Todo material contido nesta lista foi desenvolvida

Todo material contido nesta lista foi desenvolvida pelo professor
Lucas Octavio de Souza e não passou por nenhuma alteração
geometria plana
Geometria plana.
Resumo teórico e exercícios.
3º Colegial / Curso Extensivo.
Autor - Lucas Octavio de Souza
(Jeca)
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2
geometria plana
Relação das aulas.
Aula
Aula
Aula
Aula
Aula
Aula
Aula
Aula
Aula
Aula
Aula
Aula
Aula
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
-
Página
Conceitos iniciais................................................................ 02
Pontos notáveis de um triângulo......................................... 18
Congruência de triângulos.................................................. 28
Quadriláteros notáveis........................................................ 38
Polígonos convexos............................................................ 48
Ângulos na circunferência................................................... 60
Segmentos proporcionais................................................... 74
Semelhança de triângulos................................................... 84
Relações métricas no triângulo retângulo........................... 98
Relações métricas num triângulo qualquer....................... 112
Circunferência e círculo..................................................... 126
Inscrição e circunscrição de polígonos regulares............. 136
Áreas das figuras planas................................................... 146
Considerações gerais.
Este estudo de Geometriade Plana tem como objetivo complementar o curso que
desenvolvo com os alunos de 3º Colegial e de curso pré-vestibular. Não tem a
pretensão de ser uma obra acabada e, muito menos, perfeita.
Os exercícios cujos números estão realçados com uma "sombrinha" representam
os exercícios que considero necessários à compreensão de cada aula. Nada
impede que mais, ou outros exercícios sejam feitos, a critério do professor.
Autorizo o uso pelos cursinhos comunitários que se interessarem pelo material,
desde que mantenham a minha autoria e não tenham lucro financeiro com o
material. Peço, entretanto que me comuniquem sobre o uso. Essa comunicação
me dará a sensação de estar contribuindo para ajudar alguém.
Peço a todos, que perdoem eventuais erros de digitação ou de resolução e que me
comuniquem sobre esses erros, para que possa corrigí-los e melhorar este trabalho.
Meu e-mail - [email protected]
Um abraço.
Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
Jeca 01
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3
geometria plana
Geometria plana
Aula 01
Conceitos iniciais de Geometria Plana.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
I) Reta, semirreta e segmento de reta.
Definições.
a) Segmentos congruentes.
Dois segmentos são congruentes se têm a mesma medida.
A
B
reta AB
A
B
semirreta AB
A
B
semirreta BA
A
B
segmento AB
II) Ângulo.
c) Mediatriz de um segmento.
É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio
A
Definições.
a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de
mesma origem.
a
O
b) Ponto médio de um segmento.
Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence ao
segmento e divide AB em dois segmentos congruentes.
b) Ângulos congruentes.
Dois ângulos são ditos congruentes se têm a mesma
medida.
B
OA - lado
OB - lado
O - vértice
ângulo AOB ou ângulo
c) Bissetriz de um ângulo.
É a semirreta de origem no vértice do ângulo que divide
esse ângulo em dois ângulos congruentes.
a
IIa) Unidades de medida de ângulo.
b) Radiano.
A medida de uma volta completa é 2p radianos.
a) Grau.
A medida de uma volta completa é 360º.
º - grau
' - minuto
" - segundo
1º = 60'
1' = 60"
Um radiano é a medida do ângulo central de uma
circunferência cuja medida do arco correspondente é
igual à medida do raio da circunferência.
IIb) Classificação dos ângulos.
a = 0º
0º < a < 90º
a = 90º
90º < a < 180º
a = 180º
-
Definições.
a) Ângulos complementares.
É o par de ângulos cuja soma das medidas é 90º.
ângulo nulo.
ângulo agudo.
ângulo reto.
ângulo obtuso.
ângulo raso.
b) Ângulos suplementares.
É o par de ângulos cuja soma das medidas é 180º.
IIc) Ângulos formados por duas retas paralelas
cortadas por uma reta transversal.
t
a
r
b
r // s
s
e
f
h
g
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d
c
a) Ângulos correspondentes (mesma posição).
exemplo - b e f.
Propriedade - são congruentes.
b) Ângulos colaterais (mesmo lado).
exemplo de colaterais internos - h e c.
exemplo de colaterais externos - d e g.
Propriedade - são suplementares (soma = 180º)
c) Ângulos alternos (lados alternados).
exemplo de alternos internos - b e h.
exemplo de alternos externos - a e g.
Propriedade - são congruentes.
Jeca 02
4
geometria plana
III) Triângulos.
vértice
lado
e
i - ângulo interno
e - ângulo externo
i
Num mesmo
vértice, tem-se
O ângulo externo
de qualquer polígono
convexo é o ângulo
formado entre um
lado e o
prolongamento do
outro lado.
i + e = 180º
Propriedades dos triângulos.
1) Em todo triângulo, a soma das
medidas dos 3 ângulos internos
é 180º.
b
a
b
e
3) Em todo triângulo, a soma das
medidas dos 3 ângulos externos
é 360º.
e2
b) quanto aos ângulos:
- triângulo retângulo.
- triângulo obtusângulo.
- triângulo acutângulo.
e=a+b
4) Em todo triângulo isósceles,
os ângulos da base são congruentes.
Observação - A base de um
triângulo isósceles é o seu lado
diferente.
e1 + e2 + e3 = 360º
e1
a) quanto aos lados:
- triângulo equilátero.
- triângulo isósceles.
- triângulo escaleno.
2) Em todo triângulo, a medida de
um ângulo externo é igual à soma
das medidas dos 2 ângulos
internos não adjacentes.
a
a + b + g = 180º
g
e3
Classificação dos triângulos.
Ângulo externo.
a
a
Exercícios.
01) Efetue as operações com graus abaixo solicitadas.
a) 48º 27' 39" + 127º 51' 42"
c) 90º - 61º 14' 44"
(GeoJeca)
e) 4 x (68º 23' 54")
(GeoJeca)
d) 136º 14' - 89º 26' 12"
(GeoJeca)
f) 3 x (71º 23' 52")
(GeoJeca)
(GeoJeca)
b) 106º 18' 25" + 17º 46' 39"
(GeoJeca)
Jeca 03
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geometria plana
III) Triângulos.
O ângulo externo
de qualquer polígono
convexo é o ângulo
formado entre um
lado e o
prolongamento do
outro lado.
vértice
lado
e
i - ângulo interno
e - ângulo externo
i
Num mesmo
vértice, tem-se
i + e = 180º
Propriedades dos triângulos.
1) Em todo triângulo, a soma das
medidas dos 3 ângulos internos
é 180º.
b
a
a
e
3) Em todo triângulo, a soma das
medidas dos 3 ângulos externos
é 360º.
e2
b) quanto aos ângulos:
- triângulo retângulo.
- triângulo obtusângulo.
- triângulo acutângulo.
e=a+b
4) Em todo triângulo isósceles,
os ângulos da base são congruentes.
Observação - A base de um
triângulo isósceles é o seu lado
diferente.
e1 + e2 + e3 = 360º
e1
a) quanto aos lados:
- triângulo equilátero.
- triângulo isósceles.
- triângulo escaleno.
2) Em todo triângulo, a medida de
um ângulo externo é igual à soma
das medidas dos 2 ângulos
internos não adjacentes.
b
a + b + g = 180º
g
e3
Classificação dos triângulos.
Ângulo externo.
a
a
Exercícios.
01) Efetue as operações com graus abaixo solicitadas.
a) 48º 27' 39" + 127º 51' 42"
c) 90º - 61º 14' 44"
(GeoJeca)
e) 4 x (68º 23' 54")
(GeoJeca)
(GeoJeca)
48º 27' 39"
127º 51' 42"
175º 78' 81"
= 272º 92' 216" =
89º 59' 60"
- 61º 14' 44"
28º 45' 16"
175º 79' 21"
= 272º 95' 36" =
Resposta
Resposta
= 273º 35' 36"
b) 106º 18' 25" + 17º 46' 39"
(GeoJeca)
d) 136º 14' - 89º 26' 12"
(GeoJeca)
Resposta
f) 3 x (71º 23' 52")
(GeoJeca)
3 x (71º 23' 52") =
136º 14'
- 89º 26' 12"
106º 18' 25"
17º 46' 39"
123º 64' 64"
= 3 x 71º 3 x 23' 3 x 52" =
= 213º 69' 156" =
135º 74'
- 89º 26' 12"
123º 64' 64"
123º 65' 04"
124º 05' 04"
= 4 x 68º 4 x 23' 4 x 54" =
89º 60'
175º 78' 81"
176º 19' 21"
4 x (68º 23' 54") =
90º
Resposta
135º 73' 60"
- 89º 26' 12"
46º 47' 48"
= 213º 71' 36" =
= 214º 11' 36"
Resposta
Resposta
Jeca 03
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geometria plana
g)
125º 39' 46"
4
(GeoJeca)
h) 118º 14' 52"
3
i)
125º 12' 52"
5
(GeoJeca)
j)
90º
13
(GeoJeca)
(GeoJeca)
03) Determine o ângulo que excede o seu suplemento
02) Determine o ângulo que é o dobro do seu complemento.
(GeoJeca) em 54º
(GeoJeca)
04) Determine o ângulo cuja diferença entre o seu
suplemento e o triplo do seu complemento é igual a
54º.
(GeoJeca)
05) Dois ângulos são suplementares. O menor é o
complemento da quarta parte do maior. Determine as
medidas desses ângulos.
(GeoJeca)
06) As medidas de dois ângulos somam 124º. Determine esses ângulos sabendo que o suplemento do
maior é igual ao complemento do menor.
(GeoJeca)
07) Determine um ângulo sabendo que o suplemento
da sua quinta parte é igual ao triplo do seu complemento.
(GeoJeca)
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7
geometria plana
125º 39' 46"
= 31º 24' 56"
4
125º 12'' 52"
= 25º 02' 34"
5
j)
(GeoJeca)
90º
13
90º
-78
12º
120"
52"
172" 5
-15
34"
22
-20
2" (resto)
13
0'
6º
72
º=
2
1
90º
= 06º 55' 23"
13
Resposta
120"
52"
172" 3
-15
57"
22
-21
1" (resto)
Resposta
720' 13
-65 55'
70
-65
05'
5'
=
12
0"
0'
12'
12' 5
-10 2'
2'
5
125º
-10
25º
25
-25
0º
118º 14' 52"
= 39º 24' 57"
3
(GeoJeca)
125º 12' 52"
5
60'
14'
74' 3
-6
24'
14
-12
2'
12
0"
180"
46"
226" 4
-20
56"
26
-24
2" (resto)
Resposta
2'
=
i)
3
118º
-9
39º
'
28
60
=
-27
º
1
1º
(GeoJeca)
30
0"
60'
39'
99' 4
-8
24'
19
-16
3'
18
0"
4
125º
-12
31º
'
05
60
=
-4
º
1
1º
h) 118º 14' 52"
3
2'
=
(GeoJeca)
125º 39' 46"
4
3'
=
g)
300" 13
-26
23"
40
-39
1" (resto)
Resposta
03) Determine o ângulo que excede o seu suplemento
02) Determine o ângulo que é o dobro do seu complemento.
(GeoJeca) em 54º
(GeoJeca)
x = 2.(90 - x)
x = (180 - x) + 54
x = 180 - 2x
x = 180 - x + 54
3x = 180
2x = 234
x = 60º (resp)
x = 117º (resp)
04) Determine o ângulo cuja diferença entre o seu
suplemento e o triplo do seu complemento é igual a
54º.
(GeoJeca)
x é o menor
(180 - x) - 3.(90 - x) = 54º
(180 - x) é o maior
180 - x - 270 + 3x = 54
x = 90 - [(180 - x)/4]
2x = 144
x = 72º
05) Dois ângulos são suplementares. O menor é o
complemento da quarta parte do maior. Determine as
medidas desses ângulos.
(GeoJeca)
x - 90 = -(180 - x)/4
Resposta
4x - 360 = -180 + x
3x = 180
x = 60º e (180 - x) = 120º (resp)
06) As medidas de dois ângulos somam 124º. Determine esses ângulos sabendo que o suplemento do
maior é igual ao complemento do menor.
(GeoJeca)
x + y = 124
07) Determine um ângulo sabendo que o suplemento
da sua quinta parte é igual ao triplo do seu complemento.
(GeoJeca)
(180 - x/5) = 3.(90 - x)
x - maior
180 - x/5 = 270 - 3x
y - menor
14x/5 = 90
(180 - x) = (90 - y)
x = 450/14 = (225/7)º
180 - (124 - y) = 90 - y
Resposta
180 - 124 + y = 90 - y
2y = 34
y = 17º e x = 107º
Resposta
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Jeca 04
8
geometria plana
08) Em cada figura abaixo, determine a medida do ângulo x.
a)
(GeoJeca)
b)
(GeoJeca)
11
6
º
r
x
r // s
x
41º
s
c)
(GeoJeca)
r
x
r
53º
r // s
s
39º
(GeoJeca)
x
53º
e)
d) (Tente fazer de outra maneira)
r // s
s
39º
(GeoJeca)
r
f)
(GeoJeca)
r
55º
x
35º
62º
r // s
40º
g)
47º
(GeoJeca)
r
x
s
38º
s
h)
(GeoJeca)
28º
54º
r // s
x
88º
x
s
º
126
21º
i)
(GeoJeca)
j)
(GeoJeca)
AB = AC
B
x
73º
A
14
º
2
11
k) AC = BC
x
3º
C
l)
C
x
46º
158º
38º
67º
x
A
B
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Jeca 05
9
geometria plana
08) Em cada figura abaixo, determine a medida do ângulo x.
a)
(GeoJeca)
b)
r
(GeoJeca)
11
6
º
41º
x
x
41º
s
r // s
11
6
º
x + 116 = 180
x = 64º (resp)
x = 41º (resp)
c)
(GeoJeca)
d) (Tente fazer de outra maneira)
r
x
r
x
x
14º
14º
39º
s
39º
e)
(GeoJeca)
x
93º
40º 87º
(GeoJeca)
35º
x
r // s
38º
62º
t
r // s // t
62º
s
x + 62 + 47 + 35 = 180
x =36º (resp)
(GeoJeca)
r
s
f)
r
g)
r // s
39º
x + 93 + 40 = 180
x = 47º (resp)
55º
s
127º
53º
r // s // t
x = 14º (resp)
r
55º
39º
x + 39 + 127 = 180
x = 14º (resp)
t
r // s
53º
(GeoJeca)
x
47º
h)
(GeoJeca)
28º
t
r // s // t //u
28º
54º
26º
26º
88º
62º
u
s
x + 126 + 21 = 180
x = 33º
(resp)
x
x
º
126
21º
x = 62º (resp)
i)
(GeoJeca)
j)
(GeoJeca)
AB = AC
B
x
x + 68 + 37 = 180
x = 75º (resp)
73º
A
º
2
11
68º
k) AC = BC
37º
14
3º
46 + y + y = 180
2y = 134
y = 67
x + y = 180
x = 180 - 67
x = 113º (resp)
46º
y
A
73º
x + 73 + 73 = 180
x = 34º (resp)
C
l)
C
x
x
y = 67 + 38
y = 105º
x
y
158º
x + y = 158
x = 158 - 105
x = 53º (resp)
38º
67º
y
B
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Jeca 05
10
geometria plana
10) Na figura abaixo, estão representados um triângulo
09) A figura abaixo mostra dois quadrados sobrepostos. Qual é o valor de x + y, em graus ?
(GeoJeca) equilátero e um retângulo. Sendo x e y as medidas
dos ângulos assinalados, determine a soma x + y.
(GeoJeca)
x
y
x
y
11) Na figura abaixo, determinar x + y + z + t.
(GeoJeca)
12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das
medidas dos ângulos x, y, z, t e u.
(GeoJeca)
30º
y
x
x
t
y
z
z
u
t
13) Na figura abaixo, calcule o valor de x em função de 14) (IBMEC-SP) Sejam a, b, g, l e q as medidas em
m.
(GeoJeca) graus dos ângulos BAC, ABC, CDF, CEF e DFE da
figura, respectivamente. A soma a + b + g + l + q é
(GeoJeca)
igual a:
x
F
a)
b)
c)
d)
e)
4m
3m
120º
150º
180º
210º
240º
C
D
m
E
B
A
15) (ITA-SP) Em um triângulo de papel ABC fazemos 16) Determine x, sabendo-se que ABCD é um retânguuma dobra PT de modo que o vértice C coincida com lo e que F e E são pontos médios dos lados AB e
(GeoJeca)
o vértice A, e uma dobra PQ de modo que o vértice B AD, respectivamente.
E
A
D
coincida com o ponto R de AP. Sabemos que o triângulo AQR formado é isósceles com ARQ = 100º; calcule as medidas dos ângulos internos do triângulo
ABC.
(GeoJeca)
A
x
R
F
T
Q
25º
B
P
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C
C
B
Jeca 06
11
geometria plana
10) Na figura abaixo, estão representados um triângulo
09) A figura abaixo mostra dois quadrados sobrepostos. Qual é o valor de x + y, em graus ?
(GeoJeca) equilátero e um retângulo. Sendo x e y as medidas
dos ângulos assinalados, determine a soma x + y.
120º
r // s // t
x + y + 90 = 360
120 + x + y = 360
x
(GeoJeca)
60º
x + y = 360 - 120
x + y = 270º (resp)
x + y = 240º (resp)
r
y
x
x
y
y
s
t
11) Na figura abaixo, determinar x + y + z + t.
x + y + z + t + 150 = 360
(GeoJeca)
150º
x + y + z + t = 210º (resp)
y
x
30º
x+
x
12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das
medidas dos ângulos x, y, z, t e u.
(GeoJeca)
y
u + x + z + y + t = 180º
z+t
(resp)
y
z
y+t
t
x+z
u
z
t
13) Na figura abaixo, calcule o valor de x em função de 14) (IBMEC-SP) Sejam a, b, g, l e q as medidas em
m.
(GeoJeca) graus dos ângulos BAC, ABC, CDF, CEF e DFE da
figura, respectivamente. A soma a + b + g + l + q é
(GeoJeca)
igual a:
3m = m + y
x
y = 2m
F
y
4m = x + y
4m = x + 2m
a)
b)
c)
d)
e)
4m
y
3m
x = 2m (resp)
120º
150º
180º
210º
240º
q
D
m
g
C
l
g
a+g
a
A
l+b
E
l
b
B
a + b + g + q + l = 180º (resp)
15) (ITA-SP) Em um triângulo de papel ABC fazemos 16) Determine x, sabendo-se que ABCD é um retânguuma dobra PT de modo que o vértice C coincida com lo e que F e E são pontos médios dos lados AB e
(GeoJeca)
o vértice A, e uma dobra PQ de modo que o vértice B AD, respectivamente.
E
A
D
coincida com o ponto R de AP. Sabemos que o triângulo AQR formado é isósceles com ARQ = 100º; calcule as medidas dos ângulos internos do triângulo Se M é ponto médio,
ABC.
(GeoJeca)
A
então MB // DF
40º
100º
Q
B
R
80º
x
M
F
T
40º 80º
70º
70º
x = 25º (resp)
A = 70º
B = 80º
C = 30º (resp)
30º
30º 60º
60º
30º
P
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25º
30º
C
C
25º
B
Jeca 06
12
geometria plana
Geometria plana
Conceitos iniciais de Geometria Plana.
Exercícios complementares da aula 01.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.
a)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
b)
r
r
43º
r // s
r //s
x
(GeoJeca)
r
45º
x
s
s
c)
57º
d)
45º
r // s
x
62º
(GeoJeca)
r
r // s
x
62º
s
s
(Resolver de forma diferente da letra c))
e)
(GeoJeca)
f)
(GeoJeca)
r
x
147º
r // s
82º
126º
s
x
r
r // s
80º
g)
(GeoJeca)
s
h)
r
(Resolver de forma diferente da letra g))
(GeoJeca)
r
140º
140º
65º
r // s
65º
r // s
x
s
x
s
150º
150º
i)
(GeoJeca)
42º
5x
º
2
-1
j)
(GeoJeca)
r
48º
r
º
40
r // s
r // s
x
s
43º
k)
(GeoJeca)
55º
l)
s
85º
r
135º
x
(GeoJeca)
s
r // s
x
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geometria plana
Geometria plana
Conceitos iniciais de Geometria Plana.
Exercícios complementares da aula 01.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.
a)
(GeoJeca)
x
(GeoJeca)
b)
r
r
43º
57º
x + 57 = 180
r // s
r //s
x
s
s
x = 123º (resp)
x
57º
x = 43º (resp)
c)
45º
45º
t
62º
d)
(GeoJeca)
r
45º
r // s // t
x = 45 + 62
x = 107º
(resp)
r // s
x
62º
(GeoJeca)
r
x é ângulo externo
x = 62 + 45
r // s
x
x = 107º (resp)
62º 45º
s
s
(Resolver de forma diferente da letra c))
e)
(GeoJeca)
r
33º
r // s // t
t
x
(GeoJeca)
40º
t
40º
25º
(Resolver de forma diferente da letra g))
(GeoJeca)
40º
140º
x = 55º (resp)
y
150º
(GeoJeca)
j)
k)
42º
s
+
=
+
=
55 + 90 = 180
35º
y + 90 = 180
55º (resp)
5x = 150
x = 30º (resp)
y
l)
r // s
48º
43º
55º
y = 91º
º
0
y4
x
(GeoJeca)
y
y
x
x
y = 43 + 48
48º
5x + 30 = 180
5
(GeoJeca)
r
5x - 12 + 42 = 180
r // s
x = y + 30
x = 25 + 30
x = 55º (resp)
30º
150º
i)
2º
y + 40 = 65
y = 25
x
s
r
y
65º
r // s
30º
42º
x = 46º (resp)
r // s
x = 30 + 25
30º
1
x-
r
s
h)
u
25º
x
s
126º
r
65º
r // s // t // u
x + 80 = 126
80º
g)
140º
126º é ângulo externo
x = 49º (resp)
80º
49º
r
(GeoJeca)
x
147º
33º
82º
49º
s
f)
x + y + 40 = 180
x + 91 + 40 = 180
s
x = 49º (resp)
(GeoJeca)
s
r // s
85º
r
x = 45 + 85
x = 130º (resp)
45º
x
135º
85º
45º x
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geometria plana
m)
(GeoJeca)
r // s
t // u
r
n)
x
r // s
t // u
r
(GeoJeca)
s
43º
t
x
58º
s
u
t
u
o)
(GeoJeca)
p)
(GeoJeca)
52º
62º
79º
x
x
q)
(GeoJeca)
67º
r)
(GeoJeca)
52º
21x
x
18x
15x
81º
s)
(Triângulo isósceles)
AB = AC
A
(GeoJeca)
t)
A
(Triângulo isósceles)
AB = AC
(GeoJeca)
x
38º
138º
B
B
x
C
C
u)
A
AB = AC
(GeoJeca)
v)
(GeoJeca)
152º
y
y
98º
62º
x
x
B
C
x)
AB = BC = CD
D
(GeoJeca)
z)
AB = BD = DE
(GeoJeca)
D
98º
B
E
A
x
x
C
A
y
B
y
C
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geometria plana
m)
(GeoJeca)
r // s
t // u
r
x
x
r // s
t // u
r
(GeoJeca)
x + 58 = 180
x = 43º (resp)
s
43º
n)
x = 122º (resp)
43º
t
58º
x
x
s
o)
(GeoJeca)
p)
(GeoJeca)
52º
x + 62 + 79 = 180
62º
u
t
u
x = 180 - 141
x = 52 + 67
x = 39º (resp)
x = 119º (resp)
79º
x
x
q)
(GeoJeca)
r)
(GeoJeca)
x = 81 + 52
52º
67º
21x + 18x + 15x = 180
21x
x = 133º (resp)
54x = 180
x = 180/54 = (10/3)º (resp)
81º
x
18x
15x
81º
s)
(Triângulo isósceles)
AB = AC
A
(GeoJeca)
t)
A
2x = 142
138º
x = 71º (resp)
42º
42º
B
B
C
x + 42 + 42 = 180
x = 96º (resp)
x
x
C
u)
A
AB = AC
152º
(GeoJeca)
v)
(GeoJeca)
y + 82 + 62 = 180
x + x + 152 = 360
2x = 208
y
y = 36º
y
x = 104º (resp)
62 + 2y + x = 180
98º
62º 82º
x
x = 46º (resp)
x
x
C
AB = BC = CD
D
=
=
41º
82º
82º
z)
AB = BD = DE
98º
16º
41º
z
x + 41 + 16 = 180
=
(GeoJeca)
D
=
B
(GeoJeca)
x = 123º (resp)
E
x
x
C
z
A
=
B
x)
A
(GeoJeca)
x
2x + 38 = 180
38º
(Triângulo isósceles)
AB = AC
=
y
y
B
y
C
y é ângulo externo
do triângulo ABD
y = z + z = 2z
z = y/2
No triângulo BDE
y + y + z = 180
y + y + y/2 = 180
y = 72º
x + y = 180
x = 108º (resp)
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geometria plana
02) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.
a)
(GeoJeca)
b)
(GeoJeca)
37
73º
º
116º
x
24º
148º
x
31º
c)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
x
34
º
x
d)
triz
se
bis
1º
10
128º
36º
38º
D é o ponto de encontro das 3 bissetrizes. f)
e)
º
D
72
40º
x
D
g)
(GeoJeca)
68º
r
AD e BD são bissetrizes.
A
(GeoJeca)
x
42º
(GeoJeca)
C
B
h)
(GeoJeca)
x
60º
r // s
5y
s
2x
3y
º
x + 30
i)
(GeoJeca)
j)
(GeoJeca)
43º
9x
x
12x
60º
62º
6x
k)
A
B
ABCD é um quadrado.
l)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
30º
x
x
D
C
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8
º
Jeca 09
17
geometria plana
02) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.
a)
(GeoJeca)
b)
(GeoJeca)
37
73º
º
79º
64º
101º
116º
148 = y + 24
x + 101 + 31 = 180
x = 180 - 132 = 48º
(resp)
y = 124º
y = x + 73
y
x
124 = x + 73
24º
148º
x = 51º (resp)
x
31º
c)
(GeoJeca)
d)
(GeoJeca)
y + 128 + 36 = 180
x + 34 + 79 + 38 = 180
34
y = 16º
x
x = 180 - 151
º
x
52º
x = 29º (resp)
1º
10
y
38º
79º
38º
D é o ponto de encontro das 3 bissetrizes. f)
e)
108º
z
z
º
D
x
42º
C
y
(GeoJeca)
x = 3y
(GeoJeca)
x + 30 + 2x + 120 = 360
60º
3y + 5y + 68 = 180
3x = 210
8y = 112
r // s
5y
s
x = 70º (resp)
y = 14º
2x
x = 3y = 42º (resp)
3y
x + y + z = 180
x + 69 = 180
x = 111º (resp)
B
h)
120º
68º
(GeoJeca)
2.z + 2.y + 42 = 180
2(y + z) = 180 - 42
2(y + z) = 138
y + z = 69º
y
g)
x = 112º (resp)
AD e BD são bissetrizes.
x
x
x
16 + 52 + x = 180
36º
x = 18º (resp)
D
y + 52 + x = 180
128º
y
2 . 32 + 2 . x + 80 = 180
32º
32º
68º
r
b
72
40º
iss
A
(GeoJeca)
40º
iz
etr
º
x + 30
i)
(GeoJeca)
9x
j)
(GeoJeca)
y = 43 + 62
43º
6x + 9x + 12x = 360
y
27x = 360
x = 360/27
12x
y = 60 + x
60º
x = (40/3)º (resp)
A
B
ABCD é um quadrado.
l)
(GeoJeca)
x + 75 + 62 = 180
x = 43º (resp)
30º
x + 45 + 45 = 180
x
x = 45º
(GeoJeca)
45º
x = 90º (resp)
45º
D
x = y - 60
62º
6x
k)
y = 105º
x
75º 75º
C
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x
62º
62º
11
8
º
Jeca 09
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geometria plana
m)
(GeoJeca)
AC = CD
n)
AB = BC = CD = DE
e
A
D
38
B
º
x
A
x
C
B
o)
E
D
C
AB = BC = CD = DE = EF
e
AE = AF
D
(GeoJeca)
p)
AB = AC , BD = BE e CE = CF.
A
x
C
q)
B
x
44º
C
r)
B
A
(GeoJeca)
BCD é um triângulo equilátero
e ABDE é um quadrado.
(GeoJeca)
F
G
E
F
E
ABC é um triângulo equilátero
e DEFG é um quadrado.
A
(GeoJeca)
D
F
B
A
(GeoJeca)
AD = AE
C
x
B
D
E
s)
A
B
E
x
x
E
C
CDE é um triângulo equilátero t)
e ABCD é um quadrado.
(GeoJeca)
D
BFE é um triângulo equilátero, ABFG e BCDE são
quadrados.
C
A
(GeoJeca)
B
G
D
x
D
A
ACE e BDF são triângulos
equiláteros.
(GeoJeca)
C
B
E
F
C
u)
v)
AB = AC e DE = DF.
(GeoJeca)
A
D
x
70º
x
F
D
E
x)
B
AB = AD = BD = DC e AC = BC.
(GeoJeca)
65º
C
E
z)
A
A
D
x
(GeoJeca)
AB = AC
AD é bissetriz de BÂC
AE é bissetriz de BÂD.
C
x
B
F
B
38º
E
D
C
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geometria plana
m)
(GeoJeca)
AC = CD
n)
AB = BC = CD = DE
e
(GeoJeca)
AD = AE
A
B
A
x
2x
x
AB = BC = CD = DE = EF
e
AE = AF
D
B
x
C
q)
x
B
A
(GeoJeca)
60º
x
E
x = 75º (resp)
G
x = 15º (resp)
BFE é um triângulo equilátero, ABFG e BCDE são
quadrados.
C
A
(GeoJeca)
D
60º
60º
u)
A
E
F
ACE e BDF são triângulos
equiláteros.
(GeoJeca)
C
B
v)
AB = AC e DE = DF.
(GeoJeca)
A
D
60º
30º
x
x + 30 + 30 = 180
x
x = 120º (resp)
x
60º
F
B
D
E
AB = AD = BD = DC e AC = BC.
A
(GeoJeca)
65º
E
55º
65º
=
x
60º
z)
A
y
C
=
60º
x
55º
B
38º
B
2y
y
x
F
(GeoJeca)
AB = AC
AD é bissetriz de BÂC
AE é bissetriz de BÂD.
x = 150º (resp)
=
=
x = 60º (resp)
C
x + x + 60 = 360
60º
x + 55 + 65 = 180
70º
x
30º
x)
x = 60º
(resp)
x
C
=
60º
x + x + 90 + 60 = 180
D
B
30º
D
z + y = 180
56º
z + x = 180
68º (resp)
C
x
CDE é um triângulo equilátero t)
e ABCD é um quadrado.
=
+
=
+
=
(GeoJeca)
x + x + 30 = 180
=
y
z
z
z
x
BCD é um triângulo equilátero
e ABDE é um quadrado.
=
x
E
C
r)
C
B
E
z
z
F
E
x = 30º (resp)
E
y + y + 44 = 180
y = 68º
=
x + 60 + 90 = 180
s)
x
B
y
z
44º
3x
(GeoJeca)
x
A
A
x
3x
F
D
(GeoJeca)
z
ABC é um triângulo equilátero
e DEFG é um quadrado.
A
B
D
F
2x
x + 4x + 4x = 180
9x = 180
x = 20º (resp)
60º
AB = AC , BD = BE e CE = CF.
2x
x
G
4x
p)
=
A
(GeoJeca)
x = (180/7)º
E
D
C
7x = 180
(resp)
3x 3x
=
B
o)
C
38º
x + 3x + 3x = 180
x
= =
=
º
2x
=
38
x
D
x + 38 + 38 + 90 = 180
x = 180 - 166 = 14º (resp)
4y + 38 + 38 = 180
y = 26º
x + y + 38 = 180
x = 116º (resp)
38º
E
D
C
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geometria plana
03) Na figura abaixo, determine x, y e z.
(GeoJeca)
04) Na figura abaixo, determinar x, y e z.
(GeoJeca)
4x
x
x
37º
2y
z
y
z
05) Na figura abaixo, determinar x, y, z e t.
(GeoJeca)
06) Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do ângulo
CBE, determinar x + y.
(GeoJeca)
E
D
z
t
40º
4x
y
2x
y
4x
x
B
A
07) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
(GeoJeca)
C
08) Na figura abaixo, determinar o valor do ângulo x,
sabendo-se que OD é bissetriz de AOE, OC é bissetriz
de AOD e OB é bissetriz de AOC.
(GeoJeca)
D
C
x
57º
E
B
A
x
O
28º
F
09) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e 10) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que os
mesmos formam uma progressão aritmética de razão
z.
(GeoJeca) 10º.
(GeoJeca)
z + 26º
y
2x
2z - 84º
z
y
x
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geometria plana
03) Na figura abaixo, determine x, y e z.
(GeoJeca)
04) Na figura abaixo, determinar x, y e z.
(GeoJeca)
4x
x
x
37º
2y
z
y
z
x + 4x = 180
x = 36º
2y = x = 36º
y = 18º
4x = z = 144º
x + 37 = 180
Portanto x = 180 - 37 = 143º
y = 37º (OPV)
z = x = 143º (OPV)
(resp)
(resp)
05) Na figura abaixo, determinar x, y, z e t.
(GeoJeca)
06) Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do ângulo
CBE, determinar x + y.
(GeoJeca)
E
D
z
t
40º
4x
y
2x
y = 4x
4x
x
2x = 40
x = 20º
4x = z = 80º
y + 2x + z = 180
y = 60º
t = y = 60º
(resp)
B
A
C
4x + 4x + x = 180
x = 20º
y = 80º
x + y = 100º
(resp)
07) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
(GeoJeca)
08) Na figura abaixo, determinar o valor do ângulo x,
sabendo-se que OD é bissetriz de AOE, OC é bissetriz
de AOD e OB é bissetriz de AOC.
(GeoJeca)
D
57 + x = 90
x = 33º (resp)
C
x
57º
x
E
B
A
x
x
2x
4x
O
28º
F
8x + 28 = 180
x = 19º (resp)
09) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e 10) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que os
mesmos formam uma progressão aritmética de razão
z.
(GeoJeca) 10º.
(GeoJeca)
z + 26º
y
2x
2z - 84º
z
y
x
y = x + 10
z = x + 20
x + y + z = 180
x + x + 10 + x + 20 = 180
3x = 150
x = 50º
y = 60º
z = 70º (resp)
z + 26 = 2.z - 84
z = 26 + 84 = 110º
2x + 110 + 26 = 180
x = 22º
y = 2x = 44º (resp)
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geometria plana
11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x. 12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma
(GeoJeca) x + y + z + t + u + v, sabendo-se que CEF é um triângulo
(GeoJeca)
inscrito no quadrado ABCD.
A
x
t
t // s
s
y
E
B
z
x
F
120º
v
t
140º
u
D
C
13) Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD. Determine o 14) Na figura abaixo, AD = AC = BC e AC é a bissetriz
valor de x.
(GeoJeca) do ângulo BAD. Determine o valor de x.
(GeoJeca)
A
A
x
C
B
2x
D
E
B
x
D
C
15) Na figura abaixo, determine a medida do ângulo x 16) (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Determine y
em função de y.
(GeoJeca) em função de x.
5y
D
x
y
2y
x
A
17) Na figura abaixo mostre que vale a relação :
a + b = c + d.
r
a
(GeoJeca)
y
c
C
B
18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles
mede 100º. Determinar a medida do ângulo agudo
formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos
internos.
(GeoJeca)
r // s
b
d
s
(GeoJeca)
19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos 20) Na figura abaixo, determinar x em função de y e de
externos de um triângulo é 360º.
(GeoJeca)
(GeoJeca) z.
e2
r
x
y
e1
r // s
z
s
e3
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geometria plana
11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x. 12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma
(GeoJeca) x + y + z + t + u + v, sabendo-se que CEF é um triângulo
x + 20 + 90 = 180
(GeoJeca)
inscrito no quadrado ABCD.
x = 70º (resp)
x
t
t // s
40º
140º
s
120º
20º
A
x + y = 90
z + t = 90
u + v = 90
x + y + z + t + u + v = 3 . 90
x + y + z + t + u + v = 270º
(resp)
E
y
B
z
x
F
v
t
140º
u
D
C
13) Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD. Determine o 14) Na figura abaixo, AD = AC = BC e AC é a bissetriz
valor de x.
(GeoJeca) do ângulo BAD. Determine o valor de x.
(GeoJeca)
A
60º 3x
6x
=
=
x x
x + 2x + 2x = 180
=
60º
A
No triângulo ACD, tem-se
C
5x = 180
3x
2x
D
=
x = 36º (resp)
E
6x = 60º
B
x = 10º (resp)
x
=
2x
=
=
B
x
2x
D
C
15) Na figura abaixo, determine a medida do ângulo x 16) (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Determine y
em função de y.
(GeoJeca) em função de x.
y é ângulo externo
5y
(GeoJeca)
D
y = A + C = x + 2x
y
x
y = 3x (resp)
=
z
2y
x
z = 2y + 5y = 7y
x = y + z = y + 7y
x = 8y (resp)
A
17) Na figura abaixo mostre que vale a relação :
a + b = c + d.
r
a
a
c-a c
b-d
bd
t
r // s // t // u
s
Ângulos alternos internos
c-a=b-d
a + b = c + d (CQD)
C
B
18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles
mede 100º. Determinar a medida do ângulo agudo
formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos
internos.
(GeoJeca)
u
d
2x
2x
=
x
y
=
(GeoJeca)
100 + 2x + 2x = 180
x = 20º
x + x + y = 180
y = 140º
z é o ângulo agudo
z + y = 180
z = 40º (resp)
100º
x
x
y
z
x
x
19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos 20) Na figura abaixo, determinar x em função de y e de
externos de um triângulo é 360º.
(GeoJeca)
(GeoJeca) z.
e
2
e + x = 180
r
1
y
e2 + y = 180
e3 + z = 180
e1
x
t
x
e1 + e2 + e3 + x + y + z = 540
Mas x + y + z = 180
Portanto e1 + e2 + e3 = 540 - 180 = 360º (CQD)
r // s // t
z
y
y=x+z
x
x = y - z (resp)
z
z
s
e3
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geometria plana
21) Na figura abaixo, o quadrado ABCD é cortado por 22) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das
duas retas paralelas, r e s. Com relação aos ângulos medidas dos ângulos x, y, z, t e u.
(GeoJeca)
x e y podemos afirmar que :
(GeoJeca)
a) x = y
y
r
b) x = -y
z
s
c) x + y = 90º
A
B
x
x
d) x - y = 90º
e) x + y = 180º
y
t
C
D
u
23) Na figura abaixo, calcule o ângulo x, sendo y o triplo 24) (FUVEST-SP) No retângulo abaixo, qual o valor
de z e t o sêxtuplo de z.
(GeoJeca)
(GeoJeca) em graus de x + y ?
40º
z
y
x
x
y
t
80º
25) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo Â, 26) Na figura abaixo, o ângulo EAB mede 38º, ABCD
demonstre que vale a relação z - y = x - t.
(GeoJeca) é um retângulo e AB é congruente a AE. A medida do
ângulo CBF é :
D
(GeoJeca)
A
a) 38º
A
b) 27º
c) 18º
d) 19º
e) 71º
z
y
x
B
t
D
C
C
E
B
F
27) Na figura abaixo, sendo AB // DE, determinar a 28) Determinar a medida do ângulo x, sabendo-se que
soma das medidas dos ângulos x, y e z.
(GeoJeca) os triângulos ABE e CDE são isósceles e que o
(GeoJeca)
triângulo BCE é equilátero.
A
B
A
x
y
x
C
E
z
E
D
B
C
D
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geometria plana
21) Na figura abaixo, o quadrado ABCD é cortado por 22) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das
duas retas paralelas, r e s. Com relação aos ângulos medidas dos ângulos x, y, z, t e u.
(GeoJeca)
x e y podemos afirmar que :
(GeoJeca)
a) x = y
y
r
O polígono pode ser
b) x = -y
dividido em 3 triânguz
s
c) x + y = 90º
A
B
los.
x
x
x
d) x - y = 90º
y
S = 3 . 180 = 540
e) x + y = 180º
x + y + z + t + u = 540º
(resp)
y
r // s // t
x + y = 90º
(resp)
C
D
t
t
u
23) Na figura abaixo, calcule o ângulo x, sendo y o triplo 24) (FUVEST-SP) No retângulo abaixo, qual o valor
de z e t o sêxtuplo de z.
(GeoJeca)
(GeoJeca) em graus de x + y ?
180 - z
100º
80º
180 - 3z
x
90 - x + 40 + 90 - y = 90
t = 6.z
u
x
y = 3.z
y
90
x
90 - y
40º
100 + 180 - z + 180 - 3z = 360
4.z = 100
z = 25º
t = 150º
u = 30º
z
x + y = 130º (resp)
x + u + 100 = 180
x = 50º (resp)
25) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo Â, 26) Na figura abaixo, o ângulo EAB mede 38º, ABCD
demonstre que vale a relação z - y = x - t.
(GeoJeca) é um retângulo e AB é congruente a AE. A medida do
ângulo CBF é :
D
(GeoJeca)
A
a) 38º
A
b) 27º
a a
c) 18º
38º
d) 19º
e) 71º
B
z
y
x
t
D
a = 180 - x - y
a = 180 - z - t
Portanto 180 - x - y = 180 - z - t
Então z - y = x - t (CQD)
C
y + y + 38 = 180
y = 71º
y
y + 90 + x = 180
x = 180 - 90 - 71
x = 19º (resp)
y
E
x
C
B
F
27) Na figura abaixo, sendo AB // DE, determinar a 28) Determinar a medida do ângulo x, sabendo-se que
soma das medidas dos ângulos x, y e z.
(GeoJeca) os triângulos ABE e CDE são isósceles e que o
(GeoJeca)
triângulo BCE é equilátero.
B
A
b
E
x
C
90º
z
D
x
a + b = 180º (ângulos colaterais internos
a + b + x + y + z = 540º
x + y + z = 540 - 180
x + y + z = 360º (resp)
B
=
60º
x + x + 90 = 180
E
2x = 90
60º 30º
=
60º
x = 45º (resp)
12
0º
C
30º
=
y
=
x
a
=
A
D
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geometria plana
29) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 30) Na figura abaixo, determine a soma das medidas
dos ângulos x, y, z, t, u e v.
dos ângulos x, y, z e t.
x
r
v
y
x
y
u
r // s
z
s
t
t
z
31) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 32) Um retângulo de papel é dobrado de forma que o
vértice D pertença ao lado BC, conforme a figura.
dos ângulos x, y, z e t.
Sendo EF a dobra feita, calcule a medida do ângulo x,
y
conhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado.
A’
z
x
140º
E
A
t
B
D’
x
D
F
C
33) Na figura, AM = AN, x > y e as reta MN e BC 34) Na figura abaixo, os ângulos ABC, ACB e CAB’
medem respectivamente 30º, 80º e 30º. Sendo AD uma
interceptam-se em P. Mostre que o ângulo MPB é
dobra de tal forma que o lado AB’ é simétrico do lado AB
A
em relação a AD, determine a medida do ângulo ADB.
igual a x - y .
2
A
N
M
x
P
y
C
B
B
C
D
B’
35) Na figura, sendo AB congruente a AC, AE
congruente a AD, calcule a medida do ângulo CDE,
sabendo-se que BAD = 48º.
A
E
B
D
C
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geometria plana
29) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 30) Na figura abaixo, determine a soma das medidas
dos ângulos x, y, z, t, u e v.
dos ângulos x, y, z e t.
x
r
v
x
x+y
y
y
u
r // s // u
t
x
u+v
z
z+t
soma dos ângulos externos
x + y + z + t + u + v = 360º
(resp)
u
s
t
t
x + y + z + t = 180º (resp)
z
31) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 32) Um retângulo de papel é dobrado de forma que o
vértice D pertença ao lado BC, conforme a figura.
dos ângulos x, y, z e t.
Sendo
EF a dobra feita, calcule a medida do ângulo x,
y
y-a
conhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado.
a
A’
x + x + 50 = 180
x = 65º (resp)
z
b
x
t
140º
E
A
B
40º
50º
t-b
D’
40º
x+y+z+t=x+y-a+a+t-b+b+z
x + y + z + t = (x + y - a + t - b) + (z + a + b)
x
x
x + y + z + t = 360 + 180 = 540 (resp)
D
50º
C
F
33) Na figura, AM = AN, x > y e as reta MN e BC 34) Na figura abaixo, os ângulos ABC, ACB e CAB’
medem respectivamente 30º, 80º e 30º. Sendo AD uma
interceptam-se em P. Mostre que o ângulo MPB é
dobra de tal forma que o lado AB’ é simétrico do lado AB
A
em relação a AD, determine a medida do ângulo ADB.
igual a x - y .
2
q
A
q + a + a = 180
q + x + y = 180
Então 2a = x + y
M
a=x-z
2a = 2x - 2z
P
2a = x + y
2x - 2z = x + y
2z = x - y
30 + 80 + 30 + 2y = 180
=
=
a
a
a
N
y = 20º
y
30º
30 + x + y = 180
x
z
y
a
30 + x + 20 = 180
y
C
B
x = 130º (resp)
B
30º
x
D
80º
x
C
30º
z = (x - y)/2 (CQD)
B’
35) Na figura, sendo AB congruente a AC, AE
congruente a AD, calcule a medida do ângulo CDE,
sabendo-se que BAD = 48º.
A
x + y + x é ângulo externo
do triângulo ABD
48º
x + y + x = y + 48
x+
y
B
x+
y
D
x
2x = 48
y
E
x = 24º
(resp)
y
C
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28
geometria plana
Respostas dos exercícios da Aula 01
01)
a) 176º 19' 21"
c) 28º 45' 16"
e) 273º 35' 36"
g) 31º 24' 56"
i) 25º 02' 34"
b) 124º 05' 04"
d) 46º 47' 48"
f) 214º 11' 36"
h) 39º 24' 57"
j) 06º 55' 23"
02) 60º
03) 117º
04) 72º
05) 60º e 120º
06) 17º e 107º
07) 225º / 7
08)
a) 41º
f) 36º
k) 113º
b) 64º
g) 62º
l) 53º
c) 14º
h) 33º
d) 14º
i ) 75º
e) 47º
j) 34º
09) 270º
10) 240º
11) 210º
12) 180º
13) 2m
14) c
15) 70º, 80º e 30º
16) 25º
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
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geometria plana
Respostas dos exercícios complementares da Aula 01
01)
a) 43º
f) 46º
k) 55º
p) 119º
u) 104º
b) 123º
g) 55º
l) 130º
q) 133º
v) 46º
02)
a) 48º
f) 111º
k) 90º
p) 68º
u) 120º
b) 51º
g) 42º
l) 43º
q) 30º
v) 60º
c) 107º
h) 55º
m) 43º
r) 10º/3
x) 123º
d) 107º
i) 30º
n) 122º
s) 71º
z) 108º
e) 49º
j) 49º
o) 39º
t) 96º
c) 29º
d) 112º
e) 18º
h) 70º
i) 40º/3
j) 45º
m) 14º n) 180º/7 o) 20º
r) 15º
s) 75º
t) 60º
x) 150º z) 116º
21) c
22) 540º
23) 50º
24) 130º
25) demonstração
26) d
27) 360º
03) 143º, 37º e 143º
28) 45º
04) 36º, 18º e 144º
29) 360º
05) 20º, 60º, 80º e 60º
30) 180º
06) 100º
31) 540º
07) 33º
32) 65º
08) 19º
33) demonstração
09) 22º, 44º e 110º
34) 130º
10) 50º, 60º e 70º
35) 24º
11) 70º
12) 270º
13) 10º
14) 36º
15) x = 8y
16) y = 3x
17) demonstração
18) 40º
19) demonstração
20) x = y - z
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
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geometria plana
Geometria plana
Aula 02
Pontos notáveis de um triângulo.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Segmentos notáveis do triângulo.
Mediana - É o segmento que une o vértice ao ponto
médio do lado oposto.
mediana
altura
Mediatriz - É a reta perpendicular ao lado do triângulo
pelo seu ponto médio.
mediatriz
Bissetriz - É a semi-reta de origem no vértice que
divide o ângulo em dois ângulos congruentes.
Altura - É a distância entre o vértice e a reta suporte
do lado oposto.
M
bissetriz
ponto médio
Pontos notáveis do triângulo
B - baricentro
I - incentro
C - circuncentro
O - ortocentro
Todo triângulo tem:
3 medianas
3 bissetrizes
3 mediatrizes
3 alturas
Baricentro (G).
É o ponto de encontro das 3 medianas do triângulo.
Incentro (I).
É o ponto de encontro das 3 bissetrizes do triângulo.
Propriedade.
Propriedade.
O baricentro divide cada mediana em 2 segmentos.
O incentro é o centro da circunferência inscrita (interO segmento que contém o vértice é o dobro do segmen- na) no triângulo.
to que contém o ponto médio do lado oposto.
O incentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3
(razão 2 : 1)
lados do triângulo.
Observação - As três medianas dividem o triângulo
original em seis triângulos de mesma área.
A
2x
S
P
S
G
S
Área de cada triângulo
N
AG = 2.GM
BG = 2.GN
CG = 2.GP
g
g
I
b
S
S
x
S
B
S
r
a
a
r - raio da circunferência inscrita.
C
M
b
Circuncentro (C).
É o ponto de encontro das 3 mediatrizes do triângulo.
Ortocentro (O).
É o ponto de encontro das 3 alturas do triângulo.
Propriedade.
O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita (externa) ao triângulo.
O circuncentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3
vértices do triângulo.
Propriedade.
Não tem.
mediatriz
A
A
hA
hB
O
B
h
B
hA
C
B
ponto médio
hC
R
R - raio da circunferência
circunscrita.
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C
hC
A
C
hA
hB
O
O
ortocentro
B
hC
C
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31
geometria plana
3) Num triângulo isósceles, os quatro
pontos notáveis (BICO: baricentro,
1) O baricentro e o incentro sempre incentro, circuncentro e ortocentro)
estão localizados no interior do estão alinhados.
mediana
triângulo.
mediatriz
Observações.
2) O circuncentro e o ortocentro
podem estar localizados no exterior
do triângulo.
bissetriz
altura
mediatriz
4) No triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice do ângulo reto e o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa.
ortocentro
circuncentro
C
mediana
G
bissetriz
R
I
R
C
hipotenusa
O
altura
Triângulo eqüilátero.
(importante)
Em todo triângulo eqüilátero, os
quatro pontos notáveis (baricentro,
incentro, circuncentro e ortocentro)
estão localizados num único ponto.
r
l
BICO
l
r
- lado do triângulo eqüilátero.
r - raio da circunferência inscrita.
R - raio da circunferência circunscrita.
h - altura do triângulo.
R = 2r
e
h = 3r
h
r
r
l
R
l
01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm, determinar :
a) a altura do triângulo.
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo.
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
d) o que o ponto O é do triângulo.
l
l
O
R
h
r
l
02) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está 03) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está
inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BAO inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BOC
mede 33º e que o ângulo ABC mede 56º, determine a mede 126º , encontre a medida do ângulo BAC.
medida do ângulo AOC.
A
A
O
B
O
C
B
C
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geometria plana
3) Num triângulo isósceles, os quatro
pontos notáveis (BICO: baricentro,
1) O baricentro e o incentro sempre incentro, circuncentro e ortocentro)
estão localizados no interior do estão alinhados.
mediana
triângulo.
mediatriz
Observações.
2) O circuncentro e o ortocentro
podem estar localizados no exterior
do triângulo.
4) No triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice do ângulo reto e o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa.
ortocentro
bissetriz
altura
mediatriz
circuncentro
C
mediana
G
bissetriz
R
I
R
C
hipotenusa
O
altura
Triângulo eqüilátero.
(importante)
r
Em todo triângulo eqüilátero, os
quatro pontos notáveis (baricentro,
incentro, circuncentro e ortocentro)
estão localizados num único ponto.
l
BICO
R
l
r
r
r
l
- lado do triângulo eqüilátero.
r - raio da circunferência inscrita.
R - raio da circunferência circunscrita.
h - altura do triângulo.
l
a) sen 60º =
3
2
=
h
10
10
h
O
r
60º
b) r = h/3 = 5 3 / 3 cm
h
10
R
l
cm
01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm, determinar :
a) a altura do triângulo.
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo.
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
d) o que o ponto O é do triângulo.
co
=
hip
R = 2r
e
h = 3r
h
l
c) R = 2.r = 10 3 / 3 cm
d) O ponto O é o "BICO"
h = 5 3 cm
Baricentro
Incentro
Circuncentro
Ortocentro
02) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está 03) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está
inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BAO inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BOC
mede 33º e que o ângulo ABC mede 56º, determine a mede 126º , encontre a medida do ângulo BAC.
medida do ângulo AOC.
2y + 66 + 56 = 180
y = 29º
x + 33 + 29 = 180
x = 180 - 62 = 118º
(resp)
a + q + 126 = 180
A
A
a + q = 54º
33º 33º
b b
2a + 2q + 2b = 180
2(a + q) + 2b = 180
O
x
2 . 54 + 2b = 180
28º
B
28º
O
2b = 72º (resp)
y
126º
a
y
C
B
a
q
q
C
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33
geometria plana
04) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :
a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.
b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
c) o lado do triângulo.
l
l
R
h
r
l
05) O triângulo ABC tem lados que medem 6 cm, 8
cm e 10 cm. Determine a distância entre o ortocentro
e o baricentro desse triângulo.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
06) Sendo G e C , respectivamente, o baricentro e
o circuncentro de um triângulo retângulo cujos catetos medem 6 cm e 8 cm, determine a medida do segmento GC.
