Convergência das Séries de Fourier - Métodos Matemáticos

Convergência das Séries de Fourier
Elton Gastardelli Kleis
6 de outubro de 2010
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Palavras-Chave
Séries de Fourier, convergência de séries e convergência
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Resumo
O objetivo do presente artigo é estudar a convergência das séries de Fourier
de uma função f. Para isso condições adicionais na f serão necessárias. Há
também vários tipos de convergência que serão vistos: convergência pontual,
convergência uniforme e convergência em média.
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Introdução
No estudo das séries trigonométricas, é possível facilmente conseguir resul-
tados sucientes para tirarmos conclusões sobre a convergência das mesmas.
Contudo nada podemos concluir sobre a convergência da série de Fourier
de uma função, apenas conhecendo essa função. Neste artigo ilustraremos
algumas condições sucientes que nos permitem avaliar sobre a convergência
da série de Fourier de uma função.
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4.1
Desenvolvimento
Convergência em Média
Em um espaço de funções com produto interno expresso por uma integral a
armação segundo o qual,
Z b
lim k fr − f k= lim (
k→∞
k→∞
a
[fk (x) − f (x)]1/2 = 0
não é o mesmo que dizer que a sequência
todos pontos de
[a, b]
fR
converge para função
f
em
(convergência pontual). Em análise matemática essa
convergência via produto interno é conhecida como convergência em média.
Ela recebe este nome para enfatizar que ela é calculada por integração, que
em certo sentido é um processo de média generalizada.
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Denição 1 Diz-se que uma série innita
bk de vetores de um espaço
k=1 u
euclidiano converge para o vetor ub ⇐⇒ a sequência associada das somas
parciais converge para ub
P∞
no sentido que:
bk − u
b k= 0
lim k u
k→∞
Se este é o caso, escrevemos:
b=
u
∞
X
bk
u
k=1
E dizemos que
b
u
foi desenvolvido em série innita.
Mais detalhadamente,
Existe um inteiro
k
P∞
bk para
k=1 u
b ⇐⇒
u
para cada número real
> 0.
tal que:
k
∞
X
bk − u
b k< u
k=1
N > K . O real pode ser entendido como o erro. Na verdade,
b
b
b. É sabido que todo espaço
u
−
u
k é a distância da soma do vetor u
k=1 k
b1 , u
b2 , u
b3 , . . . e que
euclidiano de dimensão nita tem uma base ortonormal u
Toda vez que
k
P∞
todo vetor deste espaço pode ser escrito de modo único sobre a forma:
b = (u
bu
b 1 )u
b 1 + . . . + (u
bu
b n )u
bn + . . .
u
Ou
b=
u
∞
X
bk )u
bk
(uu
k=1
Entretanto sem informações mais detalhadas, não existe nenhuma garantia
que esta série convirja para
b.
u
Os produtos internos
b)
(uu
de coordenadas ou coecientes de Fourier (generalizados) de
base (ou conjunto ortogonal)
b1 , u
b2 , u
b3 , . . ..
u
b∼
u
∞
X
se denominam
u
em relação a
É comum escrever
bk )u
bk
(uu
k=1
Onde o símbolo
para
b.
u
∼ é para ressaltar que a série em questão pode não convergir
Caso convirja justica-se usar o símbolo de igualdade.
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Teorema 2 Seja
para ub, isto é,
qualquer série innita que converge em média
P∞
bk
k=1 ak u
b=
u
∞
X
bk
ak u
k=1
então, ak = uubk para cada inteiro k.
É evidente que se a série converge em média para
b−
lim k u
N →∞
N
X
Sn
bk k= 0
ak u
{z
Sn
}
cp[a, b] deve-se
An sen(N x) e Bn cos(N x)
é a soma parcial. Se o espaço euclidiano em tela for
b como f (x) e ak como An e Bn . Sendo
u
(a = −π, b = π)(se f periódica de período 2π ).
entender
4.2
vale escrever:
k=1
|
Onde
b
u
Desigualdade de Bessel e Igualdade de Parseval
Teorema 3 Seja
b 1, u
b2 , u
b3 , . . . um conjunto ortonormal de vetores de um
h
espaço euclidiano de dimensão innita, e seja ub um vetor desse espaço.
Então:
∞
X
bk )2 ≤k u
b k2
(uu
k=1
Essa expressão é chamada de desigualdade de Bessel.
Além disso,
b
u
b1 , u
b2 , u
b3 , . . . é uma base do espaço em questão ⇐⇒
u
k2 , que é a igualdade de Parseval.
P∞
bu
bk )2
k=1 (u
No caso das séries de Fourier, a igualdade de Parseval é dada por:
k f k2 =
1
π
Z π
f (x)2 dx =
−π
∞
a0 X
+
(a2k + b2k )
2
k=1
Teorema 4 Seja
f uma função continuamente diferenciável por partes em
cp[−π, π] (f tem uma derivada primeira continua por partes em [−π, π]).
Então, o desenvolvimento em série de Fourier de f converge pontualmente
+
−
(x0 )
em [−π, π] e tem o valor f (x0 )+f
em cada ponto x0 do interior do inter2
+
−
f (−π0 )+f (π0 )
valo, e
em ±π .
2
4
≤k
Note que ao escrevermos a série de Fourier de
bk sen(kx))
f
como
f (x) =
ao P∞
2 + k=1 (ak cos(kx)+
signica que a série em questão converge em média para
lim k f −
N →∞
∞
X
f.
(Ak cos(kx) + Bk sen(kx)) k= 0
k=0
Ou seja,
f (x) =
∞
X
f (x)
f · cos(kx) · cos(kx) f · sen(kx) · sen(kx)
+
(
+
)
2
kxk
k cos(kx) k2
k sen(kx) k2
k=1
Ressaltamos que convergência em média não signica que a série converge
pontualmente no sentido que,
[−π, π].
f (x0 ) =
a0 P∞
2 + k=1 (ak cos(kx)+bk sen(kx))∀x0
∈
Contudo, o teorema apresentado explicita sobre que condições a con-
vergência pontual ocorre, ou seja, o desenvolvimento em séries de Fourier de
uma função
f ∈ cp[−π, π], continuamente diferenciável por partes, converge.
f (xo ) quando x0 é um ponto de continuidade de f , ou seja,
De fato, para
converge na reta inteira.
Teorema 5 Seja
f uma função contínua em (−∞, ∞), com período 2π e
considere f tenha derivada primeira, contínua por partes. Então a série de
Fourier de f converge uniformemente para f em todo invervalo fechado de
x.
Se
2π .
f
f converge
x que não contenha ponto de descontinuidade
Então a série de Fourier de
quer intervalo fechado do eixo
de
(−∞, ∞) com período
uniformemente para f em qual-
for continuamente diferenciável por partes em
f.
4.3
Convergência Uniforme
Teorema de Weterstrass
1 Se
P
k=1 Mk é uma série convergente de números
reais positivos e se ∞
f
(x)
é
uma
série de funções tais que | fk (x) |≤
k
k=1
Mk ∀k e x no intervalo a ≤ x ≤ b.
P∞
P∞
| fk (x) | converge, diz-se que a série converge absolutamente.
fk (x) converge uniformemente para a função
f (x) no intervalo a ≤ x ≤ b, se qualquer que seja > 0 exista um inteiro
positivo α dependendo de , mas não de x tal que | fk (x) − f (x) |< quando
k ≥ α e x está no intervalo dado.
Note que se fk (x) for a sequência das somas parciais Sk (x) a série corresponObs1 : Se
k=1
Obs2 : Diz-se que uma sequência
dente converge uniformemente.
| Sk (x) − f (x) |< quando
k ≥ α ⇒ limk→∞ | fk (x) − f (x) |= 0, ∀x.
5
k→∞
P∞
bk (x) coincide
k=0 u
∞ (x) = limk→∞ S(x) =
[a, b]. A convergência uniforme é global.
Quando
P
Obs: A sequência
Sk (x)
exatamente com
é constituída a partir da sequência
f (x)∀x ∈
bk (x)
u
para o
caso da série de Fourier.
Sk (x) =
P∞
N =0 (Ak cos(kx)
+ Bk sen(kx))
Ou seja,
S0 (x) = A0
S1 (x) = A0 + A1 cos(x) + B1 sen(x)
.
.
.
Sk (x) = A0 + A1 cos(x) + B1 sen(x) + . . . + Ak cos(kx) + Bk sen(kx)
S∞ (x)
=
P∞
N =0 (Ak cos(kx)
+ Bk sen(kx)) + f (x)
6
(Série de Fourier)
5
Conclusão
A partir do que foi exposto acima podemos concluir que as séries de Fourier
podem ser testadas em um vasto conjunto de condições. Esses resultados são
muito cômodos, visto que poupam-nos do trabalho de determinar séries de
Fourier divergentes.
6
Agradecimentos
Agradeço ao professor Altair pelo seu empenho no curso de métodos
matemáticos I o qual temos o imenso prazer de participar.
Não somente
pelo vasto conhecimento matemático, mas também pelo seu exemplo de vida
junto a sociedade em diversos programas sociais àqueles que mais necessitam.
Pedimos a Deus que abençoe abundantemente os seus projetos que
podem ser considerados um bem para toda sociedade.
Referências
[1] Séries duplas de Fourier - Altair S. de Assis;
[2] Análise de Fourier e equações diferencias parciais - Djairo Guedes de
Figueiredo;
[3] Análise de Fourier - Murray R. Spiegel - Coleção Schaum;
[4] Séries de Fourier (2
a Parte) - João Carlos Martins Vieira;
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