curso de graduação em engenharia civil

FACULDADE ESTÁCIO DE SÁ – FIR
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
D ISCIPLINA : C ÁLCULO V ETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
LISTA DE EXERCÍCIOS PARA A AV1
Vetores no Plano – Igualdade de Vetores
1) Encontre os valores de 𝑥 e 𝑦 para que 𝑢
⃗ = (𝑥 + 1, 4) e 𝑣 = (5, 2𝑦 − 6) sejam
iguais.
Vetores no Plano – Operações com Vetores
2) Dados os vetores 𝑢
⃗ = (2, −3) e 𝑣 = (−1, 4), determinar 3𝑢
⃗ + 2𝑣 e 3𝑢
⃗ − 2𝑣.
3) Determinar o vetor 𝑥 na igualdade 3𝑥 + 2𝑢
⃗ =
e 𝑣 = (−2, 4).
1
2
𝑣 + 𝑥 , sendo dados 𝑢
⃗ = (3, −1)
4) Encontrar os números 𝑎1 e 𝑎2 tais que 𝑣 = 𝑎1 ⃗⃗⃗⃗
𝑣1 + 𝑎2 ⃗⃗⃗⃗
𝑣2 , sendo 𝑣 = (10, 2), ⃗⃗⃗⃗
𝑣1 =
(3, 5) e ⃗⃗⃗⃗
(−1,
𝑣2 =
2).
Vetores no Plano – Vetor definido por dois pontos
5) Dados os pontos 𝐴(−1, 2), 𝐵(3, −1) e 𝐶(−2, 4), determinar o ponto 𝐷, de modo
⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ .
que 𝐶𝐷
2
6) Sendo 𝐴(−2, 4) e 𝐵(4, 1) extremidades de um segmento, determinar os pontos
𝐹 e 𝐺 que dividem 𝐴𝐵 em três segmentos de mesmo comprimento.
7) Sendo 𝐴(2, 1) e 𝐵(5, 2) vértices consecutivos de um paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷 e
𝑀(4, 3) o ponto de interseção das diagonais, determinar os vértices 𝐶 e 𝐷.
Vetores no Plano – Ponto Médio
8) Calcular o ponto médio do segmento de externos 𝐴(−2, 3) e 𝐵(6, 2).
Vetores no Plano – Paralelismo de dois Vetores
9) Verifique se os vetores 𝑢
⃗ = (−2, 3) e 𝑣 = (−4, 6) são paralelos
Vetores no Plano – Módulo de um Vetor
10) Dados os pontos 𝐴(2, −1) e 𝐵(−1, 4) e os vetores 𝑢
⃗ = (−1, 3) e 𝑣 = (−2, −1),
determinar:
a) |𝑢
⃗|
b) |𝑢
⃗ + 𝑣|
⃗⃗⃗⃗ − 3𝑣 |
c) |2𝑢
d) A distância entre os pontos 𝐴 e 𝐵
11) Dados o vetor 𝑣 = (−2, 1), achar o vetor paralelo a 𝑣 que tenha:
a) o mesmo sentido de 𝑣 e três vezes o módulo de 𝑣;
b) sentido contrário ao de v
⃗ e a metade do módulo de v
⃗;
FACULDADE ESTÁCIO DE SÁ – FIR
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
D ISCIPLINA : C ÁLCULO V ETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
c) o mesmo sentido de v
⃗ e módulo 4;
d) sentido contrário ao de v
⃗ e módulo 2
Vetores no Espaço – Igualdade, Operaçôes, Vetor definido por dois pontos, Ponto
Médio, Paralelismo, Módulo de um Vetor
12) Dados os pontos 𝐴(0, 1, −1) e 𝐵(1, 2, −1) e os vetores 𝑢
⃗ = (−2, −1, 1),
𝑣 = (3, 0, −1) e 𝑤
⃗⃗ = (−2, 2, 2) , verificar se existem os números 𝑎1 , 𝑎2 e 𝑎3 tais
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑎2 𝑢
que 𝑤
⃗⃗ = 𝑎1 𝐴𝐵
⃗ + 𝑎3 𝑣
13) Encontrar o vértice oposto a 𝐵 no paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷, sendo dados
𝐴(3, −2, 4), 𝐵(5, 1, −3) e 𝐶(0, 1, 2)
14) Sabendo que o ponto 𝑃(−3, 𝑚, 𝑛) pertence à reta que passa pelos pontos
𝐴(1, −2 , 4) e 𝐵(−1, −3, 1), determinar 𝑚 e 𝑛.
15) Seja o triângulo de vértices 𝐴(4, −1, −2), 𝐵(2, 5, −6) e 𝐶(1, −1, −2). Calcular o
comprimento da mediana do triângulo relativa ao lado 𝐴𝐵.
Produto Escalar – Definição Algébrica
⃗ e 𝑣 = 4𝑖 − 2𝑗 − 𝑘
⃗ . Calcular 𝑢
16) Sejam os vetores 𝑢
⃗ = 3𝑖 − 5𝑗 + 8𝑘
⃗ ∙ 𝑣.
17) Sejam os vetores 𝑢
⃗ = (3, 2, 1) e 𝑣 = (−1, −4, −1). Calcular:
a) (𝑢
⃗ + 𝑣) ∙ (2𝑢
⃗ − 𝑣)
b) 𝑢
⃗ ∙𝑢
⃗
⃗ ∙𝑢
c) 0
⃗
18) Dados os vetores 𝑢
⃗ = (4, 𝛼, −1) e 𝑣 = (𝛼, 2, 3) e os pontos 𝐴(4, −1, 2) e
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 5
𝐵(3, 2, −1) determinar o valor de 𝛼 tal que 𝑢
⃗ ∙ (𝑣 + 𝐴𝐵
Produto Escalar – Propriedade do Produto Escalar
19) Sendo |𝑢
⃗ | = 4, |𝑣| = 2 e 𝑢
⃗ ∙ 𝑣 = 3, calcular (3𝑢
⃗ − 2𝑣 ) ∙ (−𝑢
⃗ + 4𝑣)
Produto Escalar – Definição Geométrica do Produto Escalar
20) Sendo |𝑢
⃗ | = 2, |𝑣| = 3 e 120𝑜 o ângulo entre 𝑢
⃗ e 𝑣, calcular:
a) 𝑢
⃗ ∙𝑣
b) |𝑢
⃗ + 𝑣|
c) |𝑢
⃗ − 𝑣|
21) Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais:
a) 𝑢
⃗ = (1, −2, 3) e 𝑣 = (4, 5, 2)
b) 𝑖 𝑒 𝑗
22) Determinar um vetor ortogonal aos vetores ⃗⃗⃗⃗
𝑣1 = (1, −1, 0) e ⃗⃗⃗⃗
𝑣2 = (1, 0, 1)
Produto Escalar – Cálculo do Ângulo de Dois Vetores
FACULDADE ESTÁCIO DE SÁ – FIR
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
D ISCIPLINA : C ÁLCULO V ETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
23) Calcular o ângulo entre os vetores 𝑢
⃗ = (1, 1, 4) e 𝑣 = (−1, 2, 2).
24) Sabendo que o vetor 𝑣 = (2, 1, −1) forma ângulo de 60𝑜 com o vetor ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
determinado pelos pontos 𝐴(3, 1, −2) e 𝐵(4, 0, 𝑚), calcular 𝑚.
25) Determinar os ângulos internos ao triângulo 𝐴𝐵𝐶, sendo 𝐴(3, −3, 3), 𝐵(2, −1, 2)
e 𝐶(1, 0, 2)