AL A Resumo 04 Sistema de Geradores Base e Dimensao

Curso de Álgebra Linear
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
Resumo Teórico 04 – Sistema de Geradores, Base e Dimensão
ESPAÇOS VETORIAIS FINITAMENTE GERADOS
Considerando o Espaço Vetorial V sobre IR. Dizemos que este Espaço Vetorial V é Finitamente
Gerado se existir um conjunto de vetores S ⊂ V, tal que, todos os vetores de V, podem ser
obtidos como Combinações Lineares dos Vetores de S. Para indicar este caso notamos V = [S],
isto é, V é Gerado por S ou ainda S é um Sistema de Geradores de V.
Exemplificando: Para todo o espaço Vetorial V dos vetores geométricos, isto é definidos por
segmentos orientados, o conjunto B=[(1,0,0); (0,1,0);(0,0,1)] é um sistema de Geradores, pois
todos os vetores de V, podem ser obtidos como combinações Lineares de B, isto é qualquer vetor
de V, v=(x,y,z) = x(1,0,0) +y(0,1,0)+z(0,0,1).
DEPENDÊNCIA e INDEPENDÊNCIA LINEAR:
Considerando um Espaço Vetorial V sobre IR e sendo dado um conjunto de n (n≥1) vetores do
espaço V, {v1, v2, v3, ….. vn}, definimos os mesmos como Linearmente Dependentes, (LD) se,
e somente se, existem escalares (reais) a1, a2, a3, ….an, não todos nulos tais que:
a1v1 + a2v2 + a3v3 + ……+ anvn = 0.
Observamos que quando um conjunto de vetores não forem Linearmente Dependentes, então eles
serão definidos como Linearmente Independentes (LI).
VETOR COMBINAÇÃO LINEAR:
Um vetor V é definido como vetor Combinação Linear(CL) de um conjunto {v1, v2, v3, ….. vn},
de vetores, quando for obtido por V = a1v1 + a2v2 + a3v3 + ……+ anvn, com a1, a2, a3, ….an, reais.
Observamos que o vetor Combinação Linear é um vetor, enquanto que a Dependência Linear é
uma relação sobre um conjunto de vetores.
Teoremas fundamentais da Dependência Linear:
I.
Em um conjunto de vetores, {v1, v2, v3, ….. vn }, se um destes for Combinação Linear dos
demais, então estes vetores serão Linearmente Dependentes. Como conseqüência se em
um conjunto os vetores forem Linearmente Dependentes, então um deles será Combinação
Linear dos demais.
II.
Em um conjunto de vetores, v1, v2, v3, ….. vn , se parte deste conjunto for Linearmente
Dependente (LD), então o conjunto inteiro será também Linearmente Dependente (LD).
III.
Em um conjunto de vetores, v1, v2, v3, ….. vn , for Linearmente Independente (LI), então
qualquer parte deste conjunto será também Linearmente Independente (LI).
BASE E DIMENSÃO
Considerando o Espaço Vetorial V, finitamente Gerado. Uma Base de V é um subconjunto finito
B⊂V, para o qual se verificam as condições:
i) [B]=V, isto é, B é um gerador de V e
ii) Os vetores de B são Linearmente Independentes ( LI).
O número de vetores de uma Base de V é chamado de Dimensão de V.
TEOREMA DA INVARIÂNCIA
Duas bases quaisquer do mesmo Espaço Vetorial, Finitamente Gerado, tem sempre o mesmo
número de vetores, isto é, o Espaço vetorial tem uma única Dimensão.
RELAÇÃO ENTRE AS DIMENSÕES DA SOMA E INTERSECÇÃO DE SUBESPAÇOS
Dados o subespaços U e V de um Espaço Vetorial devemos ter:
Dim U + Dim V = Dim (U+V) + DIM (U
∩ V)
Centro Universitário da FSA
Prof.: Anastassios H.K.
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