(GeoJeca)
07) Na figura abaixo, os pontos E, F e G são os pontos
médios dos lados do triângulo ABC. Se AB = 2x,
AC = 2y, BC = 2z, AG = 3w, BE = 3k e FC = 3n,
determine o perímetro do triângulo BDG, em função de
x, y, z, w, k e n.
A
08) Na figura abaixo, F é o ortocentro do triângulo ABC.
Determine a medida do ângulo DFE sabendo que os
ângulos BAC e BCA medem, respectivamente, 58º
e 70º.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
A
E
F
E
F
D
B
G
C
B
D
C
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geometria plana
04) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :
a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.
b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
c) o lado do triângulo.
b) R = 2.r = 2 . 1 = 2 cm
c) sen 60º =
3
2
=
co
=
hip
3
l
l
a) r = h/3 = 3/3 = 1 cm
R
h
r
60º
l
h
l
l
l . 3=6
l = 6 3 /3 = 2
3 cm
05) O triângulo ABC tem lados que medem 6 cm, 8
cm e 10 cm. Determine a distância entre o ortocentro
e o baricentro desse triângulo.
(GeoJeca)
Esse triângulo é retângulo 6 , 8 , 10
(3 , 4 , 5)
Se esse triângulo é retângulo, então BC = 10 cm
Propriedades.
1) Todo triângulo retângulo
pode ser inscrito numa semicircunferência.
C
06) Sendo G e C , respectivamente, o baricentro e
o circuncentro de um triângulo retângulo cujos catetos medem 6 cm e 8 cm, determine a medida do segmento GC.
E
D
E
AC e AB são alturas.
Portanto A é ortocentro
B
A
Pela propriedade 1, tem-se
AD = CD = BD = raio = 5
Propriedades.
1) Todo triângulo retângulo
pode ser inscrito numa semicircunferência.
2) O baricentro divide cada
mediana na razão 2 : 1.
3) Em todo triângulo retângulo o circuncentro é o pontom médio da hipotenusa.
C
2) O baricentro divide cada
mediana na razão 2 : 1.
D
B
A
Pela propriedade 1, tem-se
AD = CD = BD = raio = 5
D é ponto médio de BC.
Portanto AD é uma mediana.
Portanto, se E é o baricentro, então AE = 2 . ED
D é o circuncentro pois é o ponto médio de BC.
Portanto AD é uma mediana.
Portanto, se E é o baricentro, então AE = 2 . ED
Distância entre o ortocentro A e o baricentro E
d = 2 . AD /3 = 2 . 5 /3 = 10/3 cm (resp)
Distância entre o circuncentro D e o baricentro E
d = AD /3 = 5 /3 cm (resp)
07) Na figura abaixo, os pontos E, F e G são os pontos
médios dos lados do triângulo ABC. Se AB = 2x,
AC = 2y, BC = 2z, AG = 3w, BE = 3k e FC = 3n,
determine o perímetro do triângulo BDG, em função de
x, y, z, w, k e n.
A
Per = 2p = z + w + 2k (resp)
x
B
D
w
2k
z
G
E
k
2n
z
(GeoJeca)
Ortocentro - encontro das alturas
y = 52º
2w
n
08) Na figura abaixo, F é o ortocentro do triângulo ABC.
Determine a medida do ângulo DFE sabendo que os
ângulos BAC e BCA medem, respectivamente, 58º
e 70º.
A
y + 58 + 70 = 180
y
x
F
(GeoJeca)
x = 128º (resp)
C
58º
E
y + 90 + x + 90 = 360
y
(GeoJeca)
B
F
x
70º
y
D
C
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geometria plana
09) Na figura abaixo, E é o ortocentro do triângulo
equilátero ABC. Sabendo que CD = k, determine, em
função de k, as medidas dos segmentos CE, ED e
AE.
C
10) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o
mapa da localização faz menção a três grandes árvores
do local. O tesouro foi enterrado no terceiro vértice de
um triângulo, onde o jatobá é o primeiro, a sibipiruna é o
segundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. Como é
possível localizar o tesouro no local ?
Sibipiruna
Peroba
E
A
Jatobá
B
D
2
11) O triângulo ABC da figura tem área 120 cm . 12) No triângulo ABC abaixo, F, D e E são os pontos
Sendo BD = DE = EC e AF = FG = GE, avalie se as médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida do
ângulo BCA, BC = 14 cm e AC = 12 cm, determine:
afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F).
a) a área do triângulo ABC;
A
b) a área do triângulo AFG;
c) a área do quadrilátero BCAG.
F
A
G
B
D
E
C
F
E
G
( ) G é o baricentro do triângulo ABC.
2
( ) A área do triângulo AEC é 40 cm .
B
2
( ) A área do triângulo BFG é 40 cm .
13) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas
casas, sendo que as casas não são colineares e estão
localizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir um
poço de modo que ele fique à mesma distância das
três casas. Supondo que a fazenda é “plana”, com
seus conhecimentos de geometria, que sugestão
poderia dar a eles ? Justifique o seu raciocínio.
C
D
14) A prefeitura de uma cidade mandou colocar, na
praça central, uma estátua em homenagem a Tiradentes. Descubra, na planta a seguir, em que local essa
estátua deve ser colocada, sabendo que ela deverá
ficar a uma mesma distância das três ruas que
determinam a praça.
1
Ru
Ru
a
3
Rua
a2
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geometria plana
09) Na figura abaixo, E é o ortocentro do triângulo
equilátero ABC. Sabendo que CD = k, determine, em
função de k, as medidas dos segmentos CE, ED e
AE.
C
Triângulo equilátero
BICO
A
S
O ortocentro de um triângulo é o ponto de encontro das 3 alturas do triângulo.
hJ
Sibipiruna
ED = CD/3 = k/3
CE = AE = 2.ED = 2k/3
(resp)
E
10) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o
mapa da localização faz menção a três grandes árvores
do local. O tesouro foi enterrado no terceiro vértice de
um triângulo, onde o jatobá é o primeiro, a sibipiruna é o
segundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. Como é
possível localizar o tesouro no local ?
Peroba
P
D
hS
Jatobá
Tesouro
T
J
JS é um lado do triângulo (J e S são vértices)
A altura hS obrigatoriamente passa por S e pelo ortocentro P.
A altura hS obrigatoriamente faz 90º com o lado oposto a S.
A altura hJ passa por P e faz 90º com o lado oposto a J.
O terceiro vértice do triângulo será o ponto de intersecção das
retas ST e JT.
B
2
11) O triângulo ABC da figura tem área 120 cm . 12) No triângulo ABC abaixo, F, D e E são os pontos
Sendo BD = DE = EC e AF = FG = GE, avalie se as médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida do
ângulo BCA, BC = 14 cm e AC = 12 cm, determine:
afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F).
a) a área do triângulo ABC;
A
b) a área do triângulo AFG;
c) a área do quadrilátero BCAG.
80/3 F
Propriedade - Em todo triângulo, as
três medianas dividem o triângulo
original em 6 triângulos menores
de mesma área
A
80/3
G
80/3
40
2
cm
B
40 G
2
cm
D
40
B
D
2
7 cm
G
2
7 cm
2
cm
E
2
F 7 cm
C
E
2
7 cm
2
2
7 cm
7 cm
C
B
D
2
a) SABC = (1/2).a.b.sen a = (1/2) . 14 . 12 . (1/2) = 42 cm
C
( F) G é o baricentro do triângulo ABC.
(AE não é mediana)
2
b) SAFG = SABC / 6 = 42/6 = 7 cm
2
2
( V) A área do triângulo AEC é 40 cm .
c) SBCAG = 4 . 7 = 28 cm
(resp)
2
( F) A área do triângulo BFG é 40 cm .
13) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas
casas, sendo que as casas não são colineares e estão
localizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir um
poço de modo que ele fique à mesma distância das
três casas. Supondo que a fazenda é “plana”, com
seus conhecimentos de geometria, que sugestão
poderia dar a eles ? Justifique o seu raciocínio.
mediatriz
O poço deve ser construído no J
circuncentro do triângulo formado
pelas três casas.
O circuncentro é o ponto de encontro das três mediatrizes do triângulo.
O circuncentro é o ponto do plano
equidistante dos três vértices do triângulo.
E
14) A prefeitura de uma cidade mandou colocar, na
praça central, uma estátua em homenagem a Tiradentes. Descubra, na planta a seguir, em que local essa
estátua deve ser colocada, sabendo que ela deverá
ficar a uma mesma distância das três ruas que
determinam a praça.
P
Rua
R
R
Poço
Ru
a2
r
1
r
3
F
r
Ru
a
A
R
M
A estátua deve ser colocada no incentro do triângulo.
O incentro é o ponto de encontro das três bissetrizes dos ângulos internos do triângulo.
O incentro é o ponto do plano equidistante dos três lados do triângulo.
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geometria plana
Geometria plana
Pontos notáveis de um triângulo.
Exercícios complementares da aula 02.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar :
a) a altura do triângulo;
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo;
d) o que o ponto O é do triângulo.
k
k
O
R
h
r
k
(GeoJeca)
02) Na figura abaixo, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizando o quadriculado, traçar as três medianas, as
três mediatrizes, as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e o ortocentro do
triângulo.
(GeoJeca)
A
I
C
B
03) Na figura, AG e AF, dividem o ângulo BAC em três
ângulos congruentes. Da mesma forma, CD e CE, dividem o ângulo ACB em três ângulos congruentes.
Assinale a alternativa correta.
(GeoJeca)
04) (Unifesp) Numa circunferência de raio R > 0 e
centro O consideram-se, como na figura, os triângulos
equiláteros T1, inscrito, e T2, circunscrito. Determine
a razão entre a altura de T2 e a altura de T1.
A
(GeoJeca)
T2
D
S
R
C
a)
b)
c)
d)
e)
G
P
E
T1
Q
O
F
B
R
P é incentro de algum triângulo construído na figura.
Q é incentro de algum triângulo construído na figura.
R é incentro de algum triângulo construído na figura.
S é incentro de algum triângulo construído na figura.
Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.
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geometria plana
Geometria plana
Pontos notáveis de um triângulo.
Exercícios complementares da aula 02.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar :
a) a altura do triângulo;
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo;
d) o que o ponto O é do triângulo.
a) sen 60º = h/k
Portanto h = k 3 /2
k
k
O
60º
c) R = 2r = k 3 / 3
h
r
k
d)
B - baricentro
I - incentro
C - circuncentro
O - ortocentro
b) r = h/3 = k 3 / 6
R
02) Na figura abaixo, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizando o quadriculado, traçar as três medianas, as
três mediatrizes, as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e o ortocentro do
triângulo.
(GeoJeca)
A
I
G
C
O
C
B
03) Na figura, AG e AF, dividem o ângulo BAC em três
ângulos congruentes. Da mesma forma, CD e CE, dividem o ângulo ACB em três ângulos congruentes.
Assinale a alternativa correta.
(GeoJeca)
A
a a a
S
q
C
a)
b)
c)
d)
e)
q
q
R
G
AR é uma bissetriz
CP é uma bissetriz
S é incentro do D ACQ.
(resp. d)
E
D
P
04) (Unifesp) Numa circunferência de raio R > 0 e
centro O consideram-se, como na figura, os triângulos
equiláteros T1, inscrito, e T2, circunscrito. Determine
a razão entre a altura de T2 e a altura de T1.
h2 = 3R
h1 = 3R/2
h2 / h1 = 3R / 3R/2
R
h2 / h1 = 2 (resp)
Q
T1
F
B
P é incentro de algum triângulo construído na figura.
Q é incentro de algum triângulo construído na figura.
R é incentro de algum triângulo construído na figura.
S é incentro de algum triângulo construído na figura.
Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.
T2
R
O
R
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geometria plana
05) Na figura abaixo, os pontos M, N e P são médios 06) Na figura abaixo, o ponto I é o centro da circunfedos lados a que pertencem. Provar que G é o baricentro rência inscrita no triângulo ABC. Sendo DE paralelo a
BC, AB = 8 cm e AC = 11 cm, determinar o perímetro do
do triângulo ABC e que BG = 2.GN.
triângulo ADE.
A
A
M
G
N
I
D
B
E
C
P
C
B
07) No triângulo ABC da figura, BC = 10 cm e M é o 08) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em C, os
ponto médio de BC. Sabendo que D e E são os pés segmentos AD e DB são congruentes e o ângulo CAD
das alturas BD e CE, determine o valor de EM + DM. mede 65º. Determine a medida do ângulo BDC.
A
C
D
E
B
B
D
A
C
M
RESOLUÇÃO - Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em
uma semi-circunferência.
09) No triângulo ABC abaixo, ABC = 70º e ACB = 40º. 10) No triângulo ABC abaixo, D é ponto médio do laDetermine a medida do ângulo BOC, sabendo-se que o do AC e CE é a bissetriz do ângulo ACB. Determine
a medida do ângulo BFC.
ponto O é o ortocentro do triângulo ABC.
A
A
40º
O
D
E
C
B
B
F
C
11) Na figura abaixo, D é o centro da circunferência 12) (Fuvest) Um triângulo ABC, tem ângulos A = 40º
inscrita no triângulo retângulo ABC. Determine a mee B = 50º. Qual é a medida do ângulo formado pelas
dida do ângulo ADC.
alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo ?
a) 30º
A
b) 45º
c) 60º
d) 90º
e) 120º
D
B
C
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geometria plana
05) Na figura abaixo, os pontos M, N e P são médios 06) Na figura abaixo, o ponto I é o centro da circunfedos lados a que pertencem. Provar que G é o baricentro rência inscrita no triângulo ABC. Sendo DE paralelo a
BC, AB = 8 cm e AC = 11 cm, determinar o perímetro do
do triângulo ABC e que BG = 2.GN.
A
Se M, N e P são pontos mé- triângulo ADE.
A
dios, então AP, BN e CM são
medianas.
Portanto G é baricentro
M
R
B
Seja R o ponto médio
do segmento BG e S o
ponto médio de GC.
MN // BC // RS
MN = RS = BC/2
N
G
S
AB = AD + DB = AD + DI
AD + DI = 8
D
x
C
P
MNSR é um paralelogramo.
BR = RG = GN
Portanto BG = 2.GN (CQD)
B
11 - y
8-x
AC = AE + EC = AE + EI
AE + EI = 11
x
a
y
I
q
E
a
a
q
q
y
C
Per = AD + DI + AE + EI = 8 + 11 = 19 cm (resp)
07) No triângulo ABC da figura, BC = 10 cm e M é o 08) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em C, os
ponto médio de BC. Sabendo que D e E são os pés segmentos AD e DB são congruentes e o ângulo CAD
das alturas BD e CE, determine o valor de EM + DM. mede 65º. Determine a medida do ângulo BDC.
A
E
ME + MD = 10 cm
(resp)
R
65º
R
M
x = 65 + 65
x
R
A
R
x é ângulo externo
R
65º
R
B
C
BM = MC = ME = MD = R = 5
D
D
R
B
x = 130º (resp)
C
RESOLUÇÃO - Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em
uma semi-circunferência.
09) No triângulo ABC abaixo, ABC = 70º e ACB = 40º. 10) No triângulo ABC abaixo, D é ponto médio do laDetermine a medida do ângulo BOC, sabendo-se que o do AC e CE é a bissetriz do ângulo ACB. Determine
a medida do ângulo BFC.
ponto O é o ortocentro do triângulo ABC.
A
y + 70 + 40 = 180
y
x
D
70º
A
y = 70º
E
ADOE é um quadrilátero
a = 25º
40º
y + 90 + x + 90 = 360
O
x
2a + 90 + 40 = 180
x = 360 - 250 = 110º (resp)
40º
B
D
E
C
R
F
40º
x
50º
a + x + 50 = 180
25 + x + 50 = 180
R
a
a
B
x = 105º (resp)
C
11) Na figura abaixo, D é o centro da circunferência 12) (Fuvest) Um triângulo ABC, tem ângulos A = 40º
inscrita no triângulo retângulo ABC. Determine a mee B = 50º. Qual é a medida do ângulo formado pelas
dida do ângulo ADC.
alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo ?
a) 30º
2a + 2q + 90 = 180
A
A
b) 45º
2(a + q) = 180 - 90
c) 60º
aa
a + q = 45º
d) 90º
e) 120º
h
x
D
B
A
q
q
x + a + q = 180
x = 90º (resp d)
x = 135º (resp)
C
x
Num triângulo retângulo, os dois
C
catetos são duas das três alturas do
triângulo.
hB
B
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41
geometria plana
13) Considere o triângulo ABC da figura e assinale a 14) No triângulo ABC da figura abaixo, as medianas
AD e BE são perpendiculares entre si. Sabendo que
afirmativa falsa.
A
BC = 6 e AC = 8, determine a medida de AB.
A
E
D
F
B
a)
b)
c)
d)
e)
E
C
F é o ortocentro do DABC.
A é o ortocentro do DFBC.
Os circuncentros do DBDC e do DBEC coincidem.
BF = 2.FE.
O DABC é acutângulo.
B
C
D
15) Na figura abaixo, o círculo inscrito no triângulo 16) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no
ABC tem área S e os ângulos A e B medem 50º e triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o incentro do
70º, respectivamente. Determine as áreas dos setores triângulo.
A
circulares S1, S2 e S3, em função de S.
12
S3
110º
0º
B
D
130º
S1
B
S2
A
C
C
17) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no
triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o circuncentro do triângulo.
12
A
0º
13
0º
A
18) Na figura, a circunferência de centro O está
inscrita no setor circular de centro A, raio AB = 15 cm e
ângulo central BAC = 60º. Determine o raio da circunferência.
B
O
D
110º
B
C
19) O triângulo ABC da figura é retângulo em A e os
triângulos ABD, BCD e ACD são equivalentes (têm a
mesma área). Sendo BC = 18 cm, determine a medida
do segmento AD.
A
C
20) No triângulo ABC da figura, BAC = 50º. Se P for
o incentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC
é x; no entanto, se P for o ortocentro do triângulo
ABC, a medida do ângulo BPC é y. Determine a
razão entre x e y.
A
A
D
B
C
P
P
B
C
B
C
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42
geometria plana
13) Considere o triângulo ABC da figura e assinale a 14) No triângulo ABC da figura abaixo, as medianas
AD e BE são perpendiculares entre si. Sabendo que
afirmativa falsa.
A
BC = 6 e AC = 8, determine a medida de AB.
A alternativa d) é falsa
pois F não é o baricentro e
BE não é uma mediana.
2
2
(2x) + y = 4
2
D
F
B
a)
b)
c)
d)
e)
Pitágoras
A
E
w
C
F é o ortocentro do DABC.
A é o ortocentro do DFBC.
Os circuncentros do DBDC e do DBEC coincidem.
BF = 2.FE.
O DABC é acutângulo.
2x
2
x + (2y) = 3
2
E
F
B
3
2
2
2
2
2
Portanto
2
2
x +y =5
C
3
D
2
2
5x + 5y = 25
4
x
2
x + 4y = 9
2
x + 4y = 9
y
2y
2
2
2
2
4x + y = 16
4
2
4x + y = 16
2
2
2
2
w = (2x) + (2y) = 4x + 4y = 4(x + y ) = 4 . 5 = 20
w = 20 = 2 5
(resp)
15) Na figura abaixo, o círculo inscrito no triângulo 16) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no
ABC tem área S e os ângulos A e B medem 50º e triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o incentro do
70º, respectivamente. Determine as áreas dos setores triângulo.
A
circulares S1, S2 e S3, em função de S.
a + b = 180 - 120
a + b = 60
B
35º 35º
S3
b
I
a
x
x
C
17) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no
triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o circuncentro do triângulo.
A
A = 55º
B = 65º
0º
12
D
110º
R
30º
35º
B
1
2
0º
13
(resp)
R 25º
D é baricentro
(2 : 1)
B
AE = BE = CE = R
AE = 9 cm
AD = 6 cm (resp)
S
H
S
S
9 cm
S
S
E
9 cm
q
C
0º
12
R
R
15 - R
A
30º
15 - R
O
R
15
C
20) No triângulo ABC da figura, BAC = 50º. Se P for
o incentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC
é x; no entanto, se P for o ortocentro do triângulo
ABC, a medida do ângulo BPC é y. Determine a
razão entre x e y.
a + q = 65º
x = 115º
C
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a
a
50º
y = 130º
25º 25º
x
A
P é ortocentro
(alturas)
A
90º
P
P
B
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=
P é incentro
(bissetrizes)
S
q
co
R
=
hip
15 - R
R = 5 cm (resp)
C
F
D
B
3R = 15
19) O triângulo ABC da figura é retângulo em A e os
triângulos ABD, BCD e ACD são equivalentes (têm a
mesma área). Sendo BC = 18 cm, determine a medida
do segmento AD.
A
Se os triângulos têm
a mesma área, então
AE, BF e CH são medianas.
D
130º
a
a
2r = 15 - R
35º
b
18) Na figura, a circunferência de centro O está
inscrita no setor circular de centro A, raio AB = 15 cm e
ângulo central BAC = 60º. Determine o raio da circunferência.
B
sen 30º =
30º 25º
R
C = 60º
2a + 2b + 2q = 180
2(a + b) + 2q = 180
2q = 60
q = 30º
a = 20º
b = 40º
A = 2b = 80º
B = 2a = 40º
C = 2q = 60º
(resp)
S1
S2 q
b
110º
I é o incentro do triângulo
(ponto de encontro das bissetrizes)
2x + 50 + 70 = 180
x = 30º
a + 35 + 30 = 180
a = 115º
b + 35 + 25 = 180
b = 120º
q = 125º
25º
S1 = 115 S = 23 S
72
360
25º
A
S2 = 125 S = 25 S
72
360
120
S3 =
S = 1 S
3
360
q
q
C
B
y 90º
y
C
x/y = 115/130 = 23/26 (resp)
43
geometria plana
21) Na figura, ABCD é um retângulo, M é ponto mé- 22) (UFMG) Na figura abaixo, AD = BD, ACD = 60º e
dio de AD e o triângulo BMC é equilátero. Determine o ângulo DAC é o dobro do ângulo DBA. Determine a
a medida do segmento PM, sabendo que BC = 12 cm. razão AC / BC.
A
M
A
D
P
B
D
C
C
B
23) No triângulo ABC ao lado, sendo M, N e P pontos
médios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm
e AR = 10 cm, determinar :
a) O que são os segmentos AP, BN e CM para o
triângulo ABC.
b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R.
c) Quais as medidas dos segmentos CR, BR e PR.
24) Na figura ao lado, O é o centro da circunferência
inscrita no triângulo ABC que é retângulo em B. Sendo
m(ACB) = 30º, determinar as medidas dos ângulos a,
b, g e q e dizer o que a semirreta CO significa para o
ângulo ACB.
A
q
A
O
g
N
M
R
B
B
a
C
C
P
25) Na figura abaixo, as retas FD, ED e GD encontram-se no ponto D, e os pontos E, F e G são os
pontos médios dos lados do triângulo ABC. Para o
triângulo ABC, dizer como se denomina o ponto D e o
que é a reta FD.
A
F
E
D
B
b
G
C
26) (UEM-PR) Em um plano a, a mediatriz de um
segmeno de reta AB é a reta r que passa pelo ponto
médio do segmento de reta AB e é perpendicular a
esse segmento. Assinale a alternativa incorreta.
a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distância
de P ao ponto A é igual à distância de P ao ponto
B.
b) A intersecção das mediatrizes de dois lados de um
triângulo qualquer em a é o circuncentro do triângulo.
c) Qualquer ponto do plano a que não pertença à
reta r não equidista dos extremos do segmento AB.
d) As mediatrizes dos lados de um triângulo podem
se interceptar em três pontos distintos.
e) A reta r é a única mediatriz do segmento de reta
AB em a.
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geometria plana
21) Na figura, ABCD é um retângulo, M é ponto mé- 22) (UFMG) Na figura abaixo, AD = BD, ACD = 60º e
dio de AD e o triângulo BMC é equilátero. Determine o ângulo DAC é o dobro do ângulo DBA. Determine a
a medida do segmento PM, sabendo que BC = 12 cm. razão AC / BC.
A
M
A
D
a
4a + 60 = 180
a = 30º
Portanto
B
2a = 60º
O triângulo ADC é isósceles.
AD = DC = BC
AC / BC = 1/2 (resp)
E
C
B
=
a
2a
60º
=
P
D
C
No triângulo ABD, BM é uma mediana.
Como E é ponto médio de BD, AE também
é uma mediana.
P é o baricentro (encontro das medianas)
BC = BM = 12 cm.
PM = BM / 3 = 12 / 3 = 4 cm (resp)
23) No triângulo ABC ao lado, sendo M, N e P pontos
médios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm
e AR = 10 cm, determinar :
a) O que são os segmentos AP, BN e CM para o
triângulo ABC.
b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R.
c) Quais as medidas dos segmentos CR, BR e PR.
A
M
7
12
B
6
R
5
N
A
q
30º
a) medianas
b) baricentro
c) CR = 14 cm
BR = 12 cm
PR = 5 cm
(resp)
10
24) Na figura ao lado, O é o centro da circunferência
inscrita no triângulo ABC que é retângulo em B. Sendo
m(ACB) = 30º, determinar as medidas dos ângulos a,
b, g e q e dizer o que a semirreta CO significa para o
ângulo ACB.
O é o incentro.
Ponto de encontro das bissetrizes.
30º
O
45º
B
b
g
45º
15º
15º a
C
a = 15º
b = 45º
g = 120º
q = 30º
CO é bissetriz
(resp)
14
C
P
25) Na figura abaixo, as retas FD, ED e GD encontram-se no ponto D, e os pontos E, F e G são os
pontos médios dos lados do triângulo ABC. Para o
triângulo ABC, dizer como se denomina o ponto D e o
que é a reta FD.
A
F
E
D
B
G
D é o circuncentro do triângulo.
FD é a mediatriz do lado AB do triângulo. (resp)
C
26) (UEM-PR) Em um plano a, a mediatriz de um
segmeno de reta AB é a reta r que passa pelo ponto
médio do segmento de reta AB e é perpendicular a
esse segmento. Assinale a alternativa incorreta.
a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distância
de P ao ponto A é igual à distância de P ao ponto
B.
b) A intersecção das mediatrizes de dois lados de um
triângulo qualquer em a é o circuncentro do triângulo.
c) Qualquer ponto do plano a que não pertença à
reta r não equidista dos extremos do segmento AB.
d) As mediatrizes dos lados de um triângulo podem
se interceptar em três pontos distintos.
e) A reta r é a única mediatriz do segmento de reta
AB em a.
d é incorreta.
As mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se no
mesmo ponto, que é denominado circuncentro do triângulo.
(resp)
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geometria plana
Respostas dos exercícios da Aula 02.
01)
a) (5 3 ) cm
b) (5 3 / 3) cm
c) (10 3 / 3) cm
d) Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro.
02) 118º
03) 72º
04)
a) 1 cm
b) 2 cm
c) 2 3 cm
05) 10/3 cm
06) 5/3 cm
07) 2k + w + z
08) 128º
09) 2k / 3 , k / 3 e 2k / 3
10)
Sibipiruna
Peroba
O
Jatobá
11) F , V e F
tesouro
12)
2
a) 42 cm
2
b) 7 cm
2
c) 28 cm
13) O poço deve localizar-se no circuncentro do
triângulo cujos vértices são as três casas.
14) A estátua deve ser colocada no incentro do
triângulo formado pelas três ruas.
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
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geometria plana
Respostas dos exercícios complementares da Aula 02.
01)
a) k 3 / 2
b) k 3 / 6
c) k 3 / 3
d) BICO
12) d
02)
15) 23 S / 72,
13) d
14) 2 5
25 S / 72
e
S/3
16) 80º, 40º e 60º
A
17) 55º, 65º e 60º
18) 5 cm
I
G
19) 6 cm
C
20) 23 / 26
O
C
B
21) 4 cm
22) 1 / 2
03) d
04) 2
05)
A
M
B
G
S
N
S é ponto médio de BG
R é ponto médio de CG
MNRS é um paralelogramo
Portando, SG = GN = BS
Razão 2 : 1
23)
a) medianas
b) baricentro
c) 14 cm, 12 cm e 5 cm
24) 15º, 45º, 120º, 30º e bissetriz
25) circuncentro e mediatriz
26) d
R
P
C
06) 19 cm
07) 10 cm
08) 130º
09) 110º
10) 105º
11) 135º
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
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geometria plana
Geometria plana
Aula 03
Congruência de triângulos.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
A
Dois triângulos são congruentes se têm os lados
dois a dois ordenadamente congruentes e os ângulos dois a dois ordenadamente congruentes.
D
DABC
B
C
Casos de congruência.
1) L.A.L.
2) A.L.A.
3)L.L.L.
4) L.A.AO
5) Caso especial (CE)
Onde:
L - lado.
A - ângulo junto ao lado.
AO - ângulo oposto ao lado.
F
A
D
B
E
C
F
AB
DE
AC
DF
BC
EF
DDEF
E
Caso especial (CE).
Observação.
Dois triângulos retângulos são
A posição de cada elemento do
congruentes se têm as hipotenusas triângulo (lado ou ângulo) no desecongruentes e um cateto de um nho é muito importante na caracteritriângulo é congruente a um cateto zação do caso de congruência.
do outro triângulo
L.A.L. - dois lados e o ângulo entre
eles.
A.L.A. - dois ângulos e o lado entre
eles.
01) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e os segmentos AD e CD
são congruentes. Prove que os triângulos ABD e CBD são congruentes.
A
D
B
C
02) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e BD é a bissetriz do ângulo ADC. Prove que os segmentos AB e CB são congruentes.
A
D
B
C
03) Na figura ao lado, os segmentos AB e BC são congruentes e os segmentos AD e CD também. Prove que os ângulos A e C são congruentes.
A
D
B
C
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geometria plana
Geometria plana
Aula 03
Congruência de triângulos.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
A
Dois triângulos são congruentes se têm os lados
dois a dois ordenadamente congruentes e os ângulos dois a dois ordenadamente congruentes.
D
DABC
B
C
F
Casos de congruência.
1) L.A.L.
2) A.L.A.
3)L.L.L.
4) L.A.AO
5) Caso especial (CE)
A
D
B
E
C
F
AB
DE
AC
DF
BC
EF
DDEF
E
Caso especial (CE).
Observação.
Dois triângulos retângulos são
A posição de cada elemento do
congruentes se têm as hipotenusas triângulo (lado ou ângulo) no desecongruentes e um cateto de um nho é muito importante na caracteritriângulo é congruente a um cateto zação do caso de congruência.
do outro triângulo
L.A.L. - dois lados e o ângulo entre
eles.
A.L.A. - dois ângulos e o lado entre
eles.
Onde:
L - lado.
A - ângulo junto ao lado.
AO - ângulo oposto ao lado.
01) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e os segmentos AD e CD
são congruentes. Prove que os triângulos ABD e CBD são congruentes.
=
A = C = 90º (A) dado do exercício
AD CD (L) dado do exercício
BD BD (L) lado comum
A
D
B
Pelo caso especial (HC), tem-se:
DABD DCBD (CQD)
C
02) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e BD é a bissetriz do ângulo ADC. Prove que os segmentos AB e CB são congruentes.
A = C = 90º (A) dado do exercício
ADB CDB (A) BD é bissetriz
BD BD (L) lado comum
Pelo caso L.A.AO , tem-se:
DABD
DCBD
AB
A
D
B
CB (CQD)
C
03) Na figura ao lado, os segmentos AB e BC são congruentes e os segmentos AD e CD também. Prove que os ângulos A e C são congruentes.
AB
AD
BD
=
BC (L) - dado do enunciado
CD (L) - dado do enunciado
BD (L) - lado comum
Pelo caso L.L.L., tem-se:
D ABD D CBD
A
C
A
D
B
(CQD)
C
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geometria plana
04) (importante) Na figura abaixo, AB é uma corda da circunferência de centro C. Provar que se o raio CD é
perpendicular à corda AB, então M é ponto médio de AB.
A
C
M
D
B
05) (Importante) Provar que em todo triângulo isósceles a altura relativa à base também é bissetriz, mediana e
mediatriz.
A
B
C
H
06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio,
provar que qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das extremidades A e B do segmento.
P
A
B
M
mediatriz
07) Dadas as retas r e s, e os pontos O, M e P, tal que M seja ponto médio do segmento OP, determine os
pontos, A pertencente a r, e B pertencente a s, de modo que o ponto M também seja ponto médio do
segmento AB.
r
O
M
P
s
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geometria plana
04) (importante) Na figura abaixo, AB é uma corda da circunferência de centro C. Provar que se o raio CD é
perpendicular à corda AB, então M é ponto médio de AB.
BC = AC = R (L) raio
BMC AMC = 90º (A) perpendicular
CM CM (L) lado comum
Pelo caso especial, tem-se
DBMC
DAMC
Portanto BM AM.
Então M é ponto médio de AB. (CQD)
A
C
M
D
B
05) (Importante) Provar que em todo triângulo isósceles a altura relativa à base também é bissetriz, mediana e
mediatriz.
A
AB AC (L) - triângulo isósceles
AH AH (L) - lado comum
BHA CHA = 90º (A) - AH é altura
Pelo caso especial, tem-se
D ABH D ACH
a) Se D ABH D ACH, então
BH CH
Portanto H é ponto médio
Então AH é mediana
B
C
H
b) Se D ABH D ACH, então
BAH CAH
Portanto AH é bissetriz
c) Se H é ponto médio e
AHB = 90º , então AH é mediatriz de BC.
Observação
Ao provar que os triângulos ABH e ACH são congruentes, prova-se também que em todo triângulo isósceles os
ângulos da base são congruentes. (B C)
06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio,
provar que qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das extremidades A e B do segmento.
P
AMP BMP (A) - da definição de mediatriz
AM MB )L) - da definição de mediatriz
MP MP (L) - lado comum
Pelo caso L.A.L., tem-se
D BMP
AP
D AMP
A
BP (CQD)
B
M
mediatriz
07) Dadas as retas r e s, e os pontos O, M e P, tal que M seja ponto médio do segmento OP, determine os
pontos, A pertencente a r, e B pertencente a s, de modo que o ponto M também seja ponto médio do
segmento AB.
Seja t // r (por construção)
r
t
A
O
M
Pelo caso L.A.AO , tem-se
D OAM
D PBM
Portanto AM MB
Então M é ponto médio de AB (CQD)
P
B
OM MP (L) - dado do enunciado
PBM OAM (A) - ângulos alternos internos
AMO BMP (A) - ângulos opostos pelo vértice
s
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geometria plana
08) Na figura abaixo, os segmentos AE e DE são
congruentes. Sabendo-se que o triângulo BCE é
isósceles de base BC, prove que os segmentos AB e
DC são congruentes.
A
09) (UFMG) Observe a figura:
r
A
D
P
B
E
O
q
R
B
s
C
C
Nessa figura, os segmentos AB e BC são perpendiculares, respectivamente, às retas r e s. Além
disso, AP = PB, BR = CR e a medida do ângulo POR
é q. Determine, em função de q, a medida do ângulo
interno AOC do quadrilátero AOCB.
10) Na figura, ABCD é um paralelogramo e os
segmentos AE e CF são congruentes. Prove que os
segmentos DE e FB são congruentes e paralelos
entre si.
A
E
11) Na figura abaixo, o quadrado EFGH está inscrito
no quadrado ABCD. Prove que os triângulos AEH,
BFE, CGF e GDH são congruentes entre si.
A
E
B
B
F
D
F
H
C
D
C
G
12) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e os 13) Provar que se ABCD é um paralelogramo e AC e
segmentos AE e CF são perpendiculares ao BD são as diagonais, então o ponto de intersecção das
segmento BD. Prove que os segmentos DE e BF diagonais é o ponto médio da diagonal AC.
são congruentes entre si.
A
A
B
F
E
D
E
D
B
C
C
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52
geometria plana
08) Na figura abaixo, os segmentos AE e DE são
congruentes. Sabendo-se que o triângulo BCE é
isósceles de base BC, prove que os segmentos AB e
DC são congruentes.
A
09) (UFMG) Observe a figura:
r
AP = PB (L) P é médio
APO = BPO = 90º (A) dado
do exercício
PO = PO (L) lado comum
Pelo caso L.A.L. , tem-se
DAPO = DBPO
A
D
P
a
E
O
AE DE
BE EC
Se AC = AE + EC
B
DB = DE + EB
Pode-se concluir que
AC BD (L) - conclusão acima apresentada
EBC ECB (A) - o triângulo BEC é isósceles
BC BC (L) - lado comum
Pelo caso L.A.L. , tem-se
D CBD
AB
D ABC
Analogamente, tem-se
DCRO = DBRO
b
se q = a + b
então 2a + 2b = 2q
s
(resp)
R
C
C
Nessa figura, os segmentos AB e BC são perpendiculares, respectivamente, às retas r e s. Além
disso, AP = PB, BR = CR e a medida do ângulo POR
é q. Determine, em função de q, a medida do ângulo
interno AOC do quadrilátero AOCB.
DC (CQD)
10) Na figura, ABCD é um paralelogramo e os
segmentos AE e CF são congruentes. Prove que os
segmentos DE e FB são congruentes e paralelos
entre si.
A
B
a
q b
E
11) Na figura abaixo, o quadrado EFGH está inscrito
no quadrado ABCD. Prove que os triângulos AEH,
BFE, CGF e GDH são congruentes entre si.
E
A
B
90
-a
a
B
90
-a
a
D
F
H
C
AE CF (L) - dado do enunciado
A C (A) - ABCD é um paralelogramo
AD BC (L) - ABCD é um paralelogramo
Pelo caso L.A.L. , tem-se
Portanto DE BF
D ADE
F
a
D
G
HE EF (L) - EFGH é um quadrado
AHE BEF (A) - Propriedade dos triângulos
AEH BFE (A) - Propriedade dos triângulos
D BCF
C
Pelo caso A.L.A. , tem-se
D BFE
Se AED CFB , então DEB BFD
Portanto DEBF também é um paralelogramo
Então DE é paralelo a BF (CQD)
D AHE
Analogamente, tem-se
(CQD)
DAEH
D BFE
D FCG
D GDH
12) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e os 13) Provar que se ABCD é um paralelogramo e AC e
segmentos AE e CF são perpendiculares ao BD são as diagonais, então o ponto de intersecção das
segmento BD. Prove que os segmentos DE e BF diagonais é o ponto médio da diagonal AC.
são congruentes entre si.
A
A
B
F
E
D
E
D
AED CFB = 90º (A) - dado do enunciado
ADE CBF (A) - ângulos alternos internos
AD BC (L) - ABCD é um retângulo
C
D BCF
DE
C
AD BC (L) - ABCD é um paralelogramo
ADB CBD (A) - ângulos alternos internos
AED BEC (A) - ângulos opostos pelo vértice
Pelo caso L.A.AO. , tem-se
Pelo caso L.A.AO. , tem-se
D ADE
B
D ADE D BCD
Portanto, AE EC , então o ponto E é médio de AC
e DE EB , então E o ponto E é médio de DB (CQD)
BF (CQD)
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geometria plana
Teorema do ponto exterior.
Consequência do Teorema do ponto exterior.
Em todo quadrilátero circunscrito numa circunferênDada uma circunferência l e um ponto P, P
exterior a l, se A e B são os pontos de tangência cia a soma das medidas dos lados opostos é
constante.
A
das retas tangentes a l por P, então PA = PB.
B
A
P
l
l
D
PA = PB
B
C
AB + CD = AD + BC
14) Prove o Teorema do ponto exterior.
15) Na figura abaixo, a circunferência está inscrita no
triângulo ABC, AB = 10, AC = 12 e BC = 14. Determine a medida do segmento CT.
A
P
l
A
S
R
B
B
C
T
16) Na figura abaixo, A, B e D são pontos de tangên- 17) Determine o valor de x na figura abaixo, sabendocia. Determinar o perímetro do triângulo CEP, sabendo se que AB = 2x + 2, CD = 4x - 3, AD = 3x - 2 e
que a distância PB mede 17 cm.
BC = 3x + 1.
A
A
C
B
P
l
D
D
C
E
B
18) Determinar a medida da base média de um trapézio isósceles sabendo-se que os lados não paralelos
desse trapézio medem 15 cm cada.
A
D
19) Determine a medida do raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo cujos lados medem 8 cm,
15 cm e 17 cm.
B
C
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geometria plana
Teorema do ponto exterior.
Consequência do Teorema do ponto exterior.
Em todo quadrilátero circunscrito numa circunferênDada uma circunferência l e um ponto P, P
exterior a l, se A e B são os pontos de tangência cia a soma das medidas dos lados opostos é
constante.
A
das retas tangentes a l por P, então PA = PB.
B
A
P
l
l
D
PA = PB
B
C
AB + CD = AD + BC
14) Prove o Teorema do ponto exterior.
15) Na figura abaixo, a circunferência está inscrita no
triângulo ABC, AB = 10, AC = 12 e BC = 14. Determine a medida do segmento CT.
A
P
l
A
14 - x + 12 - x = 10
2x = 16
x=8
CT = x = 8 (resp)
AC = BC = R (L) raio
CAP = CBP = 90º (A) tangente
CP = CP (L) lado comum
Pelo caso especial, tem-se
DACP = DBCP
Portanto PA = PB (CQD)
12
S
R
x
-x
B
10
14
Teorema do ponto exterior
12
-
x
C
B
C
x
T
14 - x
14
16) Na figura abaixo, A, B e D são pontos de tangên- 17) Determine o valor de x na figura abaixo, sabendocia. Determinar o perímetro do triângulo CEP, sabendo se que AB = 2x + 2, CD = 4x - 3, AD = 3x - 2 e
que a distância PB mede 17 cm.
BC = 3x + 1.
A
x
C
l
A
17 cm
P
AB + CD = AD + BC
2x + 2 + 4x - 3 = 3x - 2 + 3x + 1
Teorema do
ponto exterior
6x - 1 = 6x - 1
Para qualquer x real
x
D
y
B
y E
AP = BP = 17
AP = AC + CP = DC + CP = 17
BP = BE + EP = DE + EP = 17
B
D
Analisando a condição de existência
4x - 3 = 0
Então x > 3/4
S = {x R | x > 3/4} (resp)
C
Per = 2p = DC + CP + DE + EP = 17 + 17 = 34 cm
(resp)
18) Determinar a medida da base média de um trapézio isósceles sabendo-se que os lados não paralelos
desse trapézio medem 15 cm cada.
x
B
17
15
M
R
5-
1
N
Teorema do
ponto exterior
15 -
x
Teorema do
ponto exterior
x
x
A
19) Determine a medida do raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo cujos lados medem 8 cm,
15 cm e 17 cm.
Base média de trapézio
D
15 - x
MN = AB + CD = x + x + 15 - x + 15 - x
2
2
MN = 30 = 15 cm (resp)
2
15 - x
C
15 - R
8-
R
8-R
R
R
R
R
15 - R + 8 - R = 17
2R = 6
R = 3 cm (resp)
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geometria plana
Geometria plana
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
Congruência de triângulos.
Exercícios complementares da aula 03.
(São João da Boa Vista - SP)
01) Na figura abaixo, M é ponto médio de AC e de BD. Provar que o triângulo ABM é congruente ao triângulo
CDM.
A
D
M
B
C
02) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento AC e os ângulos A e C são congruentes. Provar que M
também é ponto médio do segmento BD.
A
D
M
B
C
03) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento BD e os ângulos A e C são congruentes. Provar que os
segmentos AB e CD são congruentes.
A
D
M
B
C
04) Na figura abaixo, M é ponto médio dos segmentos AC e BD. Provar que as retas AB e CD são paralelas.
A
D
M
B
C
05) Na figura abaixo, AB é bissetriz do ângulo CAD e os ângulos ACB e ADB são congruentes. Prove que os
segmentos AC e AD são congruentes.
C
A
B
D
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geometria plana
Geometria plana
Congruência de triângulos.
Exercícios complementares da aula 03.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Na figura abaixo, M é ponto médio de AC e de BD. Provar que o triângulo ABM é congruente ao triângulo
CDM.
A
D
M
B
AM
MC (L) M é ponto médio
BM
MD (L) M é ponto médio
AMB
CMD (A) OPV
Pelo caso L.A.L. , tem-se
D ABM D CDM (CQD)
C
02) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento AC e os ângulos A e C são congruentes. Provar que M
também é ponto médio do segmento BD.
A
D
M
B
AM
MC (L) - dado do enunciado
A C (A) - dado do enunciado
AMB
CMD (A) - ângulos opostos pelo vértice
Pelo caso A.L.A. , tem-se
D ABM D CDM
BM
MD
Portanto M é ponto médio de BD (CQD)
C
03) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento BD e os ângulos A e C são congruentes. Provar que os
segmentos AB e CD são congruentes.
A
D
M
B
BM
MD (L) - dado do enunciado
A C (A) - dado do enunciado
AMB
CMD (A) - ângulos opostos pelo vértice
Pelo caso L.A.AO. , tem-se
D ABM
C
D CDM
AB
CD (CQD)
04) Na figura abaixo, M é ponto médio dos segmentos AC e BD. Provar que as retas AB e CD são paralelas.
A
D
M
B
AM
MC (L) - M é ponto médio de AC
BM
MD (L) - M é ponto médio de BD
AMB
CMD (A) - ângulos opostos pelo vértice
Pelo caso L.A.L. , tem-se
D ABM D CDM
B
D
Se B e D são ângulos alternos internos, então AB // CD (CQD)
C
05) Na figura abaixo, AB é bissetriz do ângulo CAD e os ângulos ACB e ADB são congruentes. Prove que os
segmentos AC e AD são congruentes.
C
CAB
DAB (A) - AB é bissetriz
ACB ADB (A) - dado do enunciado
AB AB (L) - lado comum
A
B
Pelo caso L.A.AO. , tem-se
D ABC
D
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D ABD
AC
AD (CQD)
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geometria plana
06) Na figura abaixo, AC
FD e BD
CE. Provar que o triângulo DCG é isósceles.
F
A
G
B
D
C
E
07) Na figura abaixo, ADE é um triângulo isósceles de base DE. Sabendo-se que BD
também é um triângulo isósceles.
CE, provar que ABC
A
B
E
D
C
08) Na figura abaixo, DAC
tes.
BAE, ADE
ABC e AD
AB. Provar que os triângulos ABC e ADE são congruen-
C
D
A
B
E
09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo eqüilátero e os pontos D, E e F pertencem aos lados AB, BC e AC,
respectivamente. Sabendo-se que os segmentos AF, BD e CE são congruentes, provar que o triângulo DEF é
eqüilátero.
A
F
D
B
E
C
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geometria plana
06) Na figura abaixo, AC
FD e BD
CE. Provar que o triângulo DCG é isósceles.
F
A
BD = CE do enunciado
Portanto BD + DC = CE + DC
BC = ED (L) conclusão acima
AC = FD (L) do enunciado
B = E = 90º (A) da figura
G
B
D
C
Pelo caso especial, tem-se
DABC = DFED
Os ângulos ACB e EDF são congruentes
Então o triângulo DCG é isósceles (CQD)
E
07) Na figura abaixo, ADE é um triângulo isósceles de base DE. Sabendo-se que BD
também é um triângulo isósceles.
CE, provar que ABC
A
AD AE (L) - triângulo isósceles
BD CE (L) - dado do enunciado
BDA CEA (A) - o triângulo ADE é isósceles
Pelo caso L.A.L. , tem-se
D ACE
AB AC
Portanto o triângulo ABC é isósceles (CQD)
D ABD
B
E
D
C
08) Na figura abaixo, DAC
tes.
BAE, ADE
ABC e AD
AB. Provar que os triângulos ABC e ADE são congruen-
C
D
DAC
A
BAE
BAC
DAE (Têm o mesmo incremento DAB)
BAC DAE (A) - Resultado da análise acima
ABC ADE (A) - dado do enunciado
AB AD - dado do enunciado
B
Pelo caso A.L.A. , tem-se
D ABC D ADE (CQD)
E
09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo eqüilátero e os pontos D, E e F pertencem aos lados AB, BC e AC,
respectivamente. Sabendo-se que os segmentos AF, BD e CE são congruentes, provar que o triângulo DEF é
eqüilátero.
Se AF
A
F
CE
BD , então AD
CF
BE = (AC - AF)
AF BD CE (L) - dado do enunciado
AD CF BE (L) - Resultado da análise acima
A B C = 60º (A) - o triângulo ABC é equilátero
Pelo caso L.A.L. , tem-se
D CEF D BDE
FE ED DF
Portanto o triângulo DEF é equilátero (CQD)
D AFD
D
B
E
C
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geometria plana
10) Provar que em todo losango as diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos
desse losango.
B
k
k
M
A
C
k
k
D
11) Na figura, ABCD e EFGH são quadrados. O centro do quadrado ABCD localiza-se no vértice E do
outro quadrado. Prove que os triângulos EJL e EKM são congruentes.
A
B
F
L
E
J
G
D
K
C
M
H
12) Provar que em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado
e vale a metade desse terceiro lado.
A
E
D
B
C
13) Provar que em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos é paralelo às
bases e vale a semi-soma dessas bases.
A
E
D
B
F
C
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geometria plana
10) Provar que em todo losango as diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos
desse losango.
B
k
k
M
A
C
k
k
D
Nos triângulos ABM e ADM, tem-se
AB AD (L) losango
AM AM (L) lado comum
BM MD (L) o losango é um paralelogramo
Pelo caso L.L.L. , tem-se
D ABM
D ADM
Se os ângulos BAM e DAM são congruentes, então AM é bissetriz.
Se AMB AMD e BMD = 180º, então AMB = AMD = 90º (CQD)
11) Na figura, ABCD e EFGH são quadrados. O centro do quadrado ABCD localiza-se no vértice E do
outro quadrado. Prove que os triângulos EJL e EKM são congruentes.
A
B
F
L
a
E
LEJ MEK (A) - propriedade dos triângulos
EJ EK (l) - dado do enunciado
EJL EKM = 90º (A) - dado da figura
Pelo caso A.L.A. , tem-se
D EJL D EKM (CQD)
J
90 - a
a
D
K
G
C
M
H
12) Provar que em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado
e vale a metade desse terceiro lado.
Seja FC // AB
A
Sejam D, E e F pontos colineares
F
E
D
AE EC (L) - E é ponto médio de AC
ADE CFE (A) - ângulos alternos internos
AED CEF (A) - ângulos opostos pelo vértice
Pelo caso A.L.AO. , tem-se
D ADE
B
D CFE
CF
AD e DE
EF
Mas, AD DB porque D é ponto médio.
Então AD BD CF
Se CF BD e CF // BD , então BCFD é um paralelogramo.
C
BC
DF e DE
EF , entãoDE // BC e DE = BC / 2 (CQD)
13) Provar que em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos é paralelo às
bases e vale a semi-soma dessas bases.
A
E
B
BF FC (L) - F é ponto médio de BC
ABF GCF (A) - ângulos alternos internos
AFB CFG (A) - ângulos opostos pelo vértice
F
Pelo caso A.L.A. , tem-se
D GCF
AB
D ABF
D
C
G
CG e AF
FC (F é ponto médio de BC).
Então EF é base média do triângulo ADG.
Portanto, pela propriedade da base média do triângulo (exercício anterior)
tem-se
(CQD)
EF // DC // AB e EF = DC + CG = AB + DC
2
2
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geometria plana
Respostas dos exercícios da Aula 03.
Observação - Dependendo dos dados, um exercício
pode ser provado por mais de um caso de
congruência. Levando em conta essa possibilidade
nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi
considerado o caso de congruência mais evidente.
07)
Resolução
OM = MP (L) - por hipótese
OMA = PMB (A) - OPV
01) Caso especial (CE)
02) L.A.AO.
Seja BP // OA
r
A
O
AOM = BPM (A) - alternos
internos
P
M
Pelo caso A.L.A., temos
DOAM = DPBM
03) L.L.L.
B
04) Caso especial
Portanto AM = MB
CQD
s
05) É possível provar por vários casos.
06) L.A.L.
07) Demonstração ao lado.
08) L.A.L.
09) Pelo caso L.A.L. prova-se que os triângulos
APO e BPO são congruentes.
Pelo mesmo caso, prova-se que os triângulos
BRO e CRO também são congruentes.
AOP = BOP = a e COR = BOR = b
Portanto AOC = 2q
10) L.A.L.
11) A.L.A.
12) L.A.AO.
13) L.A.AO.
14) Caso especial (Una o ponto P ao centro)
15) 8
16) 34 cm
A
17) S = {
x
R
x>3/4}
18) 15 cm
19) 3 cm
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
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geometria plana
Respostas dos exercícios complementares da Aula 03.
Observação
Dependendo dos dados, um
exercício pode ser provado por mais de um caso de
congruência. Levando em conta essa possibilidade
nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi
considerado o caso de congruência mais evidente.
Demonstração do exercício nº 13.
A
B
F
E
01) LAL
D
02) ALA
C
A
03) LAAO
B
F
E
04) LAL
D
05) LAAO
G
C
AFB
CFG (A) (opostos pelo vértice)
BF
FC (L) (F é ponto médio de BC)
BAF
CGF (A) (alternos internos)
06) Caso especial
07) LAL
Pelo caso LAAO, temos:
e AB
CG
08) ALA
DABF
DCGF
> AF
FG
Considerando apenas o triângulo ADG, temos:
09) LAL
A
10) LLL
11) ALA
F
E
Demonstração do exercício nº 12.
A
A
D
E
D
E
D
B
C
F
DG = DC + CG = DC + AB
Pelo teorema demonstrado no exercício 12, temos:
C
B
EF // AB // CD
Seja CF // AB (por construção)
>
DAE
FCE (alternos internos)
CE (E é ponto médio)
> AE
AED
CEF (opostos pelo vértice)
Pelo caso ALA, temos: DADE
Mas D é ponto médio de AB
Se BD //CF e BD
Mas DE
EF
> CF
e
EF
=
AB + CD
2
(CQD)
>
AD
CF
AD
DB
> BCFD é um paralelogramo
CF
> DF // BC e DF
DCFE
G
C
>
BC
BC
> DE = 2
e
DE // BC
(CQD)
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
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geometria plana
Geometria plana
Aula 04
Quadriláteros notáveis.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
I) Trapézio.
