz-se
que eles são coplanares.
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Soma de Vetores
O vetor que liga a origem do primeiro à
extremidade do segundo é o vetor
soma (Regra do Polígono). Para
subtrair invertemos o sentido do vetor
que compor o sinal de menos.
Exemplo
1- No plano quadriculado a seguir, temos
três vetores .Qual é o módulo do vetor
resultante da soma desses vetores?
Casos Particulares de Vetores:
• Se α=0°
S=a+b
• Se α=90°
S2=a2+b2
• Se α=120° e a=b
S=a=b
• Se α=180°
S=a-b
• Se α for um ângulo qualquer ( Lei dos Cossenos)
S2=a2+b2+2.a.b.cosα
Exemplo
Em um plano α, temos dois vetores de
mesma origem formando um ângulo θ. Se
os módulos de a e b são respectivamente
iguais a 3u e 4 u determine o módulo do
vetor em cada um dos seguintes casos
abaixo. Além do calculo faça o desenho
dos vetores de cada caso para elaborar
sua resposta.
a)θ =0° b) θ =60° c) θ =90° d)θ =180°
Rosas dos Ventos
Exemplos
1- Uma esquiadora percorre 1,0 km do
sul para norte e depois 2,0 km de oeste
para leste em um campo horizontal
coberto de neve. A que distância ela
está do ponto de partida e em que
direção.
2- Um escoteiro, ao fazer um exercício de
marcha com seu pelotão, parte de um
ponto P e sofre a seguinte sequência de
deslocamentos listados abaixo para
chegar a Q:
I. 800 m para o Norte;
II. 300 m para o Oeste;
III. 400 m para o Sul.
Escolha uma escala conveniente e
represente os deslocamentos, determine o
deslocamento resultante.
Componentes de Vetor
As componentes ax e ay de um vetor
bidimensional em relação aos eixos de
um sistema de coordenadas XY são
obtidas traçando retas perpendiculares
aos eixos a partir da origem e da
extremidade de a.
• ax=a.cosθ
• ay=a.senθ
Exemplos
1- Determine as projeções do vetor nos
eixos x e y calculando seus módulos logo
em seguida. Dados: vetor a = 8 cm, cos
60º = 0,5 e sen 60° = 0,87.
a
2-Uma partícula está sob a ação das forças
coplanares conforme o esquema abaixo.
A resultante delas é uma força, de
intensidade, em N, igual a:
Vetores Unitários
Vetores Unitários
• Exemplo:
Considere os vetores:
Produto de um número real
por um vetor
Produtos de Vetores
• Produto escalar de dois vetores A e
B é designado por A.B=ABcosφ
• Produto vetorial de dois vetores a e
b,
c= absenφ, onde φ é o menor dos
ângulos entre as direções de dois
vetores.
Exemplo 03
• Qual é o ângulo φ entre: