departamento de matemática e física - SOL
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS PRO-REITORIA DE GRADUAÇÃO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA Goiânia, 05 de março 2015. Professora: Fabiana Chagas. Aluno(a): ATENÇÃO: As questões á lápis não serão revisadas. Não é permitido o uso de celulares. Toda questão deve constar a sua resolução, apenas respostas não serão consideradas. 1. (2,0) Sejam os vetores 𝑢 ⃗ = (−2,3𝑎, 1) e 𝑣 = (1,2, −1) e 𝑤 ⃗⃗ = (2, 𝑎, −3), determine 𝑎 de modo que (𝑢. ⃗⃗⃗ 𝑣 ) = (𝑢 ⃗ + 2𝑣 ). (𝑣 − 𝑤 ⃗⃗ ) 2. (3,0) O produto escalar entre vetores 𝑢 ⃗ = (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) e 𝑣 = (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) é dado por 𝑢 ⃗ . 𝑣 = 𝑥1 . 𝑥2 +𝑦1 . 𝑦2 + 𝑧1 . 𝑧2 ). Sabendo que o produto escalar satisfaz a propriedade distributiva, que |𝑥|2 = 𝑥. 𝑥 e que |𝑢 ⃗ | = 4, |𝑣| = 8 e 𝑢 ⃗ . 𝑣 = −4, calcule: (2𝑢 ⃗ − 3𝑣 ). (−3𝑢 ⃗ − 2𝑣) 3. (2,0) Dados dois vetores 𝑢 ⃗ 𝑒 𝑣 o cosseno do ângulo formado por estes vetores é ⃗ .𝑣 ⃗ 𝑢 dado por 𝑐𝑜𝑠𝛼 = |𝑢⃗|.|𝑣⃗|, logo o ângulo formado por estes vetores é dado por 𝛼 = ⃗ .𝑣 ⃗ 𝑢 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 |𝑢⃗|.|𝑣⃗|. Sendo assim determine o ângulo interno 𝐵, do triângulo formado pelos pontos A(1,-2,1), B(3,0,-1) e C(0,2,1). 4. (2,0) Dados dois vetores 𝑢 ⃗ 𝑒 𝑣 , o produto vetorial desses vetores, determina um vetor que é ortogonal a 𝑢 ⃗ 𝑒 𝑣 simultaneamente. Sendo assim determine um vetor ortogonal aos vetores 𝑢 ⃗ = (0, −1,2)𝑒 𝑣 = (−2,1,3). 5. (EXTRA) (1,0) Dados dois vetores 𝑢 ⃗ 𝑒 𝑣 o cosseno do ângulo formado por estes ⃗ .𝑣 ⃗ 𝑢 vetores é dado por 𝑐𝑜𝑠𝛼 = |𝑢⃗|.|𝑣⃗|. Dado um vetor 𝑢 ⃗ = (𝑥, 𝑦, 𝑧), mostre que 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝛼|𝑢 ⃗ |, 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝛽|𝑢 ⃗ |, 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝛾|𝑢 ⃗ |, onde 𝛼 é o ângulo que 𝑢 ⃗ forma com o eixo x, 𝛽 é o ângulo que forma com o eixo y e 𝛾 é o ângulo que forma com o eixo z.