É o quadrilátero que tem
dois lados paralelos.
a + b = 180º
base menor
base maior
A altura de um trapézio é
a distância entre as retas
suporte de suas bases.
b
h
b
a
a
Trapézio
retângulo
II) Paralelogramo.
É o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
A
B
b
b
A
h
D
B
b
a
C
b
B
h
IV) Losango.
É o quadrilátero que tem os lados congruentes.
a
Trapézio
escaleno
III) Retângulo.
É o quadrilátero que tem todos os ângulos internos
congruentes e iguais a 90º.
C
A
a
a
Trapézio
isósceles
AB // CD
e
AD //BC
D
b
AB // CD
e
AD // BC
C
b
V) Quadrado.
É o quadrilátero que tem
os lados congruentes e
todos os ângulos internos
congruentes (90º).
45º
D
Propriedades dos quadriláteros notáveis.
1) Em todo paralelogramo as diagonais cortam-se nos 2) Em todo losango as diagonais são:
respectivos pontos médios.
a) perpendiculares entre si;
b) bissetrizes dos ângulos internos.
A
B
B
M
y
D
A
C
y
x
x
x
x
C
y y
M é ponto médio de AC
e
M é ponto médio de BD.
D
3) Base média de trapézio.
4) Base média de triângulo.
Em todo trapézio, o segmento que une os pontos
Em todo triângulo, o segmento que une os pontos
médios dos dois lados não paralelos, é paralelo às médios de dois lados é paralelo ao 3º lado e vale a
bases e vale a média aritmética dessas bases.
metade desse 3º lado.
A
A
B
MN // AB // CD
e
MN = AB + CD
2
N
M
base média
D
MN // BC
e
MN = BC
2
C
M
N
base média
B
C
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geometria plana
01) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x
e a medida da diagonal BD.
A
A
B
2x
7
cm
cm
B
2x
k
+
1
7
cm
12
02) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x
e a medida da diagonal BD.
D
C
x
+
k
5
D
03) No paralelogramo ABCD abaixo, determinar o
valor de x, o valor de y, a medida da diagonal AC e
a medida da diagonal BD.
C
04) No losango ABCD abaixo, conhecendo-se a
medida do ângulo BDC, determinar as medidas dos
ângulos a, b, c e d.
B
d
B
A
x
a
A
7
3y
D
C
b
c
m
12 c
-4
58º
D
cm
C
05) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon- 06) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero
ABCD. Determinar o perímetro do quadrilátero LMNP ABCD. Provar que LMNP é um paralelogramo.
sabendo-se que AC = 6 cm e BD = 10 cm.
A
A
D
B
D
B
N
M
N
M
P
L
P
L
C
C
07) (Unifesp) Determine a medida do menor ângulo
interno de um paralelogramo sabendo-se que dois
ângulos internos consecutivos desse paralelogramo
estão na razão 1 : 3.
08) (UERJ) Se um polígono tem todos os lados com
medidas iguais, então todos os seus ângulos internos
têm medidas iguais.
Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se
usar como exemplo a figura denominada:
a) triângulo equilátero;
b) losango;
c) trapézio;
d) retângulo;
e) quadrado.
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geometria plana
01) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x
e a medida da diagonal BD.
A
A
B
cm
BD = 2.(4 + 5)
C
BD = 18 (resp.)
"Em todo paralelogramo as diagonais
cortam-se nos respectivos pontos médios."
2x = 12
Portanto x = 6 cm e BD = 24 cm (resp)
x
x
m
12 c
-4
7
3y
D
k
C
d
a
A
BD = 2 . 12
BD = 24 cm
C
5
B
3y = 12
y = 4 cm
AC = 2 . 7
AC = 14 cm
cm
+
04) No losango ABCD abaixo, conhecendo-se a
medida do ângulo BDC, determinar as medidas dos
ângulos a, b, c e d.
x-4=7
x = 11 cm
B
+
D
03) No paralelogramo ABCD abaixo, determinar o
valor de x, o valor de y, a medida da diagonal AC e
a medida da diagonal BD.
A
2x
1
BD = 2.(x + 5)
cm
D
B
k
x = 4 (resp)
7
cm
x + 5 = 2x + 1
2x
7
12
02) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x
e a medida da diagonal BD.
b
c
C
58º
a + 58 + 90 = 180
a = 32º
b = 2a = 64º
c = 90º
d = 2 . 58 = 116º
D
05) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon- 06) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero
ABCD. Determinar o perímetro do quadrilátero LMNP ABCD. Provar que LMNP é um paralelogramo.
A
sabendo-se que AC = 6 cm e BD = 10 cm.
A
P
L
P
L
C
C
LP é a base média do triângulo ABD
MN é a base média do triângulo BCD
Portanto LP = MN = BD/2 = 10/2 = 5 cm
LM é a base média do triângulo ABC
PN é a base média do triângulo ACD
Portanto LM = PN = AC/2 = 6/2 = 3 cm
Per = 2 . 3 + 2 . 5
Per = 16 cm
(resp)
07) (Unifesp) Determine a medida do menor ângulo
interno de um paralelogramo sabendo-se que dois
ângulos internos consecutivos desse paralelogramo
estão na razão 1 : 3.
3x
x
x + 3x = 180º - ângulos colaterais internos
4x = 180
x = 180/4
x = 45º (resp)
N
M
N
M
D
B
D
B
LP é a base média do triângulo ABD.
MN é a base média do triângulo BCD.
Portanto LP // MN e LP = MN = BD/2
LM é a base média do triângulo ABC.
PN é a base média do triângulo ACD.
Portanto LM //PN e LM = PN = AC/2
Portanto LMNP é um paralelogramo (CQD)
08) (UERJ) Se um polígono tem todos os lados com
medidas iguais, então todos os seus ângulos internos
têm medidas iguais.
Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se
usar como exemplo a figura denominada:
a) triângulo equilátero;
b) losango;
c) trapézio;
d) retângulo;
e) quadrado.
b) Losango
O losango tem todos os lados com medidas iguais mas os seus
ângulos internos não necessariamente têm medidas iguais.
Portanto, o losango contraria a afirmação acima. (resp)
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geometria plana
09) No triângulo ABC abaixo, AB = 8 cm, AC = 12 cm e
BC = 10 cm. Sendo D e E pontos médios dos lados
AB e AC, respectivamente, determine a medida do perímetro do trapézio BCED.
A
10) No triângulo ABC abaixo, AB = 16 cm, AC = 14 cm
e BC = 18 cm. Sendo D, E e F os pontos médios dos
lados AB, BC e AC, respectivamente, determinar as
medidas dos segmentos DE, DF e EF.
A
D
E
D
B
C
B
11) No triângulo ABC abaixo, AB = x, AC = y e BC = z.
Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, AC e
BC, respectivamente, determinar o perímetro do quadrilátero BDEF.
A
B
E
E
F
C
D
B
C
E
12) No trapézio ABCD abaixo, a base menor AB mede
8 cm, a base maior CD mede 20 cm e os pontos E e F
são os pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente. Determine a medida da base média EF.
A
D
F
C
F
13) No trapézio retângulo ABCD abaixo, a base menor 14) No trapézio ABCD abaixo, a base média EF mede
AB mede 12 cm e a base maior CD mede 18 cm. Sendo 17 cm e a base maior CD mede 22 cm. Determine a
BC = 10 cm, E e F os pontos médios dos lados AD e BC, medida da base menor AB.
respectivamente, determinar os perímetros dos trapéB
A
zios ABFE e CDEF.
B
A
F
E
F
E
D
C
C
D
15) No trapézio ABCD abaixo, EF = 8 cm e GH = 11 cm. 16) No trapézio ABCD abaixo, AB = 12 cm, CD = 26 cm
Sendo AE = EG = GD e BF = FH = HC, determine as e os pontos E e H são pontos médios dos lados AD e
medidas da base menor AB e da base maior CD.
BC, respectivamente. Determinar as medidas dos segmentos EH, EF, GH e FG.
B
A
B
A
E
G
D
F
E
H
C
D
F
G
H
C
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geometria plana
09) No triângulo ABC abaixo, AB = 8 cm, AC = 12 cm e
BC = 10 cm. Sendo D e E pontos médios dos lados
AB e AC, respectivamente, determine a medida do perímetro do trapézio BCED.
A
BD = AB / 2 = 8 / 2 = 4 cm
EC = AC / 2 = 12 / 2 = 6 cm
DE = BC / 2 = 10 / 2 = 5 cm
E
D
10) No triângulo ABC abaixo, AB = 16 cm, AC = 14 cm
e BC = 18 cm. Sendo D, E e F os pontos médios dos
lados AB, BC e AC, respectivamente, determinar as
medidas dos segmentos DE, DF e EF.
A
Base média de triângulo.
DE = AC/2 = 14/2 = 7 cm
D
F
DF = BC/2 = 18/2 = 9 cm
EF = AB/2 = 16/2 = 8 cm
(resp)
B
C
B
C
E
2p = 4 + 5 + 6 + 10 = 25 cm (resp)
11) No triângulo ABC abaixo, AB = x, AC = y e BC = z.
Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, AC e
BC, respectivamente, determinar o perímetro do quadrilátero BDEF.
A
A
z/2
E
y/2
z/2
C
20 cm
C
z/2
F
EF = AB + CD = 8 + 20
2
2
EF = 14 cm (resp)
F
D
x/2
B
B
EF // AB // CD
2p = x + z (resp)
E
x/2
8
Per = 2p = 2 . (x/2) + 2 . (z/2)
y/2
x/2
D
12) No trapézio ABCD abaixo, a base menor AB mede
8 cm, a base maior CD mede 20 cm e os pontos E e F
são os pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente. Determine a medida da base média EF.
13) No trapézio retângulo ABCD abaixo, a base menor 14) No trapézio ABCD abaixo, a base média EF mede
AB mede 12 cm e a base maior CD mede 18 cm. Sendo 17 cm e a base maior CD mede 22 cm. Determine a
BC = 10 cm, E e F os pontos médios dos lados AD e BC, medida da base menor AB.
respectivamente, determinar os perímetros dos trapéB
x
A
zios ABFE e CDEF.
12
A
Pitágoras
B
2
5
4
F
6
C
18 cm
x + 22
2
x + 22 = 34
17 cm
E
F
x = 12 cm
PerABFE = 12 + 5 + 15 + 4
PerABFE = 36 cm
5
4
12
17 =
2
EF = (12 + 18)/2 = 15 cm
E
D
2
10 = 6 + (AD)
AD = 8 cm
AB = 12 cm (resp)
22 cm
D
C
PerEFCD = 15 + 5 + 18 + 4
PerEFCD = 42 cm
15) No trapézio ABCD abaixo, EF = 8 cm e GH = 11 cm. 16) No trapézio ABCD abaixo, AB = 12 cm, CD = 26 cm
Sendo AE = EG = GD e BF = FH = HC, determine as e os pontos E e H são pontos médios dos lados AD e
medidas da base menor AB e da base maior CD.
BC, respectivamente. Determinar as medidas dos segmentos EH, EF, GH e FG.
B
A
x
8 = x + 11
2
E
G
D
8 cm
11 cm
y
A
EH é base média do trapézio
EH = (AB + CD)/2
EH = (12 + 26)/2 = 19 cm
12 cm B
16 = x + 11
F
x = 5 cm
AB = 5 cm (resp)
H
E
y+8
2
22 = y + 8
11 =
C
D
y = 14
G
F
26 cm
H
EF e GH são bases médias
dos triângulos ABD e ABC.
EF = GH = AB/2 = 12/2
EF = GH = 6 cm
C
FG = EH - EF - GH
FG = 19 - 6 - 6
FG = 7 cm
CD = 14 cm (resp)
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geometria plana
17) Na figura, MNLP é um quadrilátero, C, D, E e F são
os pontos médios dos lados MN, NL, LP e PM. Determine o perímetro do quadrilátero CDEF sabendo-se
que ML = 14 cm e NP = 8 cm.
18) Determine as medidas dos ângulos internos de um
paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos
opostos medem 3x - 18º e 2x + 27º.
M
F
C
P
E
N
D
L
19) No triângulo ABC abaixo, D e E são os pontos
médios dos respectivos lados. Sendo o perímetro do
triângulo DEF igual a 23 cm, determinar :
a) o que é o ponto F para o triângulo ABC.
b) a medida do perímetro do triângulo BCF.
20) No triângulo ABC abaixo, sendo F o baricentro,
AC = x, AB = y, BC = z, CF = t e DF = w, determinar o
perímetro do quadrilátero AEFD.
A
A
D
E
E
D
F
F
B
C
C
B
21) No triângulo ABC abaixo, E e G são os pontos
médios dos respectivos lados. Sendo AB = x, BC = y,
AC = z e GD = k, determinar o perímetro do triângulo
GEC e dizer o que o ponto D é do triângulo ABC.
22) Demonstre que o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos internos consecutivos de um
paralelogramo é um ângulo reto.
A
E
G
D
C
F
B
23) (Fuvest) Em um trapézio isósceles, a medida da altura é igual à da base média. Determine o ângulo que a
diagonal do trapézio forma com uma das bases do trapézio.
A
D
B
C
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geometria plana
17) Na figura, MNLP é um quadrilátero, C, D, E e F são
os pontos médios dos lados MN, NL, LP e PM. Determine o perímetro do quadrilátero CDEF sabendo-se
que ML = 14 cm e NP = 8 cm.
18) Determine as medidas dos ângulos internos de um
paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos
opostos medem 3x - 18º e 2x + 27º.
Base média de triângulo.
CF = DE = NP/2 = 8/2 = 4 cm
CD = EF = ML/2 = 14/2 = 7 cm
C
x = 45º
a + b = 180º - ângulos colaterais internos
P
N
117 + b = 180
b = 63º
L
D
19) No triângulo ABC abaixo, D e E são os pontos
médios dos respectivos lados. Sendo o perímetro do
triângulo DEF igual a 23 cm, determinar :
a) o que é o ponto F para o triângulo ABC.
b) a medida do perímetro do triângulo BCF.
A
x/2
y/2
x
z
F
E
DE é base média.
Portanto BC = 2.DE = 2x
2y
C
B
PerBCF = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z) = 2 . 23 = 46 cm (resp)
21) No triângulo ABC abaixo, E e G são os pontos
médios dos respectivos lados. Sendo AB = x, BC = y,
AC = z e GD = k, determinar o perímetro do triângulo
GEC e dizer o que o ponto D é do triângulo ABC.
A
Se F é baricentro, então E
e D são pontos médios e,
BD e CD são medianas.
EF = FC/2 = t/2
w
D
x/2
F
2w
y/2
t
B
z
C
PerAEFD = x/2 + y/2 + t/2 + w = (x + y + t + 2w)/2 (resp)
22) Demonstre que o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos internos consecutivos de um
paralelogramo é um ângulo reto.
a
Se E e G são pontos médios, então EB
e CG são medianas. Além disso, EG é a
base média do triângulo ABC.
x/2
t/2
E
b) x + y + z = 23
y
z/2
20) No triângulo ABC abaixo, sendo F o baricentro,
AC = x, AB = y, BC = z, CF = t e DF = w, determinar o
perímetro do quadrilátero AEFD.
a) BE e CD são medianas.
Portanto F é baricentro.
2z
3x - 18 = 2x + 27
a
b
F
E
D
a = 2x + 27
Portanto a = 117º
2p = 4 + 7 + 4 + 7 = 22 cm
(resp)
A
a = 3x - 18
b
a
M
b
a
b
EG = BC/2 = y/2
E
z/2
G
D
PerGEC = (y + z + 6k)/2 (resp)
x/2
a + b + 90 = 180
Portanto a + b = 90º (CQD)
D é o baricentro do triângulo ABC.
2k
C
2a + 2b = 180º - ângulos colaterais internos
a + b = 90º
PerGEC = y/2 + z/2 + 3k
k
y/2 F y/2
B
23) (Fuvest) Em um trapézio isósceles, a medida da altura é igual à da base média. Determine o ângulo que a
diagonal do trapézio forma com uma das bases do trapézio.
A
h
x
M
D
B
h
N
y-x
2
d
x
y-x
+ x =
2
y+x
d =
=h
2
MN é base média
d =
y-x
2
MN = (y + x)/2 = h
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h
a
h
tg a = h/h = 1
a = 45º (resp)
C
y
y - x + 2x
2
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70
geometria plana
Geometria plana
Quadriláteros notáveis.
Exercícios complementares da aula 04.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Dado o losango ABCD abaixo e o ângulo de 138º,
determine as medidas dos ângulos assinalados.
B
02) (J) No paralelogramo ABCD abaixo, AE = 5 cm
e M é o ponto médio do lado CD. Determine o
perímetro de ABCD.
A
138º
A
60º
t
z
C
x
B
60º
E
y
D
C
M
D
03) No retângulo ABCD abaixo, AC e BD são as
diagonais. Determine as medidas dos ângulos x e y.
A
B
04) (PUCCamp-SP) Na figura a seguir, tem-se representado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede
4 cm. Determine a medida da diagonal maior e do lado
desse losango.
B
y
x
D
A
32º
C
E
B
C
06) (VUNESP-SP) Considere as seguintes proposições.
I. Todo quadrado é um losango.
II. Todo quadrado é um retângulo.
III. Todo retângulo é um paralelogramo.
IV. Todo triângulo equilátero é isósceles.
Pode-se afirmar que:
a) só uma é verdadeira.
b) todas são verdadeiras.
c) só uma é falsa.
d) duas são verdadeiras e duas são falsas.
e) todas são falsas.
F
D
2q
D
05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e DCE é
um triângulo equilátero, onde o ponto E pertence ao
lado AB do retângulo. Sendo DB a diagonal do retângulo, F o ponto de intersecção entre a diagonal e o
lado do triângulo e CD = 9 cm, determine a medida do
segmento FC.
A
q
C
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71
geometria plana
Geometria plana
Quadriláteros notáveis.
Exercícios complementares da aula 04.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Dado o losango ABCD abaixo e o ângulo de 138º,
determine as medidas dos ângulos assinalados.
B
138º
A
t
z
C
x
y
02) (J) No paralelogramo ABCD abaixo, AE = 5 cm
e M é o ponto médio do lado CD. Determine o
perímetro de ABCD.
F é ponto médio de AC
No triangulo ACD
AM é mediana
DF é mediana
E é baricentro
60º
B
60º
F
E
EM = AE/2
D
C
M
EM = 5/2
Portanto AM = 5 + 5/2 = 15/2 cm
Se DAB = 120º, então ADM = 60º - ângulos colaterais internos
ADM é um triângulo equilátero de lado 15/2 cm
Portanto AD = 15/2 e AB = 15
D
"Em todo losango, as diagonais são:
a) perpendiculares entre si.
b) bissetrizes dos ângulos internos."
y = 138/2 = 69º
t = 90º
x + t + y = 180º
x + 90 + 69 = 180
x = 21º
z = 2x = 42º
PerABCD = 15/2 + 15 + 15/2 + 15 = 45 cm (resp)
03) No retângulo ABCD abaixo, AC e BD são as
diagonais. Determine as medidas dos ângulos x e y.
A
B
04) (PUCCamp-SP) Na figura a seguir, tem-se representado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede
4 cm. Determine a medida da diagonal maior e do lado
desse losango.
B
y
q
x
D
A
A
32º
q
2q
q
32º
C
3q = 180
D
q = 60º
O triângulo ABD é equilátero
BD = 4 cm
AB = BC = CD = AD = 4m
x é ângulo externo
x = 32 + 32 = 64º
x
30º
4 cm
C
x
4
x = 4 3 /2 = 2 3 cm
cos 30º =
y + x = 180
y = 116º (resp)
AC = 2.d = 4 3 cm
05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e DCE é
um triângulo equilátero, onde o ponto E pertence ao
lado AB do retângulo. Sendo DB a diagonal do retângulo, F o ponto de intersecção entre a diagonal e o
lado do triângulo e CD = 9 cm, determine a medida do
segmento FC.
E
A
No triângulo ABC, tem-se
BM é mediana.
CE é mediana.
F é baricentro
CD = CE = 2x + x = 3x = 9
x=3
FC = 2x = 2 . 3 = 6 cm
(resp)
B
Pode-se afirmar que:
a) só uma é verdadeira.
b) todas são verdadeiras.
c) só uma é falsa.
d) duas são verdadeiras e duas são falsas.
e) todas são falsas.
x
F
M
D
9 cm
06) (VUNESP-SP) Considere as seguintes proposições.
I. Todo quadrado é um losango. (verdadeira)
II. Todo quadrado é um retângulo. (verdadeira)
III. Todo retângulo é um paralelogramo. (verdadeira)
IV. Todo triângulo equilátero é isósceles. (verdadeira)
2x
C
Todas são verdadeiras (resp. b)
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geometria plana
08) (UFOP-MG) Assinale a alternativa incorreta:
a) Em todo paralelogramo não retângulo, a diagonal
oposta aos ângulos agudos é menor do que a outra.
b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois
ângulos consecutivos de um paralelogramo.
c) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um paralelogramo são paralelas entre si.
d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um triângulo, este fica decomposto em quatro triângulos
congruentes.
e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas.
07) (PUC-SP) Sendo:
A = {x / x é quadrilátero}
B = {x / x é quadrado}
C = {x / x é retângulo}
D = {x / x é losango}
E = {x / x é trapézio}
F = {x / x é paralelogramo}
Então vale a relação:
a)
b)
c)
d)
e)
A
A
F
A
B
D
F
D
F
D
E
D
A
B
A
B
C
E
09)(UECE) Na figura, o retângulo DGHI, o triângulo equilátero DEF e o quadrado ABCI, têm todos, perímetro igual a 24 cm. Se D é o ponto médio de CI, o perímetro da figura fechada ABCDEFGHIA é igual a:
a) 48 m
b) 49 m
c) 50 m
d) 51 m
e) 52 m
E
G
H
C
10) Determine as medidas dos ângulos internos de um
paralelogramo sabendo que a diferença entre as
medidas de dois ângulos internos consecutivos é 52º.
B
D
F
I
A
11) (FGV-SP) A diagonal menor de um losango decompõe esse losango em dois triângulos congruentes.
Se cada ângulo obtuso do losango mede 130º, quais
são as medidas dos três ângulos de cada um dos dois
triângulos considerados ?
12) (ITA-SP) Dadas as afirmações:
I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares.
II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares.
III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio,
então esse paralelogramo é um losango.
a)
b)
c)
d)
e)
Todas são verdadeiras.
Apenas I e II são verdadeiras.
Apenas II e III são verdadeiras.
Apenas II é verdadeira.
Apenas III é verdadeira.
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73
geometria plana
07) (PUC-SP) Sendo:
A = {x / x é quadrilátero}
B = {x / x é quadrado}
C = {x / x é retângulo}
D = {x / x é losango}
E = {x / x é trapézio}
F = {x / x é paralelogramo}
08) (UFOP-MG) Assinale a alternativa incorreta:
a) Em todo paralelogramo não retângulo, a diagonal
oposta aos ângulos agudos é menor do que a outra.
b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois
ângulos consecutivos de um paralelogramo.
c) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um paralelogramo são paralelas entre si.
d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um triângulo, este fica decomposto em quatro triângulos
congruentes.
e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas.
A
E
F
C
Então vale a relação:
a)
b)
c)
d)
e)
A
A
F
A
B
D
F
D
F
D
E
D
A
B
A
B
B
a) V
D
C
E
b) V
c) V
d) V
e) Falsa
Resp b)
09)(UECE) Na figura, o retângulo DGHI, o triângulo equilátero DEF e o quadrado ABCI, têm todos, perímetro igual a 24 cm. Se D é o ponto médio de CI, o perímetro da figura fechada ABCDEFGHIA é igual a:
a) 48 m
b) 49 m
c) 50 m
d) 51 m
e) 52 m
E
8
G 1
B
6
3
180 - x = 116º (resp)
3
9
H
x
x = 64º
6
D
180 - x
2x = 180 - 52 = 128
x = 64º
3
8
F
180 - x - x = 52
C
8
10) Determine as medidas dos ângulos internos de um
paralelogramo sabendo que a diferença entre as
medidas de dois ângulos internos consecutivos é 52º.
6
I
A
AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IA =
6 + 6 + 3 + 8 + 8 + 1 + 3 + 9 + 6 = 50 cm (resp c)
11) (FGV-SP) A diagonal menor de um losango decompõe esse losango em dois triângulos congruentes.
Se cada ângulo obtuso do losango mede 130º, quais
são as medidas dos três ângulos de cada um dos dois
triângulos considerados ?
B
130º
A
x
C
65º
x + 65 + 65 = 180
x = 50º
As medidas dos três ângulos
são:
65º , 65º e 50º
(resp)
65º
D
12) (ITA-SP) Dadas as afirmações:
I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares. (Falsa)
II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares. (Verdadeira)
III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio,
então esse paralelogramo é um losango. (Verdadeira)
a)
b)
c)
d)
e)
Todas são verdadeiras.
Apenas I e II são verdadeiras.
Apenas II e III são verdadeiras.
Apenas II é verdadeira.
Apenas III é verdadeira.
Resposta c
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geometria plana
13) (UFV-MG) Num trapézio isósceles de bases diferentes, uma diagonal é também bissetriz de um ângulo adjacente à base maior. Isso significa que:
a) a base menor tem medida igual à dos lados
oblíquos.
b) os ângulos adjacentes à base menor não são
congruentes.
c) a base maior tem medida igual à dos lados
oblíquos.
d) as duas diagonais se interceptam no seu ponto
médio.
e) as diagonais se interceptam, formando ângulo
reto.
14) (FUVEST-SP) No quadrilátero ABCD, temos
AD = BC = 2 e os prolongamentos desses lados
formam um ângulo de 60º.
a) Indicando por a, b, g e q, respectivamente, as
medidas dos ângulos internos dos vértices A, B, C e D,
calcule a + b + g + q.
b) Sejam J o ponto médio de DC, M o ponto médio de
AC e N o ponto médio de BD. Calcule JM e JN.
c) Calcule a medida do ângulo MJN.
C
D
B
A
15) Na figura, BC = 24 cm, D é ponto médio de AB, F
é ponto médio de BD, E é ponto médio de AC e I é
ponto médio de CE. Determine as medidas dos
segmentos FG e GH.
A
E
D
F
I
H
G
16) (ITA-SP) Considere um quadrilátero ABCD cujas
diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm
e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos
lados do quadrilátero dado, então o perímetro do
quadrilátero RSTU vale:
a) 22 cm
b) 5,5 cm
c) 8,5 cm
d) 11 cm
e) 12 cm
B
C
17) No trapézio AEJF abaixo, BG = x e DI = y. Se
AB = BC = CD = DE e FG = GH = HI = IJ, determine
AF e EJ em função de x e de y.
A
B
C
D
F
18) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em
B, o ponto D é ponto médio do lado AB e o segmento
DE é paralelo ao cateto BC. Sendo AC = 24 cm, determine a medida do segmento EF.
A
G
H
I
E
E
D
J
F
B
C
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geometria plana
13) (UFV-MG) Num trapézio isósceles de bases diferentes, uma diagonal é também bissetriz de um ângulo adjacente à base maior. Isso significa que:
a) a base menor tem medida igual à dos lados
oblíquos.
b) os ângulos adjacentes à base menor não são
congruentes.
c) a base maior tem medida igual à dos lados
oblíquos.
d) as duas diagonais se interceptam no seu ponto
médio.
e) as diagonais se interceptam, formando ângulo
reto.
14) (FUVEST-SP) No quadrilátero ABCD, temos
AD = BC = 2 e os prolongamentos desses lados
formam um ângulo de 60º.
a) Indicando por a, b, g e q, respectivamente, as
medidas dos ângulos internos dos vértices A, B, C e D,
calcule a + b + g + q.
b) Sejam J o ponto médio de DC, M o ponto médio de
AC e N o ponto médio de BD. Calcule JM e JN.
c) Calcule a medida do ângulo MJN.
J
D
a
2
resp a)
a
a) a + b + g + q = 360º
60º
b) JM é base média do
triângulo ACD.
Portanto JM = AD/2 = 2/2 = 1
JN é base média do
triângulo BCD.
Portanto JN = 2/2 = 1
C
2
N
M
a
A
15) Na figura, BC = 24 cm, D é ponto médio de AB, F
é ponto médio de BD, E é ponto médio de AC e I é
ponto médio de CE. Determine as medidas dos
segmentos FG e GH.
A
w
D
E
B
c) JM // AD
JN // BC
Então MJN = 60º
(resp)
16) (ITA-SP) Considere um quadrilátero ABCD cujas
diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm
e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos
lados do quadrilátero dado, então o perímetro do
quadrilátero RSTU vale:
A
a) 22 cm
b) 5,5 cm
U
R
c) 8,5 cm
D
B
d) 11 cm
e) 12 cm
T
S
C
F
x
y
G
I
H
B
C
24 cm
DE é base média do triângulo ABC
FG é base média do triângulo BDE
FH é base média do triângulo BCD
x + y = 12
6 + y = 12
y = GH = 6 cm (resp)
DE = w = 24/2 = 12 cm
FG = x = 12/2 = 6 cm
FH = x + y = 12 cm
17) No trapézio AEJF abaixo, BG = x e DI = y. Se
AB = BC = CD = DE e FG = GH = HI = IJ, determine
AF e EJ em função de x e de y.
A
B
C
D
k
F
x
w = x+y
2
E
y= w+n
2
k = 2x - w = 2x - x + y
2
=
R
4y - x - y
2
F
B
3y -x
2
x= w+k
2
n = AF =
J
=
4x - x - y
2
Todo triângulo retângulo
pode ser inscrito em uma
semicircunferência.
E
D
n = 2y - w = 2y - x + y
2
AE = EC = EB = R = 12
R
I
n
n = EJ =
A
H
y
Per = 2 . 3 + 2 . 5/2
Per = 11 cm
(resp)
18) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em
B, o ponto D é ponto médio do lado AB e o segmento
DE é paralelo ao cateto BC. Sendo AC = 24 cm, determine a medida do segmento EF.
Base média de trapézio.
G
w
RU é a base média do triângulo ABD
ST é a base média do triângulo BCD
Portanto RU = ST = BD/2 = 6/2 = 3 cm
RS é a base média do triângulo ABC
TU é a base média do triângulo ACD
Portanto RS = TU = AC/2 = 5/2 cm
BE = 12 cm
Mas, BF = 2.EF
BE é uma mediana.
CD é uma mediana.
Portanto F é o baricentro do triângulo ABC.
R
C
3 . EF = 12
EF = 4 cm (resp)
3x - y
2
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geometria plana
Respostas dos exercícios da Aula 04.
01) 6 cm e 24 cm
02) 4 e 18
03) 11 cm, 4 cm, 14 cm e 24 cm
04) 32º, 64º, 90º e 116º
05) 16 cm
06) Propriedade da base média do triângulo.
BD // LP // MN e AC // LM // PN
Portanto LMNP é um paralelogramo.
07) 45º
08) b
09) 25 cm
10) 7 cm, 9 cm, e 8 cm
11) x + z
12) 14 cm
13) 36 cm e 42 cm
14) 12 cm
15) 5 cm e 14 cm
16) 19 cm, 6 cm, 6 cm e 7 cm
17) 22 cm
18) 117º e 63º
19) Baricentro e 46 cm
20) (x + y + 2w + t) / 2
21) (y + z + 6k) / 2
e baricentro
22) 2a + 2b = 180 (alternos internos)
Portanto a + b = 90º
23) 45º
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
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geometria plana
Respostas dos exercícios complementares da Aula 04.
01) x = 21º,
y = 69º,
z = 42º,
t = 90º
02) 45 cm
03) x = 64º,
y = 116º
04) AC = 4 3 cm,
AB = 4 cm
05) 6 cm
06) b
07) b
08) e
09) c
10) 64º e 116º
11) 50º, 65º e 65º
12) c
13) a
14)
a) 360º
b) 1 e 1
c) 60º
15) FG = 6 cm e GH = 6 cm
16) d
17) AF = 3x - y
2
18) 4cm
EJ = 3y - x
2
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
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geometria plana
Geometria plana
Aula 05
Polígonos convexos.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
I) Polígonos convexos.
Classificação dos polígonos (quanto ao nº de lados).
d
3 lados
4 lados
5 lados
6 lados
7 lados
8 lados
9 lados
10 lados
vértice
i
e
lado
d - diagonal
i - ângulo interno
e - ângulo externo
-
triângulo
quadrilátero
pentágono
hexágono
heptágono
octógono
eneágono
decágono
i + e = 180º
II) Soma das medidas dos ângulos
internos de um polígono convexo.
(Si)
III) Soma das medidas dos ângulos
externos de um polígono convexo.
(Se)
11 lados
12 lados
13 lados
14 lados
15 lados
16 lados
17 lados
18 lados
19 lados
20 lados
-
undecágono
dodecágono
tridecágono
quadridecágono
pentadecágono
hexadecágono
heptadecágono
octodecágono
eneadecágono
icoságono
IV) Número de diagonais de um polígono convexo. (d)
e4
e3
i4
i3
in
i2
e2
i1
en
e1
Si = i1 + i2 + i3 + ... + in
Diagonal é o segmento que une
dois vértices não consecutivos.
d = n (n - 3)
2
Se = e1 + e2 + e3 + ... + en
Si = 180 (n - 2)
Se = 360º
n - nº de lados do polígono
Nº de diagonais que chegam em
um vértice.
Para qualquer polígono convexo
d1 = n - 3
V) Polígono regular.
Um polígono é regular se tem:
a) todos os lados congruentes entre si;
b) todos os ângulos internos congruentes entre si;
c) todos os ângulos externos congruentes entre si.
e
i
e
i
e
i
Classificação dos polígonos regulares
3 lados - triângulo equilátero
4 lados - quadrado
5 lados - pentágono regular
6 lados - hexágono regular
etc
e
i
i
e
Medida de cada ângulo interno de um polígono regular.
S
i = ni
>
i=
180 (n - 2)
n
Medida de cada ângulo externo de um polígono regular.
C
a
ângulo
central
S
e = e
n
>
e = 360
n
(importante)
Observação - Todo polígono regular pode ser inscrito e
circunscrito numa circunferência.
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geometria plana
Geometria plana
Aula 05
Polígonos convexos.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Classificação dos polígonos (quanto ao nº de lados).
I) Polígonos convexos.
3 lados
4 lados
5 lados
6 lados
7 lados
8 lados
9 lados
10 lados
d
vértice
i
e
lado
d - diagonal
i - ângulo interno
e - ângulo externo
i + e = 180º
II) Soma das medidas dos ângulos
internos de um polígono convexo.
(Si)
-
triângulo
quadrilátero
pentágono
hexágono
heptágono
octógono
eneágono
decágono
III) Soma das medidas dos ângulos
externos de um polígono convexo.
(Se)
11 lados
12 lados
13 lados
14 lados
15 lados
16 lados
17 lados
18 lados
19 lados
20 lados
-
undecágono
dodecágono
tridecágono
quadridecágono
pentadecágono
hexadecágono
heptadecágono
octodecágono
eneadecágono
icoságono
IV) Número de diagonais de um polígono convexo.
(d)
e4
e3
i4
i3
in
i2
e2
i1
en
e1
Si = i1 + i2 + i3 + ... + in
Diagonal é o segmento que une
dois vértices não consecutivos.
Se = e1 + e2 + e3 + ... + en
Si = 180 (n - 2)
d = n (n - 3)
2
Se = 360º
n - nº de lados do polígono
n - nº de lados do polígono
Para qualquer polígono convexo
Importante.
Se um polígono convexo tem n lados , então ele tem n vértices,
n ângulos internos e n ângulos externos.
V) Polígono regular.
e
i
e
i
Classificação dos polígonos regulares
3 lados - triângulo equilátero
4 lados - quadrado
5 lados - pentágono regular
6 lados - hexágono regular
etc
e
i
i
d1 = n - 3
Um polígono é regular se tem:
a) todos os lados congruentes entre si;
b) todos os ângulos internos congruentes entre si;
c) todos os ângulos externos congruentes entre si.
i
e
Nº de diagonais que partem de 1 vértice
(d1)
e
Medida de cada ângulo interno de um polígono regular.
S
i = ni
>
i=
180 (n - 2)
n
Medida de cada ângulo externo de um polígono regular.
C
a
ângulo
central
S
e = e
n
>
e = 360
n
(importante)
Observação - Todo polígono regular pode ser inscrito e
circunscrito numa circunferência.
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geometria plana
01) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter- 02) Determinar a soma das medidas dos ângulos externos e o número de diagonais de um pentadecágono nos e o número de diagonais de um octodecágono
convexo.
convexo.
03) Determinar a medida de cada ângulo interno e de 04) Determinar a medida de cada ângulo interno e o nº
cada ângulo externo de um eneágono regular.
de diagonais de um octógono regular.
05) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 65 diagonais.
06) Determinar o nº de diagonais de um polígono regular cuja medida de cada ângulo externo é 30º.
07) Determinar o nº de diagonais de um polígono regular sabendo-se que a medida de um ângulo interno
excede a medida do ângulo externo em 132º.
08) Determinar a medida do ângulo externo de um
polígono regular que tem 14 diagonais.
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geometria plana
01) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter- 02) Determinar a soma das medidas dos ângulos externos e o número de diagonais de um pentadecágono nos e o número de diagonais de um octodecágono
convexo.
convexo.
octodecágono - 18 lados
Pentadecágono (n = 15 lados)
Se = 360º (resp)
Si = 180(n - 2) = 180(15 - 2) = 2 340º (resp)
d = n(n - 3)/2
d = 18(18 - 3)/2 = 135 diagonais. (resp)
d = n(n - 3) / 2 = 15(15 - 3) / 2 = 90 diagonais (resp)
03) Determinar a medida de cada ângulo interno e de 04) Determinar a medida de cada ângulo interno e o nº
cada ângulo externo de um eneágono regular.
de diagonais de um octógono regular.
eneágono - 9 lados
octógono - 8 lados
e = 360/n = 360/9 = 40º (resp)
e = 360/n = 360/8 = 45º
i + e = 180º
i + 40 = 180
i = 140º (resp)
i + e = 180º
i + 45 = 180
i = 135º (resp)
d = n(n - 3)/2 = 8(8 - 3)/2
d = 20 diagonais (resp)
05) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 65 diagonais.
d = n(n - 3)/2
65 = n(n - 3)/2
06) Determinar o nº de diagonais de um polígono regular cuja medida de cada ângulo externo é 30º.
130 = n - 3n
e = 360/n
30 = 360/n
n = 12 lados (dodecágono)
n - 3n - 130 = 0
Raízes
n = 13
n = -10 (não convém)
d = n(n - 3)/2
d = 12(12 - 3)/2
d = 54 diagonais (resp)
2
2
Para n = 13 (tridecágono)
Si = 180(n - 2) = 180(13 - 2)
Si = 1 980º (resp)
07) Determinar o nº de diagonais de um polígono regular sabendo-se que a medida de um ângulo interno
excede a medida do ângulo externo em 132º.
i - e = 132º
i + e = 180º
2i = 312
i = 156º
e = 180 - 156 = 24º
e = 360/n
24 = 360/n
n = 15 lados (pentadecágono)
d = n(n - 3)/2
08) Determinar a medida do ângulo externo de um
polígono regular que tem 14 diagonais.
d = n(n - 3)/2
14 = n(n - 3)/2
28 = n2 - 3n
n2 - 3n - 28 = 0
Raízes
n = 7 (heptágono)
n = -4 (não convém)
Para n = 7 lados
e = 360/n = 360º/7
(resp)
d = 15(15 - 3)/2 = 90 diagonais
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geometria plana
09) Dados dois polígonos convexos, A e B, sabe-se
que B tem 4 lados e 30 diagonais a mais do que A.
Determine quais são os polígonos A e B.
10) Dados dois polígonos regulares, A e B, sabe-se
que B tem 6 lados a mais do que A e a diferença
das medidas de seus ângulos externos é 16º. Determine quais são esses polígonos.
11) Determine a medida do ângulo agudo formado
entre a diagonal AF e o lado AB de um dodecágono
regular ABC.... KL.
12) Determine a medida do ângulo agudo formado
pelos prolongamentos das diagonais AC e DG de
um dodecágono regular ABC...KL.
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geometria plana
09) Dados dois polígonos convexos, A e B, sabe-se
que B tem 4 lados e 30 diagonais a mais do que A.
Determine quais são os polígonos A e B.
A
nA
dA
B
nB
dB
10) Dados dois polígonos regulares, A e B, sabe-se
que B tem 6 lados a mais do que A e a diferença
das medidas de seus ângulos externos é 16º. Determine quais são esses polígonos.
nA
eA
A
nB = nA + 4
dB = dA + 30
dB - dA = 30
nB(nB - 3)/2 - nA(nA - 3)/2 = 30
(nA + 4)(nA + 4 - 3) - nA(nA - 3) = 60
8.nA = 56
nA = 7 lados (heptágono)
nB = 7 + 4 = 11 lados (undecágono)
nB
eB
B
nB = nA + 6
eA - eB = 16
Importante - O polígono que tem menos lados tem o maior
ângulo externo. (eA - eB > 0)
eA - eB =
360 - 360
16
nA
nA + 6 =
360(nA + 6) - 360.nA
= 16
nA(nA + 6)
(resp)
360(nA + 6) - 360.nA = 16nA(nA + 6)
2
360nA + 2 160 - 360nA = 16nA + 96nA
2
nA + 6nA - 135 = 0
Raízes
nA = 9 lados (eneágono)
nA = -15 lados (não convém)
Polígono A - eneágono
polígono B - (9 + 6 = 15) - pentadecágono (resp)
11) Determine a medida do ângulo agudo formado
entre a diagonal AF e o lado AB de um dodecágono
regular ABC.... KL.
12) Determine a medida do ângulo agudo formado
pelos prolongamentos das diagonais AC e DG de
um dodecágono regular ABC...KL.
D
C
e
B
q
E
150º
150º
150º
C
x
i = 150º
30º
e= x
F
x
A
e - ângulo externo
i - ângulo interno
e = 360/n = 360/12 = 30º
Portanto i = 180 - e = 180 - 30 = 150º
ABCDEF é um hexágono irregular
Si = 180(n - 2) = 180(6 - 2) = 180 . 4 = 720º
Mas, Si = 4 . 150 + 2x
720 = 600 + 2x
x = 60º (resp)
a
b
D
150º
e = 30º
E
y
150º
150º
e
B
F
x
y
G
A
e - ângulo externo
i - ângulo interno
e = 360/n = 360/12 = 30º
i = 180 - e = 180 - 30 = 150º
ABC é um triângulo
x + x + 150 = 180
DEFG é um quadrilátero
y + y + 150 + 150 = 360
x = 15º
y = 30º
a = x + 30 = 45º
b = y + 30 = 60º
a + b + q = 180
q = 75º (resp)
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84
geometria plana
13) (UNIFESP-SP) Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados, lado a lado, formando uma
estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura. Nestas condições, o ângulo q mede:
14) (FUVEST-SP) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130º cada um e os demais
ângulos internos medem 128º cada um. O nº de
lados desse polígono é:
a) 108º
a) 6
b) 72º
c) 54º
d) 36º
e) 18º
b) 7
c) 13
d) 16
e) 17
q
15) (CESGRANRIO-RJ) No quadrilátero ABCD da
figura abaixo, são traçadas as bissetrizes CM e BN,
que formam entre si o ângulo a. A soma dos ângulos
internos A e D desse quadrilátero corresponde a:
a) a/4
b) a/2
c) a
D
d) 2a
e) 3a
N
C
a
M
16) (MACK-SP) Os lados de um polígono regular de
n lados, n > 4, são prolongados para formar uma
estrela. A medida, em graus, de cada vértice da
estrela é:
a) 360º
n
b) (n - 4) . 180º
n
c) (n - 2) . 180º
n
d) 180º _ 90º
n
180º
e)
n
A
B
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geometria plana
13) (UNIFESP-SP) Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados, lado a lado, formando uma
estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura. Nestas condições, o ângulo q mede:
14) (FUVEST-SP) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130º cada um e os demais
ângulos internos medem 128º cada um. O nº de
lados desse polígono é:
a) 108º
a) 6
b) 72º
c) 54º
d) 36º
e) 18º
b) 7
c) 13
d) 16
50º
50º
52º
q
130º
e) 17
52º
128º
128º
130º
52º
128º
Se dois ângulos internos medem 130º, então dois ângulos
externos medem 50º
Se os demais ângulos internos medem 128º, então os demais
ângulos externos medem 52º
108º
108º
q
108º
A soma das medidas dos ângulos externos é 360º.
e = 360 / 5 = 72º
i = 108º
2 . 50 + x . 52 = 360
x . 52 = 360 - 100 = 260
x = 260/52 = 5
q = 360 - 3 . 108 =
2 ângulos externos de 50º
5 ângulos externos de 52º
total - 7 ângulos externos
= 360 - 324 = 36º
(resp)
e = 72º
15) (CESGRANRIO-RJ) No quadrilátero ABCD da
figura abaixo, são traçadas as bissetrizes CM e BN,
que formam entre si o ângulo a. A soma dos ângulos
internos A e D desse quadrilátero corresponde a:
a) a/4
b) a/2
c) a
D
d) 2a
e) 3a
N
C
x
x
a
M
A
x + y = 180 - a
y
n = 7 lados (resp b)
16) (MACK-SP) Os lados de um polígono regular de
n lados, n > 4, são prolongados para formar uma
estrela. A medida, em graus, de cada vértice da
estrela é:
a) 360º
n
b) (n - 4) . 180º
n
c) (n - 2) . 180º
n
d) 180º _ 90º
n
180º
e)
n
e
x
e
y
B
Polígono
A + B + C + D = 360º
A + D = 360 - 2x - 2y
A + D = 360 - 2(x + y)
A + D = 360 - 2(180 - a)
e - ângulo externo do polígono.
x - vértice da estrela.
A + D = 360 - 360 + 2a
e = 360/n
A + D = 2a (resp d)
e + e + x = 180º
2 . 360/n + x = 180
x = 180 - 720/n = (180n - 720)/n = 180(n - 4)/n (resp b)
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geometria plana
Geometria plana
Polígonos convexos.
Exercícios complementares da aula 05.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Dado um polígono convexo de 17 lados, determinar:
a) a soma das medidas dos ângulos b) a soma das medidas dos ângulos c) o número de diagonais desse políexternos.
gono.
internos.
02) Dado um undecágono convexo, determinar:
a) a soma das medidas dos ângulos b) a soma das medidas dos ângulos c) o número de diagonais desse políexternos.
gono.
internos.
03) Determinar o número de lados e o número de diagonais de um polígono convexo cuja soma das medidas dos
ângulos internos é 2160º.
04) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 44 diagonais.
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geometria plana
Geometria plana
Polígonos convexos.
Exercícios complementares da aula 05.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Dado um polígono convexo de 17 lados, determinar:
a) a soma das medidas dos ângulos b) a soma das medidas dos ângulos c) o número de diagonais desse políexternos.
gono.
internos.
d = n(n - 3)/2
d = 17(17 - 3)/2
d = 119 diagonais
Se = 360º
Si = 180(n - 2) = 180(17 - 2) = 2 700º
02) Dado um undecágono convexo, determinar:
a) a soma das medidas dos ângulos b) a soma das medidas dos ângulos c) o número de diagonais desse políexternos.
gono.
internos.
d = n(n - 3)/2
d = 1(11 - 3)/2
d = 44 diagonais
Se = 360º
Si = 180(n - 2) = 180(11 - 2) = 1 620º
03) Determinar o número de lados e o número de diagonais de um polígono convexo cuja soma das medidas dos
ângulos internos é 2160º.
Si = 180(n - 2)
d = n(n - 3)/2
2 160 = 180(n - 2)
d = 14(14 - 3)/2
n - 2 = 2 160/180
d = 77 diagonais (resp)
n - 2 = 12
n = 14 lados (resp)
04) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 44 diagonais.
d = n(n - 3)/2
Si = 180(n - 2)
44 = n(n - 3)/2
Si = 180(11 - 2)
2
n - 3n - 88 = 0
Si = 1 620º (resp)
Raízes
n = 11 lados (undecágono)
n = -8 (não convém)
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geometria plana
05) No pentágono ao lado, AB // DE. Determinar a soma das medidas
dos ângulos internos assinalados.
A
B
C
E
D
06) Determinar os polígonos convexos A e B, sabendo-se que A tem 2 lados e 23 diagonais a mais que o
polígono B.
07) Dado um eneágono regular, determinar :
a) o número de lados do eneágono.
b) a soma das medidas dos ângulos
internos.
c) a medida de cada ângulo interno.
d) a soma das medidas dos ângulos e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do eneágoexternos.
no.
08) Determinar qual é o polígono regular cuja medida de um ângulo externo é igual a 2/7 da medida de um ângulo
interno.
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geometria plana
05) No pentágono ao lado, AB // DE. Determinar a soma das medidas
dos ângulos internos assinalados.
A
B
A + E = 180º (ângulos colaterais internos)
ABCDE é um pentágono, portanto Si = 180(n - 2) = 180(5 - 2) = 540º
E + A + B + C + D = 540
180 + B + C + D = 540
B + C + D = 540 - 180 = 360º (resp)
C
E
D
06) Determinar os polígonos convexos A e B, sabendo-se que A tem 2 lados e 23 diagonais a mais que o
polígono B.
A
nA
dA
B
nB
dB
nA = nB + 2
dA = dB + 23
dA - dB = 23
(nB + 2)(nB + 2 - 3)/2 - nB(nB - 3)/2 = 23
(nB + 2)(nB - 1) - nB(nB - 3) = 46
4.nB = 48
nB = 12 lados (dodecágono)
nA = 12 + 2 = 14 lados (quadridecágono)
(resp)
07) Dado um eneágono regular, determinar :
a) o número de lados do eneágono.
n = 9 lados
b) a soma das medidas dos ângulos
internos.
Si = 180(n - 2
Si = 180(9 - 2)
Si = 1 260º
c) a medida de cada ângulo interno.
i = Si/n
i = 1 260/9
i = 140º
d) a soma das medidas dos ângulos e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do eneágoexternos.
no.
e = 360/n
e = 360/9
e = 40º
Se = 360º
d = n(n - 3)/2
d = 9(9 - 3)/2
d = 27 diagonais
08) Determinar qual é o polígono regular cuja medida de um ângulo externo é igual a 2/7 da medida de um ângulo
interno.
e = 360/n
e = 2.i / 7
i + e = 180º
e = 2.i / 7
40 = 360/n
i = 7.e / 2
e + 7.e / 2 = 180
2e + 7e = 360
n = 360/40 = 9
n = 9 lados (eneágono) (resp)
9e = 360
e = 40º
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geometria plana
09) Dado um pentadecágono regular, determinar :
a) o número de lados do pentadecágono.
b) a soma das medidas dos ângulos c) a medida de cada ângulo interno.
internos.
d) a soma das medidas dos ângulos e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do pentaexternos.
decágono.
10) Determinar dois polígonos regulares, A e B, sabendo-se que A tem 3 lados a mais que B e que a diferença
entre as medidas dos seus ângulos externos é 6º.
11) Dado um decágono regular ABCDE … , determinar a medida do ângulo agudo compreendido entre o lado AB
e a diagonal AC.
12) Dado um dodecágono regular ABCDE … , sendo O o centro do dodecágono,
determinar a medida do ângulo AOE.
B
C
D
A
E
L
F
O
G
K
J
I
H
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geometria plana
09) Dado um pentadecágono regular, determinar :
a) o número de lados do pentadecágono.
n = 15 lados
b) a soma das medidas dos ângulos c) a medida de cada ângulo interno.
internos.
i = Si/n
i = 2 340/15
i = 156º
Si = 180(n - 2
Si = 180(15 - 2)
Si = 2 340º
d) a soma das medidas dos ângulos e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do pentaexternos.
decágono.
e = 360/n
e = 360/15
e = 24º
Se = 360º
d = n(n - 3)/2
d = 15(15 - 3)/2
d = 90 diagonais
10) Determinar dois polígonos regulares, A e B, sabendo-se que A tem 3 lados a mais que B e que a diferença
entre as medidas dos seus ângulos externos é 6º.
nA
eA
A
nB
eB
B
360(nB + 3) - 360.nB = 6nB(nB + 3)
nA = nB + 3
eB - eA = 6
Importante - O polígono que tem menos lados tem o maior
ângulo externo. (eB - eA > 0)
360 - 360
6
nB
nB + 3 =
eB - eA =
360(nB + 3) - 360.nB
=6
nB(nB + 3)
2
360nB + 1 080 - 360nB = 6nB + 18nB
2
nB + 3nB - 180 = 0
Raízes
nB = 12 lados (dodecágono)
nB = -15 lados (não convém)
Polígono A - (12 + 3 = 15 lados) - pentadecágono
polígono B - dodecágono (resp)
11) Dado um decágono regular ABCDE … , determinar a medida do ângulo agudo compreendido entre o lado AB
e a diagonal AC.
e
B
e - ângulo externo
i - ângulo interno
e = 360/n = 360/10 = 36º
i + e = 180º
i = 180 - 36 = 144º
C
D
x
i
x
A
E
x + x + i = 2x + 144 = 180
2x = 36
x = 18º (resp)
12) Dado um dodecágono regular ABCDE … , sendo O o centro do dodecágono,
determinar a medida do ângulo AOE.
e - ângulo externo
i - ângulo interno
e = 360/n = 360/12 = 30º
i + e = 180
i + 30 = 180
i = 150º
A
ABCDEO é umhexágono irregular
Si = 180(n - 2) = 180(6 - 2) = 720º
y = i/2 = 150/2 = 75º
720 = 2y + 3 . 150 + x
720 = 2 . 75 + 3 . 150 + x
x = 720 - 600 = 120º (resp)
B
C
D
e
i
y
y
E
x
L
F
O
G
K
J
I
H
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geometria plana
13) Dado um decágono regular ABCDE … , sendo O o centro do polígono, determinar :
A
J
B
I
C
O
D
H
E
G
F
a) a soma das medidas dos ângulos b) a medida de cada ângulo externo. c) a soma das medidas dos ângulos
internos do decágono.
externos do decágono.
d) a medida de cada ângulo interno.
e) a medida do ângulo obtuso forma- f) a medida do ângulo agudo formado pelos prolongamentos dos lados do pelos prolongamentos dos lados
BC e DE.
BC e EF.
g) a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais BI e AG.
h) a medida do ângulo EOG.
i) a medida do ângulo EBC.
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geometria plana
13) Dado um decágono regular ABCDE … , sendo O o centro do polígono, determinar :
A
54º
J
90º
B
36º
144º
72º
w
36º
36º
I
C
108º
e
z
O
x
k k
e
H
144º
D
y
z
54º
90º
E
G
F
a) a soma das medidas dos ângulos b) a medida de cada ângulo externo. c) a soma das medidas dos ângulos
internos do decágono.
externos do decágono.
Se = 360º
d) a medida de cada ângulo interno.
i = Si /n
i = 1440/10
i = 144º
e = 360/n = 360/10
e = 36º
Si = 180(n - 2)
Si = 180(10 - 2)
Si = 1440º
e) a medida do ângulo obtuso forma- f) a medida do ângulo agudo formado pelos prolongamentos dos lados do pelos prolongamentos dos lados
BC e DE.
BC e EF.
x + e + e = 180
x + 2e = 180
x + 2 . 36 = 180
x = 108º
2z = e = 36
z = 18º
z + e + y + z + e = 180
18 + 36 + y + 18 + 36 = 180
y = 72º
g) a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais BI e AG.
w + 90 + 36 = 180
w = 54º
h) a medida do ângulo EOG.
k = 360/n = 360/10 = 36º
EOG = 2k = 2 . 36
EOG = 72º
i) a medida do ângulo EBC.
EBC = 36º
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geometria plana
14) Na figura ao lado, determinar o valor de x + y.
15) Dado um polígono convexo ABCD... com n lados,
n > 3, o número de diagonais do polígono que não
passam pelo vértice A é dado por:
93º
y
a) 5n - 4
2
b) n - 11n
2
c) n - 5n + 6
2
d) n(n-3)
2
x
10
5º
2
e) 2n - 4
88º
16) Se a soma dos ângulos internos de um polígono
regular é 1620º, sendo x a medida de cada ângulo
externo então:
a) x = 18º
b) 30º < x < 35º
c) x = 45º
d) x < 27º
e) 40º < x < 45º
17) Três polígonos têm o número de lados expressos
por números inteiros consecutivos. Sabendo que o
número total de diagonais dos três polígonos é igual a
28, determine a polígono com maior número de
diagonais.
18) Na figura ao lado, ABC é um triângulo eqüilátero
e DEFGH é um pentágono regular. Sabendo-se que
D pertence ao lado AC, F pertence ao lado AC, G e
H pertencem ao lado BC, determinar as medidas dos
ângulos ADE e CDH.
19) Dado o eneágono regular ao lado, determinar a
medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos
lados AB e DE.
A
I
B
A
C
H
X
E
G
F
D
D
F
C
H
G
E
B
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geometria plana
14) Na figura ao lado, determinar o valor de x + y.
b
d
c
c+
d=
x+
15) Dado um polígono convexo ABCD... com n lados,
n > 3, o número de diagonais do polígono que não
passam pelo vértice A é dado por:
y
93º
y
a) 5n - 4
2
b) n - 11n
x
a
Se um polígono tem n lados,
então tem n vértices.
O número de diagonais que
passam num vértice é n - 3.
O número total de diagonais
de um polígono é dado por
2
c) n - 5n + 6
2
d) n(n-3)
2
10
5º
88º
d = n(n - 3)/2
2
a + b + 93 + 88 + 105 = 540 (pentágono)
e) 2n - 4
Excluindo-se as que passam
pelo vértice A, tem-se
a + b = 540 - 286 = 254
c + d = 254 - 180 = 74
d' = n(n - 3) - (n - 3)
2
2
n(n - 3) - 2(n - 3)
n - 3n - 2n + 6
d' =
=
2
2
x + y = c + d = 74º (resp)
2
d' =
16) Se a soma dos ângulos internos de um polígono
regular é 1620º, sendo x a medida de cada ângulo
externo então:
a) x = 18º
b) 30º < x < 35º
c) x = 45º
d) x < 27º
e) 40º < x < 45º
n - 5n + 6
2
17) Três polígonos têm o número de lados expressos
por números inteiros consecutivos. Sabendo que o
número total de diagonais dos três polígonos é igual a
28, determine a polígono com maior número de
diagonais.
nº de diagonais
de um polígono
polígono A - n lados
polígono B - n + 1 lados
polígono C - n + 2 lados
d = n(n - 3)
2
Total de diagonais = 28
Si = 180(n - 2)
1 620 = 180(n - 2)
n - 2 = 1 620/180 = 9
n = 11
28 =
n(n - 3) + (n + 1)(n + 1 - 3) + (n + 2)(n + 2 - 3)
2
2
2
n(n - 3) + (n + 1)(n - 2) + (n + 2)(n - 1)
2
2
n - n - 20 = 0
28 =
e = 360/n
e = 360/11 = 32,73º
x = e = 32,73º Portanto 30º < x < 35º (resp b)
Raízes
n = -4 (não convém)
n=5
polígono A - 5 lados
polígono B - 6 lados
polígono C - 7 lados (heptágono) - tem o maior número
de diagonais. (resp)
18) Na figura ao lado, ABC é um triângulo eqüilátero
e DEFGH é um pentágono regular. Sabendo-se que
D pertence ao lado AC, F pertence ao lado AC, G e
H pertencem ao lado BC, determinar as medidas dos
ângulos ADE e CDH.
19) Dado o eneágono regular ao lado, determinar a
medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos
lados AB e DE.
A
I
B
e = 360/n = 360/5 = 72º
i + e = 180
i + 72 = 180
i = 108º
H
G
i
F
i = 108º
y
C
60º
i
e
H
X
y
x
y + i + x = 180
48 + 108 + x = 180
x = 24º
C
140º
E
D
e
y
A
y + 60 + e = 180
y + 60 + 72 = 180
y = 48º
(resp c)
G
B
D
e
E
F
e = 360/n = 360/9 = 40º
i = 180 - e = 180 - 40 = 140º
y + y + 140 = 180
y = 20º
x + (y + e) + (y + e) = x + 2y + 2e = 180
x + 40 + 80 = 180
x = 60º (resp)
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96
geometria plana
20) (UFSC-2006) Considere um hexágono equiângulo (ângulos internos iguais), no qual quatro lados
consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm,
conforme figura a seguir. Calcule o perímetro do hexágono.
E
a
F
a
A
D
20
a
b) 100º
c) 90º
d) 95º
e) 85º
C
15
a
23
a) 105º
13
a
a
21) (MACK-SP) Num quadrilátero convexo, a soma
de dois ângulos internos consecutivos mede 190º.
O maior ângulo formado pelas bissetrizes internas
dos dois outros ângulos mede:
B
22) (ITA-SP) O número de diagonais de um polígono
regular de 2n lados, que não passam pelo centro da
circunferência circunscrita a esse polígono, é dado
por:
23) (FEI) O menor ângulo interno de um polígono convexo mede 139º, e os outros ângulos formam com o
primeiro uma progressão aritmética de razão 2. Determine o número de lados do polígono.
a) 2n(n - 2)
b) 2n(n - 1)
c) 2n(n - 3)
d) n(n - 5)
2
e) n.d.a.
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geometria plana
20) (UFSC-2006) Considere um hexágono equiângulo (ângulos internos iguais), no qual quatro lados
consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm,
conforme figura a seguir. Calcule o perímetro do hexágono.
E
Si = 180(n - 2)
Si = 180(6 - 2) = 720º
i = 720 / 6 = 120º
D
20
a
a
F
23
13
60º
13
13
120º
C
y
F
D
a
a
x
120º
23
b b
A + B + C + D = 360º
A + B = 190º
Portanto
C + D = 360 - 190 = 170º
Mas C + D = 2a + 2b = 170º
Então a + b = 85º
15
B
A figura acima é um paralelogramo
20 + 13 = 23 + x
C
y é ângulo externo
y = a + b = 85º
x = 10
x + y = 15 + 13
10 + y = 28
y = 18
x = 180 - y = 180 - 85 = 95º
O maior ângulo é x
Per = 2p = 20 + 13 + 15 + 23 + 10 + 18 = 99 cm (resp)
22) (ITA-SP) O número de diagonais de um polígono
regular de 2n lados, que não passam pelo centro da
circunferência circunscrita a esse polígono, é dado
por:
a) 2n(n - 2)
x = 95º (resp d)
23) (FEI) O menor ângulo interno de um polígono convexo mede 139º, e os outros ângulos formam com o
primeiro uma progressão aritmética de razão 2. Determine o número de lados do polígono.
Se o menor ângulo interno mede 139º, então o maior ângulo
externo mede 180 - 139 = 41º
b) 2n(n - 1)
Os ângulos externos formam uma PA (41º, 39º, 37º, ... )
c) 2n(n - 3)
d) n(n - 5)
2
e) n.d.a.
e) 85º
y
120º
x 60º x
120º
60º
x
A
d) 95º
B
D
120º
120º
c) 90º
A
C
B
20
b) 100º
15
a
a
a) 105º
13
a
A
E
a
21) (MACK-SP) Num quadrilátero convexo, a soma
de dois ângulos internos consecutivos mede 190º.
O maior ângulo formado pelas bissetrizes internas
dos dois outros ângulos mede:
A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é 360º.
nº de diagonais
de um polígono
d = n(n - 3)
2
Se o polígono tem 2n lados, a fórmula passa a ser
d = 2n(2n - 3)
2
Soma dos n primeiros termos de uma PA Sn = ( a1 + an ) . n
2
Fórmula do termo geral de uma PA an = a1 + (n - 1) . r
an = 41 + (n - 1).(-2) = 43 - 2n
Sn = (41 + 43 - 2n) . n / 2
360 = (41 + 43 - 2n) . n / 2
Mas a diagonal que passa pelo centro está sendo excluída
n - 42n + 360 = 0
Então a fórmula passa a ser
Raízes
n = 30 (não convém pois o 30º ângulo será menor que 0º)
n = 12
d = 2n(2n - 4)
2
Simplificando, tem-se
2
Se esse polígono tem 12 ângulos externos, então ele tem
12 lados. (resp)
d = n(2n - 4)
d = 2n(n - 2) (resp a)
Conferindo
41 + 39 + 37 + 35 + 33 + 31 + 29 + 27 + 25 + 23 + 21 + 19 = 360
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geometria plana
Respostas dos exercícios da Aula 05.
01) 2340º e 90 diagonais
02) 360º e 135 diagonais
03) 140º e 40º
04) 135º e 20 diagonais
05) 1980º
06) 54 diagonais
07) 90 diagonais
08) 360º / 7
09) Heptágono e undecágono
10) Eneágono e pentadecágono
11) 60º
12) 75º
13) d
14) b
15) d
16) b
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
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geometria plana
Respostas dos exercícios complementares da Aula 05.
01)
a) 2700º
b) 360º
c) 119
02)
a) 1620º
b) 360º
c) 44
21) d
22) a
23) 12
03) 14 lados e 77 diagonais
04) 1620º
05) 360º
06) Quadridecágono e dodecágono
07)
a) 9
e) 40º
b) 1260º
f) 27
c) 140º
d) 360º
c) 156º
d) 360º
08) Eneágono
09)
a) 15
e) 24º
b) 2340º
f) 90
10) Pentadecágono e dodecágono
11) 18º
12) 120º
13)
a) 360º
e) 108º
i) 36º
b) 36º
f) 72º
c) 1440º
g) 54º
d) 144º
h) 72º
14) 74º
15) c
16) b
17) heptágono
18) 24º e 48º
19) 60º
20) 99 cm
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
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geometria plana
Geometria plana
Aula 06
Ângulos na circunferência.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
I) Elementos da circunferência.
A
C - centro da circunferência
AC = r - raio da circunferência
AB = 2r - diâmetro da circunferência
ACD = a - ângulo central
APD - arco da circunferência
AD - corda da circunferência
r
r
C
a
P
r
D
B
II) Posições relativas entre ponto
e circunferência.
A
B
III) Posições relativas entre reta
e circunferência.
ponto de tangência
A - ponto
exterior
reta ta
ngente
B - ponto da
circunferência
C
ante
reta sec
D - ponto
interior
D
C - centro da
circunferência
reta exterior
IV) Propriedades da circunferência.
1) Em toda circunferência, a medida 2) Em toda circunferência, o raio é
do ângulo central é igual à medida perpendicular à reta tangente no
do arco correspondente.
ponto de tangência.
APB = a
A
C
a
3) Em toda circunferência, o raio,
quando perpendicular à corda, divide essa corda ao meio.
C
P
C
B
B
M
A
AM = MB
V) Ângulos na circunferência.
- ângulo central
b
- ângulo inscrito
nt
a
a
- ângulo central
b
- ângulo de segmento
se
b
ca
vértice
b) Ângulo de segmento.
É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circunferência, um lado secante e um lado tangente a essa
circunferência.
Propriedade - O ângulo de segmento vale a metade
do ângulo central ou a metade do arco correspondente.
e
a) Ângulo inscrito na circunferência.
É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circunferência e os dois lados secantes a essa
circunferência.
Propriedade - O ângulo inscrito vale a metade do
ângulo central ou a metade do arco correspondente.
a
b= a
2
vértice
b= a
2
b
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a
tangente
101
geometria plana
IV) Consequências do ângulo inscrito.
1) Todo triângulo retângulo pode ser 2) Em todo triângulo retângulo, a 3) Todos os ângulos de uma circuninscrito numa semicircunferência mediana relativa à hipotenusa vale ferência inscritos no mesmo arco
onde a hipotenusa coincide com o a metade dessa hipotenusa.
são congruentes.
diâmetro.
R
ângulo
inscrito
R
hipotenusa
e diâmetro
mediana
relativa à
hipotenusa
R
b
hipotenusa
4) Em todo quadrilátero inscrito numa circunferência os ângulos internos opostos são suplementares.
b
5) Ângulo excêntrico de vértice
interno.
C
q
g
b
6) Ângulo excêntrico de vértice
externo.
x= a+b
2
a + b = 180º
e
g + q = 180º
a
arco de
medida
2b
b
a
b
x
x= a-b
2
a
b
x
b
vértice
vértice
Exercícios - 01) Nas circunferências abaixo, sendo O o centro, determine a medida do ângulo ou do arco x.
a)
c)
b)
x
x
O
x
O
O
118º
46º
41º
e)
d)
f)
x
39º
x
O
O
g)
O
62º
x
i)
h)
x
62º
O
104º
O
x
x
O
87º
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102
geometria plana
IV) Consequências do ângulo inscrito.
1) Todo triângulo retângulo pode ser 2) Em todo triângulo retângulo, a 3) Todos os ângulos de uma circuninscrito numa semicircunferência mediana relativa à hipotenusa vale ferência inscritos no mesmo arco
onde a hipotenusa coincide com o a metade dessa hipotenusa.
são congruentes.
diâmetro.
R
ângulo
inscrito
R
hipotenusa
e diâmetro
mediana
relativa à
hipotenusa
R
b
hipotenusa
4) Em todo quadrilátero inscrito numa circunferência os ângulos internos opostos são suplementares.
b
5) Ângulo excêntrico de vértice
interno.
C
a
q
g
b
6) Ângulo excêntrico de vértice
externo.
x= a+b
2
a + b = 180º
e
g + q = 180º
a
arco de
medida
2b
b
b
x
x= a-b
2
a
b
x
b
vértice
vértice
Exercícios - 01) Nas circunferências abaixo, sendo O o centro, determine a medida do ângulo ou do arco x.
a)
c)
b)
x
x
O
x
O
O
118º
46º
41º
x = 118/2
x = 59º
x/2 = 41
x = 82º
e)
d)
x/2 = 46
x = 92º
f)
x
39º
x
O
O
x = 180/2
x = 90º
x = 39º
g)
O
62º
x
x + 90 + 62 = 180
x = 28º
i)
h)
124º
x
56º
y
62º
O
104º
O
x
x
x = 56/2
x = 28º
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O
x + 104 = 180
x = 76º
87º
x + y = 180
y + 87 = 180
x = 87º
Jeca 61
103
geometria plana
02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
a)
b)
c)
B
x
A
3x
x
O
12
4º
O
C
55º
O
x
D
d)
e)
tan
(GeoJeca)
gen
f)
te
52º
x
35º
34º
O
x
x
52º
O
O
g)
h) Tente fazer por outro método.
i)
88º
x
37º
x
37º
O
x
O
O
56º
j)
k)
l)
87º
118º
142º
O
x
34º
34
º
33º
m)
O
O
x
x
o)
n)
5º
16
x
O
54º
ta
x
ng
en
te
146º
O
O
x
º
Jeca 62
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104
geometria plana
02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
a)
b)
3x + x + 90 = 180
x = 90/4
x = 22,5º
B
x
c)
y
3x
3x
A
x
O
12
4º
O
C
124º
56º x = 56/2
x = 28º
D
d)
x
tan
gen
te
w
35º x 35º
35º
34º
O
w - ângulo de segmento
w = 52º
y + 34 + 52 = 180
y = 94º
z
y
128º x
52º
52º
x + z + 128 = 180
x = 18º
h) Tente fazer por outro método.
z
i)
y O
x
O
O
R
y
106º
x = 106/2
x = 53º
74º
j)
k)
y = 34/2 = 17º
z = 118/2 = 59º
z=x+y
x=z-y
l)
y
x
y
y = 142/2 = 71º
z = 34/2 = 17º
x + y + z = 180º
x = 92º
O
O
z
n)
x
x = 214/2
x = 107º
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o)
ng
en
z
O
x
y + 165 = 77 = 360
y = 118
x = y/2
x = 118/2
x = 59º
te
146º
34º
5º
y
x
16
x
x
y = 90 - 54 = 36º
y + y + z = 180
z = 108º
x = 108/2
x = 54º
146º
O
y
º
33º
m)
142º
z
34
x
O
214º
56º
x = 42º
z
118º
87º
z = 33/2 = 16,5º
y = 87/2 = 43,5º
x + 16,5 + 43,5 = 180
x = 120º
y
54º
ta
37º
x=y+z
x = 72º
z
x
37º
x = z/2
x = 76/2
x = 38º
z = 56/2 = 28º
y = 88/2 = 44º
x é ângulo externo
88º
x
R
x
y
x = y/2
x = 106/2
x = 53º
37º
52 = y/2
y = 104º
z = 180 - y
z = 76º
z = 180 - w - y
z = 34º
35 + x + 35 = 90
x = 20º
y + 37 + 37 = 180
y = 106º
f)
O
O
g)
55 = y/2
y = 110º
x=y
x = 110º
6x
e)
55º
55º
O
y
O
x
º
Jeca 62
77
105
geometria plana
03) Na circunferência abaixo pode-se afirmar que:
G
H
04) (J) Dada uma circunferência de diâmetro AB, seja
P um ponto da circunferência distinto de A e de B.
Pode-se afirmar que :
a) PA = PB
b) PA + PB = constante
c) PA > PB
A
70º
F
B
2
2
d) (PA) + (PB) = constante
E
2
D
2
e) (PA) - (PB) = constante
C
a) as medidas dos arcos AHG e EDC são iguais.
b) a soma dos arcos AHG e ABC é 180º.
c) a soma dos arcos GFE e ABC é 140º.
d) o arco GFE é maior que o arco EDC.
e) a soma dos arcos GFE e ABC é 220º.
05) Na figura abaixo, a circunferência de centro C
tangencia o triângulo DEF nos pontos A e B. Sabendose que a medida do ângulo interno D é 40º e que a
medida do arco AGB é 75º, determinar a medida do
ângulo x.
D
06) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são pontos
da circunferência de centro O. O valor de x + y é :
a) 242º
b) 121º
c) 118º
d) 59º
B
e) 62º
A
x
O
11
8
º
C
A
y
G
E
x
B
C
F
07) Na figura abaixo, as duas circunferências têm o
mesmo raio e centros nos pontos R e S. Os pontos A,
P, B e S estão na circunferência de centro R e os
pontos M, N, R e K estão na circunferência de centro
S. Se o arco APB mede 86º, então o ângulo MKN,
mede :
A
a) 23º
b) 21º 30’
M
c) 22º
d) 22º 30’
P
R
S
e) 43º
08) Dado um pentágono regular ABCDE, constói-se
uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma
que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência,
em B e em E, respectivamente. Determine a medida,
em graus, do menor arco BE dessa circunferência.
B
A
C
N
B
E
K
09) (J) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tangentes à circunferência de centro O. Determine a medida do ângulo APB sabendo que o ângulo ACB
mede 61º.
(GeoJeca)
D
10) (MACK-SP) Na figura a seguir, os arcos QMP e
MTQ medem,respectivamente, 170º e 130º. Então,
o arco MSN mede:
a) 60º
b) 70º
c) 80º
d) 100º
e) 110º
A
P
P
S
C
M
N
O
T
B
Q
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106
geometria plana
03) Na circunferência abaixo pode-se afirmar que:
G
H
A
x + y + 70 = 180
x + y = 110
2x + 2y = 220º
70º
2y F
E
x
04) (J) Dada uma circunferência de diâmetro AB, seja
P um ponto da circunferência distinto de A e de B.
Pode-se afirmar que :
P
a) PA = PB
b) PA + PB = constante
c) PA > PB
B 2x
70º
2
resp e)
y
D
2
05) Na figura abaixo, a circunferência de centro C
tangencia o triângulo DEF nos pontos A e B. Sabendose que a medida do ângulo interno D é 40º e que a
medida do arco AGB é 75º, determinar a medida do
ângulo x.
A medida do ângulo central ACB
é igual à medida do arco AGB
D
ACBE é um
quadrilátero
A + E + B + C = 360º 40º
Portanto y = 105º
2
2
2
(AB) = (PA) + (PB)
2
2
2
Portanto (PA) + (PB) = (AB) = constante (resp d)
06) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são pontos
da circunferência de centro O. O valor de x + y é :
a) 242º
b) 121º
c) 118º
d) 59º
B
e) 62º
z
A
75º
E
C
x
B
N
F
º
y
A
x
y
B
e = 360/n = 360/5 = 72º
i = 180 - e = 180 - 72 = 108º
BCDEO é um quadrilátero
O
x
P
y = 2 . 61 = 122º
APBO é um quadrilátero
y + 90 + x + 90 = 360
x = 360 - 180 - 122
x = 58º (resp)
Si = 180(n - 2) = 180(5 - 2)
Si = 540º
540 = x + 2 . 90 + 2 . 108
x = 144º
BE = x
BE = 144º (resp)
C
108º
i
E
A
C
B
x
09) (J) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tangentes à circunferência de centro O. Determine a medida do ângulo APB sabendo que o ângulo ACB
mede 61º.
(GeoJeca)
w
08) Dado um pentágono regular ABCDE, constói-se
uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma
que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência,
em B e em E, respectivamente. Determine a medida,
em graus, do menor arco BE dessa circunferência.
K
61º
O
11
8
118 = y + w
118 = y + x + 59
x + y = 118 - 59 = 59º (resp d)
07) Na figura abaixo, as duas circunferências têm o
mesmo raio e centros nos pontos R e S. Os pontos A,
P, B e S estão na circunferência de centro R e os
pontos M, N, R e K estão na circunferência de centro
S. Se o arco APB mede 86º, então o ângulo MKN,
mede :
A
a) 23º
b) 21º 30’
M
c) 22º
86º
d) 22º 30’
P
y
R
S
e) 43º
y = 86/2
B
y = 43
x = y/2 = 43/2
x = 21,5º (resp b)
x
z = 118/2 = 59º
w=x+z
w = x + 59
y
G
O
B
1) Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircunferência.
2) Se o triângulo é retângulo então ele satisfaz o Teorema de
Pitágoras.
A
x + y + 40 = 180
x = 35º (resp)
A
2
e) (PA) - (PB) = constante
C
a) as medidas dos arcos AHG e EDC são iguais. (F)
b) a soma dos arcos AHG e ABC é 180º. (F)
c) a soma dos arcos GFE e ABC é 140º. (F)
d) o arco GFE é maior que o arco EDC. (F)
e) a soma dos arcos GFE e ABC é 220º. (V)
C
2
d) (PA) + (PB) = constante
e
D
10) (MACK-SP) Na figura a seguir, os arcos QMP e
MTQ medem,respectivamente, 170º e 130º. Então,
o arco MSN mede:
a) 60º
b) 70º
c) 80º
d) 100º
e) 110º
y = 360 - QMP
y = 360 - 170 = 190
z = y/2 = 95º
w = 180 - 95 = 85º
k = 130/2
S
k = 65º
x + k + w = 180
N
k
x = 30º
x = MSN/2
MSN = 60º (resp a)
P
M
w
z
130º
T
x
y
Q
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107
geometria plana
11) No pentadecágono regular abaixo, determinar a 12) No icoságono regular abaixo, BK, CN e HN são
medida do ângulo agudo formado entre as diagonais diagonais. Determine as medidas dos ângulos x, y e
z.
NE e BJ.
A
P
B
N
T
C
D
O
P
M
H
A
H
L
K
B
x
z
A
C
O
B
y
K
y
J
J
14) A figura abaixo representa um quadrilátero BEFK
inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
L
K
I
DICA - Aplique ângulos inscritos
13) No dodecágono regular de centro O abaixo, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
L
G
y
x
N
DICA - Aplique ângulos inscritos
F
O
G
I
E
z
Q
F
J
C
D
R
E
K
B
S
M
L
A
U
C
x
D
t
J
I
D
O
E
z
I
F
H
G
H
DICA - Aplique ângulos inscritos
E
t
G
F
DICA - Aplique ângulos inscritos
15) A figura abaixo representa um eneágono regular 16) No eneágono regular ABCD … , determinar a
ABCD … de centro O. Sendo OI a bissetriz do ângulo medida do ângulo x formado pelas retas IB e DE.
AIH e OP a mediatriz do segmento FE, determinar as
A
medidas dos ângulos x, y, z e t.
t
H
C
O
C
x
z
G
x
B
I
H
B
I
A
O
G
y
D
F
P
D
F
E
E
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DICA - Aplique ângulos inscritos
108
geometria plana
11) No pentadecágono regular abaixo, determinar a 12) No icoságono regular abaixo, BK, CN e HN são
medida do ângulo agudo formado entre as diagonais diagonais. Determine as medidas dos ângulos x, y e
z.
NE e BJ.
m = 360/20
A
B
3
P
n = 15 lados
=
D
x
O
4 . 24 = 96º L
w
y
K
w = 96/2 = 48º
º
72
M
y = 72/2 = 36º
4
C
.2
N
E
F
J
I
H
k = 360/15
k = 24º
z
D
t
I
z = GHJ/2
z = 3 . 30/2
z = 45º
E
F
H
Q
E
F
O
P
M
G
t
y
x
N
H
L
K
I
J
14) A figura abaixo representa um quadrilátero BEFK
inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
G
m = 360/12
m = 30º
y
K
y = EHK/2
y = 6 . 30/2
y = 90º
D
O
z
I
E
t
t = KBE/2
t = 6 . 30/2
t = 90º
DICA - Aplique ângulos inscritos
C
x
J
z = FJB/2
z = 8 . 30/2
z = 120º
m = 360/12
B m = 30º
A
L
x = BDF/2
x = 4 . 30/2
x = 60º
y
O
D
z
B
C
J
C
DICA - Aplique ângulos inscritos
x
K
t = CDE = 2 . 30
t = 60º
y = EFG/2
y = 2 . 30/2
y = 30º
A
R
t = NSB/2
t = 8 . 18/2
t = 72º
m = 18º
B
w
x + y + z = 180
z = 36º
13) No dodecágono regular de centro O abaixo, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
L
A
U
S
w = HJK/2
w = 3 . 18/2
w = 27º
DICA - Aplique ângulos inscritos
x = LCE/2 = 5 . 30/2
x = 150/2 = 75º
T
y=t+w
y = 27 + 72 = 99º
G
x=y+w
x = 36 + 48
x = 84º (resp)
x = CEH/2
x = 5 . 18/2
x = 45º
H
F
G
DICA - Aplique ângulos inscritos
15) A figura abaixo representa um eneágono regular 16) No eneágono regular ABCD … , determinar a
ABCD … de centro O. Sendo OI a bissetriz do ângulo medida do ângulo x formado pelas retas IB e DE.
AIH e OP a mediatriz do segmento FE, determinar as
A
medidas dos ângulos x, y, z e t.
I
A
I
t
H
t
y = x = 140º
C
x
z
G
m = 360/9
m = 40º
x = ICG/2
x = 7 . 40/2
x = 140º
B
O
y
D
F
P
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C
O
z
G
m = 360/9
m = 40º
E
DICA - Aplique ângulos inscritos
x
H
2.t = 140
t = 70º
z = IGP'
z = 3,5 . 40
z = 140º
B
y
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F
D
y = BCD/2
y = 2 . 40/2
y = 40º
z = EGI/2
z = 4 . 40/2
z = 80º
E
z=x+y
x=z-y
x = 80 - 40 = 40º (resp)
DICA - Aplique ângulos inscritos
109
geometria plana
Geometria plana
Ângulos na circunferência.
Exercícios complementares da aula 06.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
a)
c)
86º
O
x
246º
b)
V
x
O
x
O
V
76º
V
f)
e)
d)
29º
x
x
O
136º
88º
O
O
x
h)
g)
i)
x
10
68º
23º
70º
O
2º
x
94º
x
O
O
87º
j)
m)
l)
x
106º
33º
O
O
38
º
O
x
n)
x
p)
o)
x
51º
196º
x
O
O
x
O
56º
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geometria plana
Geometria plana
Ângulos na circunferência.
Exercícios complementares da aula 06.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
a)
c)
86º
O
x
246º
b)
V
x
O
x
O
V
76º
V
x = 86/2
x = 43º
f)
e)
d)
76 = x/2
x = 152º
x = 246/2
x = 123º
y
x
x
O
136º
29º
88º
O
O
y = 2 . 29
y = 58º
x
x = 136º
h)
g)
x = y/2
x = 58/2
x = 29º
x = 88/2
x = 44º
i)
x
x
y
93º
x/2 87º
l)
y = 38/2
y = 19º
O
z
x
x = 114/2
x = 57º
n)
y = 102/2
y = 51º
w = 68/2
w = 34º
x + y + w = 180º
x = 180 - 51 - 34 = 95º
m)
x
z = 106/2
z = 53º
O
O
x
180º
z=x+y
x = z - y = 53 - 19 = 34º
p)
o)
x
51º
w
º
66º
38
106º
y
33º
O
x/2 + 23 + 93 = 180
x/2 = 64
x = 128º
x + 94 + 70 = 180
x = 16º
j) 114º
x
68º
O
2º
94º 70º
23º
O
10
x
94º
x
x = 180/2
x = 90º
196º
x
O
O
O
x
56º
x + 51 + 90 = 180
x = 39º
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x + 56 = 180
x = 124º
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y
y = 196/2
y = 98º
x + y = 180
x = 180 - 98
x = 82º
111
geometria plana
02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
a)
c)
b)
78º
x
x
O
O
O
98º
2x
d)
x
f)
e)
x
58º
O
O
h)
x
i)
56º
O
O
º
40
º
x
O
g)
88
57º
42º
x
94º
O
26º
1
x
x
40º
36º
l)
j)
m)
x
x
55º
O
120º
O
10
0º
82º
x
115º
O
68º
o)
n)
p)
56º
O
x
48º
x
O
O
44
º
x
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geometria plana
02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
a)
c)
b)
x
x
O
O
O
98º
2x
x
x
78 = 180
102
x/2
2y
204º
58º
º
88
42º
x
57º
+
=
=
=
=
f)
e)
114º
y
y
y
x
x
y + 98 = 180
x + y = 180
x = 98º
x + 2x = 180
3x = 180
x = 60º
d)
78º
y
y
x
O
O
O
2x
84º
2x
2x + 114 = 180
2x = 66
x = 33º
g)
h)
z
140º
y
y
94º
O
O
º
40
y
y
z
z
26º
1
y
y
z
z
x
x
=
=
+
=
=
=
z
x
56/2
28º
140 + y = 180
12º
2z = 2 . 12
24º
z = 94/2 = 47º
y + 26 = 47
y = 21º
x = 2y = 2 . 21 = 42º
y
y = 68/2
y = 34º
x
60º
55º
120º
O
40/2
20º
36 + y
56º
40º
36º
x = 2z
x = 2 . 56
x = 112º
x
y = 2 . 100
y = 200º
x
y
O
z = 2 . 115
z = 230º
x
115º
O
z
10
68º
2x
82 = 34 + z
z = 48º
x = 2z
x = 2 . 48 = 96º
y + z = 360 + x
430 = 360 + x
x = 70º
x + 60 + 55 = 180
x = 65º
z
o)
n)
y
z
0º
z
O
=
=
=
=
m)
l)
j)
82º
x
i)
56º
x
x
58 = 2y
y = 116º
x + y + 88 = 360
x = 156º
y
2x + 84 = 180
2x = 96
x = 48º
p)
y
56º
O
48º
x
x
O
44
º
y
y = 2 . 56
y = 112º
x = y = 112º
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R
O
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y
y
z
z
x
x
x
=
=
=
=
=
=
=
2 . 44
88º
180 - y
92º
z/2
92/2
46º
R
y
z
48 = z/2
z = 96º
y
x
z + y + y = 180
x + y = 90
y = 42º
x = 48º
113
geometria plana
03) Na circunferência de centro C abaixo, AB é um
diâmetro e a medida do segmento DE é a metade da
medida de AB. Determine a medida dos ângulos ADB,
ECD e AFE.
04) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tangentes à
circunferência de centro C nos pontos A e B.
Sabendo-se que o ângulo APB mede 48º, determinar
a medida do arco ADB.
A
B
P
C
F
A
C
D
D
B
E
05) Na figura abaixo, A, B, C e D são pontos da circunferência de diâmetro AD e centro O. Determine
a medida do ângulo AEB.
B
C
72º
x
06) Sejam P, Q e R pontos de uma circunferência de
centro O, tais que P e Q estão do mesmo lado do
diâmetro que passa por R. Sabendo que ORP = 20º e
ROQ = 80º, calcule o ângulo PQO.
E
A
28º
O
D
R
O
07) Na figura abaixo, AB é o diâmetro e C, D e E são 08) Na figura abaixo, AB = 12 cm é um diâmetro da cirpontos da circunferência. Sabendo-se que o ângulo cunferência de centro C. Sendo D um ponto da circunferência diferente de A e de B, determine :
DCE mede 35º, determine a medida do ângulo BFE.
a) a medida do ângulo ADB.
C
b) o tipo do triângulo ADB.
c) o que é o segmento CD no triângulo ADB.
d) a medida do segmento CD.
A
B
B
D
C
F
A
E
D
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114
geometria plana
03) Na circunferência de centro C abaixo, AB é um
diâmetro e a medida do segmento DE é a metade da
medida de AB. Determine a medida dos ângulos ADB,
ECD e AFE.
A
DE = AC = CB = R (raio)
O triângulo CDE é equilátero
Portanto ECD = 60º
y = 2k
z = 2p
x
R
y
F
R
B
72º
28º
x
y
48º
P
w
D
z
y
O triângulo APB é isósceles
2y + 48 = 180
y = 66º
z + y = 90º
z = 24º
w + 2z = 180
w = 132º
ADB = 360 - w = 360 - 132 = 228º
05) Na figura abaixo, A, B, C e D são pontos da circunferência de diâmetro AD e centro O. Determine
a medida do ângulo AEB.
z
y
B
w
x = p + k = y/2 + z/2 = (y + z)/2
x = 120/2
x = AFE = 60º
C
C
D
E
k = y/2
p = z/2
z
z
k
R
p
A
y + w + z = 180
w = 60º
y + z = 120º
B
R
C
ADB = 90º
O triângulo ADB é retângulo porque está inscrito
numa semicircunferência.
04) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tangentes à
circunferência de centro C nos pontos A e B.
Sabendo-se que o ângulo APB mede 48º, determinar
a medida do arco ADB.
06) Sejam P, Q e R pontos de uma circunferência de
centro O, tais que P e Q estão do mesmo lado do
diâmetro que passa por R. Sabendo que ORP = 20º e
ROQ = 80º, calcule o ângulo PQO.
Q
E
x
A
P
y
z
O
80º
D
z = 28/2 = 14º
y = 72 /2 = 36º
y=x+z
x=y-z
x = 36 - 14
x = 22º
20º
O
R
z = 20 + 80
z = 100º
y = QOR/2
y = 80/2
y = 40º
z=x+y
100 = x + 40
x = 60º (resp)
07) Na figura abaixo, AB é o diâmetro e C, D e E são 08) Na figura abaixo, AB = 12 cm é um diâmetro da cirpontos da circunferência. Sabendo-se que o ângulo cunferência de centro C. Sendo D um ponto da circunferência diferente de A e de B, determine :
DCE mede 35º, determine a medida do ângulo BFE.
a) a medida do ângulo ADB.
C
b) o tipo do triângulo ADB.
c) o que é o segmento CD no triângulo ADB.
35º
d) a medida do segmento CD.
A
p
k
y
F
D
z
x
w
E
D
B
z = 2 . 35 = 70º
y + z + w = 180
y + w = 110º
k = w/2
p = y/2
a) ADB = 90º
Todo triângulo retângulo pode ser
inscrito numa semicircunferência.
b) triângulo retângulo.
c) CD é uma mediana do
triângulo ABD
d) CD = AC = CB = R (raio)
CD = 6 cm
B
C
A
D
x = k + p = w/2 + y/w
x = (y + w)/2
x = 110/2
x = 55º
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geometria plana
09) A figura abaixo representa um eneágono regular
inscrito em uma circunferência de centro O. Determinar
a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais
GB e HD.
10) A figura abaixo representa um decágono regular
inscrito em uma circunferência de centro O. Sendo OJ
e OC as bissetrizes dos ângulos AJI e BCD
respectivamente, determinar a medida do ângulo COJ.
A
A
I
H
I
C
x
B
J
B
C
O
O
G
D
D
H
E
F
E
G
F
DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos
11) A figura abaixo representa um heptágono regular 12) A figura abaixo representa um pentadecágono reinscrito numa circunferência de centro O. Determinar a gular inscrito numa circunferência de centro O. Determinar o ângulo obtuso formado entre as diagonais MD
medida do ângulo BDG.
e BI.
A
A
P
G
B
B
N
C
M
D
O
O
L
C
F
E
F
K
E
D
G
J
I
DICA - Aplique ângulos inscritos
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H
DICA - Aplique ângulos inscritos
116
geometria plana
09) A figura abaixo representa um eneágono regular
inscrito em uma circunferência de centro O. Determinar
a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais
GB e HD.
10) A figura abaixo representa um decágono regular
inscrito em uma circunferência de centro O. Sendo OJ
e OC as bissetrizes dos ângulos AJI e BCD
respectivamente, determinar a medida do ângulo COJ.
A
m = 360/9
m = 40º
A
I
B
z
y
H
I
C
x
B
J
m = 360/10
m = 36º
C
x
O
O
G
D
y = BCD/2
y = 2 . 40 = 80/2
y = 40º
E
F
D
H
x = JAC
x = 3 . 36
x = 108º (resp)
z = HG/2
z = 40/2
z = 20º
E
G
F
x=y+z
x = 40 + 20
x = 60º (resp)
DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos
11) A figura abaixo representa um heptágono regular 12) A figura abaixo representa um pentadecágono reinscrito numa circunferência de centro O. Determinar a gular inscrito numa circunferência de centro O. Determinar o ângulo obtuso formado entre as diagonais MD
medida do ângulo BDG.
e BI.
A
m = 360/15
m = 24º
P
G
B
A
B
N
C
m = 360º/7
x
M
O
x
E
O
L
C
F
D
y
K
D
E
F
z
G
J
x = GAB/2
x = 2 . m/2
x = (2 . 360/7)/2
x = 360/7
y = DFI/2 = 5.m/2 = 5 . 24/2
y = 60º
x = 360º/7 (resp)
z = MPB/2 = 4 . m/2 = 4 . 24/2 = 48º
I
H
x = y + z = 60 + 48
x = 108º (resp)
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DICA - Aplique ângulos inscritos
117
geometria plana
13) No pentadecágono regular abaixo, determinar a 14) No icoságono regular abaixo, determinar as medimedida do ângulo agudo formado entre as diagonais das dos ângulos x, y e z.
A
B
U
ND e BJ.
A
P
T
B
N
C
D
O
Q
E
J
G
H
M
L
DICA - Aplique ângulos inscritos
A
16) A figura abaixo representa um quadrilátero BEIK
inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
B
A
L
x
B
C
y
K
y
z
J
O
I
J
K
H
15) No dodecágono regular de centro O abaixo, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
K
F
N
DICA - Aplique ângulos inscritos
L
E
P
G
I
D
z
O
F
K
y
x
R
M
L
C
S
t
C
x
D
J
I
D
O
t
E
z
I
E
F
H
G
H
DICA - Aplique ângulos inscritos
F
G
DICA - Aplique ângulos inscritos
17) A figura abaixo representa um octógono regular 18) No eneágono regular ABCD … , determinar a
ABCD … de centro O. Sendo OH a bissetriz do ângulo medida do ângulo x formado pelas retas AG e DF.
AHG e OB a mediatriz do segmento BC, determinar as
A
medidas dos ângulos x, y, z e t.
H
z
B
I
A
x
y
B
H
C
O
t
G
C
O
G
x
D
F
D
F
E
E
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geometria plana
13) No pentadecágono regular abaixo, determinar a 14) No icoságono regular abaixo, determinar as medimedida do ângulo agudo formado entre as diagonais das dos ângulos x, y e z.
A
B
U
ND e BJ.
m = 360/20
A
P
A medida do arco MN
é igual a 360/15 = 24º
N
C
R
M
72º
D
48º
O
L
E
24º
F
K
J
BJD = BCD/2 = 48/2 = 24º
JDN = JLN/2 = 96/2 = 48
H
A
y = EFH/2
y = 3.m/2 = 3.30/2
y = 45º
y
O
t
D
I
z = HIJ/2
z = 2.m/2 = 2.30/2
z = 30º
F
G
t = ACE
t = 4,m = 4 . 30
t = 120º
M
L
I
J
K
16) A figura abaixo representa um quadrilátero BEIK
inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
K
y = EHK/2
y = 6.m/2 = 6 . 30/2
y = 90º
DICA - Aplique ângulos inscritos
B
y
C
x
J
D
O
t
z
I
E
t = KBE/2
t = 6.m/2 = 6 . 30/2
t = 90º
m = 360/12
m = 30º
A
L
z = ILB/2
z = 5.m/2 = 5 . 30/2
z = 75º
E
H
H
N
x = BFI/2
x = 7.m/2 = 7 . 30/2
x = 105º
C
J
G
w
B
x
z
P
DICA - Aplique ângulos inscritos
15) No dodecágono regular de centro O abaixo, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
K
F
O
x + y + z = 180
27 + 108 + z = 180
z = 45º
DICA - Aplique ângulos inscritos
x = LCE/2
x = 5.m/2 = 5 . 30/2
x = 75º
E
y = k + w = 63 + 45
y = 108º
JRN é ãngulo externo do triângulo JRD
JRN = 24 + 48 = 72º (resp)
L
D
z
k
Q
k = FJM/2
k = 7.m/2 = 7 . 18/2
k = 63º
y
x
R
x = CDF/2
x = 3.m/2 = 3 . 18/2
x = 27º
C
S
w = RUB/2
w = 5.m/2 = 5 . 18/2
w = 45º
G
I
T
m = 18º
B
H
F
G
12
0/
36 0º
= 3
m =
m
DICA - Aplique ângulos inscritos
17) A figura abaixo representa um octógono regular 18) No eneágono regular ABCD … , determinar a
ABCD … de centro O. Sendo OH a bissetriz do ângulo medida do ângulo x formado pelas retas AG e DF.
AHG e OB a mediatriz do segmento BC, determinar as
A
medidas dos ângulos x, y, z e t.
m = 360/9
m = 40º
A
H
y = x = 135º
z
x
y
H
C
O
z = x/2 = 135/2
z = 67,5º
t = 2,5 . m
7 = 2,5 . 45
t = 112,5º
C
O
t
G
D
F
y = ABD/2
y = 3.m/2
y = 3 . 40/2
y = 60º
B
m
m = 36
= 4 0/
5º 8
x = BEH/2
x = 6.m/2
x = 6 . 45/2
x = 135º
B
I
G
x
y
z
F
D
E
z = GF/2
z = m/2
z = 40/2
z = 20º
y=x+z
x=y-z
x = 60 - 20
x = 40º
E
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DICA - Aplique ângulos inscritos
119
geometria plana
19) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão
na circunferência de centro O. Se o arco APC mede
160º e o ângulo BAC mede 63º, qual é a medida do
ângulo ACB ?
A
a) 51º
b) 43º
P
M
c) 33º
d) 47º
e) 37º
O
20) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão
na circunferência de centro O. Se o arco AMB mede
110º e o ângulo ABC mede 63º, qual é a medida do
ângulo BAC ?
a) 62º
A
b) 64º
P
c) 58º
M
d) 63º
e) 59º
O
C
B
C
B
N
N
21) Na figura abaixo, AB é o diâmetro da circunferência 22) (FUVEST-SP) A hipotenusa de um triângulo retânde centro O. Determinar a medida do ângulo ADC gulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20º.
sabendo que o ângulo BAC mede 35º.
a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa ?
b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana
C
e pela bissetriz do ângulo reto ?
D
A
x
35º
O
B
23) No triângulo ABC abaixo, AD, BE e CF são as alturas relativas aos vértices A, B e C. Sendo as medidas dos
ângulos ABC = 48º e ACB = 64º,determinar as medidas dos ângulos internos do triângulo DEF.
fio
sa
De
A
F
E
O
B
D
C
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geometria plana
19) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão
na circunferência de centro O. Se o arco APC mede
160º e o ângulo BAC mede 63º, qual é a medida do
ângulo ACB ?
A
a) 51º
160º
b) 43º
P
M
63º
c) 33º
d) 47º
e) 37º
O
y = 160/2 = 80º
x + y + 63 = 180
x + 80 + 63 = 180
x = 180 - 143
x = 37º (resp e)
y
x
B
20) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão
na circunferência de centro O. Se o arco AMB mede
110º e o ângulo ABC mede 63º, qual é a medida do
ângulo BAC ?
a) 62º
A
b) 64º
P
c) 58º
M
110º
d) 63º
e) 59º
63º
C
O
y
B
N
C
N
21) Na figura abaixo, AB é o diâmetro da circunferência 22) (FUVEST-SP) A hipotenusa de um triângulo retânde centro O. Determinar a medida do ângulo ADC gulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20º.
sabendo que o ângulo BAC mede 35º.
a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa ?
b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana
C
e pela bissetriz do ângulo reto ?
x = ABC/2
x = (180 +70)/2
x = 250/2
x = 125º
D
A
70º
x
35º
C
B
O
45º
A
x
a) Em todo triângulo retângulo a mediana relativa à hipotenusa vale a metade dessa
hipotenusa.
20º
10 cm
20º
O 10 cm
B
Portanto CO = 10 cm
b) 45 + x + 20 = 90
x = 90 - 65
x = 25º
180º
23) No triângulo ABC abaixo, AD, BE e CF são as alturas relativas aos vértices A, B e C. Sendo as medidas dos
ângulos ABC = 48º e ACB = 64º,determinar as medidas dos ângulos internos do triângulo DEF.
fio
sa
De
A
F
E
O
B
D
C
(Resolução na página 72)
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geometria plana
Respostas dos exercícios da Aula 06.
01)
a) 59º
f) 28º
b) 82º
g) 28º
02)
a) 28º
f) 38º
k) 42º
b) 22º 30'
g) 53º
l) 92º
c) 92º
h) 76º
d) 39º
i) 87º
c) 110º
h) 53º
m) 107º
e) 90º
d) 20º
i) 72º
n) 54º
e) 18º
j) 120º
o) 59º
03) e
04) d
05) 35º
06) d
07) b
08) 144º
09) 58º
10) a
11) 84º
12) 45º, 99º e 36º
13) 75º, 30º, 45º e 60º
14) 60º, 90º, 120º e 90º
15) 140º, 140º, 70º e 140º
16) 40º
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
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geometria plana
Respostas dos exercícios complemmentares da Aula 06.
01)
a) 43º b) 123º
f) 29º g) 16º
l) 34º m) 90º
c) 152º
h) 128º
n) 39º
02)
a) 60º b) 98º
f) 156º g) 24º
l) 65º m) 70º
c) 204º
h) 42º
n) 112º
d) 136º
i) 95º
o) 124º
e) 44º
j) 57º
p) 82º
d) 33º e) 48º
i) 112º j) 96º
o) 46º p) 48º
11) 360º / 7
12) 108º
13) 72º
14) x = 27º, y = 108º , z = 45º
15) x = 75º , y = 45º , z = 30º , t = 120º
03) 90º, 60º e 60º
16) x = 105º , y = 90º , z = 75º , t = 90º
04) 228º
17) x = 135º , y = 135º , z = 67,5º , t = 112,5º
05) 22º
18) 40º
06) 60º
19) e
07) 55º
20) a
08) a) 90º
c) mediana
b) triângulo retângulo
d) 6 cm
21) 125º
22) a) 10 cm
09) 60º
b) 25º
10) 108º
Resolução do exercício 23) (Desafio)
O quadrilátero AFOE é inscrito numa circunferência, pois os os ângulos opostos AFO e AEO são
suplementares. Desenhando-se a circunferência percebe-se que os ângulos EAO e EFO são
congruentes pois estâo inscritos no mesmo arco da mesma circunferência. Análogamente provam-se os
demais ângulos.
A
26º
F
26º
E
O
(GeoJeca)
B
64º
D
C
DEF = 84º
DFE = 52º
EDF = 44º
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geometria plana
Geometria plana
Aula 07
Segmentos proporcionais.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
I) Teorema de Tales.
II) Teorema da bissetriz interna.
Em todo feixe de retas paralelas, cortado por duas
retas transversais, a razão entre dois segmentos
quaisquer de uma transversal é igual à razão entre os
segmentos correspondentes da outra transversal.
Em todo triângulo, a bissetriz de um ângulo interno
divide internamente o lado oposto em dois segmentos
que são proporcionais aos lados adjacentes.
a a
r
c
a
Teorema
de Tales
s
d
b
A
t
B
Teorema da
bissetriz interna
b
c
c
a
= d
b
bissetriz
x
y
x
c = b
C
y
r // s // t
Exercícios.
01) Determine o valor de x na figura abaixo.
r // s // t
02) Determine o valor de x na figura abaixo.
r // s // t
r
r
x
x
8
s
5
6
s
24
18
t
03) Determine o valor de x na figura abaixo.
8
t
04) Determine o valor de x na figura abaixo.
r
r
12
s
10
x
t
5
x
18
4
05) Determine o valor de x na figura abaixo.
s
06) Determine o valor de x na figura abaixo.
6
10
s
r // s
r // s // t
r
8
11
12
x
x
r
8
7
t
s
r // s // t
r // s
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geometria plana
Geometria plana
Aula 07
Segmentos proporcionais.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
I) Teorema de Tales.
II) Teorema da bissetriz interna.
Em todo feixe de retas paralelas, cortado por duas
retas transversais, a razão entre dois segmentos
quaisquer de uma transversal é igual à razão entre os
segmentos correspondentes da outra transversal.
Em todo triângulo, a bissetriz de um ângulo interno
divide internamente o lado oposto em dois segmentos
que são proporcionais aos lados adjacentes.
a a
r
c
a
Teorema
de Tales
s
t
B
bissetriz
Teorema da
bissetriz interna
b
c
c
a
= d
b
d
b
A
x
y
x
c = b
C
y
r // s // t
Exercícios.
01) Determine o valor de x na figura abaixo.
r // s // t
r
x
8
s
5
6
t
02) Determine o valor de x na figura abaixo.
r // s // t
Teorema de Tales
8
5
x
6
=
r
Teorema de Tales
x
x
8
=
18
24
x = 6 . 8/5
x = 24 . 8/18
x = 48/5 (resp)
x = 32/3 (resp)
03) Determine o valor de x na figura abaixo.
8
s
24
18
t
04) Determine o valor de x na figura abaixo.
r
r
12
s
10
x
t
18
r // s // t
Teorema de Tales
x
12
=
18
10
x
8
s
6
10
x
x = 108/5 (resp)
x = 32/5 (resp)
t
r // s // t
6 + 10
10
5
4
5
x = 8 . 4/5
x
8
t
4
s
r // s // t
06) Determine o valor de x na figura abaixo.
Teorema de Tales
12
=
x = 12 . 18/10
05) Determine o valor de x na figura abaixo.
r
Teorema de Tales
=
Teorema de Tales
x
8
x
12
=
11
7
x = (16 . 12)/10
x = 8 . 11/ 7
x = 96/5 (resp)
x = 88/ 7 (resp)
11
x
r
8
7
s
r // s
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geometria plana
07) (MAPOFEI 76) Três terrenos têm frente para a
Rua A e para a Rua B, como mostra a figura. As divisas
laterais são perpendiculares à Rua A. Qual a medida
de frente para a Rua B de cada lote, sabendo que a
frente total para essa rua é 180 m.
x
Rua B
y
08) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são
paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v.
Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6,
EF = 7 e JL = 8, determine a medida de GJ e de HM.
A
z
G
B
30 m
Rua A
20 m
A
G
B
C
D
E
u
F
m
n
H
I
F
M
s
v
B
C
D
B'
q
J
r
L
10) (UNICAMP) A figura a seguir mostra um segmento AD dividido em três partes: AB = 2cm, BC = 3 cm
e CD = 5 cm. O segmento AD' mede 13 cm e as
retas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine os
comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D' em
centímetros.
A
p
q
J
E
09) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são
paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v.
Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6,
EF = 7 e JM =15, determine as medidas de HL e GM.
p
I
D
u
n
H
C
40 m
m
C'
r
L
D'
M
s
v
Jeca 75
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geometria plana
07) (MAPOFEI 76) Três terrenos têm frente para a
Rua A e para a Rua B, como mostra a figura. As divisas
laterais são perpendiculares à Rua A. Qual a medida
de frente para a Rua B de cada lote, sabendo que a
frente total para essa rua é 180 m.
Teor. de Tales
x
40
x
=
90
180
180 m
Rua B
y
08) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são
paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v.
Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6,
EF = 7 e JL = 8, determine a medida de GJ e de HM.
A
3
z
40 m
30
y
=
90
180
30 m
Rua A
20 m
n
p
C
I
J
E
40 + 30 + 20 = 90 m
q
8
r
L
7
20
z
=
90
180
u
z = 2 . 20 = 40 m
F
M
s
v
Teor. de Tales
GJ
JL
09) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são
paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v.
Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6,
EF = 7 e JM =15, determine as medidas de HL e GM.
A
3
5
6
G
B
4
m
n
H
C
I
D
15
HM = BF . JL / DE
GJ = (3 + 4 + 5) . 8 / 6
HM = (4 + 5 + 6 + 7) . 8 / 6
GJ = 16
HM = 88/3
10) (UNICAMP) A figura a seguir mostra um segmento AD dividido em três partes: AB = 2cm, BC = 3 cm
e CD = 5 cm. O segmento AD' mede 13 cm e as
retas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine os
comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D' em
centímetros.
A
2 cm B
x
3 cm
B'
L
13 c
m
Teor. de Tales
BE
DF
M
s
v
Teor. de Tales
x
13
2
10
C'
z
D'
x = 2 . 13 / 10 = 13/5 cm
y
13
GM
AF
=
DF
JM
=
D
y
Teor. de Tales
F
5 cm
C
r
7
u
HM
BF
=
DE
JL
AD
DE
GJ = AD . JL / DE
q
J
=
2 + 3 + 5 = 10 cm
p
E
=
m
H
D
6
y = 2 . 30 = 60 m
HL
JM
B
4
5
x = 2 . 40 = 80 m
G
=
3
10
y = 3 . 13 / 10 = 39/10 cm
HL = JM . BE / DF
GM = JM . AF / DF
HL = 15 . (4 + 5 + 6) / (6 + 7)
GM = 15(3 + 4 + 5 + 6 + 7)/13
HL = 225 / 13
GM = 375 / 13
z
13
=
5
10
z = 5 . 13 / 10 = 13/2 cm
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127
geometria plana
12) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do
ângulo interno do vértice A, determine a medida do
segmento BD.
A
12
B
9 cm
D
A
D
16
cm
3x
C
B
15) O quadrado ABCD da figura abaixo tem lado 4 cm.
Determine a medida do segmento DE.
A
B
a
A
10
C
D
9 cm
C
A
3a
E
12 cm
16) Na figura abaixo, o ponto E é o incentro do triângulo ABC. Sendo BD = 3 cm, CD = 5 cm e AC = 10 cm,
determine o valor da razão DE / AE.
E
D
+1
3
14 cm
B
cm
14) Determinar o valor de x sabendo-se que na figura
abaixo AD é a bissetriz interna do ângulo A.
3x -
30
C
D
20 cm
C
13) Na figura, AD é bissetriz interna do ângulo A.
Calcule a medida do segmento CD.
cm
16 c
B
6 cm
a a
m
a a
10
cm
11) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do
ângulo interno do vértice A, determine a medida do
segmento AC.
A
B
3 cm
D
cm
C
5 cm
17) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo 18) Dado um triângulo ABC de lados AB = c, AC = b e
BC = a, sendo c < b < a. Se a bissetriz do ângulo A
A, determine a em função de b, c e d.
divide
o lado BC em dois segmentos, qual é a medida
B
do
menor
desses segmentos ?
b
a) b . c
a
a+c
D
c
a
b) b . c
a
a+b
A
C
d
c) a . b
b+c
d) a . c
b+c
e) a . b
b-c
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128
geometria plana
11) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do
ângulo interno do vértice A, determine a medida do
segmento AC.
A
cm
12
9
x
=
x = 12 . 9 / 6
B
x = 18 cm (resp)
x
B
6 cm
9 cm
D
C
x
16
=
a a
m
16 c
Teorema da bissetriz
interna
x
20 - x
D
20 cm
20 - x
10
16(20 - x)
10
10x = 320 - 16x
26x = 320
cm
6
12
a a
10
Teorema da bissetriz
interna
12) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do
ângulo interno do vértice A, determine a medida do
segmento BD.
A
C
x =
13) Na figura, AD é bissetriz interna do ângulo A.
Calcule a medida do segmento CD.
A
14 cm
B
x = 112 / 15 cm (resp)
16
cm
cm
x
D
A
Teorema da bissetriz
interna
12
9
=
3x - 3
3x + 1
3x
9(3x + 1) = 12(3x - 3)
C
12 cm
B
27x + 9 = 36x - 36
+1
3
x
14
=
16
30
x = 16 . 14 / 30
30
14) Determinar o valor de x sabendo-se que na figura
abaixo AD é a bissetriz interna do ângulo A.
3x -
Teorema da bissetriz
interna
x = 160 / 13 cm (resp)
9 cm
D
C
45 = 9x
x = 5 cm (resp)
15) O quadrado ABCD da figura abaixo tem lado 4 cm.
Determine a medida do segmento DE.
A
B
Teorema da bissetriz
interna
x
4
d
a
3a
=
4
4
=
16) Na figura abaixo, o ponto E é o incentro do triângulo ABC. Sendo BD = 3 cm, CD = 5 cm e AC = 10 cm,
determine o valor da razão DE / AE.
A
4-x
4 2
x . 4 2 = 4(4 - x)
2
D
E
4-x
b
x 2+x=4
C
B
x( 2 + 1) = 4
x =
10
x
x 2=4-x
x
Incentro - ponto de encontro das bissetrizes.
a a
E
b
3 cm
4
= 4( 2 - 1) cm
2+1
(resp)
D
Teorema da bissetriz
interna
cm
3
x
=
5x = 30
C
5
10
x = 6 cm
BE também é bissetriz
AE
DE
=
3
6
5 cm
3
6
=
DE
AE
=
1
2
(resp)
17) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo 18) Dado um triângulo ABC de lados AB = c, AC = b e
BC = a, sendo c < b < a. Se a bissetriz do ângulo A
A, determine a em função de b, c e d.
divide
o lado BC em dois segmentos, qual é a medida
B
do
menor
desses segmentos ?
b
Teorema da bissetriz
Teorema da bissetriz
a) b . c
A
a
interna
interna
a+c
D
c
a
a
a
b
b) b . c
c
a-x
x
b
c
a
a = d
c =
b
a+b
A
C
d
a.c=b.d
a-x
x
c) a . b
B
C
b+c
a
a = b . d / c (resp)
d) a . c
bx = a.c - c.x
b+c
b.x + c.x = a.c
e) a . b
x(b + c) = a.c
b-c
x = a.c / (b + c) (resp d)
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geometria plana
19) (Fuvest-SP) Um triângulo ABC tem lados AB = 5,
BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que
CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura
relativa ao lado AB. Determine o comprimento de MN.
20) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo e o
segmento BD é a bissetriz interna do ângulo ABC.
Determine a medida de BD sabendo que BC = 25 cm e
que AB = 7 cm.
B
A
21) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em
A ; AM é a mediana relativa à hipotenusa e AD é a
bissetriz do ângulo BAC. Determinar a medida do
segmento DM.
6c
D
22) (MAPOFEI-SP) O perímetro de um triângulo é
100 m. A bissetriz do ângulo interno A divide o lado
oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m. Determine as medidas dos lados desse triângulo.
m
cm
B
C
8c
5
m
A
D
M
C
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geometria plana
19) (Fuvest-SP) Um triângulo ABC tem lados AB = 5,
BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que
CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura
relativa ao lado AB. Determine o comprimento de MN.
C
20) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo e o
segmento BD é a bissetriz interna do ângulo ABC.
Determine a medida de BD sabendo que BC = 25 cm e
que AB = 7 cm.
B
Pitágoras
2
4
2
2
a
2
25 = 7 + w
2
A
N
C
2
a
x
A
B
M
5
Teorema da bissetriz
interna
4
a
5-x
M
x
2
B
4x = 10 - 2x
A
w = 625 - 49 = 576
w = 24
y
5-x
4
h
2
2
2
2 =y +h
2
2
4 = (5 - y) + h
y
24 - y
D
w
C
24 - y
25
25y = 168 - 7y
y = 21/4 cm
Pitágoras
2
2
2
x = 7 + (21/4)
2
y +h =4
B
5-y
y N
2
=
7
Pitágoras
4
A
25 cm
x
Teorema da bissetriz interna
x = 5/3
C
2
=
a
7
2
x = 49 + 441/16 = 1 225/16
2
x = 35/4 cm (resp)
2
16 = 25 - 10y + y + h
2
16 = 25 - 10y + 4
10y = 13
y = 13/10
MN = x - y = 5/3 - 13/10 = 5030 - 39/30 = 11/30 (resp)
21) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em
A ; AM é a mediana relativa à hipotenusa e AD é a
bissetriz do ângulo BAC. Determinar a medida do
segmento DM.
A
22) (MAPOFEI-SP) O perímetro de um triângulo é
100 m. A bissetriz do ângulo interno A divide o lado
oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m. Determine as medidas dos lados desse triângulo.
A
m
6c
cm
y
D
M
x
Pitágoras
2
m
5
B
8c
10 - y
x = 6 + 8 = 100
x = 10 cm
Portanto, BM = 5 cm
2
x
B
C
y
10 - y
=
8
6
8y = 60 - 6y
14y = 60
y = 30/7 cm
60 - x
24
16
40 m
C
AB + AC + BC = 100
Se BC = 16 + 24 = 40 , então AB + AC = 100 - 40 = 60 m
2
Teorema da bissetriz interna
a a
Teorema da bissetriz interna
16
24
x = 60 - x
24x = 960 - 16x
40x = 960
x = 24 m
AB = x = 24 m
AC = 60 - x = 60 - 24 = 36 m
BC = 40 m
(resp)
BM = 5 cm
BD = 30/7 cm
DM = BM - BD = 5 - 30/7 = 35/7 - 30/7
DM = 5/7 cm (resp)
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131
geometria plana
Geometria plana
Teorema de Tales e Teorema da
bissetriz interna.
Exercícios complementares da aula 07.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x
a
e y.
x
5
02) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x
e y.
a
b
7
10
8
7
y
s
r // s // t
r
y
x
2
s
y
3
z
3x
d
04) Na figura abaixo, sendo x + y = 9, determinar o
valor de x e de y.
r // s // t
x
c
4
d
03) Na figura abaixo, determine z em função de y.
r
b
x
4
c
y
5
t
t
05) Na figura abaixo, determinar x, y e z.
06) Na figura abaixo, determine o valor de x.
r
x
s
y
t
u
6 cm
3
x
7 cm
9
11
v
9 cm
7
z
2
r // s // t // u // v
07) Na figura abaixo, determine o valor de x em função
de a, b e c.
r
r // s
a
s
b
c
08) Num triângulo ABC, o lado AC mede 32 cm e o lado
BC, 36 cm. Por um ponto M situado sobre AC, a 10 cm
do vértice C, traçamos a paralela ao lado AB, a qual
divide BC em dois segmentos BN e CN. Determine a
medida de CN.
x
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geometria plana
Geometria plana
Teorema de Tales e Teorema da
bissetriz interna.
Exercícios complementares da aula 07.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x
a
e y.
x
5
Teorema de Tales
x
5
=
8
10
x = 5 . 10 / 8
x = 25 / 4
8
y
=
b
10
8
c
y
7
d
10
7
y = 7 . 8 / 10
y = 28 / 5
03) Na figura abaixo, determine z em função de y.
s
7
Teorema de Tales
7
5
x = 4
x=7.4/5
x = 28 / 5
4
d
r // s // t
r
x
2
s
y
3
t
y
3
=
5
9
y = 27 / 5
y
z
=
c
y
x
2
=
5
9
x = 18 / 5
t
1
3
b
x
5
7
y = 4
y=5.4/7
y = 20 / 7
Teorema de Tales
y
x
3x = z
z
3x
5
4
Teorema de Tales
x
2
= x+y
2+3
y
x
a
04) Na figura abaixo, sendo x + y = 9, determinar o
valor de x e de y.
r // s // t
r
02) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x
e y.
z = 3y (resp)
05) Na figura abaixo, determinar x, y e z.
Teorema de Tales
r
x
s
y
9
9
z
=
=
11
z
r // s // t // u // v
=
9
2
z = 11 . 2 / 9 = 22 / 9
07) Na figura abaixo, determine o valor de x em função
de a, b e c.
r
x.b=a.c
r // s // t
6 cm
x
3
11
y = 9 . 3 / 11 = 27 / 11
2
Teorema de Tales
b
a
x = c
9 cm
7
11
x = 9 . 7 / 11 = 63 / 11
3
11
u
x
9
7
y
t
v
06) Na figura abaixo, determine o valor de x.
a
s
x=a.c/b
b
t
c
x
7 cm
Teorema de Tales
x
9
=
7
6
x=9.7/6
x = 63 / 6
x = 21 / 2
08) Num triângulo ABC, o lado AC mede 32 cm e o lado
BC, 36 cm. Por um ponto M situado sobre AC, a 10 cm
do vértice C, traçamos a paralela ao lado AB, a qual
divide BC em dois segmentos BN e CN. Determine a
medida de CN.
A
Teorema de Tales
10
x
=
22
36 - x
22x = 360 - 10x
32x = 360
x = 360 / 32
x = 45 / 4 cm
22
M
B
36 - x
N
10
x
C
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geometria plana
09) Na figura abaixo, as retas r , s e t são paralelas
entre si. Se x + y = 12, então o valor que mais se
aproxima de x - y, é :
a)
b)
c)
d)
e)
1,03
1,33
1,57
1,75
2,00
10) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d, e e f são
paralelas entre si. Determine o valor da soma das medidas dos segmentos x, y, z e t.
r
y
4
x
a
s
5
y
4
d
e
x
3
c
t
3
2
b
z
5
t
6
f
11) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são
paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v.
Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6,
EF = 7 e LM = 8, qual é a medida de HJ ?
a)
b)
c)
d)
e)
83 / 9
81 / 7
93 / 9
72 / 7
89 / 8
A
G
B
m
n
H
C
p
I
D
u
q
J
E
12) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são
paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v.
Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6,
EF = 7 e HJ = 10, qual é a medida de HM ?
a) 198 / 7
A
G
m
b) 223 / 9
n
c) 220 / 9
B
H
d) 241 / 10
p
e) 241 / 11
C
I
D
r
L
F
M
E
s
u
v
q
J
r
L
F
M
s
v
13) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC. 14) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC.
Determine a medida do segmento BD e o valor do pe- Determine a medida dos segmentos BD e CD.
rímetro do triângulo ABC.
A
A
cm
12
cm
a
a
16
cm
cm
B
a
12
18
a
8 cm
D
B
C
D
C
20 cm
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geometria plana
09) Na figura abaixo, as retas r , s e t são paralelas
entre si. Se x + y = 12, então o valor que mais se
aproxima de x - y, é :
a)
b)
c)
d)
e)
1,03
1,33
1,57
1,75
2,00
r
y
4
x
Teorema de Tales
x
5
x+y = 5+4
x
5
=
12
9
a
s
5
y
4
d
e
x
3
c
t
3
2
b
y
4
x+y = 5+4
y
4
=
9
12
y = 12 . 4 / 9 = 16 / 3
x = 12 . 5 / 9 = 20 / 3
10) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d, e e f são
paralelas entre si. Determine o valor da soma das medidas dos segmentos x, y, z e t.
z
5
t
6
f
Teorema de Tales
2
3
=
x+y+z+t
3+4+5+6
2
3
=
x+y+z+t
18
x - y = 20/3 - 16/3 = 4/3 = 1,33 (resp b)
x + y + z + t = 54/2 = 27 (resp)
11) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são
paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v.
Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6,
EF = 7 e LM = 8, qual é a medida de HJ ?
a)
b)
c)
d)
e)
83 / 9
81 / 7
93 / 9
72 / 7
89 / 8
A
3
B
4
Teorema de Tales
BD
HJ
=
LM
EF
HJ
4+5
=
7
8
HJ = 8 . 9 / 7
m
n
H
C
5
6
G
p
I
D
E
Teorema de Tales
BD
HJ
=
BF
HM
r
L
7
u
5
q
J
9
22
8
F
12) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são
paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v.
Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6,
EF = 7 e HJ = 10, qual é a medida de HM ?
a) 198 / 7
A
G
m
b) 223 / 9
3
n
c) 220 / 9
B
H
d) 241 / 10
4
p
e) 241 / 11
C
I
M
s
v
=
6
q
J
E
10
HM
r
L
7
HM = 22 . 10 / 9
u
HM = 220 / 9
(resp c)
D
F
M
s
v
HJ = 72 / 7 (resp d)
13) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC. 14) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC.
Determine a medida do segmento BD e o valor do pe- Determine a medida dos segmentos BD e CD.
rímetro do triângulo ABC.
A
A
=
8
12
B
cm
x
x = 8 . 18 / 12
x = 12 cm
Per = 2p = 12 + 8 + 12 + 18 = 50 cm (resp)
x
12
cm
x
18
18
a
Teorema da bissetriz
interna
12
Teorema da bissetriz
interna
a
8 cm
D
20 - x
=
16
B
C
12
cm
x
16x = 240 - 12x
28x = 240
x = 60 / 7 cm
a
a
D
16
20 - x
cm
C
20 cm
BD = 60 / 7 cm
DC = 20 - 60 / 7 = 80 / 7 cm
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135
geometria plana
15) Num triângulo ABC, CD é a bissetriz do ângulo
interno ACB. Sabendo que AD = 7 cm, BD = 4 cm e
AC = 15 cm, determine a medida do lado BC.
16) Observe a figura abaixo. De acordo com essa figura, qual das relações abaixo é verdadeira.
a) a = b.d / c
b) a = b.c / d
b
c) a = c.d / b
a
d) a = c / (b.d)
c
x
e) a = b.c.d
x
d
17) No triângulo ABD abaixo, BC é a bissetriz do 18) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 12, AC = 8 e
ângulo ABD, AB = 18 cm e BD = 15 cm. Determine a BC = 10. Determinar a medida de AD, sabendo que
razão entre as medidas dos segmentos AC e CD.
DE é paralelo a BC e BE é a bissetriz do ângulo
interno do vértice B.
A
B
A
D
E
C
D
C
B
19) (J) Na figura abaixo, determinar x e w em função
de c, y em função de a e k em função de b.
20) (J) Na figura abaixo, a = 15º e AC = 4. Determine a razão entre BD e CD.
A
a a
15º 15º 15º
k
y
a
b
C
w
x
D
B
c
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136
geometria plana
15) Num triângulo ABC, CD é a bissetriz do ângulo
interno ACB. Sabendo que AD = 7 cm, BD = 4 cm e
AC = 15 cm, determine a medida do lado BC.
A
Teorema da bissetriz
interna
7
15 cm
D
7
=
15
4
x
4
x = 4 . 15 / 7
a
a
x
B
C
16) Observe a figura abaixo. De acordo com essa figura, qual das relações abaixo é verdadeira.
a) a = b.d / c
b) a = b.c / d
b
c) a = c.d / b
a
d) a = c / (b.d)
c
x
e) a = b.c.d
x
d
Teorema da bissetriz
interna
b
a
x = 60 / 7 cm (resp)
=
c
d
a.c = b.d
a = b.d / c (resp a)
17) No triângulo ABD abaixo, BC é a bissetriz do 18) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 12, AC = 8 e
ângulo ABD, AB = 18 cm e BD = 15 cm. Determine a BC = 10. Determinar a medida de AD, sabendo que
razão entre as medidas dos segmentos AC e CD.
DE é paralelo a BC e BE é a bissetriz do ângulo
interno do vértice B.
A
B
18 cm
a
A
Teorema da bissetriz
interna
a
15
Teorema da bissetriz
interna
x
12
C
=
6
5
19) (J) Na figura abaixo, determinar x e w em função
de c, y em função de a e k em função de b.
x=c
y=a
b
k
3
=
2
b
k
k = 2b 3 / 3
Teorema da bissetriz
interna
w
x
k = b
2b 3 . c
3
w= k.x =
b
b
B
E
8
8-x
a
a
C
10
Teorema de Tales
AD
x
=
12
8
AD = 12x / 8 = 3x / 2
(resp)
AD =
cos 30º =
D
8-x
10
10x = 96 - 12x
22x = 96
x = 48 / 11
D
CD
AC
=
15
18
18
AC
=
15
CD
=
x
12
3 . 48
11
2
=
72
11
(resp)
20) (J) Na figura abaixo, a = 15º e AC = 4. Determine a razão entre BD e CD.
A
x
4
cos 30º = ca =
hip
3
x
=
2
4
a a
x=2 3
15º 15º 15º
k
w
y
a
b
x
4
x
Teorema da bissetriz
interna
CD
BD
=
x
4
BD
=
CD
c
C
x
4
2 3
BD
=
4
CD
=
3
2
D
y
B
(resp)
w = 2c 3
3
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geometria plana
21) (J) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d e e são
paralelas entre si. Determine o valor da expressão
E = x . y + t.
a
b
c
y
5
22) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e
BC = 8. Sabendo que D é o ponto de encontro das
três bissetrizes dos ângulos internos do triângulo
ABC, determine a razão entre CD e DT.
A
t
6
x
7
9
D
d
11
10
S
T
B
C
R
e
23) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e
BC = 8. Sabendo que D é o incentro do triângulo ABC
e que V é o ponto onde a circunferência de centro em
D tangencia o lado BC, determine a distância VR.
24) (J) Determine a medida de uma diagonal de um
pentágono regular de lado K.
A
K
S
T
d
D
B
V R
C
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138
geometria plana
21) (J) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d e e são
paralelas entre si. Determine o valor da expressão
E = x . y + t.
a
y
5
b
x
(No triângulo ABC)
x
x
9
7
9
d
e
a
a
= 6-x
8
D
B
R
y
DT = CD
x
9
Teorema de Tales
9
x
=
9
11
5
=
10
y
11
y = 55/10 = 11/2
t
7
y
9
t = 7y/9 = 77/18
x = 90/11
(resp)
=7
2º
24) (J) Determine a medida de uma diagonal de um
pentágono regular de lado K.
A
36º
S
T
E
108º
y
Teor. do ponto exterior
(6 - x) + (8 - x) = 9
2x = 5
6-x
x = 5/2
Portanto BV = 5/2
V R
A
8-x
k
36º
F
k
72º
36º
36º
36º
D
V
72º
k
C
No triângulo ADB, AF é uma bissetriz.
Pelo Teorema da bissetriz interna, tem-se
C
8-x
k
d
2
d-k
k
=
2
Portanto k = d - kd
2
2
Organizando, tem-se d - kd - k = 0
Resolvendo a equação do 2º grau em d , tem-se
d=
d =
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d-
k
36º
D
x
B
C
S
x
K
d
8-y
6-x
T
36º
d
D
B
36º
e=
36
0/5
A
y / 6 = (8 - y) / 9
B
17
6
=
(resp)
23) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e
BC = 8. Sabendo que D é o incentro do triângulo ABC
e que V é o ponto onde a circunferência de centro em
D tangencia o lado BC, determine a distância VR.
Teor. da bissetriz interna
y / AB = 8 - y / AC
CD
DT
9
54
17
=
CD
=
DT
887
18
11 + 77
=
E = x . y + t = 90 .
11
2
18
VR = BR - BV
VR = 16/5 - 5/2
VR = 32/10 - 25/10
VR = 7/10 (resp)
C
8-y
8
(No triângulo ATC)
=
9
S
T
8x = 54 - 9x
17x = 54
x = 54/17
11
10
x
10
A
Teorema da bissetriz
interna
t
6
c
22) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e
BC = 8. Sabendo que D é o ponto de encontro das
três bissetrizes dos ângulos internos do triângulo
ABC, determine a razão entre CD e DT.
- (-k) +-
k +- k 5
2
=
2
2
(-k) - 4 . 1 . (-k
2.1
k( 1 + 5 )
2
)
(resp)
139
geometria plana
Respostas dos exercícios da Aula 07.
01) 48 / 5
02) 32 / 3
03) 108 / 5
04) 32 / 5
05) 96 / 5
06) 88 / 7
07) 80 m, 60 m, e 40 m
08) 16 e 88 / 3
09) 225 / 13 e 375 / 13
10) 13 / 5,
39 / 10 e 13 / 2
11) 18 cm
12) (160 / 13) cm
13) (112 / 15) cm
14) 5 cm
15) 4( 2 - 1) cm
16) 1 / 2
17) b.d / c
18) d
19) 11 / 30
20) (35 / 4) cm
21) (5 / 7) cm
22) 24 cm, 40 cm e 36 cm
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
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140
geometria plana
Respostas dos exercícios complementares da Aula 07.
01) 25 / 4 e 28 / 5
02) 28 / 5 e 20 / 7
03) 3y
04) 18 / 5 e 27 / 5
05) 63 / 11, 27 / 11 e 22 / 9
06) (21 / 2) cm
07) a.c / b
08) (45 / 4) cm
09) b
10) 27
11) d
12) c
13) 12 cm e 50 cm
14) (60 / 7) cm e (80 / 7) cm
15) (60 / 7) cm
16) a
17) 6 / 5
18) 72 / 11
19) x = c ,
y=a,
k = 2b 3
3
20)
w = 2c 3
3
3/2
21) 887 / 18
22) 17 / 6
23) 7 / 10
24) K(1 + 5 ) / 2
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
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geometria plana
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Correções
142
geometria plana
R
R
N
N
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3
>
3
A
3
143
geometria plana
Geometria plana
Aula 08
Semelhança de triângulos.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
I) Semelhança de triângulos.
A
Definição.
Dois triângulos são semelhantes se
têm os ângulos dois a dois congruentes
e os lados correspondentes dois a dois
proporcionais.
Definição mais "popular".
Dois triângulos são semelhantes se
um deles é a redução ou a ampliação
do outro.
A
B
C
semelhante
C
B
D
DABC ~ DDEF
e
AB AC = BC = k
=
DE DF EF
K - razão da semelhança
ou
constante de proporcionalidade.
E
F
>
D
E
F
Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer
dois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios
das circunferências circunscritas, perímetros, etc.
II) Casos de semelhança. (Como reconhecer a semelhança de triângulos)
1) Caso AA
2) Caso LLL.
Dois triângulos são semelhantes
Dois triângulos são semelhantes
se dois ângulos (AA) de um deles se têm os três lados dois a dois orsão congruentes a dois ângulos do denadamente proporcionais.
outro.
(importantíssimo).
b
a
a
Dois triângulos são semelhantes
se têm um ângulo congruente e os
dois lados de um triângulo adjacentes ao ângulo são proporcionais
aos dois lados adjacentes ao ângulo do outro triângulo.
c
b
a
a
e
d
a
3) Caso LAL.
b
c
a
=
f
d
d
f
c
a
b
= e =
f
d
c
= k
= k
a
f
III) Como aplicar a semelhança de triângulos.
a) Reconhecer a semelhança através dos "casos de semelhança".
b) Desenhar os dois triângulos separados.
c) Chamar de a, b e g os três ângulos de cada triângulo.
d) Escolher um triângulo para ser o numerador da proporção.
e) Montar uma proporção entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo triângulo no
numerador da proporção.
Exercício 01 - Utilizando a técnica de aplicação da semelhança de triângulos acima descrita, determine o
valor de x na figura abaixo.
A
a
12
D
B
a
x
4
C
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144
geometria plana
Geometria plana
Aula 08
Semelhança de triângulos.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
I) Semelhança de triângulos.
A
Definição.
Dois triângulos são semelhantes se
têm os ângulos dois a dois congruentes
e os lados correspondentes dois a dois
proporcionais.
A
B
C
semelhante
C
B
D
Definição mais "popular".
Dois triângulos são semelhantes se
um deles é a redução ou a ampliação
do outro.
DABC ~ DDEF
e
AB AC = BC = k
=
DE DF EF
K - razão da semelhança
ou
constante de proporcionalidade.
E
F
>
D
E
F
Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer
dois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios
das circunferências circunscritas, perímetros, etc.
II) Casos de semelhança. (Como reconhecer a semelhança de triângulos)
1) Caso AA
2) Caso LLL.
Dois triângulos são semelhantes
Dois triângulos são semelhantes
se dois ângulos (AA) de um deles se têm os três lados dois a dois orsão congruentes a dois ângulos do denadamente proporcionais.
outro.
(importantíssimo).
b
a
a
Dois triângulos são semelhantes
se têm um ângulo congruente e os
dois lados de um triângulo adjacentes ao ângulo são proporcionais
aos dois lados adjacentes ao ângulo do outro triângulo.
c
b
a
a
e
d
a
3) Caso LAL.
b
c
c
a
=
f
d
d
f
c
a
b
= e =
f
d
= k
a
= k
f
III) Como aplicar a semelhança de triângulos.
a) Reconhecer a semelhança através dos "casos de semelhança".
b) Desenhar os dois triângulos separados.
c) Chamar de a, b e g os três ângulos de cada triângulo.
d) Escolher um triângulo para ser o numerador da proporção.
e) Montar uma proporção entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo triângulo no
numerador da proporção.
Exercício 01 - Utilizando a técnica de aplicação da semelhança de triângulos acima descrita, determine o
valor de x na figura abaixo.
Semelhança de triângulos
A
A
a
x
4
a
12
B
a
x
4
B
2
Portanto x = 8 (resp)
q
C
16
x
x = 64
16
D
=
b
x
C
a
q
x
4
b
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geometria plana
02) Na figura abaixo o segmento DE é paralelo à 03) Na figura abaixo, AB = 7 cm, BC = 5 cm, ED = 6 cm
base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a me- e BE mede 10 cm e é paralelo a CD. Determine a
dida de DE é 8 cm. Determine as medidas dos seg- medida dos segmentos AE e CD.
mentos AD e AE.
A
A
E
B
E
D
B
D
C
C
04) Na figura, AB = 5 cm, BE = 3 cm e AE = 7 cm. Determine a medida dos segmentos AC e CD, sabendo
que BE é paralelo a CD e que o perímetro do triângulo ACD mede 45 cm.
D
05) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm,
CD = 18 cm e altura 12 cm. As diagonais AC e BD
interceptam-se no ponto E. Determine a distância
entre o ponto E e a base CD.
A
B
E
E
A
d
C
B
C
D
06) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, 07) Na figura, AB // DE, AB = 8 cm, DE = 4 cm e BD
CD = 18 cm e altura 12 cm. Sendo E o ponto de inter- mede 14 cm. Determine a medida do segmento CD.
secção dos prolongamentos dos lados AD e BC, deA
termine a altura relativa à base AB do triângulo ABE.
A
B
B
D
C
E
D
C
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geometria plana
02) Na figura abaixo o segmento DE é paralelo à 03) Na figura abaixo, AB = 7 cm, BC = 5 cm, ED = 6 cm
base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a me- e BE mede 10 cm e é paralelo a CD. Determine a
dida de DE é 8 cm. Determine as medidas dos seg- medida dos segmentos AE e CD.
mentos AD e AE.
A
A
q
13
y
x
9
B
8
D
B
E
5
C
C
12
x = 9 . 8 / 12 = 6 cm
y = 13 . 8 / 12 = 26/3 cm (resp)
7y = 120
y = 120/7 cm
Respostas
E
05) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm,
CD = 18 cm e altura 12 cm. As diagonais AC e BD
interceptam-se no ponto E. Determine a distância
entre o ponto E e a base CD.
8 cm
d
C
B
Semelhança de triângulos.
PerABE
15
3
5
7+5+3
7
=
=
=
=
=
=
AD
PerACD
AC
45
45
CD
AC = 15 cm
3
=
CD
1
3
CD = 9 cm
B
12 - d
E
12
3
1
3
D
y
5x = 42
A
5
=
AC
6
b
a
12x = 7x + 42
PerACD = 45 cm
5
E
10
x = 42/5 cm
04) Na figura, AB = 5 cm, BE = 3 cm e AE = 7 cm. Determine a medida dos segmentos AC e CD, sabendo
que BE é paralelo a CD e que o perímetro do triângulo ACD mede 45 cm.
D
A
b
a
Semelhança de triângulos.
10
x
7
= y
=
x+6
12
Semelhança de triângulos
y
x
8
=
=
9
13
12
7
x
7
C
18
D
Semelhança de triângulos.
D ABE ~ D CDE
1
3
8
18
Respostas
12 - d
d
=
8d = 216 - 18d
26d = 216
d = 108/13 cm
Resposta
06) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, 07) Na figura, AB // DE, AB = 8 cm, DE = 4 cm e BD
CD = 18 cm e altura 12 cm. Sendo E o ponto de inter- mede 14 cm. Determine a medida do segmento CD.
secção dos prolongamentos dos lados AD e BC, deA
termine a altura relativa à base AB do triângulo ABE.
b
8
d
A
B
8
a
B
14 - x
Semelhança de triângulos.
12
x
14 - x
D
C
18
x
D
b
4
E
12x = 56
x = 56/12 = 14/3 cm
18d = 8d + 96
d = 96/10 = 48/5 = 9,6 cm
4
8
a
8x = 56 - 4x
Semelhança de triângulos.
8
d
=
18
d + 12
=
C
Resposta
Resposta
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147
geometria plana
08) Na figura, AB = 8, BC = 12 e BFDE é um losango 09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de altura 6
inscrito no triângulo ABC. Determine a medida do lado cm e cuja base BC mede 12 cm. DEFG é um quadesse losango.
drado com o lado DE sobre o segmento BC. DeterA
mine a medida do lado desse quadrado.
D
B
C
F
F
G
h = 6 cm
E
(GeoJeca)
A
B
C
E
D
10) Na figura abaixo, o triângulo ADE tem base DE = x 11) Os quadrados representados na figura abaixo têm
e altura h. Sabendo-se que o triângulo ABC tem base lados 9 cm, 6 cm e x cm. Determinar a medida do
BC = y e as bases BC e DE são paralelas, determine a perímetro do menor quadrado.
medida da altura H do trapézio BCED em função de x,
y e h.
A
h
D
B
x
H
C
y
12) Na figura abaixo, AB = 8 cm, BD = 20 cm e
DE = 5 cm. Determine a medida de BC.
E
A
6 cm
9 cm
E
x
13) (ESPM) Um mastro vertical é mantido nessa posição por 3 cabos esticados que partem da extremidade
P e são fixados no chão nos pontos A, B e C, conforme a figura abaixo. Sendo x, y e z as distâncias
respectivas desses pontos ao pé do mastro, determine
o valor de z em função de x e y.
P
B
C
D
A
z
50º
x
40º
y
45º
C
B
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148
geometria plana
08) Na figura, AB = 8, BC = 12 e BFDE é um losango 09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de altura 6
inscrito no triângulo ABC. Determine a medida do lado cm e cuja base BC mede 12 cm. DEFG é um quadesse losango.
drado com o lado DE sobre o segmento BC. DeterA
mine a medida do lado desse quadrado.
D
x
x
x
x
B
12 - x
F
12
C
DABC ~ DCDF
x
12 - x
=
8
12
6-x
G
h = 6 cm
8 E
(GeoJeca)
A
F
x
x
B
C
E
D
12 cm
Semelhança de triângulos.
12x = 96 - 8x
20x = 96
x = 96/20 = 4,8 cm (resp)
x
12
6-x
6
=
6x = 72 - 12x
18x = 72
x = 4 cm
Resposta
10) Na figura abaixo, o triângulo ADE tem base DE = x 11) Os quadrados representados na figura abaixo têm
e altura h. Sabendo-se que o triângulo ABC tem base lados 9 cm, 6 cm e x cm. Determinar a medida do
BC = y e as bases BC e DE são paralelas, determine a perímetro do menor quadrado.
medida da altura H do trapézio BCED em função de x,
y e h.
A
3
Semelhança de triângulos
6
h
base
altura
Base = Altura
x
h
=
y
h+H
xh + xH = yh
xH = yh - xh
D
x
6 cm
9 cm
E
x
B
6-x
Semelhança de triângulos.
H
x
6
C
y
x
H = (yh - xh) / x (resp)
6-x
3
=
3x = 36 - 6x
ou H = h(y - x) / x (resp)
9x = 36
x = 4 cm
Per = 4.x = 16 cm
12) Na figura abaixo, AB = 8 cm, BD = 20 cm e
DE = 5 cm. Determine a medida de BC.
E
A
a
b
5
8
B
C
x
20 - x
D
=
8
20 - x
>
DPDC é isósceles
DC = PD = z
2
z
x - 20x + 40 = 0
Resolvendo, tem-se
x = 10 + 2 15 cm
40º
DADP ~ DBDP
Semelhança de triângulos.
x
5
13) (ESPM) Um mastro vertical é mantido nessa posição por 3 cabos esticados que partem da extremidade
P e são fixados no chão nos pontos A, B e C, conforme a figura abaixo. Sendo x, y e z as distâncias
respectivas desses pontos ao pé do mastro, determine
o valor de z em função de x e y.
P
a
b
x
x = 10 - 2 15 cm (resp)
x
z
=
45º
50º
z
50º
A
ou
Resposta
D
40º
y
45º
C
B
z
y
z = x . y (resp)
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149
geometria plana
IV) Potência de um ponto em relação a uma circunferência.
A
Propriedade.
Dados l e P, a potência de P em relação a l é constante,
qualquer que seja a reta AB secante a l por P.
1º caso: O ponto P é interior a l.
C
l
Potência = PA x PB
2º caso: O ponto P é exterior a l.
E
H
B
A
B
P
G
P
l
O
C
O
A
B
P
Dada uma circunferência l e um ponto P, P não pertencente a l,
se A e B são os pontos de intersecção entre l e a reta secante a l
por P, define-se potência de P em relação a l o produto PA x PB.
D
D
l
T é ponto de tangência
F
T
2
PA x PB = PC x PD = ( PT) = cte
PA x PB = PC x PD = PE x PF = PG x PH = cte
14) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência l. Sabendo que PA = 6, PB = 8
e que PD = 12, determine a medida do segmento PC.
15) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem
à circunferência l. Sabendo que PA = 4, AB = 12, determine a medida do segmento PC.
A
B
P
P
l
D
B
A
O
O
l
C
C
16) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência l. Sabendo que PA = 6, AB = 8
e CD = 5, determine a medida do segmento PD.
P
17) Na figura abaixo, os pontos A e B pertencem à
circunferência de centro O. Determine a medida do
raio da circunferência sabendo que PA = 6, PB = 10 e
PO = 4.
B
A
O
l
l
D
A
P
O
B
C
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geometria plana
IV) Potência de um ponto em relação a uma circunferência.
A
Propriedade.
Dados l e P, a potência de P em relação a l é constante,
qualquer que seja a reta AB secante a l por P.
1º caso: O ponto P é interior a l.
C
l
Potência = PA x PB
2º caso: O ponto P é exterior a l.
E
H
B
A
B
P
G
P
l
O
C
O
A
B
P
Dada uma circunferência l e um ponto P, P não pertencente a l,
se A e B são os pontos de intersecção entre l e a reta secante a l
por P, define-se potência de P em relação a l o produto PA x PB.
D
D
l
T é ponto de tangência
F
T
2
PA x PB = PC x PD = ( PT) = cte
PA x PB = PC x PD = PE x PF = PG x PH = cte
14) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência l. Sabendo que PA = 6, PB = 8
e que PD = 12, determine a medida do segmento PC.
15) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem
à circunferência l. Sabendo que PA = 4, AB = 12, determine a medida do segmento PC.
A
Potência de ponto
B
6
PA . PC = PB . PD
P
6 . x = 8 . 12
D
x = 96/6 = 16 cm
(resp)
P
l
12
Potência de ponto
O
PA . PB = PC
l
2
4.(4 + 12) = PC
C
2
16) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência l. Sabendo que PA = 6, AB = 8
e CD = 5, determine a medida do segmento PD.
Potência de ponto
PA x PB = PC x PD
B
8
A
O
x
D
6 . 14 = x.(x + 5)
2
x + 5x - 84 = 0
Raízes
C
PC = 64
PC = 8
6
O
2
x
P
B
A
8
5
(Resp.)
17) Na figura abaixo, os pontos A e B pertencem à
circunferência de centro O. Determine a medida do
raio da circunferência sabendo que PA = 6, PB = 10 e
PO = 4.
l
PC = R - 4
PD = R + 4
l
Potência
PA x PB = PC x PD
6 x 10 = (R - 4).(R + 4)
2
A
6
2
R = 76
P
4
O
10
2
R - 4 = 60
C
D
R
C
B
R = 2 19 uc (resp)
x = -12 (não convém)
x = 7 cm
Resposta
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geometria plana
18) Na figura, AB = 5 cm, BC = 12 cm e DE = 3 cm. 19) (UEL-PR) Após um tremor de terra, dois muros paralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramenDetermine a medida do segmento EC.
te abalados. Os moradores se reuniram e decidiram
A
escorar os muros utilizando duas barras metálicas, como mostra a figura abaixo. Sabendo que os muros têm
D
alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do
nível do chão as duas barras se interceptam ?
Despreze as espessuras das barras.
B
C
E
9m
h
20) Na figura abaixo, os segmentos AB, AC e BC
medem, respectivamente, 8 cm, 10 cm e 7 cm e AC é
a bissetriz do ângulo BCD. Determine a medida do
segmento CD.
A
a
B
3m
21) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o
lado BC foi prolongado, como mostra a figura, até o
ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao
triângulo PCA. Determine o comprimento do segmento PC.
P
C
a
D
C
A
B
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geometria plana
18) Na figura, AB = 5 cm, BC = 12 cm e DE = 3 cm. 19) (UEL-PR) Após um tremor de terra, dois muros paralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramenDetermine a medida do segmento EC.
te abalados. Os moradores se reuniram e decidiram
A
escorar os muros utilizando duas barras metálicas, como mostra a figura abaixo. Sabendo que os muros têm
D
alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do
nível do chão as duas barras se interceptam ?
Despreze as espessuras das barras.
A
B
A
E
C
D
3
a
y
5
9m
a
E
B
12
Pitágoras
2
2
y = 5 + 12
y = 13 cm
F
DABE ~ DCDE
2
h
3
3x
x+y =
h
3x
12x
=
h
9
x = 39/5 cm (resp)
h = 9/4 = 2,25 m (resp)
20) Na figura abaixo, os segmentos AB, AC e BC
medem, respectivamente, 8 cm, 10 cm e 7 cm e AC é
a bissetriz do ângulo BCD. Determine a medida do
segmento CD.
A
8
B
x
x+y =
x + y = 12x
9
3
5
C
DBFE ~ DBCD
3
12
y = x+y
9
x =
Semelhança de triângulos
x
=
13
3m
h
B
C
y
x
C
x
b
D
E
b
a
q
10
a
7
b
b
q
21) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o
lado BC foi prolongado, como mostra a figura, até o
ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao
triângulo PCA. Determine o comprimento do segmento PC.
P
C
D
x
C
Semelhança de triângulos
x
10
=
A
B
P
10
7
P
a
x = 100/7 cm (resp)
x
a
x+7
y
b
A
y
q
8
q
B
b
C
6
A
Semelhança de triângulos
8
6
y=
=
x+7
=
y
8x
6
=
4x
3
y
x
8y = 6(x + 7)
8.(4x/3) = 6x + 42
32x = 18x + 126
x = 126/14 = 9 uc (resp)
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geometria plana
22) (Ibmec) Na figura, AB é o diâmetro da circunferência de raio 10 cm e a reta PA é tangente a essa
circunferência. Determine a medida do segmento BQ,
sabendo que o segmento PQ mede 3 cm.
P
63
25
b) 12
5
c) 58
25
d) 56
25
e) 11
5
a)
Q
A
23) (FUVEST-SP) Na figura, o triângulo ABC é
retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o
ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao
cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal
forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2,
então a área do paralelogramo DECF vale
B
O
A
B
24) (ITA-SP) Na figura, a reta t é tangente à
circunferência no ponto A e paralela ao segmento
DE. Se AD = 6, AE = 5 e CE = 7, a medida do
segmento BD será:
a)
b)
c)
d)
e)
2
3
4
5
6
A
D
t
B
E
C
25) (ITA-SP) Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos EA e ED interceptam essa
circunferência nos pontos B e A, e, C e D respectivamente. A corda AF da circunferência intercepta o
segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4,
GD = 3 e AG = 6, então GF vale:
a)
b)
c)
d)
e)
E
F
D
1
2
3
4
5
C
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geometria plana
22) (Ibmec) Na figura, AB é o diâmetro da circunferência de raio 10 cm e a reta PA é tangente a essa
circunferência. Determine a medida do segmento BQ,
sabendo que o segmento PQ mede 3 cm.
P
63
25
b) 12
5
c) 58
25
d) 56
25
e) 11
5
a)
Q
Q
A
23) (FUVEST-SP) Na figura, o triângulo ABC é
retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o
ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao
cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal
forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2,
então a área do paralelogramo DECF vale
B
O
x
a
A
P
b
B
2 10
A
4
h
h
4
Semelhança de triângulos
2
b
2 10
=
3-b
=
3
x = -8 ou x = 5
S = 63
25
24) (ITA-SP) Na figura, a reta t é tangente à
circunferência no ponto A e paralela ao segmento
DE. Se AD = 6, AE = 5 e CE = 7, a medida do
segmento BD será:
B
Os ângulos
PAB , ADE e BCA são
congruentes e iguais a b.
D
A
b
a
5
6
b q
x
t
7
q
3
252
100
Resposta a
25) (ITA-SP) Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos EA e ED interceptam essa
circunferência nos pontos B e A, e, C e D respectivamente. A corda AF da circunferência intercepta o
segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4,
GD = 3 e AG = 6, então GF vale:
a)
b)
c)
d)
e)
E
C
b = 21/10
S = b . h = 12 . 21 =
10 10
P
b
3/2
5
x + 3x - 40 = 0
2
3
4
5
6
E
h = 12/10
B
x = 5 cm (resp)
a)
b)
c)
d)
e)
3-b
Semelhança de triângulos
x+3
A
3/2
B
a
2 10
x+3
=
x
2 10
5
F
D
1
2
3
4
5
B
4
7
A
b
C
PAB e ADE são colaterais internos
PAB = b é ângulo de segmento
BCA = b é ângulo inscrito
C
y
6
G
3
E
5
x
F
D
Semelhança de triângulos.
5
6
=
x+6
12
Potência de ponto
EB.EA = EC.ED
5.(5 + 7) = 4.(4 + y + 3)
y=8
60 = 6x + 36
6x = 24
x = 4 (resp)
Potência de ponto
AG.GF = DG.GC
6.x=3.8
x=4
Resposta d
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155
geometria plana
Geometria plana
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Semelhança de triângulos e
Potência de ponto.
Exercícios complementares da aula 08.
01) Na figura abaixo, o segmento DE é paralelo ao segmento BC. Provar que os triângulos ABC e ADE são
semelhantes e calcular as medidas dos segmentos AD e AE.
A
9c
m
x
D
11
c
m
y
E
8 cm
12 cm
B
C
02) Na figura abaixo, AB = 8 cm, DE = 5 cm, BC = 10 cm. Provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e
calcular as medidas dos segmentos AC, CD e CE.
A
C
D
B
E
03) Na figura abaixo, o ponto E é o ponto de intersecção das diagonais do trapézio ABCD. Sendo AB = 8 cm,
CD = 14 cm e tendo o trapézio 6 cm de altura, provar que os triângulos ABE e CDE são semelhantes e
determinar a distância d entre o ponto E e a base maior CD.
A
8 cm
B
6 cm
E
d
D
14 cm
C
4 cm
x
04) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
3 cm
5 cm
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geometria plana
Geometria plana
Semelhança de triângulos e
Potência de ponto.
Exercícios complementares da aula 08.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Na figura abaixo, o segmento DE é paralelo ao segmento BC. Provar que os triângulos ABC e ADE são
semelhantes e calcular as medidas dos segmentos AD e AE.
A
Semelhança de triângulos
9c
m
x
D
x
9
11
c
m
y
12 cm
B
y
8
=
12
11
x = 9 . 8 / 12 = 6 cm
y = 11 . 8 / 9 = 88 / 9 cm (resp)
E
8 cm
=
C
02) Na figura abaixo, AB = 8 cm, DE = 5 cm, BC = 10 cm. Provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e
calcular as medidas dos segmentos AC, CD e CE.
Os triângulos ABC e DEC são semelhantes pelo
caso AA.
A
Pitágoras
b
2
8
2
x = 8 + 10
x
2
8.y = 50
2
x = 64 + 100 = 164
a
C
10
B
y
x = 2 41 cm
D
a
=
10
y
=
x
z
y = 50/8 = 25/4 cm
8.z = 5.x = 5 . 2 41
z = 5 41 /4 cm
5
b
z
8
5
E
03) Na figura abaixo, o ponto E é o ponto de intersecção das diagonais do trapézio ABCD. Sendo AB = 8 cm,
CD = 14 cm e tendo o trapézio 6 cm de altura, provar que os triângulos ABE e CDE são semelhantes e
determinar a distância d entre o ponto E e a base maior CD.
A
8 cm
E
6 cm
D AEB ~ D CDE
B
b
B
6-d
h
H
8 = 6-d
d
14
d
D
=
d = 42/11 cm
(Resp.)
C
14 cm
04) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
Semelhança de triângulos.
4 cm
x
3
5
=
x
x+4
5x = 3x + 12
2x = 12
x = 6 cm
Resposta
3 cm
5 cm
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157
geometria plana
05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo de lados AB = 4 cm e AD = 3 cm. Provar que os triângulos ABC, ABE
e BCE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e BE.
B
4 cm
3 cm
A
E
C
D
06) Na figura abaixo, AD = 10 cm e CD = 4 cm. Provar que os triângulos ABC e BCD são semelhantes e
determinar a medida do segmento BC.
A
a
D
a
B
C
07) Na figura abaixo, os pontos A, B, D e E pertencem à circunferência de centro C. Provar que os triângulos
ABP e DEP são semelhantes e que vale a relação AP x PE = DP x PB.
B
A
P
D
C
E
08) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de base BC = 16 cm e altura 8 cm. Provar que os triângulos ABC e AGF
são semelhantes e determinar a área do quadrado DEFG inscrito no triângulo ABC.
h = 8 cm
A
F
G
B
C
E
D
09) Na figura abaixo, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar uma expressão que
forneça t como função de x , y e z.
A
E
x
t
B
y
C
z
D
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158
geometria plana
05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo de lados AB = 4 cm e AD = 3 cm. Provar que os triângulos ABC, ABE
e BCE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e BE.
A
2
B
4 cm
a
b
a
3 cm
b
2
2
Pitágoras (AC) = 3 + 4 = 25
AC = 5 cm
AD
=
BE
Semelhança de triângulos.
DADC ~ DABE
3
=
BE
D
5
4
DC
AE
4
AE
=
BE = 3 . 4 / 5 = 12 / 5 cm
AE = 4 . 4 / 5 = 16 / 5 cm (resp)
E
a
AC
=
AB
b
C
4 cm
06) Na figura abaixo, AD = 10 cm e CD = 4 cm. Provar que os triângulos ABC e BCD são semelhantes e
determinar a medida do segmento BC.
D
A
A
a
a
14
b
D
x
c
x
B
a
B
b
a
B
4
c
C
C é um vértice comum aos
dois triângulos.
Os triângulos são semelhantes
pelo caso AA.
4
x
C
2
=
x
14
x = 4 . 14
x = 2 14 cm
C
(Resp.)
07) Na figura abaixo, os pontos A, B, D e E pertencem à circunferência de centro C. Provar que os triângulos
ABP e DEP são semelhantes e que vale a relação AP x PE = DP x PB.
A
AP
DP
P
b
a
D
Os triângulos ABP e DEP são semelhantes pelo caso AA.
B
q
a b
PB
PE
=
Portanto AP x PE = DP x PB
C
(CQD)
q
E
08) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de base BC = 16 cm e altura 8 cm. Provar que os triângulos ABC e AGF
são semelhantes e determinar a área do quadrado DEFG inscrito no triângulo ABC.
Os triângulos AGF e ABC são semelhantes pelo caso AA.
h = 8 cm
A
q
a
G
x
b
F
x
16
8-x
8-x
8
128 - 16x = 8x
x
24x = 128
a
B
=
b
E
D
16 cm
C
x = 128/24 = 16/3 cm
2
2
2
S = x = (16/3) = (256/9) cm
Resposta
09) Na figura abaixo, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar uma expressão que
forneça t como função de x , y e z.
Os triângulos CDE e ABC são semelhantes pelo caso AA.
A
90 -
t
y
E
a
x
a
y
Resposta
t
90 - a
a
B
z
x
y.z
t = x
=
C
z
D
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159
geometria plana
10) Na figura abaixo, AB = 12 cm, BC = 8 cm, AC = 9 cm e DE = 5 cm. Sabendo-se que os ângulos ACB e ADE são
congruentes, provar que os triângulos ABC e ADE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos
AE e CE.
A
D
E
C
B
11) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo cujos catetos AB e AC medem respectivamente 3 cm e 4 cm.
Sendo AE igual a 1 cm, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar a medida do
segmento DE.
A
E
B
C
D
12) Sabendo-se que BE = 5 cm e CF = 4 cm são duas alturas de um triângulo ABC de lado AB = 6 cm,
determinar a medida do lado AC desse triângulo.
13) O triângulo ABC da figura abaixo é eqüilátero de lado 10 cm e M é o ponto médio do lado AB. Sendo CD = 6
cm, determinar a medida do segmento CN.
A
M
N
B
C
D
14) Considere a circunferência circunscrita a um triângulo ABC. Seja AE um
diâmetro desta circunferência e AD altura do triângulo. Sendo AB = 6 cm,
AC = 10 cm e AE = 30 cm, calcule a altura AD.
A
h
B
C
D
O
E
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160
geometria plana
10) Na figura abaixo, AB = 12 cm, BC = 8 cm, AC = 9 cm e DE = 5 cm. Sabendo-se que os ângulos ACB e ADE são
congruentes, provar que os triângulos ABC e ADE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos
A
AE e CE.
AB
A
A
a
a
D
a
9
12
q
B
q
b
C
8
C
B
8
5
E
q
b
9
=
AD
AE = 12 . 5 / 8 = 15 / 2 cm
AD = 9 . 5 / 8 = 45 / 8 cm (resp)
b
5
BC
AC
=
AD
DE
=
12
=
AE
q
D
b
E
AE
11) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo cujos catetos AB e AC medem respectivamente 3 cm e 4 cm.
Sendo AE igual a 1 cm, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar a medida do
segmento DE.
A
3
E
a
a
x
4
Os triângulos são semelhantes pelo caso AA.
3
Semelhança de triângulos
b
x
3
b
y
2
2
Resposta
2
y = 3 + 4 = 25
C
D
3
5
x = 9/5 cm
Pitágoras
B
=
y=5
12) Sabendo-se que BE = 5 cm e CF = 4 cm são duas alturas de um triângulo ABC de lado AB = 6 cm,
determinar a medida do lado AC desse triângulo.
A
Semelhança de triângulos
a
a
E
F
=
x = 24/5 cm
4
5
Resposta
5
B
F
4
C
B
E
b
x
5
4
x
6
6 cm
6 cm
A
b
C
13) O triângulo ABC da figura abaixo é eqüilátero de lado 10 cm e M é o ponto médio do lado AB. Sendo CD = 6
cm, determinar a medida do segmento CN.
Seja P ponto médio de BC.
A
Então MP // AC
MP = AC/2 = 10/2 = 5 cm
DBMP é equilátero..
Então os ângulos MPD e NCD são congruentes.
5
M
5
5
5
12
P
5
0º
C
11
6
11
NC
=
5
12
0º
60º
60º
B
Semelhança de triângulos DMPD ~ DNCD
N
6
NC = 30/11 cm (resp)
D
14) Considere a circunferência circunscrita a um triângulo ABC. Seja AE um
diâmetro desta circunferência e AD altura do triângulo. Sendo AB = 6 cm,
AC = 10 cm e AE = 30 cm, calcule a altura AD.
Semelhança de triângulos.
D ABD ~ D ACE
=
h
10
h = 2 cm
Resposta
Observação - Os ângulos ABC e AEC são
congruentes pois são ângulos inscritos no
mesmo arco AC.
6
B
a
b
10
b
h
D
C
30
6
30
A
O
a
E
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161
geometria plana
15) Na figura abaixo, determinar o valor de x sabendo-se que os dois quadrados representados têm lados 5 cm
e 8 cm.
5 cm
8 cm
x
16) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados t e y. Determinar a medida de x em função de t e
de y.
y
t
x
17) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados 12 cm, 8 cm e x cm. Determinar a medida do
perímetro do menor quadrado.
8 cm
12 cm
x
18) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo cujo lado BC mede 9 cm. Sendo M o ponto médio do lado CD,
provar que os triângulos ABP e MCP são semelhantes e determinar a altura h do triângulo MCP.
A
B
P
h
D
C
4 cm
19) No triângulo acutângulo ABC, a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa
base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem
ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q, ao lado AC. Determinar o perímetro desse
retângulo.
C
M
Q
P
A M
B
N
20) O trapézio ABCD abaixo tem base menor AB = 8 cm, base maior CD = 14 cm
e altura igual a 6 cm. Sendo P a intersecção dos prolongamentos dos lados não
paralelos do trapézio, determine a distância entre o ponto P e a base maior de
ABCD.
A
D
B
C
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162
geometria plana
15) Na figura abaixo, determinar o valor de x sabendo-se que os dois quadrados representados têm lados 5 cm
e 8 cm.
Semelhança de triângulos.
x
5
=
3
5
8-5=3
x = 5 . 5 / 3 = 25 / 3 cm (resp)
5
5
5 cm
8 cm
x
16) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados t e y. Determinar a medida de x em função de t e
de y.
Semelhança de triângulos
y
t-y
y
x =
t-y
2
y = x.(t - y)
2
x = y /(t - y)
y
Resposta
y
y
t
x
17) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados 12 cm, 8 cm e x cm. Determinar a medida do
perímetro do menor quadrado.
Semelhança de triângulos
x
8
=
8-x
4
4x = 64 - 8x
4
12x = 64
x = 64/12 = 16/3 cm
Per = 2p = 4x = 64/3 cm
Resposta
12 cm
8
8-x
x
8 cm
x
18) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo cujo lado BC mede 9 cm. Sendo M o ponto médio do lado CD,
provar que os triângulos ABP e MCP são semelhantes e determinar a altura h do triângulo MCP.
A
Os triângulos ABP e MCP são semelhantes pelo caso AA.
2x
x
2x
b
9-h
h
2h = 9 - h
=
h = 3 cm
Resposta
a
4-x
4
M
x
x+y=4
Resposta
Q
Resposta
6h = 48
D
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4 cm
B
N
h
A
8
d=8+6
h = 8 cm
P
y
A M
d=h+6
d = 14 cm
C
x
20) O trapézio ABCD abaixo tem base menor AB = 8 cm, base maior CD = 14 cm
e altura igual a 6 cm. Sendo P a intersecção dos prolongamentos dos lados não
paralelos do trapézio, determine a distância entre o ponto P e a base maior de
ABCD.
Semelhança de triângulos.
14h = 8h + 48
b
x
4-x
Per = 2p = x + y + x + y
Per = 4 + 4 = 8 cm
h
C
4 cm
19) No triângulo acutângulo ABC, a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa
base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem
ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q, ao lado AC. Determinar o perímetro desse
retângulo.
Semelhança de triângulos.
=
9
P
D
y
4
B
9-h
3h = 9
8
h
= 14
h+6
a
B
6
14
C
163
geometria plana
21) Considere as três circunferências da figura, de mesmo raio R, tangentes externamente. Calcular a medida da
corda BC em função de R, sabendo que a reta r é tangente à circunferência de centro O3.
r
C
B
A
O1
O3
O2
22) Na figura abaixo, determine o valor de x.
cm
12 cm
10
a
x
14
a
cm
15 cm
12 cm
23) Na figura, ABCD é um retângulo tal que a base é o dobro da altura. Determine
a medida do perímetro desse retângulo.
A
B
D
C
16 cm
24) No triângulo ABC abaixo, sendo DE // BC, determine as medidas de AD e AE.
A
5 cm
E
11
9c
m
D
B
cm
C
16 cm
25) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
x
6c
m
5
cm
a
7
cm
a
26) Na figura abaixo, sendo AB = 16 cm, AC = 9 cm, BC = 15 cm e DE = 7 cm, determinar AD e AE.
A
D
x
B
x
E
C
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164
geometria plana
21) Considere as três circunferências da figura, de mesmo raio R, tangentes externamente. Calcular a medida da
corda BC em função de R, sabendo que a reta r é tangente à circunferência de centro O3.
Semelhança de triângulos.
A
O1
R
C
y
B
x
R
R
r
R
R
O2 R
x = 3R / 5
2
2
2
Pitágoras R = y + (3R/5)
O3
R
x
R
3R
=
5R
2
2
2
2
y = R - 9R /25 = 16R /25
BC = 2y = 2 . 4R/5 = 8R/5
Resposta
22) Na figura abaixo, determine o valor de x.
b
12
cm
12 cm
10
Semelhança de triângulos
x
15
=
24
12
24
a
a
x
14
a
x = 12 . 15 / 24 = 180 / 24
q
x = 15/2 cm
cm
x
15 cm
a
Resposta
14
b
q
15
23) Na figura, ABCD é um retângulo tal que a base é o dobro da altura. Determine
a medida do perímetro desse retângulo.
Semelhança de triângulos
2h
12 - h
=
12
16
12 - h
12 cm
24h = 192 - 16h
40 h = 192
h = 192/40
A
Perímetro = 2p = 6h
2p = 6 . 192/40 = 144/5 cm
B
2h
h
Resposta
D
C
16 cm
24) No triângulo ABC abaixo, sendo DE // BC, determine as medidas de AD e AE.
Semelhança de triângulos
y
x
=
= 5
x+9
y + 11
16
A
y
x
D
5 cm
E
9c
m
11
B
cm
16x = 5x + 45
16y = 5y + 55
11x = 45
11y = 55
x = 45/11 cm
C
16 cm
y = 55/11 = 5 cm cm
Respostas
25) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
7
b
5
a
Semelhança de triângulos
q
12
cm
a
6+x
5
12
6
=
36 + 6x = 60
6+
a
6c
x
6
b
cm
x
m
5
6x = 24
x = 24/6 = 4
q
x = 4 cm
a
Resposta
26) Na figura abaixo, sendo AB = 16 cm, AC = 9 cm, BC = 15 cm e DE = 7 cm, determinar AD e AE.
x
q
y
b
7
Semelhança de triângulos
y
7
x
=
=
9
16
15
a
q
16
9
b
a
15
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x = 9 . 7 / 15
y = 16 . 7 / 15
x = 21 / 5 cm
y = 112 / 15 cm
A
D
x
Respostas
B
x
E
C
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165
geometria plana
27) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sabendo-se que AP = 4 cm,
PC = 6 cm e PD = 8 cm, determine a medida do segmento BP e cite a propriedade utilizada na solução do
exercício.
A
B
P
D
O
C
28) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo M ponto médio do
segmento BD, AM = 9 cm e CM = 4 cm, determine a medida do segmento BD e cite a propriedade utilizada na
solução do exercício.
D
A
O
M
C
B
29) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo PD = 5 cm, AD = 9 cm
e BC = 10 cm, determine a medida do segmento PC e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.
A
D
O
B
P
C
30) Os pontos A e B pertencem à circunferência de centro C e raio 6 cm. A reta PD é tangente à circunferência
no ponto D. Sendo PB = 5 cm, determine a medida de PD e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.
D
P
B
C
A
31) Os pontos B, D, E e F pertencem à circunferência de centro C. Sendo AB = x, BD = y, AE = z e EF = t,
determine t em função de x, y e z.
D
B
C
A
E
F
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166
geometria plana
27) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sabendo-se que AP = 4 cm,
PC = 6 cm e PD = 8 cm, determine a medida do segmento BP e cite a propriedade utilizada na solução do
exercício.
A
Potência de ponto.
4
B
PA x PC = PB x PD
8
P
6
4 . 6 = PB . 8
D
O
PB = 24 / 8 = 3 cm (resp)
C
28) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo M ponto médio do
segmento BD, AM = 9 cm e CM = 4 cm, determine a medida do segmento BD e cite a propriedade utilizada na
solução do exercício.
Potência de ponto.
A
x
O
9
M
x
AM x MC = BM x MD
D
9.4=x.x
x2 = 36
4
x = 6 cm
C
BD = 2.x = 12 cm
B
Resposta
29) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo PD = 5 cm, AD = 9 cm
e BC = 10 cm, determine a medida do segmento PC e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.
A
Potência de ponto.
9
PA x PD = PB x PC
B
5 . (5 + 9) = x . (x + 10)
D
O
C
10
5
P
x
x2 + 10x - 70 = 0
Raízes
x = - 95 - 5 (não convém)
x = ( 95 - 5) cm
Resposta
30) Os pontos A e B pertencem à circunferência de centro C e raio 6 cm. A reta PD é tangente à circunferência
no ponto D. Sendo PB = 5 cm, determine a medida de PD e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.
D
x
B
6
A
P
5
2
(PD) = PA x PB
2
x = 17 . 5
x = 85 cm
C
6
Potência de ponto.
Resposta
31) Os pontos B, D, E e F pertencem à circunferência de centro C. Sendo AB = x, BD = y, AE = z e EF = t,
determine t em função de x, y e z.
Potência de ponto.
D
AD x AB = AF x AE
y
B
C
x.(x + y) = z.(z + t)
x
A
z
t
E
2
x.(x + y) = z + z.t
2
x.(x + y) - z = z.t
2
t = [x.(x + y) - z ] / z
Resposta
F
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167
geometria plana
Respostas dos exercícios da Aula 08.
01) 8
02) 6 cm e (26 / 3) cm
03) (42 / 5) cm e (120 / 7) cm
04) 15 cm e 9 cm
05) (108 / 13) cm
06) (48 / 5) cm
07) (14 / 3) cm
08) 24 / 5
09) 4 cm
10 ) h(y - x) / x
11) 16 cm
12) (10 - 2 15 ) cm ou (10 + 2 15 ) cm
13)
x.y
14) 16
15) 8
16) 7
17) 2 19
18) (39 / 5) cm
19) (9 / 4) m
20) (100 / 7) cm
21) 9
22) 5 cm
23) a
24) c
25) d
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
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168
geometria plana
Respostas dos exercícios complementares da Aula 08.
01) 6 cm e (22 / 3) cm
26) (21 / 5) cm e (112 / 15) cm
02) 2 41 cm, (25 / 4) cm e (5 41 / 4) cm
27) 3 cm - potência de ponto.
03) (42 / 11) cm
28) 12 cm - potência de ponto.
04) 6 cm
29) ( 95 - 5) cm - potência de ponto.
05) (16 / 5) cm e (12 / 5) cm
30)
06) 2 14 cm
31) [x(x + y) - z ] / z
85 cm - potência de ponto.
2
07) demonstração - Utilizando ângulos inscritos
prova-se que os triângulos são semelhantes.
2
08) (256 / 9) cm
09) y . z / x
10) (15 / 2) cm e (3 / 2) cm
11) (9 / 5) cm
12) (24 / 5) cm
13) (30 / 11) cm
14) 2 cm
15) (25 / 3) cm
2
16) y / (t - y)
17) (64 / 3) cm
18) 3 cm
19) 8 cm
20) 14 cm
21) 8R / 5
22) (15 / 2) cm
23) (144 / 5) cm
24) (45 / 11) cm e 5 cm
25) 4 cm
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
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geometria plana
Geometria plana
Aula 09
Relações métricas no triângulo retângulo.
Teorema de Pitágoras.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
A
I) Relações métricas no triângulo retângulo.
Teorema.
Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à
hipotenusa divide o triângulo original em dois
triângulos menores, que são semelhantes entre
si e semelhantes ao triângulo original.
2
h
m
B
2
c = a.m
b
c
2
b = a.n
n
H
h = m.n
C
a
a.h = b.c
II) Teorema de PItágoras.
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos
catetos.
A
Observação - Os segmentos m e n são as projeções
ortogonais dos catetos b e c sobre a hipotenusa a.
B
2
b
c
2
a = b +c
2
C
a
III) Exercícios.
01) Na figura abaixo, sabendo-se
que AB = 5 cm e AC = 9 cm, determine as medidas de BC, BH, HC
e AH.
A
B
H
(GeoJeca)
C
02) Na figura abaixo, sabendo-se
que BH = 3 cm e HC = 9 cm, determine as medidas de BC, AC, AB e
AH.
(GeoJeca)
A
B
C
H
03) Na figura abaixo, sabendo-se
que AH = 3 cm e AC = 5 cm, determine as medidas de HC, HB, AB
e BC.
A
B
H
(GeoJeca)
C
Jeca 98
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geometria plana
Geometria plana
Aula 09
Relações métricas no triângulo retângulo.
Teorema de Pitágoras.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
A
I) Relações métricas no triângulo retângulo.
Teorema.
Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à
hipotenusa divide o triângulo original em dois
triângulos menores, que são semelhantes entre
si e semelhantes ao triângulo original.
2
B
2
c = a.m
b
c
h
m
2
b = a.n
n
H
h = m.n
C
a
a.h = b.c
II) Teorema de PItágoras.
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos
catetos.
A
Observação - Os segmentos m e n são as projeções
ortogonais dos catetos b e c sobre a hipotenusa a.
B
2
b
c
2
a = b +c
2
C
a
III) Exercícios.
01) Na figura abaixo, sabendo-se
que AB = 5 cm e AC = 9 cm, determine as medidas de BC, BH, HC
e AH.
A
5
B
2
A
03) Na figura abaixo, sabendo-se
que AH = 3 cm e AC = 5 cm, determine as medidas de HC, HB, AB
e BC.
A
5 cm
9
3
h
m H
2
02) Na figura abaixo, sabendo-se
que BH = 3 cm e HC = 9 cm, determine as medidas de BC, AC, AB e
AH.
2
n
C
a
2
2
a = b + c = 9 + 5 = 81 + 25 = 106
a = BC = 106 cm
2
B
3
H
9 cm
BC = 3 + 9 = 12 cm
2
5 = 106 . BH
BH = 25 / 106 = 25 106 / 106 cm
AC = 108 = 6 3 cm
2
2
9 = 106 . HC
HC = 81 / 106 = 81 106 / 106 cm
a.h=b.c
106 . h = 9 . 5
h = 45 / 106 = 45 106 / 106 cm
C
H
2
5 = 3 + (HC)
(AC) = 12 . 9 = 108
b =a.n
B
Pitágoras
2
2
b =a.n
c =a.m
2
C
2
HC = 4 cm
2
h =m.n
2
2
3 = 4 . BH
c =a.m
2
(AB) = 12 . 3 = 36
AB = 6 cm
BH = 9/4 cm
2
c =a.m
2
2
(AB) = (4 + 9/4) . 9/4 = 225/16
h =m.n
2
(AH) = 3 . 9 = 27
AH = 3 3 cm
AB = 225/16 = 15/4 cm
BC = BH + HC = 9/4 + 4 = 25/4 cm
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171
geometria plana
04) Determine o valor de x no triângulo retângulo abaixo.
13
cm
05) Qual é o perímetro, em cm, de um losango cujas
diagonais medem 12 cm e 6 cm ?
(GeoJeca)
a) 4 39
x
b) 12 5
c) 16 3
10 cm
(GeoJeca)
d) 8 13
e) 8 14
06) Num retângulo ABCD tem-se AB = 15 e BC = 8.
Sobre o lado AB, marca-se um ponto P de modo que
PB =12 e sobre o lado CD, marca-se um ponto Q de
modo que DQ = 7. Qual é a distância entre os pontos
P e Q?
(GeoJeca)
a) 83
07) No retângulo ABCD abaixo tem-se AB = 15 cm e
BC = 8 cm. Sobre o lado BC, marca-se um ponto P tal
que PB = 1 cm e sobre o lado AD, marca-se um ponto
Q tal que DQ = 2 cm. Qual é, em cm, a distância entre
os pontos P e Q ?
B
A
a) 274
b) 4 5
b)
c)
c) 2 14
78
269
D
d) 2 19
d) 5 10
e)
e)
89
08) Qual é o raio de uma circunferência, se uma reta
secante que dista 5 cm do centro da mesma,
determina nessa circunferência uma corda de
comprimento 24 cm ?
(GeoJeca)
a) 8 cm
b) 13 cm
c) 15 cm
d) 17 cm
e) 19 cm
C
(GeoJeca)
246
09) Na figura abaixo, medida de a, em função de b,
c, e d, é :
(GeoJeca)
a) a = b + c + d
2
2
2
b) a = b2 + c2 - d2
c) a = b2 - c2 - d2
d) a = d2 - b2 - c2
d
a
c
b
e) a = d2 - b2 + c2
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172
geometria plana
04) Determine o valor de x no triângulo retângulo abaixo.
Pitágoras
2
2
13
2
13 = 10 + x
2
x = 169 - 100 = 69
05) Qual é o perímetro, em cm, de um losango cujas
diagonais medem 12 cm e 6 cm ?
(GeoJeca)
a) 4 39
cm
x
x
b) 12 5
3
6 cm
c) 16 3
10 cm
(GeoJeca)
x = 69 cm (resp)
Pitágoras
d) 8 13
2
2
x =3 +6
e) 8 14
2
2
x = 9 + 36 = 45
x = 45 = 3 5 cm
Perímetro = 2p = 4 . x
2P = 12 5 cm
Resposta b
06) Num retângulo ABCD tem-se AB = 15 e BC = 8.
Sobre o lado AB, marca-se um ponto P de modo que
PB =12 e sobre o lado CD, marca-se um ponto Q de
modo que DQ = 7. Qual é a distância entre os pontos
P e Q?
(GeoJeca)
B
A 3 P
12
a) 83
07) No retângulo ABCD abaixo tem-se AB = 15 cm e
BC = 8 cm. Sobre o lado BC, marca-se um ponto P tal
que PB = 1 cm e sobre o lado AD, marca-se um ponto
Q tal que DQ = 2 cm. Qual é, em cm, a distância entre
os pontos P e Q ?
B
A
a) 274
1
b) 4 5
b)
c)
8
78
D
3
8 cm
x
4
Q
8
269
d) 5 10
e)
e)
(GeoJeca)
246
Pitágoras
Pitágoras
x2 = 82 + 42
x2 = 52 + 152
x = 64 + 16 = 80
x = 25 + 225 = 250
2
x = 80 = 4 5 cm
2
Resposta b
x = 250 = 5 10 cm
08) Qual é o raio de uma circunferência, se uma reta
secante que dista 5 cm do centro da mesma,
determina nessa circunferência uma corda de
comprimento 24 cm ?
(GeoJeca)
a) 8 cm
b) 13 cm
cm
12
c) 15 cm
R
d) 17 cm
5
e) 19 cm
2
R = 5 + 12
Resposta d
09) Na figura abaixo, medida de a, em função de b,
c, e d, é :
(GeoJeca)
a) a = b + c + d
2
2
2
d
a
b) a = b2 + c2 - d2
x
c
c) a = b2 - c2 - d2
b
d) a = d2 - b2 - c2
e) a = d2 - b2 + c2
Pitágoras
2
2
C
D
d) 2 19
89
5
15 cm
c) 2 14
C
x
8
Pitágoras
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x =a +b
2
2
R = 25 + 144 = 169
R = 13 cm
2
2
d =x +c =a +b +c
Resposta b
a =d -b -c
a= d -b -c
2
Resposta d
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173
geometria plana
10) (FUVEST-SP) Um triângulo retângulo tem catetos AB = 3 e AC = 4. No cateto AB toma-se um ponto P equidistante do ponto A e da reta BC. Qual é a
distância AP ?
11) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, o quadrado EFGH
tem lado a, e é obtido através de uma rotação de 45º
do quadrado ABCD em torno do centro O. Se EP = 1,
então a mede:
F
a)
2
2 -1
b)
2
3 -1
c)
B
A
E
2
2
1
G
P
C
D
d) 2
e)
H
2
2 -1
12) Na figura, o quadrado ABCD tem lado 16 cm. De- 13) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, M é o ponto
termine a distância d entre P e A sabendo que o médio da corda PQ da circunferência e PQ = 8. O
segmento RM é perpendicular a PQ e RM = 4 3 .
ponto P é equidistante de A, de B e da reta CD.
3
Calcule:
B
A
a) o raio da circunferência;
b) a medida do ângulo POQ, onde O é o centro da
d
d
circunferência.
P
R
d
P
C
D
12 cm
14) A figura abaixo representa um retângulo e três circunferências, sendo duas idênticas maiores e uma
menor destacada. Determine o raio da circunferência
menor, sabendo que A, B, C, D e E são pontos de
tangência.
A
Q
M
O
15) (ESPM-MG) Um tubo de aço foi fixado a uma parede por meio de uma presilha retangular, como mostra a
figura abaixo. A distância x, da presilha até a parede,
vale:
a) 16 cm
b) 17 cm
c) 18 cm
parede
d) 19 cm
x
tubo
e) 20 cm
parafuso
B
E
C
16 cm
8 cm
presilha
24 cm
D
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geometria plana
10) (FUVEST-SP) Um triângulo retângulo tem catetos AB = 3 e AC = 4. No cateto AB toma-se um ponto P equidistante do ponto A e da reta BC. Qual é a
distância AP ?
2
2
2
Pitágoras (BC) = 3 + 4
BC = 5 cm
11) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, o quadrado EFGH
tem lado a, e é obtido através de uma rotação de 45º
do quadrado ABCD em torno do centro O. Se EP = 1,
então a mede:
F
a)
2
2 -1
b)
2
3 -1
Semelhança de triângulos.
d
4
3-d
=
5
B
3-d
a
b
3
5d = 12 - 4d
9d = 12
d = 12/9 = 4/3
E
d
E
2
2
c)
d) 2
1
G
C
a 2=1+a+1
a 2=a+2
a 2-a=2
2
a=
2-1
b
C
4
A
a
P
H
(Diagonal do quadrado de lado a) d = a 2
2
2 -1
e)
1
D
P
d
B
A
Resposta e
12) Na figura, o quadrado ABCD tem lado 16 cm. De- 13) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, M é o ponto
termine a distância d entre P e A sabendo que o médio da corda PQ da circunferência e PQ = 8. O
segmento RM é perpendicular a PQ e RM = 4 3 .
ponto P é equidistante de A, de B e da reta CD.
3
Calcule:
B
A
8
8
a) o raio da circunferência;
16 - d
b) a medida do ângulo POQ, onde O é o centro da
d
d
circunferência.
Pitágoras
P
2
2
d = 8 + (16 - d)
16
2
2
d = 64 + 256 - 32d + d
R = 4 + (R - 4 3 )
3
2
C
D
2
2
Resposta
2
2
R = 16 + R - 8R 3 /3 + 16/3
Q
4
4
Pitágoras
2
32d = 320
d = 10 cm
d
R
4 3
3
a)
P
R-4 3
3
R
M
O
R 3=8
R = 8 3 /3 cm Resposta
b) sen (MOQ) = 4/R = 3 /2
MOQ = 60º
Portanto POQ = 2 . MOQ = 2 . 60 = 120º
14) A figura abaixo representa um retângulo e três circunferências, sendo duas idênticas maiores e uma
menor destacada. Determine o raio da circunferência
menor, sabendo que A, B, C, D e E são pontos de
tangência.
A
4
Pitágoras
2
4
C
2
(R + 4) = (8 - R) + 4
2
15) (ESPM-MG) Um tubo de aço foi fixado a uma parede por meio de uma presilha retangular, como mostra a
figura abaixo. A distância x, da presilha até a parede,
vale:
a) 16 cm
b) 17 cm
c) 18 cm
parede
d) 19 cm
x
tubo
e) 20 cm
R
parafuso
R
B
2
8-R
+4
12 cm
R
16 cm
4
4
D
presilha
2
2
24 cm
2
Resolvendo, tem-se
24R = 64
R = 13 cm
Resposta
8 cm
Pitágoras
R + 8R + 16 = 64 - 16R + R + 16
R = 64/24 = 8/3 cm
R-8
12
E
R = (R - 8) + 12
2
Resposta
x = 2R - 8 = 26 - 8 = 18 cm
Resposta c
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175
geometria plana
16) (FUVEST-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos de
madeira num caminhão de largura 2,5 m, conforme a
figura abaixo. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio
da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros é:
17) Na figura abaixo, determine o raio da circunferência
sabendo que AC e AD tangenciam a circunferência
nos pontos C e D, respectivamente, e que BE = 2 cm, e
AE = 9 cm.
a) 1 + 7
2
O
C
b) 1 + 7
3
h
B
c) 1 + 7
4
A
d) 1 +
7
3
e) 1 +
7
4
E
D
2,5
18) Na figura, o triângulo isósceles ABC está inscrito 19) Na figura, a reta PT tangencia a circunferência de
na circunferência de centro O. A base BC mede 6 cm centro O, os pontos P, A e O estão alinhados e as
e AB = 3 10 cm. Determine o raio da circunferência. distâncias PT e PA valem, respectivamente 15 cm
e 9 cm. Determine a medida do raio da circunferência.
A
T
O
O
B
P
A
C
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geometria plana
16) (FUVEST-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos de
madeira num caminhão de largura 2,5 m, conforme a
figura abaixo. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio
da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros é:
17) Na figura abaixo, determine o raio da circunferência
sabendo que AC e AD tangenciam a circunferência
nos pontos C e D, respectivamente, e que BE = 2 cm, e
AE = 9 cm.
a) 1 + 7
2
O
C
b) 1 + 7
3
1
h
x
c) 1 + 7
4
3/4 m
7
3
e) 1 +
7
4
2
2
R = (R - 2) + (9 - R)
2,5
2
2
A
9
B
2
9-R
2
Pitágoras
2
d) 1 +
R
R-2
m
E
D
2
R = R - 4R + 4 + 81 - 18R + R
Pitágoras
2
2
2
R - 22R + 85 = 0
2
1 = x + (3/4)
Raízes
2
x = 1 - 9/16 = 7/16
R = 17 cm (não convém porque é maior que 9)
x= 7/4
R = 5 cm
Resposta
h = x + 1 = 1 + 7 / 4 m (resp)
18) Na figura, o triângulo isósceles ABC está inscrito 19) Na figura, a reta PT tangencia a circunferência de
na circunferência de centro O. A base BC mede 6 cm centro O, os pontos P, A e O estão alinhados e as
e AB = 3 10 cm. Determine o raio da circunferência. distâncias PT e PA valem, respectivamente 15 cm
e 9 cm. Determine a medida do raio da circunferência.
A
Pitágoras
2
2
3 1
0
(3 10 ) = h + 3
2
2
h = 81
3
O
h = 9 cm
9-R
3
15 cm
R
90 = h + 9
O h
R
B
T
2
C
2
Pitágoras
2
R = 3 + (9 - R)
2
A
9
Pitágoras
2
2
R = 9 + 81 - 18R + R
2
2
(R + 9) = R + 15
2
2
2
R + 18R + 81 = R + 225
18R = 90
R = 5 cm
P
R
Resposta
18R = 144
R = 8 cm
Resposta
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177
geometria plana
20) O triângulo ABC abaixo é retângulo em A, tem
catetos AB = 12 cm, AC = 16 cm. O arco DHE tem
centro no vértice A e tangencia a hipotenusa BC no
ponto H. Determine a área da região sombreada na
figura.
A
21) O triângulo ABC abaixo tem lados AB, AC e BC
que medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 10 cm.
Determine a medida da altura AD do triângulo ABC.
A
E
B
C
D
D
B
C
H
22) A figura abaixo representa um quadrado de lado
16 cm, um arco de circunferência com centro em A e
raio AB e uma circunferência de centro em E, que
tangencia o arco e os lados do quadrado. Determine a
medida do raio da circunferência.
A
23) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem
à circunferência de centro O. Os pontos A, O, C e D
estão alinhados. Determine a medida do raio da circunferência, sabendo que ED = 9 cm, AB = 8 cm e
AE = 15 cm.
E
B
B
A
O
C
D
E
D
C
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178
geometria plana
20) O triângulo ABC abaixo é retângulo em A, tem
catetos AB = 12 cm, AC = 16 cm. O arco DHE tem
centro no vértice A e tangencia a hipotenusa BC no
ponto H. Determine a área da região sombreada na
figura.
A
21) O triângulo ABC abaixo tem lados AB, AC e BC
que medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 10 cm.
Determine a medida da altura AD do triângulo ABC.
A
5
12
E
h
16
x
B
7
h
D
C
10 - x
10
D
B
C
H
2
a
2
2
Pitágoras a = 12 + 16 = 144 + 256 = 400
Pitágoras
2
2
2
2
5 =h +x
2
2
7 = h + (10 - x)
a = 20 cm
2
h + x = 25
2
2
2
49 = h + 100 - 20x + x
a.h=b.c
2
2
49 = (h + x ) - 20x + 100
20 . h = 16 . 12
49 = 25 - 20x + 100
20x = 125 - 49 = 76
h = 192 / 20 = 48 / 5 cm
x = 76/20 = 19/5
mas h = raio do setor circular
2
S = STriâng - SSetor = 12 . 16 / 2 - p . (48/5) / 4
2
S = (96 - 576p/25) cm
2
2
h + (19/5) = 25
2
(resp)
h = 25 - 361/25 = (625 - 361)/25 = 264/25
h=
22) A figura abaixo representa um quadrado de lado
16 cm, um arco de circunferência com centro em A e
raio AB e uma circunferência de centro em E, que
tangencia o arco e os lados do quadrado. Determine a
medida do raio da circunferência.
A
264/25 = 2 66 /5 cm
Resposta
23) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem
à circunferência de centro O. Os pontos A, O, C e D
estão alinhados. Determine a medida do raio da circunferência, sabendo que ED = 9 cm, AB = 8 cm e
AE = 15 cm.
B
AC = diagonal
AC = 16 2
7
B
9
8 cm
EC = diagonal
EC = r 2
A
16
AC = 16 + r + r 2
R
O
R
x
E
C
D
Pitágoras
16 2 = 16 + r + r 2
r
2
r = 16( 2 - 1)
r
D
2
2
2
15 = 9 + x
E
2
x = 225 - 81 = 144
x
C
x = 12 cm
r = 16(3 - 2 2 ) cm (resp)
Semelhança de triângulos
2R
=
15
8
12
2R = 120/12 = 10
R = 5 cm
Resposta
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179
geometria plana
Geometria plana
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Relações métricas num triângulo retângulo.
Teorema de Pitágoras.
Exercícios complementares da aula 09.
01) No triângulo retângulo ABC abaixo, determine a , m , n e h.
A
8c
6c
m
m
B
h
m
n
C
a
02) No triângulo retângulo abaixo, determine o valor de x, y, z e t.
t
y
9 cm
x
z
3 cm
03) Na figura, ABC é um triângulo retângulo em A. Sendo AB = 9 cm e AC = 12 cm, determine x, y, z e t.
B
y
x
z
t
C
A
04) Determine o valor de x nos triângulos retângulos abaixo.
7 cm
a)
b)
x
12 cm
13
cm
c)
x
12
cm
x
9 cm
9 cm
Jeca 103
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180
geometria plana
Geometria plana
Relações métricas num triângulo retângulo.
Teorema de Pitágoras.
Exercícios complementares da aula 09.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) No triângulo retângulo ABC abaixo, determine a , m , n e h.
A
2
b =a.n
2
6c
m
m
h
m
B
8 = 10 . n
n = 64/10 = 32/5 cm (resp)
8c
2
n
a
2
2
2
2
c =a.m
C
2
6 = 10 . m
m = 36/10 = 18/5 cm (resp)
2
a = b + c = 8 + 6 = 100
a.h=b.c
10 . h = 8 . 6
h = 48/10 = 24/5 cm (resp)
a = 10 cm (resp)
02) No triângulo retângulo abaixo, determine o valor de x, y, z e t.
Pitágoras
t
y
2
2
a =b +c
z
2
9 cm
x
2
2
2
t = y + 9 = 27 + 81 = 108
3 cm
t = 108 = 6 3 cm
x = 9 + 3 = 12 cm
2
2
b =a.n
2
z = 12 . 3 = 36
h =m.n
2
y = 9 . 3 = 27
z = 6 cm
y = 3 3 cm
03) Na figura, ABC é um triângulo retângulo em A. Sendo AB = 9 cm e AC = 12 cm, determine x, y, z e t.
2
Pitágoras
B
y
9
2
2
2
2
2
12 = 15 . z
z = 144 / 15 = 48 / 5 cm
2
x = 9 + 12 = 225
z
t
2
a =b +c
x
c =a.m
x = 15 cm
A
12
C
a.h=b.c
15 . t = 9 . 12
2
b =a.n
t = 108 / 15 = 36 / 5 cm
2
9 = 15 . y
y = 81 / 15 = 27/5 cm
04) Determine o valor de x nos triângulos retângulos abaixo.
a)
12 cm
b)
7 cm
x
9 cm
Pitágoras
2
2
x =7 +9
2
2
13
cm
Pitágoras
2
2
c)
12
x
2
2
2
2
x
9 cm
Pitágoras
13 = x + 12
cm
2
12 = x + 9
2
x = 169 - 144 = 25
x = 144 - 81 = 63
x = 5 cm Resposta
x = 3 7 cm Resposta
x = 49 + 81 = 130
x = 130 cm Resposta
Jeca 103
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181
geometria plana
05) No triângulo retângulo abaixo, determinar x em função de y e z.
y
x
z
06) Determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado a.
a
a
d
a
a
07) Determinar a altura de um triângulo eqüilátero de lado a.
a
a
h
a
08) Determine x, y e z na figura abaixo.
1c
m
y
m
x
1c
1c
m
z
1 cm
09)( ESAN) Na figura abaixo, determine o valor de x e y.
x
6
y
14
10
10) (FUVEST-GV) Queremos desenhar no interior de um retângulo ABCD, um losango AICJ com vértice I sobre
o lado AB do retângulo e vértice J sobre o lado CD. Se as dimensões dos lados do retângulo são AB = 25 cm e
BC = 15 cm, calcule a medida do lado do losango.
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182
geometria plana
05) No triângulo retângulo abaixo, determinar x em função de y e z.
y
x
2
2
2
2
2
2
2
2
y =x +z
x =y -z
x= y -z
z
(resp)
06) Determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado a.
a
Pitágoras
2
2
2
d = a + a = 2a
a
d
a
2
2
d=
2a
d=a 2
Resposta
a
07) Determinar a altura de um triângulo eqüilátero de lado a.
Pitágoras
2
2
2
2
a = h + (a/2)
a
a
h
h = a - (a/2)
2
2
2
2
h = 3.a /4
h = a 3 /2
a
a/2
Resposta
08) Determine x, y e z na figura abaixo.
Pitágoras
1c
m
2
2
x= 2
m
x
2
x =1 +1 =2
y
1c
1c
m
z
2
2
2
y =x +1 =2+1=3
y= 3
1 cm
2
2
2
z =y +1 =3+1=4
z= 4=2
Respostas
09)( ESAN) Na figura abaixo, determine o valor de x e y.
2
Pitágoras
x
6
14
2
2
2
2
6 =x +y
2
2
2
2
196 = x + y + 20y + 100
196 = 36 + 20y + 100
x + y = 36
y
2
14 = x + (y + 10)
20y = 196 - 100 - 36 = 60
10
2
x = 36 - 9 = 27
y=3
x=3 3
Resposta
10) (FUVEST-GV) Queremos desenhar no interior de um retângulo ABCD, um losango AICJ com vértice I sobre
o lado AB do retângulo e vértice J sobre o lado CD. Se as dimensões dos lados do retângulo são AB = 25 cm e
BC = 15 cm, calcule a medida do lado do losango.
A
15
D
x
I
Pitágoras
2
2
x = 15 + (25 - x)
x
x
25 - x
B
x
J
2
Resolvendo, tem-se
15
x = 17 cm
(Resposta)
C
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183
geometria plana
11) (COVEST-PE) Na figura abaixo, o triângulo ABC é
eqüilátero e cada um dos seus lados mede 8 cm. Se
AD é uma altura do triângulo ABC e M é o ponto médio
de AD, calcule a medida de CM em centímetros.
12) Na figura abaixo, o ponto A é o ponto de tangência
da reta AB com a circunferência de centro C. Sendo
AB e BD iguais a 10 cm e 6 cm, respectivamente,
determine a medida do raio da circunferência.
A
A
C
M
B
B
D
C
D
13) (Fuvest) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, E
é um ponto sobre o lado AD tal que o ângulo ABE mede 60º e os ângulos EBC e BCD são retos. Sabe-se
também que AB = CD = 3 e BC = 1. Determine a
medida de AD.
D
14) (Jeca) Na figura ao lado, A, B, C e D são os pontos
médios dos lados de um quadrado de perímetro 4.
Determine o raio da circunferência inscrita no
quadrado ABCD.
A
E
A
3
3
60º
B
1
D
B
C
C
15) No trapézio retângulo ABCD da figura abaixo, 16) A figura abaixo representa um quadrado de lado k
determine a medida da diagonal AC sabendo-se que e duas circunferências interiores tangentes entre si e
tangentes ao quadrado. Determine o raio da circunAB = 10 cm, BC = 5 cm e CD = 6 cm.
ferência menor em função de k.
D
C
A
B
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184
geometria plana
11) (COVEST-PE) Na figura abaixo, o triângulo ABC é
eqüilátero e cada um dos seus lados mede 8 cm. Se
AD é uma altura do triângulo ABC e M é o ponto médio
de AD, calcule a medida de CM em centímetros.
12) Na figura abaixo, o ponto A é o ponto de tangência
da reta AB com a circunferência de centro C. Sendo
AB e BD iguais a 10 cm e 6 cm, respectivamente,
determine a medida do raio da circunferência.
A
2
2
A
2
(AD) = 8 - 4 = 64 - 16 = 48
AD = 48 = 4 3 cm
8
8
M
DM = AD/2 = 2 3 cm
2
2
2
(CM) = (DM) + (CD)
2
2
(CM) = (2 3 ) + 4
2
2
B
4
C
4
D
(CM) = 12 + 16 = 28
CM = 28 = 2 7 cm
(resp)
13) (Fuvest) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, E
é um ponto sobre o lado AD tal que o ângulo ABE mede 60º e os ângulos EBC e BCD são retos. Sabe-se
também que AB = CD = 3 e BC = 1. Determine a
medida de AD.
D
x
10
R
C
Pitágoras
2
2
(R + 6) = R + 10
R
cm
D
B
6
2
2
2
R + 12R + 36 = R + 100
12R = 64
R = 64/12 = 16/3 cm
Resposta
14) (Jeca) Na figura ao lado, A, B, C e D são os pontos
médios dos lados de um quadrado de perímetro 4.
Determine o raio da circunferência inscrita no
quadrado ABCD.
1/2
E
A
2
2R
Pitágoras
1/2
2
2
1/2
(2R) = (1/2) + (1/2)
y
tg a = 3 /1 = 3
B
D
1/2
2
R = 1/8
60º
Pitágoras
2
4R = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2
3
a = 60º
2
2
3
2R
A
a = 30º
B
2
y =( 3) +1 =4
1
R = 1/8
C
R=1/2 2
C
R = 2 /4
1/2
Resposta
y=2
O triângulo ADB é retângulo
2
2
2
x =( 3) +2
Portanto x = 7
(Resposta)
15) No trapézio retângulo ABCD da figura abaixo, 16) A figura abaixo representa um quadrado de lado k
determine a medida da diagonal AC sabendo-se que e duas circunferências interiores tangentes entre si e
tangentes ao quadrado. Determine o raio da circunAB = 10 cm, BC = 5 cm e CD = 6 cm.
ferência menor em função de k.
6 cm
D
C
6
A
5
E
cm
r
h
4
r
B
O
2
2
2
2
k/
2
5 =4 +h
2
Pitágoras
k/2
r
r
2
A
h = 3 cm
2
(AC) = 6 + 3 = 36 + 9 = 45
AC = 45 = 3 5 cm
Resposta
E
OA = (k/2) 2 (diagonal de um quadrado de lado k/2)
k + r + r 2
k 2
=
2
2
r = k(3 - 2 2 )
2
A
k( 2 - 1)
= r(1 + 2 )
2
Resposta
Jeca 105
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geometria plana
17) As bases de um trapézio isósceles circunscrito a
um círculo medem 8 cm e 2 cm. Calcular a altura desse
trapézio.
2 cm
18) Os raios das circunferências de centros A e B
medem, respectivamente, 8 cm e 3 cm e a distância
entre os centros, 13 cm. Calcule a medida de PQ,
sendo P e Q pontos de tangência.
h
A
B
8 cm
P
19) Os raios das circunferências de centros A e B
medem 5 cm e 2 cm, respectivamente e a distância
entre seus centros, 9 cm. Sendo P e Q pontos de
tangência, calcule a distância PQ.
Q
20) Na figura abaixo, o lado do quadrado mede 8 cm.
Calcule o raio da circunferência da figura, sendo T
ponto de tangência.
O
A
Q
B
T
P
21) Na figura abaixo, determine o valor de x.
6
x
12
22) Na figura abaixo, as quatro circunferências são
tangentes entre si. Sendo C o centro da circunferência
maior, A, B e D os centros das demais e AC = BC = 2,
determine o raio da circunferência menor.
8
D
A
C
B
Jeca 106
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186
geometria plana
17) As bases de um trapézio isósceles circunscrito a
um círculo medem 8 cm e 2 cm. Calcular a altura desse
trapézio.
2 cm
2
2
5 =3 +h
1
2
2
h
4
h = 25 - 9 = 16
18) Os raios das circunferências de centros A e B
medem, respectivamente, 8 cm e 3 cm e a distância
entre os centros, 13 cm. Calcule a medida de PQ,
sendo P e Q pontos de tangência.
A
13 cm
5
3
x
B
3
P
x
Q
h = 4 cm (resp)
8 cm
2
3
3
Pitágoras
2
2
2
13 = 5 + x
2
x = 169 - 25 = 144
x = 12 cm
19) Os raios das circunferências de centros A e B
medem 5 cm e 2 cm, respectivamente e a distância
entre seus centros, 9 cm. Sendo P e Q pontos de
tangência, calcule a distância PQ.
Resposta
20) Na figura abaixo, o lado do quadrado mede 8 cm.
Calcule o raio da circunferência da figura, sendo T
ponto de tangência.
4
Pitágoras
2
2
R = 4 + (8 - R)
A
9 cm
5
P
R = 16 + 64 - 16R + R
2
16R = 80
B
R = 5 cm
8-R
R
2
Q
d
2
4
O
2
R
Resposta
T
d
2
Pitágoras
2
2
9 =7 +d
2
2
d = 81 - 49 = 32
d = 4 2 cm
(Resposta)
21) Na figura abaixo, determine o valor de x.
y
12
6
Pitágoras
8
x
2
2
6 =x +y
R
2
2
2
2
> x + y = 36
2
R
2
12R = 16
Resposta
A
D
4-R
2
4 + 4R + R = 4 + 16 - 8R + R
2
R = 16/12 = 4/3
2
2
(2 + R) = 2 + (4 - R)
Pitágoras
2
22) Na figura abaixo, as quatro circunferências são
tangentes entre si. Sendo C o centro da circunferência
maior, A, B e D os centros das demais e AC = BC = 2,
determine o raio da circunferência menor.
2
C 2
B
2
12 = y + (x + 8)
2
2
144 = y + x + 16x + 64
144 = 36 + 16x + 64
16x = 144 - 100
x = 44/16 = 11/4
Resposta
Jeca 106
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geometria plana
24) (Jeca) Na figura, estão representados dois
círculos de raios 5 cm e 8 cm, tangentes entre si e
tangentes aos lados do retângulo ABCD. Determine
a medida do lado AD do retângulo.
23) Na figura abaixo, determine AB e AD.
A
B
A
10
cm
3 cm
3 cm
C
D
26) Na figura abaixo, determine o valor de x, y e h.
7
25) Duas circunferências de raios 6 cm e 8 cm são
tangentes externamente. Determine a medida de um
segmento AB, sendo A e B os pontos de tangência da
reta AB com as circunferências.
x
8
C
20 cm
h
8c
m
y
6
A
B
x
27) Uma circunferência de raio 3 cm é inscrita num
triângulo isósceles. Sabendo-se que a altura do
triângulo é 8 cm, determinar as medidas dos lados
desse triângulo e o seu perímetro.
28) Na circunferência de centro C, AD = DB = 6 cm e
ED = 2 cm. Determine a medida do segmento CD.
A
E
A
6
2
D
cm
B
D
6
B
C
B
C
Jeca 107
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188
geometria plana
24) (Jeca) Na figura, estão representados dois
círculos de raios 5 cm e 8 cm, tangentes entre si e
tangentes aos lados do retângulo ABCD. Determine
a medida do lado AD do retângulo.
23) Na figura abaixo, determine AB e AD.
A
2
2
2
10 = 6 + y
y = 100 - 36 = 64
y = 8 cm
10
2
2
Pitágoras
x
2
13
2
x = 73 cm (resp)
x = 169 - 49 = 120
x = 120 = 2 30
C
3 cm
2
8
cm
8c
2
2
2
y
A
x + y = 113 cm
2
6
x = 8 3 cm
Resposta
2
c =a.m
x
8
x = 196 - 2 = 192
2
(x + y) = 7 + 8 = 113
Relações métricas no triângulo retângulo.
14
2
2
Pitágoras
m
h
7
2
C
26) Na figura abaixo, determine o valor de x, y e h.
x
Pitágoras
5
20 cm
AD = (13 + 2 30 ) cm (resp)
25) Duas circunferências de raios 6 cm e 8 cm são
tangentes externamente. Determine a medida de um
segmento AB, sendo A e B os pontos de tangência da
reta AB com as circunferências.
y
5
D
AD = 8 + x + 5
14 = 2 + x
=
3 cm
2
13 = 7 + x
5
x = 9 + 64 = 73
+
2
D
B
8
8 + y + 5 = 20
y = 20 - 13 = 7
8
x
2
x =3 +8
cm
y
B
A
2
2
7 = 113 . x
x = 49 . 113 / 113 cm
B
x
Respostas
2
b =a.n
2
8 = 113 . y
y = 64 . 113 / 113 cm
A
Pitágoras
2
2
5 =3 +x
x = 4 cm
2
A
2
4R = 40
D
6
B
R
C
R = 10 cm
3
CD = R - 2 = 10 - 2
C
y
6
R-2
2
R = R - 4R + 4 + 36
3
B
2
R = (R - 2) + 6
5
Semelhança de triângulos
x
3
y = 8
4
3
y = 8
E
Pitágoras
2
x
2
28) Na circunferência de centro C, AD = DB = 6 cm e
ED = 2 cm. Determine a medida do segmento CD.
2
27) Uma circunferência de raio 3 cm é inscrita num
triângulo isósceles. Sabendo-se que a altura do
triângulo é 8 cm, determinar as medidas dos lados
desse triângulo e o seu perímetro.
CD = 8 cm
Resposta
y = 6 cm
Pitágoras
2
2
(AB) = 6 + 8
2
AB = 10 cm
AB = AC = 10 cm , BC = 2 . 6 = 12 cm
Perímetro = AB + AC + BC = 32 cm
Respostas
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geometria plana
29) No triângulo ABC abaixo, determine a altura h.
cm
A
2 1
3 cm
5
h
B
30) A figura abaixo representa 4 circunferências de
raio 8 cm, tangentes duas a duas e uma circunferência
menor tangente às quatro maiores. Determinar o raio
da circunferência menor.
C
9 cm
31) O retângulo ABCD da figura abaixo tem lados AB = 32) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de
40 cm e BC = 30 cm. Sendo CE = 10 cm, determinar a um quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus
vértices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-a
medida do segmento BF.
de
maneira que o vértice D fique sobre o “lado” AB (figuA
B
ra 2). Seja D’ esta nova posição do vértice D e x a distância de A a D’.
D
figura 1
D
F
figura 2
C
C
E
A
B
A
x
D’
B
Determine a função que expressa a área do triângulo
sombreado em função de x.
(Fazer a resolução em outro espaço)
33) Na figura abaixo, as circunferências têm raio 10
cm, tangenciam a reta AB nos pontos A e B, são
tangentes entre si e tangentes ao quadrado que tem
base na reta AB. Determine a medida do lado desse
quadrado.
34) (FUVEST) Uma folha retangular de papel com
dimensões 6 x 8 é dobrada de modo que dois vértices
diagonalmente opostos coincidam. Determine o
comprimento do vinco (dobra).
8
6
A
B
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190
geometria plana
29) No triângulo ABC abaixo, determine a altura h.
30) A figura abaixo representa 4 circunferências de
raio 8 cm, tangentes duas a duas e uma circunferência
menor tangente às quatro maiores. Determinar o raio
da circunferência menor.
cm
A
2 1
3 cm
5
h
9-x
x
B
2
2
Diagonal do quadrado de
lado 16 cm
d = 16 2 cm
C
9 cm
2
x + h = 5 = 25
2
2
2
2
Mas d = 8 + 2r + 8
d = 16 + 2r
2
(2 13 ) = h + (9 - x) = h + 81 - 18x + x
2
2r
8
8
8
Então 16 2 = 16 + 2r
2
52 = x + h - 18x + 81 = 25 - 18x + 81
18x = 54
x=3
2
8
8
8
2r = 16 2 - 16 = 16( 2 - 1)
r = 8( 2 - 1) cm
2
3 + h = 25
Resposta
2
h = 25 - 9 = 16
h = 4 cm (resp)
31) O retângulo ABCD da figura tem lados AB = 40 cm 32) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de
e BC = 30 cm. Sendo CE = 10 cm, determinar a medida um quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus
vértices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-a
do segmento BF.
de
maneira que o vértice D fique sobre o “lado” AB (figuA
B
ra
2).
Seja D’ esta nova posição do vértice D e x a disa
40
b
Pitágoras
tância de A a D’.
q
50
a
D
2
2
q
30
2
(BD) = 40 + 30
F
-x
2
(BD) = (AB) + (BC)
x
2
2
b
E
10
C
BD = 50 cm
A
x = 2 000/70 = 200/7 cm
Resposta
x
10 - x
x
x/2
6
8
B
2
10 = (10 - x) + [10 - (x/2)]
2
x - 24x + 80 = 0
Raízes
x = -20 (não convém pois é maior que o raio)
Resposta
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a
A
90
a
6
-a
8-y
10
34) (FUVEST) Uma folha retangular de papel com
dimensões 6 x 8 é dobrada de modo que dois vértices
diagonalmente opostos coincidam. Determine o
E
comprimento do vinco (dobra).
6
10 - (x/2)
x = 4 cm
B
D’
(Fazer a resolução em outro espaço)
33) Na figura abaixo, as circunferências têm raio 10
cm, tangenciam a reta AB nos pontos A e B, são
tangentes entre si e tangentes ao quadrado que tem
base na reta AB. Determine a medida do lado desse
quadrado.
2
x
Resolução na próxima página
2 000 = 70 x
2
A
B
Determine a função que expressa a área do triângulo
sombreado em função de x.
2 000 - 40 x = 30 x
Pitágoras
figura 2
C
(BD) = 2 500
Semelhança de triângulos
D ABF ~ D DEF
40
x
=
50 - x
30
A
figura 1
D
3
y
8-y
x
F
y
B
6
8 - 2y
y G
H y C
Os triângulos AEF e ADG são congruentes pelo caso A.L.A.
D
2
2
Pitágoras (8 - y) = 6 + y
2
y = 7/4
O triângulo FGH é retângulo
Pitágoras
2
2
2
x = 6 + (8 - 2.7/4) = 36 + 81/4 = 225/4
x = FG = 15/2
Resposta
Jeca 108
191
geometria plana
figura 2
Pitágoras
2
2
Área do triângulo
S = b . h /2 = x . y /2
2
(21 - y) = y + x
2
2
21 - y
441 - 42y + y = y + x
2
21
-42y = x - 441
42y = 441 - x
y
21
A
x
2
2
S=
x . (441 - x )
42
2
=
441x - x
84
3
2
2
y = (441 - x ) / 42
-y
D’
B
Jeca 109
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192
geometria plana
Respostas dos exercícios da Aula 09.
01)
106 cm, (25 106 / 106) cm, (81 106 / 106) cm
e (45 106 / 106) cm
23) 5 cm
02)
12 cm, 6 3 cm, 6 cm e 3 3 cm
03)
4 cm, (9 / 4) cm, (15 / 4) cm e (25 / 4) cm
04)
69 cm
05) b
06) b
07) d
08) b
09) d
10) 4 / 3
11) e
12) 10 cm
13)
a) 8 3 / 3
b) 120º
14) (8 / 3) cm
15) c
16) e
17) 5 cm
18) 5 cm
19) 8 cm
2
20) (96 - (576p / 25)) cm
21) (2 66 / 5) cm
22) 16(3 - 2 2 ) cm
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
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193
geometria plana
Respostas dos exercícios complementares da Aula 09.
01) a = 10 cm, m = 3,6 cm, n = 6,4 cm, h = 4,8 cm
21) x = 11 / 4
02) x = 12 cm,
22) r = 4 / 3
y = 3 3 cm,
z = 6 cm,
t = 6 3 cm
03) x = 15 cm, y = 27/5 cm, z = 48/5 cm, t = 36/5 cm
23) AB = 8 cm
04) a) x = 130 cm
24) AD = (13 + 2 30 ) cm
b) x = 5 cm
c) x = 3 7 cm
AD = 73 cm
05) x = y - z
25) AB = 8 3
06) d = a 2
26) x = 49 113 / 113 cm
07) h = a 3
2
27) AB = AC = 10 cm
2
2
08) x = 2 cm
09) x = 3 3
y = 3 cm
z = 2 cm
y=3
y = 64 113 / 113 cm
BC = 12 cm
Perím = 32 cm
28) CD = 8 cm
29) h = 4 cm
30) r = 8( 2 - 1 ) cm
10) x = 17 cm
11) CM = 2 7 cm
12) r = 16 / 3 cm
13) AD = 7
31) BF = 200 / 7 cm
3
2
32) A = -x + 441x cm
84
33) x = 4 cm
34) d = 15 / 2
14) r = 2 / 4
15) x = 3 5 cm
16) r = k(3 - 2 2 )
2
17) h = 4 cm
18) d = 12 cm
19) d = 4 2 cm
20) R = 5 cm
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
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194
geometria plana
Geometria plana
Aula 10
Relações métricas num triângulo qualquer.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
I) Lei dos senos.
II) Lei dos cossenos.
Em todo triângulo, a razão entre a medida de um
lado e o seno do ângulo oposto é constante e vale o
dobro do raio da circunferência circunscrita ao
triângulo.
Em todo triângulo, a medida de qualquer lado
depende das medidas dos outros dois lados e do
ângulo entre eles.
A
c
O
B
a
R
a
x
a
b
b
C
Lei dos senos
Lei dos cossenos
c
a
b
=
= 2R
=
sen C
sen B
sen A
2
2
2
x = a + b - 2.a.b.cos a
III) Propriedades dos triângulos.
1) Em todo triângulo, ao maior lado
opõe-se o maior ângulo e ao menor
lado opõe-se o menor ângulo.
b
a
c
g
b
a < b < c
2) Condição de existência de um
triângulo.
Em todo triângulo, a medida de
qualquer lado é menor que a soma
e maior que a diferença das medidas dos outros dois lados.
a
a < b < g
onde a, b e c são as medidas
dos lados do triângulo.
Reconhecimento da natureza de
um triângulo.
Seja a o maior lado de um triângulo de lados a, b e c.
Condição de existência.
b-c
< a <
3) Natureza de um triângulo.
Quanto à natureza um triângulo
pode ser:
a) triângulo retângulo;
b) triângulo obtusângulo;
c) triângulo acutângulo.
b+c
2
2
2
2
2
2
2
2
2
- Se a = b + c
onde a, b e c são as medidas
dos lados do triângulo.
- Se a > b + c
- Se a < b + c
IV) Pré-requisitos de trigonometria.
triângulo
retângulo.
triângulo
obtusângulo.
triângulo
acutângulo.
(Poderão ser usados em exercícios mais complexos deste capítulo)
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
cos (a + b) = cos a . cos b - sena . sen b
sen 2a = 2 . sen a . cos a
2
2
cos 2a = cos a - sen a
Exercícios.
01) Dados três segmentos de medidas 12 cm, 8 cm e 15 cm, verificar a possibilidade de se construir um triângulo com esses segmentos. Se for possível, determinar a natureza desse triângulo.
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geometria plana
Geometria plana
Aula 10
Relações métricas num triângulo qualquer.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
I) Lei dos senos.
II) Lei dos cossenos.
Em todo triângulo, a razão entre a medida de um
lado e o seno do ângulo oposto é constante e vale o
dobro do raio da circunferência circunscrita ao
triângulo.
Em todo triângulo, a medida de qualquer lado
depende das medidas dos outros dois lados e do
ângulo entre eles.
A
c
O
B
a
R
a
x
a
b
b
C
Lei dos senos
Lei dos cossenos
c
a
b
=
= 2R
=
sen C
sen B
sen A
2
2
2
x = a + b - 2.a.b.cos a
III) Propriedades dos triângulos.
1) Em todo triângulo, ao maior lado
opõe-se o maior ângulo e ao menor
lado opõe-se o menor ângulo.
b
a
c
g
a
b
a < b < c
2) Condição de existência de um
triângulo.
Em todo triângulo, a medida de
qualquer lado é menor que a soma
e maior que a diferença das medidas dos outros dois lados.
Reconhecimento da natureza de
um triângulo.
Seja a o maior lado de um triângulo de lados a, b e c.
Condição de existência.
b-c
a < b < g
< a <
b+c
2
2
2
2
2
2
2
2
2
- Se a = b + c
onde a, b e c são as medidas
dos lados do triângulo.
onde a, b e c são as medidas
dos lados do triângulo.
3) Natureza de um triângulo.
Quanto à natureza um triângulo
pode ser:
a) triângulo retângulo;
b) triângulo obtusângulo;
c) triângulo acutângulo.
- Se a > b + c
- Se a < b + c
IV) Pré-requisitos de trigonometria.
triângulo
retângulo.
triângulo
obtusângulo.
triângulo
acutângulo.
(Poderão ser usados em exercícios mais complexos deste capítulo)
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
sen 2a = 2 . sen a . cos a
cos (a + b) = cos a . cos b - sena . sen b
2
2
cos 2a = cos a - sen a
Exercícios.
01) Dados três segmentos de medidas 12 cm, 8 cm e 15 cm, verificar a possibilidade de se construir um triângulo com esses segmentos. Se for possível, determinar a natureza desse triângulo.
Existência
|b - c| < a < b + c
|12 - 8| < 15 < 12 + 8
4 < 15 < 20 Verdadeiro
Esse triângulo existe.
Natureza
2
2
a = 15 = 225
2
2
2
2
2
2
b + c = 12 + 8 = 144 + 64 = 208
225 > 208
2
a >b +c
Esse triângulo é obtusângulo.
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196
geometria plana
02) Dadas as medidas de três segmentos, verificar se é possível construir um triângulo com esses segmentos e
determinar a natureza desse triângulo, se o mesmo existir.
a) 8 cm, 15 cm e 17 cm.
b) 8 cm, 15 cm e 16 cm.
Existência
Natureza
Natureza
Existência
Natureza
Existência
Natureza
Existência
e) 5 cm, 8 cm e 13 cm.
Existência
g) 5 cm, 9 cm e 12 cm.
Existência
Natureza
d) 2 cm, 4 cm e 7 cm.
c) 8 cm, 15 cm e 13 cm.
Existência
Existência
Natureza
f) 10 cm, 11 cm e 12 cm.
h) 4 cm, 9 cm e 9 cm.
Natureza
Natureza
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geometria plana
02) Dadas as medidas de três segmentos, verificar se é possível construir um triângulo com esses segmentos e
determinar a natureza desse triângulo, se o mesmo existir.
a) 8 cm, 15 cm e 17 cm.
b) 8 cm, 15 cm e 16 cm.
Existência
|b - c| < a < b + c
|8 - 15| < 17 < 8 + 15
7 < 17 < 23 Verdadeiro
Esse triângulo existe
Natureza
2
Existência
2
a = 17 = 289
2
2
2
2
2
2
2
b + c = 8 + 15
|b - c| < a < b + c
|8 - 15| < 16 < 8 + 15
7 < 16 < 23 Verdadeiro
Esse triângulo existe
2
b + c = 64 + 225 = 289
2
2
2
2
2
2
2
b + c = 8 + 15
2
b + c = 64 + 225 = 289
2
2
a < b +c
Esse triângulo é acutângulo
d) 2 cm, 4 cm e 7 cm.
c) 8 cm, 15 cm e 13 cm.
|b - c| < a < b + c
|8 - 15| < 13 < 8 + 15
7 < 13 < 23 Verdadeiro
Esse triângulo existe
2
a = 16 = 256
2
a =b +c
Esse triângulo é retângulo
Existência
Natureza
Natureza
2
Existência
2
a = 15 = 225
2
2
2
2
2
2
2
b + c = 8 + 13
Natureza
|b - c| < a < b + c
|2 - 4| < 7 < 2 + 4
2 < 7 < 6 Falso
Esse triângulo não existe
2
b + c = 64 + 169 = 233
2
a <b +c
Esse triângulo é acutângulo
e) 5 cm, 8 cm e 13 cm.
Existência
f) 10 cm, 11 cm e 12 cm.
Natureza
Existência
|b - c| < a < b + c
|5 - 8| < 13 < 5 + 8
3 < 13 < 13 Falso
Esse triângulo não existe
|b - c| < a < b + c
|10 - 11| < 12 < 10 + 11
1 < 12 < 21 Verdadeiro
Esse triângulo existe
Natureza
2
2
a = 12 = 144
2
2
2
2
2
b + c = 10 + 11
2
b + c = 100 + 121 = 221
2
2
2
a < b +c
Esse triângulo é acutângulo
g) 5 cm, 9 cm e 12 cm.
Existência
|b - c| < a < b + c
|5 - 9| < 12 < 5 + 9
4 < 12 < 14 Verdadeiro
Esse triângulo existe
h) 4 cm, 9 cm e 9 cm.
Existência
Natureza
2
2
a = 12 = 144
2
2
2
2
2
b +c =5 +9
|b - c| < a < b + c
|4 - 9| < 9 < 4 + 9
5 < 9 < 13 Verdadeiro
Esse triângulo existe
2
b + c = 25 + 81 = 106
2
2
2
a > b +c
Esse triângulo é obtusângulo
Natureza
2
2
a = 9 = 81
2
2
2
2
2
b +c =9 +4
2
b + c = 81 + 16 = 97
2
2
2
a < b +c
Esse triângulo é acutângulo
Jeca 113
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198
geometria plana
03) Dados três segmentos de medidas 7 cm, 9 cm e
x cm, determine o intervalo de valores que x pode assumir para que exista o triângulo de lados 7, 9 e x.
04) Utilizando a lei dos cossenos, determine a natureza de um triângulo de lados 10 cm, 12 cm e 16 cm.
05) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C medem, respectivamente, 45º e 30º. Determine a medida do lado AB, sabendo que a medida de AC é 8 cm.
06) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C medem, respectivamente, 60º e 45º. Determine a medida do lado AC, sabendo que a medida de AB é 4 cm.
A
(GeoJeca)
A
(GeoJeca)
(GeoJeca)
C
B
B
07) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C medem, respectivamente, 45º e 30º. Determine a medida do lado BC, sabendo que a medida de AC é 8 cm.
A
B
(GeoJeca)
C
08) Na figura abaixo, os ângulos A e B medem, respectivamente 75º e 45º. O raio da circunferência
circunscrita ao triângulo ABC mede 6 cm. Determine
as medidas dos lados AB e AC.
A
(GeoJeca)
C
B
C
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geometria plana
03) Dados os segmentos a = 7 cm, b = 9 cm e c, determine o intervalo de valores que c pode assumir
para que exista o triângulo de lados a, b e c.
(GeoJeca)
Condição de existência
|b - c| < a < b + c
Condição de existência
|10 - 12| < 16 < 10 + 12
|b - c| < a < b + c
2 < 16 < 22
|7 - 9| < c < 7 + 9
2 < c < 16
04) Utilizando a lei dos cossenos, determine a natureza de um triângulo de lados 10 cm, 12 cm e 16 cm.
Resposta
(o triângulo existe)
Natureza
2
2
a = 16 = 256
2
2
2
2
2
b + c = 10 + 12
2
b + c = 100 + 144 = 244
2
2
2
a > b +c
Esse triângulo é obtusângulo
05) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C medem, respectivamente, 45º e 30º. Determine a medida do lado AB, sabendo que a medida de AC é 8 cm.
45º
30º
B
Lei dos senos.
b
c
a
=
= 2R
=
sen C
sen A
sen B
C
B
x
=
sen 60º
8
2
2
x
3
2
Resposta
=
x = 2 6 cm
07) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C medem, respectivamente, 45º e 30º. Determine a medida do lado BC, sabendo que a medida de AC é 8 cm.
B
(GeoJeca)
A
105º
45º
x
=
x
2+ 6
4
x = 4( 3 + 1) cm
C
Resposta
4
sen 45º
4
2
2
Resposta
08) Na figura abaixo, os ângulos A e B medem, respectivamente 75º e 45º. O raio da circunferência
circunscrita ao triângulo ABC mede 6 cm. Determine
as medidas dos lados AB e AC.
A
8 cm
30º
75º
x
C
sen 105º = sen(45º + 60º) = sen 45º.cos 60º + sen 60º.cos 45º
2+ 6
4
sen 105º =
8
2
2
45º
B
Lei dos senos.
b
a
c
=
= 2R
=
sen C
sen A
sen B
45º
m
x
8
=
sen 45º
sen 105º
60º
Lei dos senos.
b
a
c
=
= 2R
=
sen C
sen A
sen B
8
sen 45º
Lei dos senos.
b
c
a
=
= 2R
=
sen C
sen A
sen B
x
6c
x = 4 2 cm
4
(GeoJeca)
(GeoJeca)
y
60º
C
R=
=
A
8 cm
x
x
1
2
06) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C medem, respectivamente, 60º e 45º. Determine a medida do lado AC, sabendo que a medida de AB é 4 cm.
(GeoJeca)
A
x
=
sen 30º
Resposta
y
x
= 2.6
=
sen 60º
sen 45º
x = AB = 12 . sen 60º = 6 3 cm
y = 12 . sen 45º = 6 2 cm
Respostas
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200
geometria plana
09) Na figura, os ângulos A e C medem, respectivamente, 45º e 15º. Sabendo que BC = 12 cm, determine a medida do lado AC e o raio da circunferência
circunscrita ao triângulo ABC.
A
B
10) Um triângulo ABC tem lados AB e BC que medem, respectivamente, 5 cm e 7 cm. Determine a
medida do lado AC, sabendo que o ângulo B mede
60º.
C
11) Um triângulo ABC tem lados AB e BC que medem, respectivamente, 6 cm e 8 cm. Determine a
medida do lado AC, sabendo que o ângulo B mede
120º.
12) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm,
determine o valor do cosseno do menor ângulo interno
desse triângulo.
13) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, 14) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm,
determine o valor do cosseno do maior ângulo interno determine o valor do seno do maior ângulo interno
desse triângulo.
desse triângulo.
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201
geometria plana
09) Na figura, os ângulos A e C medem, respectivamente, 45º e 15º. Sabendo que BC = 12 cm, determine a medida do lado AC e o raio da circunferência
circunscrita ao triângulo ABC.
A
10) Um triângulo ABC tem lados AB e BC que medem, respectivamente, 5 cm e 7 cm. Determine a
medida do lado AC, sabendo que o ângulo B mede
60º.
2
Lei dos cossenos
2
2
2
2
x = a + b - 2.a.b.cos a
45º
2
120º
B
Lei dos senos.
12 cm
60º
x = 5 + 7 - 2 . 5 . 7 . cos 60º
15º
C
x
5
7
2
x = 25 + 49 - 2 . 5 . 7 . 1/2
2
x = 39
b
c
a
=
= 2R
=
sen C
sen A
sen B
12
AC
= 2R
=
sen 120º
sen 45º
12
AC
=
= 2R
2
3
2
2
x = 39 cm
Resposta
AC = 6 6 cm (resp)
R = 6 2 cm (resp)
11) Um triângulo ABC tem lados AB e BC que medem, respectivamente, 6 cm e 8 cm. Determine a
medida do lado AC, sabendo que o ângulo B mede
120º.
A
Lei dos cossenos
2
2
2
x = a + b - 2.a.b.cos a
x
6
2
2
Lei dos cossenos
2
2
x = a + b - 2.a.b.cos a
120º
8 cm
B
2
12) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm,
determine o valor do cosseno do menor ângulo interno
desse triângulo.
2
x = 6 + 8 - 2 . 6 . 8 . cos 120º
C
2
2
2
25 - 49 - 64 = -112 cos a
x = 2 37 cm
cos a = 11/14
Resposta
7
2
5 = 7 + 8 - 2 . 7 . 8 . cos a
x = 148
a
Propriedade - Em todo triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado opõe-se o menor ângulo.
2
x = 36 + 64 - 2 . 6 . 8 . (-0,5)
8
5
Resposta
13) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, 14) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm,
determine o valor do cosseno do maior ângulo interno determine o valor do seno do maior ângulo interno
desse triângulo.
desse triângulo.
2
Lei dos cossenos
2
2
x = a + b - 2.a.b.cos a
Propriedade - Em todo triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado opõe-se o menor ângulo.
2
2
2
8 = 7 + 5 - 2 . 7 . 5 . cos a
64 - 49 - 25 = -70 cos a
cos a = 1/7
8
5
Do exercício anterior, tem-se que
cos a = 1/7
a
7
2
a
7
2
sen a + cos a = 1
2
8
5
2
sen a + (1/7) = 1
sen a = 4 3 /7
Resposta
Resposta
Jeca 115
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202
geometria plana
15) Na figura, o triângulo ABC tem lados AB, AC e
BC que medem, respectivamente, 5 cm, 10 cm e 9 cm.
Determine a medida da mediana relativa ao lado AC.
A
B
16) Determine o raio da circunferência circunscrita ao
triângulo de lados que medem 4 cm, 5 cm e 6 cm.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
C
17) Dados os segmentos a = 6 cm, b = 9 cm e c, de- 18) (Fuvest) As páginas de um livro medem 1 dm de
termine o intervalo de valores que c pode assumir
para que o triângulo de lados a, b e c exista e seja base e 1 + 3 dm de altura. O livro é parcialmente
aberto, de tal forma que o ângulo entre duas páginas é
um triângulo acutângulo.
(GeoJeca)
60º. Determinar o ângulo formado pelas diagonais das
duas páginas.
(GeoJeca)
a
60º
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203
geometria plana
15) Na figura, o triângulo ABC tem lados AB, AC e
BC que medem, respectivamente, 5 cm, 10 cm e 9 cm.
Determine a medida da mediana relativa ao lado AC.
A
(GeoJeca)
5
a
5
B
5
9
2
(GeoJeca)
Lei dos cossenos
2
2
2
2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2
4
C
2
5
a
6
2
sen a + cos a = 1
2
2
sen a + (9/16) = 1
Lei dos cossenos.
2
2
5 = 4 + 6 - 2 . 4 . 6 . cos a
cos a = 9/16
M
d
16) Determine o raio da circunferência circunscrita ao
triângulo de lados que medem 4 cm, 5 cm e 6 cm.
2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2
sen a = 5 7 /16
2
2
No DABC, tem-se 9 = 5 + 10 - 2 . 5 . 10 . cos a
cos a = (81 - 125) / (-100)
cos a = -44 / (-100) = 11/25
2
2
Lei dos senos.
b
a
c
=
= 2R
=
sen C
sen A
sen B
2
No DABM, tem-se d = 5 + 5 - 2 . 5 . 5 . cos a
2
d = 25 + 25 - 50 . 11/25 = 50 - 22 = 28
d = 28 = 2 7 cm (resp)
5
= 2R
sen a
5
5 7
4
= 2R
8
7
R=
=
8 7 cm
7
Resposta
17) Dados os segmentos a = 6 cm, b = 9 cm e c, de- 18) (Fuvest) As páginas de um livro medem 1 dm de
termine o intervalo de valores que c pode assumir
para que o triângulo de lados a, b e c exista e seja base e 1 + 3 dm de altura. O livro é parcialmente
aberto, de tal forma que o ângulo entre duas páginas é
um triângulo acutângulo.
(GeoJeca)
60º. Determinar o ângulo formado pelas diagonais das
duas páginas.
(GeoJeca)
Condição de existência
|b - c| < a < b + c
|6 - 9| < c < 6 + 9
3 < c < 15
Pitágoras
Natureza
Considerando 9 como sendo o maior lado, tem-se
y =1+1+ 3
9 <c +6
y =2+ 3
2
1
2
a
2
y =1 +( 1+ 3 )
2
2
1+ 3
2
2
2
2
81 - 36 < c
y
2
c > 45
c>3 5
Considerando c como sendo o maior lado, tem-se
2
2
2
c < 9 + 6 = 81 + 36 = 117
c < 117 = 3 13
Portanto
3 5 < c < 3 13
Resposta
2
Lei dos cossenos
2
1
2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2
1
1
No exercício
x=1
a=b=y
2
60º
2
1 = y + y - 2 . y . y . cos a
1 = 2 + 3 + 2 + 3 - 2 . (2 + 3 ).cos a
1 - 4 - 2 3 = -2 . (2 + 3 ).cos a
-(3 + 2 3 ) = -2 . (2 + 3 ).cos a
cos a =
a = 30º
-(3 + 2 3 )
=
-2 . (2 + 3 )
3
2
Resposta
Jeca 116
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204
geometria plana
19) Dado um triângulo de lados 4 cm, 5 cm e 6 cm,
determine a altura desse triângulo relativa ao maior
lado.
20) Em um triângulo acutângulo de lados AB = 5 cm e
AC = 7 cm, a projeção ortogonal do lado AC sobre o
lado AB mede 1 cm. Determine a medida do lado
BC desse triângulo.
21) Um navio, deslocando-se em linha reta, visa um
farol e obtém a leitura de 30º para o ângulo formado
entre a sua trajetória e a linha de visada do farol.
Após navegar 20 milhas, através de uma nova visada
ao farol, obtém a leitura de 75º. Determine a
distância entre o farol e o navio no instante em que fez
a 2ª leitura.
22) Para medir a distância entre dois pontos, A e B,
em margens distintas de um precipício, um engenheiro, que estava na mesma margem que o ponto A,
adotou um segmento AC = 300 m. Através de um
teodolito, obteve os ângulos BAC = 58º e BCA = 67º.
Com uma calculadora científica obteve os valores de
sen 67º = 0,9205 e sen 55º = 0,8192. Com base
nesses valores, determine a distância AB, calculada
pelo engenheiro.
B
margem B
precipício
58º
A
67º
300 m
margem A
C
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205
geometria plana
19) Dado um triângulo de lados 4 cm, 5 cm e 6 cm,
determine a altura desse triângulo relativa ao maior
A
lado.
4
1
5
h
a
B
6 cm
D
Lei dos cossenos.
2
2
20) Em um triângulo acutângulo de lados AB = 5 cm e
AC = 7 cm, a projeção ortogonal do lado AC sobre o
lado AB mede 1 cm. Determine a medida do lado
BC desse triângulo.
A
cos a = ca =
hip
C
1
7
2
7 cm
4
2
x
B
5 = 4 + 6 - 2 . 4 . 6 . cos a
25 - 16 - 36 = -48 cos a
cos a = -27 / (-48) = 9 / 16
2
2
Lei dos cossenos
2
2
2
2
2
x = 7 + 5 - 2 . 7 . 5 . cos a
sen a = 1 - (9/16) = (256 - 81)/256 = 175/256
sen a = 5 7 /16
x = 49 + 25 - 2 . 7 . 5 . 1/7 = 64
2
2
x = 8 cm
No DABD, tem-se sen a = h/4
5 7 /16 = h/4
Portanto h = 5 7 /4cm (resp)
21) Um navio, deslocando-se em linha reta, visa um
farol e obtém a leitura de 30º para o ângulo formado
entre a sua trajetória e a linha de visada do farol.
Após navegar 20 milhas, através de uma nova visada
ao farol, obtém a leitura de 75º. Determine a
distância entre o farol e o navio no instante em que fez
a 2ª leitura.
Farol
Resposta
22) Para medir a distância entre dois pontos, A e B,
em margens distintas de um precipício, um engenheiro, que estava na mesma margem que o ponto A,
adotou um segmento AC = 300 m. Através de um
teodolito, obteve os ângulos BAC = 58º e BCA = 67º.
Com uma calculadora científica obteve os valores de
sen 67º = 0,9205 e sen 55º = 0,8192. Com base
nesses valores, determine a distância AB, calculada
pelo engenheiro.
B
45º
precipício
d
105º
20 milhas
d
1
2
=
20
sen 45º
20
2
2
d = 10 2 milhas
Resposta
margem A
C
Lei dos senos
Lei dos senos
d
=
sen 30º
67º
300 m
A
75º
margem B
55º
x
58º
30º
C
x = a + b - 2.a.b.cos a
Relação fundamental sen a + cos a = 1
2
a
x
=
sen 67º
300
sen 55º
x
0,9205
300
0,8192
=
x = 300 . 0,9205 / 0,8192
x = 337 m
Resposta
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206
geometria plana
Geometria plana
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
Relações métricas num triângulo qualquer.
Exercícios complementares da aula 10.
(São João da Boa Vista - SP)
01) Dadas as medidas de três segmentos, verificar se é possível construir um triângulo com esses segmentos e
determinar a natureza desse triângulo, se o mesmo existir.
a) 6 cm, 8 cm e 10 cm.
Existência
b) 6 cm, 8 cm e 9 cm.
Natureza
Natureza
Existência
Natureza
Existência
Natureza
Existência
e) 9 cm, 5 cm e 12 cm.
Existência
g) 3 cm, 4 cm e 7 cm.
Existência
Natureza
d) 6 cm, 8 cm e 15 cm.
c) 6 cm, 8 cm e 12 cm.
Existência
Existência
Natureza
f) 12 cm, 5 cm e 13 cm.
h) 14 cm, 12 cm e 13 cm.
Natureza
Natureza
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207
geometria plana
Geometria plana
Relações métricas num triângulo qualquer.
Exercícios complementares da aula 10.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Dadas as medidas de três segmentos, verificar se é possível construir um triângulo com esses segmentos e
determinar a natureza desse triângulo, se o mesmo existir.
a) 6 cm, 8 cm e 10 cm.
Existência
|b - c| < a < b + c
|6 - 8| < 10 < 6 + 8
2 < 10 < 14 verdadeiro
Esse triângulo existe.
b) 6 cm, 8 cm e 9 cm.
Natureza
2
Existência
2
a = 10 = 100
2
2
2
2
2
2
2
|b - c| < a < b + c
|6 - 8| < 9 < 6 + 8
2 < 9 < 14 verdadeiro
Esse triângulo existe.
2
b + c = 6 + 8 = 36 + 64
b + c = 100
2
a =b +c
Esse triângulo é retângulo.
|b - c| < a < b + c
|6 - 8| < 12 < 6 + 8
2 < 12 < 14 verdadeiro
Esse triângulo existe.
2
2
2
2
2
2
2
2
a = 9 = 81
2
2
b + c = 6 + 8 = 36 + 64
b + c = 100
2
a <b +c
Esse triângulo é acutângulo.
d) 6 cm, 8 cm e 15 cm.
c) 6 cm, 8 cm e 12 cm.
Existência
Natureza
Natureza
2
Existência
2
a = 12 = 144
2
2
2
2
2
2
2
Natureza
|b - c| < a < b + c
|6 - 8| < 15 < 6 + 8
2 < 15 < 14 falso
Esse triângulo nãoexiste.
2
b + c = 6 + 8 = 36 + 64
b + c = 100
2
a >b +c
Esse triângulo é obtusângulo.
e) 9 cm, 5 cm e 12 cm.
Existência
|b - c| < a < b + c
|9 - 5| < 12 < 9 + 5
4 < 12 < 14 verdadeiro
Esse triângulo existe.
f) 12 cm, 5 cm e 13 cm.
Natureza
2
Existência
2
a = 12 = 144
2
2
2
2
2
2
2
|b - c| < a < b + c
|12 - 5| < 13 < 12 + 5
7 < 13 < 17 verdadeiro
Esse triângulo existe.
2
b + c = 9 + 5 = 81 + 25
b + c = 106
2
a >b +c
Esse triângulo é obtusângulo.
g) 3 cm, 4 cm e 7 cm.
Existência
Natureza
|b - c| < a < b + c
|3 - 4| < 7 < 3 + 4
1 < 7 < 7 falso
Esse triângulo não existe.
Natureza
2
2
a = 13 = 169
2
2
2
2
2
2
2
2
b + c = 12 + 5 = 144 + 25
b + c = 169
2
a =b +c
Esse triângulo é retângulo.
h) 14 cm, 12 cm e 13 cm.
Existência
|b - c| < a < b + c
|14 - 12| < 13 < 14 + 12
2 < 13 < 26 verdadeiro
Esse triângulo existe.
Natureza
2
2
a = 14 = 196
2
2
2
2
2
2
2
2
b + c = 12 + 13 = 144 + 169
b + c = 313
2
a <b +c
Esse triângulo é acutângulo.
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208
geometria plana
02) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
m
8c
30º
03) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
x
8
10 cm
cm
x
45º
9 cm
05) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
6 cm
60º
14
9c
m
04) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
cm
x
x
9 cm
06) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
07) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
8 cm
135
º
m
6c
x
10
x
12
cm
0º
9 cm
08) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
8 cm
a
m
150º
6c
8
cm
09) No triângulo ABC abaixo, determine o valor de
cos a.
A
8c
m
x
B
11 cm
C
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209
geometria plana
02) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
m
8c
30º
x
03) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
2
2
10 cm
2
2
2
2
2
2
8
2
x = 8 + 9 - 2 . 8 . 9 . cos 45º
2
Lei dos cossenos
2
Lei dos cossenos
x = a + b - 2.a.b.cos a
x = a + b - 2 . a . b . cos a
x
45º
2
2
x = 64 + 81 - 2 . 8 . 9 .
2
cm
9 cm
2
2
x = 145 - 72 2
x = 8 + 10 - 2 . 8 . 10 . 3 / 2
2
x = 64 + 100 - 80 3
x = 145 - 72 2 cm
Resposta
x = 2 (41 - 20 3 ) cm (resp)
04) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
2
2
2
2
cm
x = 9 + 14 - 2 . 9 . 14 . cos 60º
2
2
2
x = 6 + 9 = 117
2
1
x = 81 + 196 - 2 . 9 . 14 . 2
x
Pitágoras
x
6 cm
2
x = a + b - 2.a.b.cos a
14
9c
m
Lei dos cossenos
2
60º
05) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
x = 117 = 3 13 cm
9 cm
Resposta
2
x = 151
x = 151 cm
Resposta
06) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
2
07) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
8 cm
Lei dos cossenos
2
2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2
0º
2
2
2
10
x
cm
2
2
x = 64 + 100 - 2 . 8 . 10 . ( - 2 )
2
2
2
x = 164 + 80 2 = 4(41 + 20 2 )
2
x = 36 + 81 - 2 . 6 . 9 . (-0,5) = 171
x = 171 = 3 19 cm
x = 2 41 + 20 2 cm
Resposta
08) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
8 cm
8
2
º
x = 8 + 10 - 2 . 8 . 10 . cos 135º
x = 6 + 9 - 2 . 6 . 9 . cos 120º
2
135
2
cm
150º
x
Resposta
09) No triângulo ABC abaixo, determine o valor de
cos a.
A
2
a
Lei dos cossenos
2
2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2
8c
m
Lei dos cossenos
2
2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2
x = 8 + 8 - 2 . 8 . 8 . cos 150º
B
2
2
2
21 = - 96.cos a
Resposta
C
11 = 6 + 8 - 2 . 6 . 8 . cos a
121 - 36 - 64 = - 96.cos a
x = 128 + 64 3 = 64 (2 + 3 )
11 cm
2
2
x = 64 + 64 - 2 . 64 . (- 3 )
2
x = 8 2 + 3 cm
m
m
12
9 cm
2
2
x = a + b - 2.a.b.cos a
6c
6c
x
Lei dos cossenos
cos a = -21/96 = -7/32
Resposta
Jeca 119
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210
geometria plana
10) No triângulo ABC abaixo, determinar o cos a e 11) No triângulo ABC abaixo, sendo AB = 7 cm, BC = 8
cm e AC = 9 cm, determinar a medida da mediana AM,
cos b.
relativa ao lado BC.
b
8c
A
5c
m
m
a
g
10 cm
B
C
M
m
6c
12) No triângulo ABC abaixo, determinar o valor de 13) No triângulo ABC abaixo, o ponto M é medio do
segmento BC. Sa bendo que AB = 6 cm, BC = 10 cm
cos a, sen a e tg a.
e AC = 13 cm, determine :
12 c
a) o cosseno do ângulo B.
m
A
b) a medida da mediana AM.
a
8 cm
C
M
B
15) (Jeca) Na figura ao lado, as três circunferências
maiores têm raio 1 cm, tangenciam-se entre si e
tangenciam uma circunferência menor. Determine o
raio da circunferência menor.
14) Na figura abaixo, determine :
a) o cosseno do ângulo a.
b) a medida do segmento AD.
A
8c
5
cm
m
B
a
6 cm
D
4 cm
C
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211
geometria plana
10) No triângulo ABC abaixo, determinar o cos a e 11) No triângulo ABC abaixo, sendo AB = 7 cm, BC = 8
cm e AC = 9 cm, determinar a medida da mediana AM,
cos b.
relativa ao lado BC.
b
8c
Lei dos cossenos
A
5c
m
m
2
a
2
g
7
10 cm
2
2
2
x
2
2
9 = 7 + 8 - 2 . 7 . 8 . cos q
9
cos q = 2/7
2
8 = 5 + 10 - 2 . 5 . 10 . cos a
cos a = (64 - 25 - 100) / (-100) = -61 / (-100)
cos a = 61/100 (resp)
2
2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2
q
B
M
4
No D ABM , tem-se
C
4
2
10 = 5 + 8 - 2 . 5 . 8 . cos b
cos b = (100 - 25 - 64) / (-80)
cos b = 11 / (-80) = -11 / 80 (resp)
2
2
2
2
2
2
x = 7 + 4 - 2 . 7 . 4 . cos q
x = 7 + 4 - 2 . 7 . 4 . 2/7
x2 = 49
x = 7 cm
Resposta
6c
12) No triângulo ABC abaixo, determinar o valor de 13) No triângulo ABC abaixo, o ponto M é medio do
segmento BC. Sa bendo que AB = 6 cm, BC = 10 cm
cos a, sen a e tg a.
e AC = 13 cm, determine :
12 c
a) o cosseno do ângulo B.
m
A
b) a medida da mediana AM.
2
2
a
m
Lei dos cossenos.
2
12 = 6 + 8 - 2 . 6 . 8 . cos a
cos a = (144 - 36 - 64) / (-96)
cos a = 44 / (-96) = -11 / 24 (resp)
2
8 cm
2
2
13
y
2
cos q = -11/40
2
sen a + cos a = 1
2
2
2
13 = 6 + 10 - 2 . 6 . 10 . cos q
Relação fundamental da trigonometria
2
Lei dos cossenos
x = a + b - 2.a.b.cos a
2
sen a + (-11 / 24) = 1
sen a = 455 / 24 (resp)
C
6
q
5
5
M
B
No D ABM , tem-se
2
2
2
2
2
2
tg a = sen a / cos a = ( 455 / 24) / (-11 / 24)
x = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . cos q
tg a = - 455 / 11 (resp)
x = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . (-11/40)
2
x = 61 + 33/2 = 155/2 = 310/4
x = 310 / 2 cm
y
5
B
2
8c
m
a
D
6 cm
Lei dos cossenos
2
Lei dos cossenos
8 = 5 + 10 - 2 . 5 . 10 . cos a
cos a = 61/100
x = a + b - 2.a.b.cos a
2
2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2
4 cm
2
2
2
2
1
C
1
1+
No D ABD , tem-se
2
2
0º
cm
A
15) (Jeca) Na figura ao lado, as três circunferências
maiores têm raio 1 cm, tangenciam-se entre si e
tangenciam uma circunferência menor. Determine o
raio da circunferência menor.
1+r
12
14) Na figura abaixo, determine :
a) o cosseno do ângulo a.
b) a medida do segmento AD.
Resposta
r
2
y = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . cos a
2
y = 25 + 36 - 60 . 61/100 = 488/5
y = 122/5 =
610 / 5 cm
2
2
2 = (1 + r) + (1 + r) - 2 . (1 + r) . (1 + r) . cos 120º
2
Resposta
2
3r + 6r - 1 = 0
r=
2 3-3
3
cm
Resposta
Jeca 120
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212
geometria plana
16) Na figura abaixo, encontre o valor de x. Cite a pro- 17) Na figura abaixo, encontre o valor de x. Cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício. priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
10 cm
14
x
cm
12
0º
79
10 cm
18) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a
propriedade geométrica utilizada na solução do
exercício.
A
x
B
30º
8
x
cm
19) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a
propriedade geométrica utilizada na solução do
exercício.
A
cm
45º
60º
75º
12
x
cm
C
B
20) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a
propriedade geométrica utilizada na solução do
exercício.
60º
C
21) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a
propriedade geométrica utilizada na solução do
exercício.
A
x
O
cm
45º
R
=
m
8
c
16
x
120º
B
45º
C
22) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a
propriedade geométrica utilizada na solução do
exercício.
23) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a
propriedade geométrica utilizada na solução do
exercício.
12 c
12 c
m
m
x
45º
x
6 6 cm
45º
6 6 cm
Jeca 121
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213
geometria plana
16) Na figura abaixo, encontre o valor de x. Cite a pro- 17) Na figura abaixo, encontre o valor de x. Cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício. priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
Lei dos cossenos.
x = a + b - 2 . a . b . cos a
x = a + b - 2 . a . b . cos a
2
0º
cos 120º
2
2
2
x = 6 cm (resp)
A
Lei dos senos.
b
c
a
=
= 2R
=
sen C
sen A
sen B
8
x
45º
30º
C
Lei dos senos.
b
a
c
=
= 2R
=
sen C
sen A
sen B
16
x
=
sen 45º
sen 120º
x
16
=
2
3
2
2
m
B
45º
60º
cm
45º
C
Resposta
Lei dos senos.
b
c
a
=
=
= 2R
sen C
sen A
sen B
x
O
= 2 . 8 = 16
x = 8 2 cm
45º
Resposta
C
22) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a
propriedade geométrica utilizada na solução do
exercício.
Lei dos senos.
b
c
a
=
= 2R
=
sen C
sen A
sen B
45º
6 6
sen x
6 6
12
=
sen x
2
2
sen x = 3
2
x = 60º ou x = 120º
y
12
=
sen 45º
45º
6 6 cm
Resposta
6 6
sen y
sen y =
3
2
Portanto y = 60º ou y = 120º
x
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Lei dos senos.
b
c
a
=
= 2R
=
sen C
sen A
sen B
m
12 c
m
12
=
sen 45º
23) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a
propriedade geométrica utilizada na solução do
exercício.
12 c
x
6 6 cm
12
x
21) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a
propriedade geométrica utilizada na solução do
exercício.
x
2
2
Resposta
B
75º
cm
c
16
x = 8 6 cm
120º
x
12
=
sen 45º
sen 60º
12
x
=
2
3
2
2
x = 4 6 cm
20) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a
propriedade geométrica utilizada na solução do
exercício.
x
19) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a
propriedade geométrica utilizada na solução do
exercício.
A
Lei dos senos.
b
c
a
=
= 2R
=
sen C
sen A
sen B
cm
Resposta
A
cm
Resolvendo, tem-se
x = 7 cm
ou
x = 3 cm
Resposta
18) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a
propriedade geométrica utilizada na solução do
exercício.
x = 8 2 cm
x
2
x + 10x - 96 = 0
Resolvendo a equação do 2º grau, tem-se
B
2
60º
x - 10x + 21 = 0
196 = x + 100 + 10x
x
8
=
sen 45º
sen 30º
x
8
=
1
2
2
2
2
79
( 79 ) = x + 10 - 2 . x . 10 . cos 60º
2
ou
10 cm
2
No exercício
x = 79
a=x
14 = x + 10 - 2 . x . 10 . (-1/2)
x = -16 cm
2
8
10 cm
2
2
No exercício
x = 14
a=x
12
2
2
=
cm
2
R
14
x
Lei dos cossenos.
Se y = 60º, então
x + 60 + 45 = 180
x = 75º
Se y = 120º, então
x + 120 + 45 = 180
x = 15º
x = 15º ou x = 75º Resposta
214
geometria plana
24) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da 25) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da
circunferência circunscrita ao triângulo.
circunferência circunscrita ao triângulo.
A
x
30º
B
12
8 cm
x
A
12
0º
cm
C
B
60º
45º
C
26) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a
propriedade geométrica utilizada na solução do
exercício.
27) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a
propriedade geométrica utilizada na solução do
exercício.
30º
x
º
15º
30
18 cm
x
12
cm
28) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da 29) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da
circunferência circunscrita ao triângulo.
circunferência circunscrita ao triângulo.
sen 118º = 0,88
20
x
30º
10
5º
cm
x
º
118
30º
20 cm
30) Na figura abaixo, determine as medidas de x, y e z.
30º
135º
z
y
m
7c
x
120º
3 cm
5 cm
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215
geometria plana
24) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da 25) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da
circunferência circunscrita ao triângulo.
circunferência circunscrita ao triângulo.
A
8 cm
B
Lei dos senos.
b
c
a
=
= 2R
=
sen C
sen A
sen B
x
8
=
= 2R
sen 60º
sen 45º
C
x
8
= 2R
=
2
3
2
2
x
60º
Lei dos senos.
b
c
a
=
= 2R
=
sen C
sen A
sen B
45º
x =
Lei dos senos.
b
a
c
=
= 2R
=
sen C
sen A
sen B
º
30
12
12
1
2
30º
C
12 3
= 4 3 cm
3
Resposta
30º
x
15º
Lei dos senos.
b
a
c
=
= 2R
=
sen C
sen A
sen B
cm
= 2R
18
x
=
sen 135º
sen 30º
2R = 24
R = 12 cm
0º
cm
27) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a
propriedade geométrica utilizada na solução do
exercício.
12
= 2R
sen 30º
x
A
12
12
x
12
=
sen 30º
sen 120º
x
12
=
3
1
2
2
x = 8 3 = 8 6 = 4 6 cm (resp)
2
2
2
8 = 2R
> R = 4 2 cm (resp)
2
26) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a
propriedade geométrica utilizada na solução do
exercício.
x
30º
B
Resposta
x = 18 2 cm
º
135
18 cm
x
2
2
18
1
2
=
Resposta
28) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da 29) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da
circunferência circunscrita ao triângulo.
circunferência circunscrita ao triângulo.
Lei dos senos.
b
c
a
=
= 2R
=
sen C
sen A
sen B
45º
x
10
5º
30º
20 cm
sen 118º = 0,88
20
x
20
=
sen 45º
sen 30º
20
x
=
1
2
2
2
x = 10 2 cm
30º
x
20
=
sen 118º
sen 30º
Resposta
30) Na figura abaixo, determine as medidas de x, y e z.
z
2
3 cm
2
3
x = 2 10 cm
y
120º
2
7 =x +3
m
7c
x
Lei dos cossenos
Pitágoras
135º
x
º
118
Lei dos senos.
b
c
a
=
= 2R
=
sen C
sen A
sen B
x = 11,36 cm
30º
cm
2
2
y = 7 + 5 - 2 . 7 . 5 . cos 120º
2
y = 49 + 25 - 70 . (- 0,5)
20
0,88
Resposta
Lei dos senos.
b
c
a
=
= 2R
=
sen C
sen A
sen B
y
sen 135º
109
2
2
2
y = 49 + 25 + 35 = 109
y = 109 cm
z=
5 cm
x
1
2
=
=
z
sen 30º
=
2 . 109
=
2
z
1
2
218
2
cm
Resposta
Jeca 122
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216
geometria plana
31) (FUVEST-SP) Na figura abaixo,
32) Dado um triângulo de lados 4, 5 e 6, com
ângulos internos a, b e c, prove que a = 2b.
AB = BC = CD = DE = 2 e ABC = BCD = 2p / 3 e
CDE = p / 2. Calcule a distância entre os pontos A e E.
a
5
4
A
E
c
b
6
D
B
C
33) (Ibmec- SP) Na figura abaixo, suponha que as
medidas dos segmentos BC, BD, CF, BG e CG sejam
todas iguais a 2 e que CF e BD sejam, respectivamente, as bissetrizes dos ângulos BCE e CBG.
a) Determine a medida do segmento BE.
b) Calcule sen 75º (Sugestão: 75º = 45º + 30º)
c) Determine a medida do segmento BF.
34) (ITA-SP) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, temos BC = CD. Então podemos garantir que:
a) sen a = sen g
sen b
sen q
b) g . b = a . q
c) tg a = tg g
A
B
b
A
a
g
C
2
d) (BC) = AD . BD
e) tg a . tg b = tg g . tg q
q
D
E
G
F
B
H
L
J
D
C
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geometria plana
31) (FUVEST-SP) Na figura abaixo,
32) Dado um triângulo de lados 4, 5 e 6, com
ângulos internos a, b e c, prove que a = 2b.
AB = BC = CD = DE = 2 e ABC = BCD = 2p / 3 e
CDE = p / 2. Calcule a distância entre os pontos A e E.
a
A
2
2
Pitágoras y = 2 + 2
2
d
c
2
2
y
6
D
30º 45º 45º
2
2
2
x = 2 + 2 - 2 . 2 . 2 . (-1/2)
x = 12
x=2 3
Lei dos cossenos.
2
2
2
2
2
2
x = a + b - 2 a b cos a
2
2
2
1
6 = 4 + 5 - 2 . 4 . 5 . cos a
> cos a = 8
2
2
2
4 = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . cos b
> cos b = 34
2
2
sen b + cos b = 1
> sen b = 47
d = x + y - 2 . x . y . cos 45º
2
2
Lei dos cossenos
C
2
b
2
0º
B
x
Lei dos cossenos.
2
E
12
y= 8=2 2
5
4
2
d = (2 3 ) + (2 2 ) - 2 . 2 3 . 2 2 . 2 / 2
2
d = 20 - 8 3
d=2 5-2 3
cos 2b = cos2 b - sen2 b =
(resp)
2
7
=
=
16
16
9
16
1
8
1
8
cos a = cos 2b =
Portanto a = 2b
33) (Ibmec- SP) Na figura abaixo, suponha que as
medidas dos segmentos BC, BD, CF, BG e CG sejam
todas iguais a 2 e que CF e BD sejam, respectivamente, as bissetrizes dos ângulos BCE e CBG.
a) Determine a medida do segmento BE.
b) Calcule sen 75º (Sugestão: 75º = 45º + 30º)
c) Determine a medida do segmento BF.
e) tg a . tg b = tg g . tg q
Resposta
2+ 6
4
Resposta
c) Lei dos cossenos no D BCF
F
15
º
H
L
30º
30º
B
2
D
J
Portanto
2
BF = 2 2 - 3
30º
30º
Resolvendo, tem-se BF = 6 - 2
x
q
No D ADC , tem-se pela Lei dos senos
y
sen g
x
x
y = sen q
sen g = sen q
(BF) = 2 + 2 - 2 . 2 . 2 . cos 30º
C
Observação -
2
C
y
No D ABC , tem-se pela Lei dos senos
y
x
sen a
x
y = sen b
sen a = sen b
b) sen 75º = sen(30º + 45º) =
= sen 30º.cos 45º + sen 45º.cos 30º
sen 75º =
a
g
A
x
D
Portanto BE = 6
G
b
2
a) Lei dos senos
2
BE
=
sen 45º
sen 60º
45º
B
d) (BC) = AD . BD
No D BCE, tem-se
B = 75º , C = 60º , E = 45º
E
a) sen a = sen g
sen b
sen q
b) g . b = a . q
c) tg a = tg g
D BCF é isósceles
Portanto BFC = FBC = 75º
A
34) (ITA-SP) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, temos BC = CD. Então podemos garantir que:
sen a
=
sen b
sen g
sen q
Resposta a
Resposta
c) Pela Lei dos senos
BF
2
sen 75º = sen 30º
Resposta
2 2 - 3 = 6 - 2 (mesma resposta)
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218
geometria plana
Respostas dos exercícios da Aula 10.
01) existe e é obtusângulo
21) 10 2 milhas
02)
a) triângulo retângulo
b) triângulo acutângulo
c) triângulo acutângulo
d) não existe o triângulo
e) não existe o triângulo
f) triângulo acutângulo
g) triângulo obtusângulo
h) triângulo acutângulo
22) 337 metros
03) S = {c c R I 2 < c < 16 }
04) triângulo obtusângulo
05) 4 2 cm
06) 2 6 cm
07) 4( 3 + 1) cm
08) 6 3 cm e 6 2 cm
09) 6 6 cm e 6 2 cm
10)
39 cm
11) 2 37 cm
12) 11 / 14
13) 1 / 7
14) 4 3 / 7
15) 2 7 cm
16) (8 7 / 7) cm
17) S = { c
R | 3 5 < c < 3 13 }
18) 30º
19) (5 7 / 4) cm
20) 8 cm
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
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219
geometria plana
Respostas dos exercícios complementares da Aula 10.
01)
a) triângulo retângulo
b) triângulo acutângulo
c) triângulo obtusângulo
d) não existe
e) triângulo obtusângulo
f) triângulo retângulo
g) não existe
h) triângulo acutângulo
15) (2 3 - 3 / 3) cm
2) 2 41 - 20 3 cm
20) 8 6 cm
3)
145 - 72 2 cm
21) 8 2 cm
4)
151 cm
22) 60º ou 120º
5)
117 = 3 13 cm
23) 15º ou 75º
6)
171 = 3 19 cm
24) x = 4 6 cm e R = 4 2 cm
16) 6 cm
17) 3 cm ou 7 cm
18) 8 2 cm
19) 4 6 cm
7) 2 41 + 20 2 cm
25) 4 3 cm
8) 8 2 + 3 cm
26) 12 cm
9) -7 / 32
27) 18 2 cm
10) cos a = 61 / 100
28) 10 2 cm
cos b = -11 / 80
29) 11,36 cm
11) 7 cm
12) cos a = -11 / 24 sen a =
455
24
tg a =
455
11
30) x = 2 10 cm
y = 109 cm
z=
218
cm
2
31) 2 5 - 2 3
13)
a) -11 / 40
b) 310
2
14)
a) 61 / 100
b) 610 cm
5
32) demonstração abaixo
33)
a) 6
b) ( 2 + 6 ) / 4
c) 6 - 2
34) a
32)
Resolução.
4
a
5
c
b
6
Lei dos cossenos
2
2
2
x = a + b - 2 a b cos a
2
2
2
1
6 = 4 + 5 - 2 . 4 . 5 . cos a
> cos a = 8
2
2
2
4 = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . cos b
> cos b = 34
sen2 b + cos2 b = 1
> sen b = 47
cos 2b = cos2 b - sen2 b =
cos a = cos 2b =
1
8
9
16
2
7
=
=
16
16
1
8
Portanto a = 2b
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220
geometria plana
Geometria plana
Aula 11
Circunferência e círculo.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
I) Elementos da circunferência.
A
r
r
C
a
P
r
D
C - centro da circunferência
AC = r - raio da circunferência
AB = 2r - diâmetro da circunferência
ACD = a - ângulo central
APD - arco da circunferência
AD - corda da circunferência
B
Dados sobre a circunferência (ou sobre o círculo)
c = 2pr - perímetro ou comprimento da circunferência.
2
S=pr
- área do círculo.
360º
- abertura, em graus, de uma volta completa na circunferência.
2p rad - abertura, em radianos, de uma volta completa na circunferência.
II) Exercícios.
01) Determinar o perímetro e a área de um círculo de
raio 7 m.
02) Determinar o diâmetro e a área de um círculo cujo
perímetro mede 36p cm.
03) A roda de um automóvel tem um diâmetro que
mede 50 cm. Determine a distância percorrida por
esse veículo após uma de suas rodas completar 1750
voltas. Adotar p = 3,14 e supor que a roda não
deslize durante a rolagem.
04) Determine quantas voltas por segundo deve dar
cada roda de um automóvel na velocidade linear
constante de 31,4 m/s, sabendo que o raio de cada
roda é 25 cm e que a roda não desliza durante a
rolagem. (adotar p = 3,14)
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221
geometria plana
Geometria plana
Aula 11
Circunferência e círculo.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
I) Elementos da circunferência.
A
r
r
C
a
P
r
D
C - centro da circunferência
AC = r - raio da circunferência
AB = 2r - diâmetro da circunferência
ACD = a - ângulo central
APD - arco da circunferência
AD - corda da circunferência
B
Dados sobre a circunferência (ou sobre o círculo)
c = 2pr - perímetro ou comprimento da circunferência.
2
S=pr
- área do círculo.
360º
- abertura, em graus, de uma volta completa na circunferência.
2p rad - abertura, em radianos, de uma volta completa na circunferência.
II) Exercícios.
01) Determinar o perímetro e a área de um círculo de
raio 7 m.
c = 2pR = 36p cm
c = 2pR = 2 . p . 7 = 14p cm
2
2
02) Determinar o diâmetro e a área de um círculo cujo
perímetro mede 36p cm.
R = 36p / 2p = 18 cm
2
S = pR = p7 = 49p cm
d = 2R = 2 . 18 = 36 cm
2
2
2
S = pR = p . 18 = 324p cm
03) A roda de um automóvel tem um diâmetro que
mede 50 cm. Determine a distância percorrida por
esse veículo após uma de suas rodas completar 1750
voltas. Adotar p = 3,14 e supor que a roda não
deslize durante a rolagem.
2R = 50 cm
04) Determine quantas voltas por segundo deve dar
cada roda de um automóvel na velocidade linear
constante de 31,4 m/s, sabendo que o raio de cada
roda é 25 cm e que a roda não desliza durante a
rolagem. (adotar p = 3,14)
R = 25 cm = 0,25 m
R = 25 cm = 0,25 m
d = n . c = n . 2pR
d = n . c = n . 2pR = 1 750 . 2 . p . 0,25
d = 1 750 . 2 . 3,14 . 0,25 = 2 747,5 m
Resposta
Resposta
31,4 = n . 2 . 3,14 . 0,25
n=
31,4
2 . 3,14 . 0,25
= 20 volta
Resposta
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222
geometria plana
05) (UFRJ-RJ) Precorrendo uma distância de 450 m,
as rodas de um automóvel dão 250 voltas. Calcule o
raio das rodas.
06) (UNIFESP-SP) A figura mostra duas roldanas circulares ligadas por uma correia. A roldana maior,
com raio de 12 cm, gira fazendo 100 rotações por
minuto, e a função da correia é fazer a roldana menor
girar. Admita que a correia não escorregue.
Para que a roldana menor faça 150 rotações por
minuto, seu raio, em centímetros, deve ser:
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 4
07) (VUNESP-SP)
Em um jogo eletrônico, o
"monstro" tem a forma de um setor circular com raio de
1 cm, como mostra a figura.
08) (UFJF-MG) Testes efetuados em um pneu de
corrida constataram que, a partir de 185 600 voltas,
ele passa a se deteriorar, podendo causar riscos à
segurança do piloto. Sabendo que o diâmetro do pneu
é de 0,5 m, ele poderá percorrer, sem riscos para o
piloto, aproximadamente:
m
1c
"monstro"
1 rad
A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e
o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do
"monstro", em cm, é:
a) p - 1
b) p + 1
c) 2p - 1
d) 2p
e) 2p + 1
09) (J) A figura abaixo representa um setor circular de
centro O e ângulo central a. Os arcos AC e BD
têm comprimentos 4p cm e 4,8p cm , respectivamente. Sendo os segmentos AB e CD congruentes e
iguais a 2 cm, determine a medida do segmento OB.
B
A
O
a) 93 km
b) 196 km
c) 366 km
d) 592 km
e) 291 km
10) (Mack-SP) O ponteiro dos minutos de um relógio
mede 4 cm. Supondo p = 3, a distância, em centímetros, que a extremidade desse ponteiro percorre em
25 minutos é:
a)
b)
c)
d)
e)
15
12
20
25
10
a
C
D
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223
geometria plana
05) (UFRJ-RJ) Precorrendo uma distância de 450 m,
as rodas de um automóvel dão 250 voltas. Calcule o
raio das rodas.
d = n . c = n . 2pR
450 = 250 . 2pR
R = 450 / 500p = 9 / 10p m (resp)
06) (UNIFESP-SP) A figura mostra duas roldanas circulares ligadas por uma correia. A roldana maior,
com raio de 12 cm, gira fazendo 100 rotações por
minuto, e a função da correia é fazer a roldana menor
girar. Admita que a correia não escorregue.
Para que a roldana menor faça 150 rotações por
minuto, seu raio, em centímetros, deve ser:
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 4
nM . 2pRM = nm . 2pRm
100 . 2 . p . 12 = 150 . 2 . p . Rm
Rm =
07) (VUNESP-SP)
Em um jogo eletrônico, o
"monstro" tem a forma de um setor circular com raio de
1 cm, como mostra a figura.
m
1c
"monstro"
1 rad
A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e
o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do
"monstro", em cm, é:
O ângulo central do arco de circunferência tem
a) p - 1
abertura (2p - 1) radianos.
b) p + 1
Perímetro = d + 1 + 1
c) 2p - 1
2p rad ------------- c = 2pR
d) 2p
(2p - 1) rad ----------- d
e) 2p + 1
2.p.1.(2p - 1)
d
2p - 1
=
=
2p
100 . 2 . p . 12
150 . 2 . p
= 8 cm
Resposta a
08) (UFJF-MG) Testes efetuados em um pneu de
corrida constataram que, a partir de 185 600 voltas,
ele passa a se deteriorar, podendo causar riscos à
segurança do piloto. Sabendo que o diâmetro do pneu
é de 0,5 m, ele poderá percorrer, sem riscos para o
piloto, aproximadamente:
a) 93 km
b) 196 km
c) 366 km
d) 592 km
e) 291 km
d = 185 600 . c = 185 600 . 2.p.R
R = 0,25 m
d = 185 600 . 2 . 3,14 . 0,25 = 291 392 m
Aproximadamente 291 km
Resposta e
Perímetro = d + 1 + 1 = 2p - 1 + 1 + 1 = 2p + 1
Resposta e
09) (J) A figura abaixo representa um setor circular de
centro O e ângulo central a. Os arcos AC e BD
têm comprimentos 4p cm e 4,8p cm , respectivamente. Sendo os segmentos AB e CD congruentes e
iguais a 2 cm, determine a medida do segmento OB.
B
a 2 . p . (x - 2)
2p
BD =
a 2.p.x
2p
x
O
BD = a . x
4,8 p = a . x
a = 4,8 p / x
4p
x-2
x = 12
=
A
x
AC = a .(x - 2)
4p = a .(x - 2)
a = 4p / (x - 2)
2
AC =
-2
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
15
12
20
25
10
R=4
150º
a
C
4,8 p
x
10) (Mack-SP) O ponteiro dos minutos de um relógio
mede 4 cm. Supondo p = 3, a distância, em centímetros, que a extremidade desse ponteiro percorre em
25 minutos é:
25 minutos corresponde a um ângulo central de 150º
D
d = 2.p.R . 150/360
d = 2 . 3 . 4 . 150 / 360
d = 10 cm
Resposta e
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geometria plana
11) (Fatec-SP) Em um motor há duas polias ligadas
por uma correia, de acordo com o esquema abaixo.
Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre
seus centros é de 30 cm, qual das medidas abaixo
mais se aproxima do comprimento da correia ?
a)
b)
c)
d)
e)
12) (UFLa-MG) Os raios das rodas traseiras de um
trator medem 75 cm e dão 30 voltas, ao mesmo
tempo em que as rodas dianteiras dão 90 voltas. O
raio de cada uma das rodas dianteiras é:
a)
b)
c)
d)
e)
20 cm
30 cm
25 cm
15 cm
22 cm.
122,8 cm
102,4 cm
92,8 cm
50 cm
32,4 cm
13) (Unisa-SP) Um hexágono regular de lado 3 cm
está inscrito numa circunferência. Nessa circunferência, um arco de medida 100º, em centímetros,
tem comprimento:
14) (UFPI-PI) Numa circunferência na qual está
inscrito um quadrado de lado 10 cm, o comprimento,
em cm, de um arco dessa circunferência, medindo
120º é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
3p / 5
5p / 6
p
5p / 3
10p / 3
15) (UEG-GO) Na figura abaixo, os segmentos AB e
BC correspondem, respectivamente, aos lados de
um hexágono regular e de um quadrado, ambos
inscritos na circunferência que tem raio 6 cm. Determine o comprimento do arco ABC.
B
A
C
10 2 p / 3
5 p/3
5 7 p/3
10 3 p / 2
5 2 p/3
16) (Unifesp-SP) Um inseto vai se deslocar sobre
uma superfície esférica de raio 50 cm, desde um ponto A até um ponto B, diametralmente opostos, conforme a figura abaixo. O menor trajeto possível que o
inseto pode percorrer tem comprimento, em metros,
igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
p/2
p
3p / 2
2p
3p
B
A
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geometria plana
11) (Fatec-SP) Em um motor há duas polias ligadas
por uma correia, de acordo com o esquema abaixo.
30 cm
Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre
seus centros é de 30 cm, qual das medidas abaixo
mais se aproxima do comprimento da correia ?
a)
b)
c)
d)
e)
122,8 cm
102,4 cm
92,8 cm
50 cm
32,4 cm
12) (UFLa-MG) Os raios das rodas traseiras de um
trator medem 75 cm e dão 30 voltas, ao mesmo
tempo em que as rodas dianteiras dão 90 voltas. O
raio de cada uma das rodas dianteiras é:
a)
b)
c)
d)
e)
20 cm
30 cm
25 cm
15 cm
22 cm.
A distância percorrida por uma roda dianteira é igual à distância
percorrida por uma roda traseira.
d = 2 . 30 + 2 . c/2 = 2 . 30 + 2 . p . 10
d D = dT
d = 60 + 2 . 3,14 . 10 = 122,8 cm (resp)
nD . 2pRD = nT . 2pRT
90 . 2 . p . RD = 30 . 2 . p . 75
RD =
30 . 2 . p . 75
90 . 2 . p
= 25 cm
Resposta c
13) (Unisa-SP) Um hexágono regular de lado 3 cm
está inscrito numa circunferência. Nessa circunferência, um arco de medida 100º, em centímetros,
tem comprimento:
14) (UFPI-PI) Numa circunferência na qual está
inscrito um quadrado de lado 10 cm, o comprimento,
em cm, de um arco dessa circunferência, medindo
120º é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
3p / 5
5p / 6
p
5p / 3
10p / 3
x
100º
R=3
Pitágoras
2
15) (UEG-GO) Na figura abaixo, os segmentos AB e
BC correspondem, respectivamente, aos lados de
um hexágono regular e de um quadrado, ambos
inscritos na circunferência que tem raio 6 cm. Determine o comprimento do arco ABC.
B
aQ = 360/4 = 90º
A medida do arco ABC é 150º
Regra de três
360º -------------- 2pR
150º --------------- x
x = 150 . 2 . p . 6 / 360
aH
2
10
10
2
(2R) = 10 + 10 = 200
Se o hexágono tem lado 3 cm, então a circunferência tem raio
3 cm.
Regra de três
360º --------------------- 2pR
100º --------------------- x
x = 2 . p . 3 . 100 / 360 = 5p/3
Resposta d
A
R
R
3
x = 5p cm
120º
3
3
aH = 360/60 = 60º
x
10 2 p / 3
5 p/3
5 7 p/3
10 3 p / 2
5 2 p/3
aQ
R = 6 cm
C
R=5 2
x = 2.p.R . 120/360 = 2.p.5 2 . 120/360
x = 10p 2 /3 cm
Resposta a
16) (Unifesp-SP) Um inseto vai se deslocar sobre
uma superfície esférica de raio 50 cm, desde um ponto A até um ponto B, diametralmente opostos, conforme a figura abaixo. O menor trajeto possível que o
inseto pode percorrer tem comprimento, em metros,
igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
p/2
p
3p / 2
2p
3p
B
A
A menor distância entre os pontos A e B é uma semicircunferência de raio 50 cm.
d = 2.p.R / 2 = 2 . p . 0,50 /2 = p/2
Resposta a
Resposta
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geometria plana
17) (UFSCAR-SP) A sequência de figuras mostra um
único giro do ponto A, marcado em uma roda circular,
quando ela rola, no plano, sobre a rampa formada
pelos segmentos RQ e QP.
figura 1
polia
figura 2
P
18) (J) Três polias de raio 10 cm têm os seus centros
equidistantes 50 cm, como representado na figura
abaixo. Adotando p = 3, determine o comprimento da
correia que envolve as três polias.
P
A
50
0º
Q
Q
R
A
cm
correia
12
A
R
P
figura 3
0º
12
Q
R
Além do que indicam as figuras, sabe-se que o raio
da roda mede 3 m e que ela gira sobre a rampa sem
deslizar em falso. Sendo assim, o comprimento da
rampa RQ + QP, em m, é igual a:
a) 5p + 2 3
b) 4p + 3 5
c) 6p + 3
d) 7p - 3
e) 8p - 3 5
19) (J) Uma pista de automobilismo tem comprimento
de 1 milha (1640 m) e é composta por uma semicircunferência maior e três semicircunferências menores
congruentes. Determinar os raios das semicircunferências sabendo que B, C e D são os centros das
semicircunferências e os pontos A, B, C, D e E são
colineares. (Adotar p = 3,14)
A
B
C
D
20) (FUVEST-SP) A figura representa duas polias circulares C1 e C2 de raios R1 = 4 cm e R2 = 1 cm,
apoiadas em uma superfície plana em P1 e P2,
respectivamente. Uma correia envolve as polias, sem
folga. Sabendo-se que a distância entre os pontos P1
e P2 é 3 3 cm, determine o comprimento da correia.
correia
E
P1
3 3 cm
P2
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geometria plana
17) (UFSCAR-SP) A sequência de figuras mostra um
único giro do ponto A, marcado em uma roda circular,
quando ela rola, no plano, sobre a rampa formada
pelos segmentos RQ e QP.
A
18) (J) Três polias de raio 10 cm têm os seus centros
equidistantes 50 cm, como representado na figura
abaixo. Adotando p = 3, determine o comprimento da
correia que envolve as três polias.
polia
P
50
cm
correia
C
30º
30
º
3
R
S
60º
x
60º
60º
T
º
120
50 cm
Q
RS tem o comprimento de um arco de 150º
ST tem o comprimento de um arco de 60º
TP tem o comprimento de um arco de 150º
SQ = QT é o cateto oposto do triângulo CSQ
O comprimento da correia é a soma de três trechos retos de
comprimento 50 cm e três arcos de circunferência de raio 10
cm e ângulo central 120º.
Os três arcos somados são iguais a uma circunferência completa.
tg 30º = x/3
C = 3 . 50 + 2pR = 3 . 50 + 2 . p . 10
> SQ = x = 3 tg 30º = 3 3 / 3 = 3 m
RQ + QP = RS + SQ + QT + TP = 2(RS + SQ)
C = 150 + 20p = 10(15 + 2p) cm
RQ + QP = 2(150 . 2 . p . 3 / 360 + 3 )
p=3
RQ + QP = 5p + 2 3 m (resp)
C = 210 cm
19) (J) Uma pista de automobilismo tem comprimento
de 1 milha (1640 m) e é composta por uma semicircunferência maior e três semicircunferências menores
congruentes. Determinar os raios das semicircunferências sabendo que B, C e D são os centros das
semicircunferências e os pontos A, B, C, D e E são
colineares. (Adotar p = 3,14)
Resposta
20) (FUVEST-SP) A figura representa duas polias circulares C1 e C2 de raios R1 = 4 cm e R2 = 1 cm,
apoiadas em uma superfície plana em P1 e P2,
respectivamente. Uma correia envolve as polias, sem
folga. Sabendo-se que a distância entre os pontos P1
e P2 é 3 3 cm, determine o comprimento da correia.
1
B
R
C
R
R
D
R
240º
E
a
3
correia
cm
R
3
R
3
A
1
120º
1 640 = 3 . 2.p.R + 1. 2.p.3R
2
2
1 640 = 3pR + 3pR = 6pR
R = 1 640 / 6p = 1 640 /18,84
R = 87,05 m
R' = 3R = 261,15 m
Resposta
P1
tg a = co / ca =
3 3
3
3 3 cm
P2
= 3
a = 60º
d - comprimento da correia
d = 2 . 3 3 + 120 2 . p 1 + 240 2 . p . 4
360
360
2p
16p
d=6 3+
+
3
3
d = 6( 3 + p) cm (resp)
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geometria plana
Geometria plana
Circunferência e círculo.
Exercícios complementares da aula 11.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) (UEPB-PB) Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 502,4 km sobre uma pista circular
de raio 200m. Considerando p = 3,14, o número de
voltas que ele deve dar é:
02) (UCS-RS) A razão entre os comprimentos da
Linha do Equador e do diâmetro da Terra é igual à
razão entre os comprimentos de uma circunferência
qualquer e de seu diâmetro. Essa afirmação é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
500
350
450
400
300
03) (UFRJ-RJ) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira
em linha reta, sem escorregar, sobre uma superfície
lisa e horizontal. Determine o menor número de voltas
completas para a roda percorrer uma distância maior
que 10 m.
verdadeira, e a razão referida vale
verdadeira, e a razão referida vale
verdadeira, e a razão referida vale
verdadeira, e a razão referida vale
falsa.
p / 2.
p.
3p / 2.
2p.
04) (J) A figura abaixo representa um setor circular de
centro O e ângulo central a. Os arcos AC e BD
têm comprimentos 4p e 4,8p , respectivamente.
Sendo os segmentos AB e CD congruentes e iguais a
2 cm, determine a medida do ângulo a.
B
A
O
a
C
05) (J) Na figura abaixo, A e B são os pontos médios
de dois lados de um pentágono regular de perímetro
60 m. Sendo C um vértice do pentágono e o centro do
setor circular, determine o perímetro da região sombreada. (Adote p = 3)
D
06) (J) Uma pessoa dispõe de uma corda com 46p m
de comprimento e pretende fazer duas circunferências concêntricas com ela; uma circunferência menor
de raio 10 m e outra maior, conforme a figura abaixo.
Determine a distância d entre as circunferências.
A
C
B
d
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229
geometria plana
Geometria plana
Circunferência e círculo.
Exercícios complementares da aula 11.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) (UEPB-PB) Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 502,4 km sobre uma pista circular
de raio 200m. Considerando p = 3,14, o número de
voltas que ele deve dar é:
02) (UCS-RS) A razão entre os comprimentos da
Linha do Equador e do diâmetro da Terra é igual à
razão entre os comprimentos de uma circunferência
qualquer e de seu diâmetro. Essa afirmação é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
500
350
450
400
300
verdadeira, e a razão referida vale
verdadeira, e a razão referida vale
verdadeira, e a razão referida vale
verdadeira, e a razão referida vale
falsa.
p / 2.
p.
3p / 2.
2p.
c = 2pR - comprimento da linha do Equador.
n = número de voltas
c = 2pR = comprimento de uma volta
d = 502 400 m = distância percorrida
d = 2R - diâmetro da Terra
c
d
d = n . c = n . 2pR = n . 2 . 3,14 . 200 = 502 400
=
2pR
2R
= p
Resposta b
n = 502 400 / 2 . 3,14 . 200 = 400 voltas (resp)
03) (UFRJ-RJ) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira
em linha reta, sem escorregar, sobre uma superfície
lisa e horizontal. Determine o menor número de voltas
completas para a roda percorrer uma distância maior
que 10 m.
04) (J) A figura abaixo representa um setor circular de
centro O e ângulo central a. Os arcos AC e BD
têm comprimentos 4p e 4,8p , respectivamente.
Sendo os segmentos AB e CD congruentes e iguais a
2 cm, determine a medida do ângulo a.
a 2 . p . (x - 2)
2p
c = 2.p.R = 2 . 3,14 . 5 = 31,4 cm
AC =
10 m = 1 000 cm
n . 31,4 = 1 000
AC = a .(x - 2)
4p = a .(x - 2)
a = 4p / (x - 2)
n = 1 000/31,4 = 31,84 voltas
BD =
Portanto, n = 32 voltas
a 2.p.x
2p
BD = a . x
4,8 p = a . x
a = 4,8 p / x
4,8 p
4p
=
x
x-2
Resposta
x = 12
B
A
O
a
C
D
a = 4,8p/12 = 0,4p = 2p/5 radianos = 72º
Resposta
05) (J) Na figura abaixo, A e B são os pontos médios
de dois lados de um pentágono regular de perímetro
60 m. Sendo C um vértice do pentágono e o centro do
setor circular, determine o perímetro da região sombreada. (Adote p = 3)
a = 540 / 5 = 108º
Comprimento do arco x
x = 2pR . 108/360
x = 2 . 3 . 6 . 108/360
6
C a
6
B
A
12
x
12
6
12
x = 10,8 cm
Comprimento da circunferência
menor
c = 2pR = 2.p.10 = 20p m
d
Comprimento da circunferência maior
c' = 46p - 20p = 26p m
Raio da circunferência maior
26p = 2pR'
R' = 26p/2p = 13 m
Perímetro da região sombreada
Per = 2p = 2 . 6 + 3 . 12 + x
Per = 2p = 48 + 10,8 = 58,8 cm
6
06) (J) Uma pessoa dispõe de uma corda com 46p m
de comprimento e pretende fazer duas circunferências concêntricas com ela; uma circunferência menor
de raio 10 m e outra maior, conforme a figura abaixo.
Determine a distância d entre as circunferências.
Resposta
Distância d = R' - R = 13 - 10 = 3 m
Resposta
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230
geometria plana
07) (J) Uma mesa circular deve acomodar 8 pessoas,
de tal forma que cada pessoa tenha disponível um
arco de circunferência de comprimento 60 cm.
Adotando p = 3, determine o raio da mesa.
08) (J) Na figura abaixo, o arco ABC é 1 cm mais
comprido que a corda AC. Determine a medida do
raio da circunferência.
A
O
60º
B
C
09) Uma circunferência tem raio R. Aumentando-se o
raio para R + d, determine:
a) o comprimento da circunferência original;
b) o comprimento da circunferência após o raio ter sido
aumentado;
c) o aumento do comprimento da segunda circunferência em relação à circunferência original.
10) (J) A figura abaixo representa duas polias de raios
30 cm e 20 cm. Um motor aclopado à polia maior
trabalha com 1750 rotações por minuto. Supondo que
a correia que une as polias não escorregue, determine
o nº de rotações por minuto da polia menor.
11) Calcule o comprimento de um arco de 2 radianos
numa circunferência de raio 40 cm.
12) Calcule o raio de uma circunferência, sabendo que
um arco de 3p / 2 radianos mede 50 cm.
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geometria plana
07) (J) Uma mesa circular deve acomodar 8 pessoas,
de tal forma que cada pessoa tenha disponível um
arco de circunferência de comprimento 60 cm.
Adotando p = 3, determine o raio da mesa.
08) (J) Na figura abaixo, o arco ABC é 1 cm mais
comprido que a corda AC. Determine a medida do
raio da circunferência.
AC = AC + 1 = R + 1
60 c
m
45º
R
360 / 8 = 45º
Regra de três
360º
45º
2pR
60 cm
AC =
a . 2pR
360
AC =
60 . 2pR
360
AC =
pR
3
A
R
O
R
60º
B
R
C
AC = AC + 1 = R + 1
2 . 3 . R = 360 . 60 / 45 = 480
pR
3
R = 480 / 6 = 80 cm (resp)
R=
09) Uma circunferência tem raio R. Aumentando-se o
raio para R + d, determine:
a) o comprimento da circunferência original;
b) o comprimento da circunferência após o raio ter sido
aumentado;
c) o aumento do comprimento da segunda circunferência em relação à circunferência original.
= R+1
pR = 3R + 3
3
cm
(p - 3)
Resposta
R(p - 3) = 3
10) (J) A figura abaixo representa duas polias de raios
30 cm e 20 cm. Um motor aclopado à polia maior
trabalha com 1750 rotações por minuto. Supondo que
a correia que une as polias não escorregue, determine
o nº de rotações por minuto da polia menor.
A
a) c = 2pR
B
b) c' = 2p(R + d) = 2pR + 2pd
c)
Dc = c' - c = (2pR + 2pd) - 2pR = 2pd
A distância percorrida por um ponto A na 1ª polia é igual à distância percorrida por um ponto B na 2ª polia.
dA = dB
nA . 2pRA = nB . 2pRB
1 750 . 2 . p . 30 = nB . 2 . p . 20
nB = 2 625 rpm
11) Calcule o comprimento de um arco de 2 radianos
numa circunferência de raio 40 cm.
Resposta
12) Calcule o raio de uma circunferência, sabendo que
um arco de 3p / 2 radianos mede 50 cm.
Regra de três
Regra de três
2p Radianos ---------------- c = 2pR
2 Radianos ----------------------- x
2p Radianos ---------------- c = 2pR
3p/2 Radianos ----------------- 50
x = 2 . 2pR
2p
2pR . 3p = 2p . 50
2
x = 80 cm
= 2.R = 2 . 40 = 80 cm
Resposta
R = 100 cm
3p
Resposta
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232
geometria plana
13) (UFSCar-SP) Uma pizza circular será fatiada, a
partir do centro, em setores circulares. Se o arco de
cada setor medir 0,8 radiano, obtém-se um número
máximo de N fatias idênticas, sobrando, no final,
uma fatia menor que é indicada na figura por fatia
fatia 3
N + 1.
fatia 2
fatia 1
fatia N + 1
fatia N
Considerando
radiano, é
a) 0,74
b) 0,72
c) 0,68
d) 0,56
e) 0,34
p = 3,14, o arco da fatia N + 1, em
15) (UESB-BA) O setor de 60º destacado na figura
abaixo, corresponde à superfície de um canteiro
circular plano, no qual pretende-se plantar duas
roseiras por metro quadrado. Se o canteiro tem 42 m
de diâmetro, quantas roseiras deverão ser plantadas ?
(Use p = 22/7)
a)
b)
c)
d)
e)
22
88
231
462
924
14) (FGV-SP) Na figura estão representados dois
quadrados de lado d e dois setores circulares de 90º
e raio d. Sabendo que os pontos A, E e C estão
alinhados, a soma dos comprimentos do segmento
CF e do arco de circunferência AD, em função de d,
é igual a
d
a) (2 3 + p) d
6
b) (3 + p) d
6
c) (4 3 + p) d
12
d) (12 + p) d
24
e) (2 3 + p) d
12
d
C
d
D
d/2
d/2
F
E
A
16) (J) A figura abaixo representa duas polias que têm
raios 58 cm e 18 cm e a distância entre os seus
centros é de 80 cm. Determine o comprimento da correia que envolve as duas polias. (p = 3)
(GeoJeca)
correia
60º
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geometria plana
13) (UFSCar-SP) Uma pizza circular será fatiada, a
partir do centro, em setores circulares. Se o arco de
cada setor medir 0,8 radiano, obtém-se um número
máximo de N fatias idênticas, sobrando, no final,
uma fatia menor que é indicada na figura por fatia
fatia 3
N + 1.
fatia 2
fatia 1
fatia N + 1
fatia N
Considerando
radiano, é
a) 0,74
b) 0,72
c) 0,68
d) 0,56
e) 0,34
p = 3,14, o arco da fatia N + 1, em
14) (FGV-SP) Na figura estão representados dois
quadrados de lado d e dois setores circulares de 90º
e raio d. Sabendo que os pontos A, E e C estão
alinhados, a soma dos comprimentos do segmento
CF e do arco de circunferência AD, em função de d,
é igual a
d
a) (2 3 + p) d
6
b) (3 + p) d
6
c) (4 3 + p) d
12
d) (12 + p) d
24
e) (2 3 + p) d
12
sen a =
co
hip
C
d
a
D
a
d/2
d/2
F
d
E
d
A
d/2
d/2
d
=
d
1
2
=
Portanto a = 30º
AD =
30 2.p.d =
360
pd
6
tg a = tg 30º = CF / EF = CF / d
2p = 2 . 3,14 = 6,28 radianos (arco de uma volta)
6,28 / 0,8 = 6,85
Portanto
6,28 = 7 . 0,8 + x = 5,6 + x
x = 6,28 - 5,6 = 0,68 radianos (resp)
3 = CF
3
d
AD + CF =
CF = d 3 /3
pd +
6
d 3
3
=
(2 3 + p) d
6
Resposta a
15) (UESB-BA) O setor de 60º destacado na figura
abaixo, corresponde à superfície de um canteiro
circular plano, no qual pretende-se plantar duas
roseiras por metro quadrado. Se o canteiro tem 42 m
de diâmetro, quantas roseiras deverão ser plantadas ?
(Use p = 22/7)
correia
a
60º
240º
60º
60º
80
c
a
18
22
88
231
462
924
(GeoJeca)
40
a)
b)
c)
d)
e)
16) (J) A figura abaixo representa duas polias que têm
raios 58 cm e 18 cm e a distância entre os seus
centros é de 80 cm. Determine o comprimento da correia que envolve as duas polias. (p = 3)
120º
b
18
Se d = 42 m , então R = 21 m
2
2
Área do círculo S = pR = p(21) = 441 . 22/7 = 1 386 m
2
40
1
a = 30º
=
80
2
O comprimento da correia será a soma dos comprimentos dos
arcos a e b e dos dois segmentos retos c.
sen a =
Área do setor circular
S=
a
360
2
pR =
2
60 . 1 386
= 231 m
360
Se serão plantadas duas roseiras por metro quadrado, então o
número de roseiras plantadas será
N = 2 . 231 = 462 roseiras
Resposta d
cos 30º = c
c = 80.cos 30º = 80 3 /2 = 40 3 cm
80
240
q
.2pR =
. 2 . 3 . 58 = 232 cm
a=
360
360
b=
120 . 2 . 3 . 18 36 cm
q .2pR
=
=
360
360
Comprimento total da correira
d = a + b + 2c = 232 + 36 + 2(40 3 )
d = (268 + 80 3 ) cm
Resposta
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geometria plana
17) (UFLa-MG) Amarre um barbante, bem ajustado,
em volta de uma bola de futebol. Agora amarre um
barbante, bem ajustado, em volta de uma bola de
gude. Se você aumentar 1 m no comprimento de
cada um dos dois barbantes e fizer uma
circunferência com cada um deles, haverá uma folga
d1 entre a bola de futebol e o primeiro barbante e uma
folga d2 entre a bola de gude e o segundo barbante.
Assinale a alternativa correta.
a)
b)
c)
d)
e)
d1 > d2
d1 < d2
d1 = d2 + 1
d1 = d2
futebol
p(d2 - d1 ) = 1
2
2
d1
18) (J) Dado um círculo C de área S, determinar qual
o aumento necessário no raio desse círculo para se
obter um segundo círculo de área 3S.
d2
gude
19) (J) Estudos aerodinâmicos recomendam que a
velocidade escalar da ponta de uma hélice de avião
seja inferior à velocidade do som no ar (340 m/s).
Determine a máxima rotação por minuto que uma
hélice de diâmetro 1,70 m pode atingir para obedecer
o recomendado pela aerodinâmica. (Adote p = 3,14)
20) (J) Uma pista automobilística foi traçada tendo
como base um pentágono regular e cinco círculos
congruentes, cujos centros estão sobre os vértices do
pentágono e se tangenciam. Sabendo que a pista tem
3 648 m de comprimento, determine o raio de cada
círculo e o comprimento da única reta dessa pista.
Adote p = 3.
(GeoJeca)
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geometria plana
17) (UFLa-MG) Amarre um barbante, bem ajustado,
em volta de uma bola de futebol. Agora amarre um
barbante, bem ajustado, em volta de uma bola de
gude. Se você aumentar 1 m no comprimento de
cada um dos dois barbantes e fizer uma
circunferência com cada um deles, haverá uma folga
d1 entre a bola de futebol e o primeiro barbante e uma
folga d2 entre a bola de gude e o segundo barbante.
Assinale a alternativa correta.
a)
b)
c)
d)
e)
3S
S
r
R
2
S = p.r
d1 > d2
d1 < d2
d1 = d2 + 1
d1 = d2
d1
futebol
d2
2
r = S/p
S
p =
r=
p(d2 - d1 ) = 1
2
18) (J) Dado um círculo C de área S, determinar qual
o aumento necessário no raio desse círculo para se
obter um segundo círculo de área 3S.
2
gude
S.p
p
2
3S = p.R
2
cA = 2pRA
RA = cA / 2p
cC = 2pRC
RC = cC / 2p
cB = cA + 1 = 2pRB
RB = (cA + 1) / 2p
cD = cC + 1 = 2pRD
RD = (cC + 1) / 2p
d1 = RB - RA
d1 = (cA + 1 - cA) / 2p
d1 = 1 / 2p
d2 = RD - RC
d2 = (cC + 1 - cC) / 2p
d2 = 1 / 2p
R = 3S/p
3.S.p
3S
p
p =
Aumento necessário do raio
R=
DR = R - r =
3.S.p
p
DR =
3 . S.p p
DR =
S.p .( 3 - 1)
p
-
S.p
S.p
p
=
Resposta
Portanto d1 = d2 (resp)
19) (J) Estudos aerodinâmicos recomendam que a
velocidade escalar da ponta de uma hélice de avião
seja inferior à velocidade do som no ar (340 m/s).
Determine a máxima rotação por minuto que uma
hélice de diâmetro 1,70 m pode atingir para obedecer
o recomendado pela aerodinâmica. (Adote p = 3,14)
20) (J) Uma pista automobilística foi traçada tendo
como base um pentágono regular e cinco círculos
congruentes, cujos centros estão sobre os vértices do
pentágono e se tangenciam. Sabendo que a pista tem
3 648 m de comprimento, determine o raio de cada
círculo e o comprimento da única reta dessa pista.
Adote p = 3.
(GeoJeca)
Se d = 1,70 m , então R = 0,85 m
Comprimento de uma volta
R
c = 2pR = 2 . 3,14 . 0,85 = 5,338 m
R
n = nº de voltas da hélice em 1 segundo
n . c = n . 5,338 < 340 (restrição aerodinâmica)
n < 340 / 5,338
a)
Por minuto, tem-se
Resposta
R
R
n < 63,694 voltas por segundo
RPM = 63,694 . 60 = 3821 voltas
R
108
162
162
108
252
792º
252º
162º
e = 360/5 = 72º
108º
R
R
162º
8º R
10
R
O comprimento total da pista é uma reta de comprimento 2R e
a soma dos arcos de circunferência, cujo total é 792º.
Regra de três
360º ----------- 2pR
R = 240 m
Resposta a)
792º ----------- x
x = 792 . 2 . p . R / 360
x = 13,2 R
d = x + 2R
3648 = 13,2 R + 2R = 15,2 R
b) Comprimento da
reta = 2R
2R = 2.240 = 480 m
Resposta b)
R = 3648/15,2 = 240 m
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236
geometria plana
Respostas dos exercícios da Aula 11.
2
01) 14p m e 49p m
2
02) 36 cm e 324p cm
03) 2747,5 m
04) 20 voltas
05) (0,90 / p) m
06) 8 cm
07) e
08) e
09) 12 cm
10) e
11) a
12) c
13) d
14) a
15) 5p cm
16) a
17) a
18) 210 cm
19) 87,05 m e 261,15 m
20) 6( 3 + p) cm
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
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237
geometria plana
Respostas dos exercícios complementares da Aula 11.
01) d
02) b
03) 32 voltas
04) 72º
05) 58,8 m
06) 3 m
07) 80 cm
08) (3 / p - 3) cm
09)
a) 2pr
b) 2p(r + d)
c) 2pd
10) 2625 rpm
11) 80 cm
12) (100 / 3p) cm
13) c
14) a
15) d
16) (80 3 + 268) cm
17) d)
18) DR = [ S.p .( 3 - 1)] / p
19) 3821 rpm
20) 240 m e 480 m
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
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238
geometria plana
Geometria plana
Aula 12
Inscrição e circunscrição de
polígonos regulares.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
I) Polígono regular.
Um polígono é regular se tem:
a) todos os lados congruentes entre si;
b) todos os ângulos internos congruentes entre si;
c) todos os ângulos externos congruentes entre si.
e
i
e
i
i
e
i
i
e
Classificação dos polígonos regulares
3 lados - triângulo equilátero
4 lados - quadrado
5 lados - pentágono regular
6 lados - hexágono regular
etc
e
Medida de cada ângulo interno de um polígono regular.
S
i = ni
>
i=
180 (n - 2)
n
Medida de cada ângulo externo de um polígono regular.
C
S
e = e
n
ângulo
central
a
>
e = 360
n
(importante)
Observação - Todo polígono regular pode ser inscrito e
circunscrito numa circunferência.
II) Principais polígonos regulares.
1) Triângulo equilátero.
2) Quadrado.
3) Hexágono regular.
l
l
r
l
l
Em todo triângulo equilátero os
quatro pontos notáveis (BICO) coincidem num mesmo ponto.
r =
l 3
6
l
=l
30º
45º
r
l
BICO
R=
l 3
3
l
r =
- lado do polígono regular
l
2
R=
l 2
2
l
l
l
R
R
l
R
l
60º
l
r
Todo hexágono regular pode ser
dividido em seis triângulos equiláteros.
r =
l 3
2
R=
l
III) Apótema de um polígono regular.
O apótema de um polígono regular é a distância entre o centro do polígono e o ponto médio de qualquer lado.
O apótema é o raio da circunferência inscrita no polígono.
Exercício 01 - Determinar o raio da circunferência inscrita e o raio da circunferência circunscrita em um
quadrado de lado 12 cm.
12 cm
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239
geometria plana
Geometria plana
Aula 12
Inscrição e circunscrição de
polígonos regulares.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
I) Polígono regular.
Um polígono é regular se tem:
a) todos os lados congruentes entre si;
b) todos os ângulos internos congruentes entre si;
c) todos os ângulos externos congruentes entre si.
e
i
e
i
i
e
i
i
e
Classificação dos polígonos regulares
3 lados - triângulo equilátero
4 lados - quadrado
5 lados - pentágono regular
6 lados - hexágono regular
etc
e
Medida de cada ângulo interno de um polígono regular.
S
i = ni
>
i=
180 (n - 2)
n
Medida de cada ângulo externo de um polígono regular.
C
S
e = e
n
ângulo
central
a
>
e = 360
n
(importante)
Observação - Todo polígono regular pode ser inscrito e
circunscrito numa circunferência.
II) Principais polígonos regulares.
1) Triângulo equilátero.
2) Quadrado.
3) Hexágono regular.
l
l
r
l
l
Em todo triângulo equilátero os
quatro pontos notáveis (BICO) coincidem num mesmo ponto.
r =
l 3
6
l
=l
30º
45º
r
l
BICO
R=
l 3
3
l
r =
- lado do polígono regular
l
2
R=
l 2
2
l
l
l
R
R
l
R
l
60º
l
r
Todo hexágono regular pode ser
dividido em seis triângulos equiláteros.
r =
l 3
R=
2
l
III) Apótema de um polígono regular.
O apótema de um polígono regular é a distância entre o centro do polígono e o ponto médio de qualquer lado.
O apótema é o raio da circunferência inscrita no polígono.
Exercício 01 - Determinar o raio da circunferência inscrita e o raio da circunferência circunscrita em um
quadrado de lado 12 cm.
12 cm
R
r = 12 / 2 = 6 cm
r
R = d / 2 = 12 2 / 2 = 6 2 cm
(resp)
Jeca 136
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240
geometria plana
02) Determine o raio da circunferência inscrita num triângulo equilátero de lado 4 cm.
03) Determine o raio da circunferência circunscrita num
triângulo equilátero de lado 8 cm.
04) Determine o raio da circunferência circunscrita
num quadrado de lado 14 cm.
05) Determine o lado de um hexágono regular circunscrito em uma circunferência de raio 3 cm.
06) Determine o lado de um quadrado inscrito num círculo de raio k.
07) Determine o raio de um círculo inscrito num hexágono regular de lado 2k.
Jeca 137
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241
geometria plana
02) Determine o raio da circunferência inscrita num triângulo equilátero de lado 4 cm.
tg 30º = co / ca = r / 2
cos 30º =
r = 2 tg 30º
R =
r = 2 3 / 3 cm (resp)
R=
7
R
=
7
= 7 2 cm
sen 45º
Resposta
4
=
cos 30º
4
R
=
8 3 cm
3
Resposta
R
30º
4
4
2
04) Determine o raio da circunferência circunscrita
num quadrado de lado 14 cm.
co
hip
ca
hip
r
30º
30º
2
sen 45º =
03) Determine o raio da circunferência circunscrita num
triângulo equilátero de lado 8 cm.
05) Determine o lado de um hexágono regular circunscrito em uma circunferência de raio 3 cm.
sen 60º =
l=
R
co
hip
=
3
l
3
= 2 3 cm
sen 60º
7 cm
Resposta
45º
l
3
l
60º
l
06) Determine o lado de um quadrado inscrito num círculo de raio k.
Pitágoras
2
2
2
(2k) = x + x = 2x
2
4k = 2x
2
r
co
=
hip
2k
r = 2k.sen 60º = 2k 3 /2
sen 60º =
2
2k
2
2
07) Determine o raio de um círculo inscrito num hexágono regular de lado 2k.
x
r=k 3
2
2
2k
r
2k
60º
x = 4k /2 = 2k
x = 2k = k 2
Resposta
Resposta
2k
x
Jeca 137
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242
geometria plana
08) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero
é 8 cm, determine:
a) a altura do triângulo;
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
R
R
h
m
m
8c
8c
09) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero
é 12 cm, determine:
a) o lado do triângulo;
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
h
r
r
8 cm
10) Determine a medida do lado de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio 5 cm.
11) Determine o raio da circunferência inscrita num
hexágono regular inscrito numa circunferência de raio
7 cm.
Jeca 138
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243
geometria plana
08) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero
é 8 cm, determine:
a) a altura do triângulo;
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
8c
a) sen 60º =
R
h
m
m
8c
a) sen 60º = h / 8
h = 8 sen 60º
h=8 3/2
h = 4 3 cm (resp)
r
60º
8 cm
b) r = h / 3 = 4 3 / 3 cm (resp)
l
2
l
5 3
= 5.cos 30º =
2
= 5 3 cm
Resposta
l
l
l
12
=
sen 60º
l
= 8 3 cm
h
12
r
60º
11) Determine o raio da circunferência inscrita num
hexágono regular inscrito numa circunferência de raio
7 cm.
sen 60º = co =
hip
l/2
5
R
12
c) R = 2r = 2 . 4 = 8 cm
10) Determine a medida do lado de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio 5 cm.
ca
=
hip
sen 60º =
co
hip
b) r = h/3 = 12/3 = 4 cm
c) R = 2.r = 2 . 4 3 / 3
R = 8 3 / 3 cm (resp)
cos 30º =
09) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero
é 12 cm, determine:
a) o lado do triângulo;
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
l
=5
R
30º
l/2
r
7
r = 7.sen 60º = 7. 3 /2
r = 7 3 /2 cm
Resposta
r
60º
R=7
Jeca 138
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244
geometria plana
12) Qual é a razão entre o lado de um triângulo equilátero e o lado de um quadrado circunscritos à mesma
circunferência ?
13) Qual é a razão entre o lado de um hexágono regular e o lado de um quadrado circunscritos à mesma
circunferência ?
14) Qual é a razão entre o perímetro do hexágono regular circunscrito e o perímetro do triângulo equilátero
inscrito numa mesma circunferência ?
15) Qual é a razão entre o lado do hexágono regular
circunscrito e o perímetro do quadrado inscrito numa
mesma circunferência ?
Jeca 139
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245
geometria plana
12) Qual é a razão entre o lado de um triângulo equilátero e o lado de um quadrado circunscritos à mesma
circunferência ?
13) Qual é a razão entre o lado de um hexágono regular e o lado de um quadrado circunscritos à mesma
circunferência ?
L /2
H
LQ lado do quadrado
LT lado do triângulo
3
3
=
LH
LQ
=
LQ = 2r
tg 30º = r / LT/2
r
30º
LT.tg 30º = 2.r
LT = 2r / ( 3 / 3)
LT = 2r . 3 / 3
LT = 2r 3 cm
LT
=
LQ
2r 3
2r
LH =
LH/2
=
3
3
LQ/2
LQ/2
Resposta
LQ/2
LT/2
=
3
(resp)
14) Qual é a razão entre o perímetro do hexágono regular circunscrito e o perímetro do triângulo equilátero
inscrito numa mesma circunferência ?
cos 30º =
co
ca
LH
LQ
30º
tg 30º =
ca
=
hip
R
=
cos 30º
R
LH
LT/2
ca
=
hip
R
cos 30º =
LT
2R
LQ
2
LH
º
30
R
R
30º
LT/2
6. 2R 3
3
3.R 3
= 4
3
Resposta
ca
hip
=
LQ = R 2
cos 30º =
LH =
LT = 2R.cos 30º = 2R 3 /2 = R 3
6.LH
PerH
=
=
PerT
3.LT
LQ/2
R
R
2
= R.cos 45º =
2
cos 45º =
2R 3
3
cos 30º =
15) Qual é a razão entre o lado do hexágono regular
circunscrito e o perímetro do quadrado inscrito numa
mesma circunferência ?
ca
hip
R
=
cos 30º
LH
LH
=
=
PerQ
4.LQ
=
R
R
30º
LH
45º
LQ/2
R
LH
2R 3
3
2R 3
3
4.R 2
=
6
12
Resposta
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geometria plana
Geometria plana
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Inscrição e circunscrição de polígonos
regulares.
Exercícios complementares da aula 12.
1) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :
a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.
b) o apótema do triângulo.
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
d) o lado do triângulo.
R
l
l
h
r
l
2) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 5k, determinar em função de k :
a) a altura do triângulo.
b) o raio da circunferência inscrita e o apótema.
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
R
5k
h
5k
r
5k
3) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita a um quadrado é 8 cm, determinar :
a) o apótema e o raio da inscrita.
b) o lado do quadrado.
c) o perímetro do quadrado.
R
l
r
l
l
l
Jeca 140
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247
geometria plana
Geometria plana
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Inscrição e circunscrição de polígonos
regulares.
Exercícios complementares da aula 12.
1) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :
a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.
b) o apótema do triângulo.
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
d) o lado do triângulo.
a) r = h/3 = 3/3 = 1 cm (resp)
l
3
R
l
h
r
60º
l
b) a = r = 1 cm (resp)
c) R = 2r = 2 . 1 = 2 cm (resp)
d) sen 60º = h/l = 3/l
3
2
l =
=
6
3
3
l
=
6 3
= 2 3 cm (resp)
3
2) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 5k, determinar em função de k :
a) a altura do triângulo.
b) o raio da circunferência inscrita e o apótema.
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
co
hip
a) sen 60º =
h
5k
=
5k
h = 5k.sen 60º = 5k 3 /2
5k 3 /2
3
b) r = h/3 =
a=r=
5k 3
6
=
R
h
h
5k
r
60º
5k
5k 3
6
5k 3
3
c) R = 2r =
3) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita a um quadrado é 8 cm, determinar :
a) o apótema e o raio da inscrita.
b) o lado do quadrado.
45º
c) o perímetro do quadrado.
R
=
8
r
co
a)
sen 45º =
hip
=
l
r
l
8
l
a = r = 8.sen 45º = 8 2 /2 = 4 2 cm
b)
l = 2r = 8
l
2 cm
c) Perímetro = 4l = 32 2 cm
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geometria plana
4) Sabendo-se que um quadrado tem lado k, determinar em função de k :
a) o perímetro do quadrado.
b) o apótema do quadrado e o raio da circunferência inscrita no quadrado..
c) a diagonal do quadrado e o raio da circunferência circunscrita.
k
R
r
k
k
k
5) Sabendo-se que um hexágono regular tem lado 7 cm, determinar :
a) o raio da circunferência circunscrita ao hexágono.
b) o apótema e o raio da circunferência inscrita no hexágono.
c) o perímetro do hexágono.
6) Sabendo-se que o apótema de um hexágono regular é 3k, determinar em função de k :
a) o raio da circunferência inscrita no hexágono.
b) o raio da circunferência circunscrita no hexágono.
c) o lado e o perímetro do hexágono.
Jeca 141
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geometria plana
4) Sabendo-se que um quadrado tem lado k, determinar em função de k :
a) o perímetro do quadrado.
b) o apótema do quadrado e o raio da circunferência inscrita no quadrado..
c) a diagonal do quadrado e o raio da circunferência circunscrita.
k
r
R
k
k
a) 2p = 4k (resp)
b) a = r = k/2 (resp)
2
2
2
2
c) Pitágoras d = k + k = 2k
k
d = k 2 (resp)
d = 2R
R = d/2 = k 2 / 2 (resp)
5) Sabendo-se que um hexágono regular tem lado 7 cm, determinar :
a) o raio da circunferência circunscrita ao hexágono.
b) o apótema e o raio da circunferência inscrita no hexágono.
c) o perímetro do hexágono.
a) O triângulo é equilátero. Portanto R = lado = 7 cm
co
hip
=
r
7
r = 7.sen 60º = 7 3 /2 cm
apótema = raio da inscrita (a = r = 7 3 /2 cm)
c) Perímetro = 2p = 6 . 7 = 42 cm
R
Resposta
m
sen 60º =
R
7c
b)
R = 7 cm
r
60º
Resposta
Resposta
6) Sabendo-se que o apótema de um hexágono regular é 3k, determinar em função de k :
a) o raio da circunferência inscrita no hexágono.
b) o raio da circunferência circunscrita no hexágono.
c) o lado e o perímetro do hexágono.
a) apótema = raio da inscrita
Portanto a = r = 3k
b)
R =
c)
co
hip
sen 60º =
3k
sen 60º
l = R = 2k
=
3k
R
R
= 2k 3
3k
60º
3
Perímetro = 6.l = 12k 3
Jeca 141
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250
geometria plana
7) Determinar a razão entre o perímetro de um triângulo equilátero e o perímetro de um hexágono regular inscritos
numa mesma circunferência.
8) Na figura abaixo, o quadrado e o triângulo equilátero estão inscritos numa mesma circunferência. Determinar a
razão entre o raio da circunferência inscrita no quadrado e o raio da circunferência inscrita no triângulo.
9) Um quadrado e um hexágono regular são circunscritos a uma mesma circunferência. Determinar a razão entre
o raio da circunferência circunscrita ao hexágono e o raio da circunferência circunscrita ao quadrado.
Jeca 142
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251
geometria plana
7) Determinar a razão entre o perímetro de um triângulo equilátero e o perímetro de um hexágono regular inscritos
numa mesma circunferência.
30º
LT/2
LH lado do hexágono
LH = R
R
LT lado do triângulo
3 LT
6 LH
cos 30º = R / (LT / 2)
LT
3
2
=
2
R
R
=
3 LT
=
6 LH
3R 3
6R
3
2
(resp)
LT = R 3
LH
8) Na figura abaixo, o quadrado e o triângulo equilátero estão inscritos numa mesma circunferência. Determinar a
razão entre o raio da circunferência inscrita no quadrado e o raio da circunferência inscrita no triângulo.
45º
R
RQ
=
R
RQ = R.sen 45º = R 2 /2
RQ
co
hip
sen 30º =
R
RT
co
hip
sen 45º =
RT
=
R
RT = R.sen 30º = R/2
30º
RQ
RT
=
R 2 /2
R/2
=
2
Resposta
9) Um quadrado e um hexágono regular são circunscritos a uma mesma circunferência. Determinar a razão entre
o raio da circunferência circunscrita ao hexágono e o raio da circunferência circunscrita ao quadrado.
cos 45º =
RQ =
=
R
RQ
R
= R 2
cos 45º
R 30º
R
Q
RH
ca
hip
45º
R
cos 30º =
RH =
ca
hip
=
R
RH
2R 3
R
=
cos 30º
3
RH
=
RQ
2R 3
3
R 2
=
6
3
Resposta
Jeca 142
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252
geometria plana
10) Um octógono regular está inscrito numa circunferência de raio 12 cm. Determinar :
a) o lado e o perímetro desse octógono.
b) o raio da circunferência inscrita nesse octógono.
11) Um dodecágono regular está inscrito numa circunferência de raio 7 cm. Determinar :
a) o lado e o perímetro desse dodecágono.
b) o raio da circunferência inscrita nesse dodecágono.
Jeca 143
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253
geometria plana
10) Um octógono regular está inscrito numa circunferência de raio 12 cm. Determinar :
a) o lado e o perímetro desse octógono.
b) o raio da circunferência inscrita nesse octógono.
a)
LO lado do octógono
Lei dos cossenos
2
2
2
LO = 12 + 12 - 2 . 12 . 12 . cos 45º
2
LO = 144 + 144 - 144 2
LO = 288 - 144 2 = 144(2 - 2 )
LO
12
,5º r
22
22,5º
12
LO = 12 2 - 2 cm
Per = 96 2 - 2 cm (resp)
b)
2
2
2
Pitágoras 12 = r + (LO/2)
2
2
144 = r + [12 2 - 2 )/2]
2
2
r = 144 - (6 2 - 2 ) = 144 - [36(2 - 2)] = 144 - 72 + 36 2
2
r = 72 + 36 2 = 36(2 + 2 )
r = 36(2 + 2 ) = 6 2 + 2 cm (resp)
11) Um dodecágono regular está inscrito numa circunferência de raio 7 cm. Determinar :
a) o lado e o perímetro desse dodecágono.
b) o raio da circunferência inscrita nesse dodecágono.
a) Lei dos cossenos
2
2
2
2
2
2
x = a + b - 2.a.b.cos a
m
7c
30º
r
x
x = 7 + 7 - 2. 7. 7. cos 30º
2
x = 49 + 49 - 49 3
x = 7 2 - 3 cm
Perímetro = 2p = 84 2 - 3 cm
b) Pitágoras
2
2
7 = r + (x/2)
2
2
r = 49 - 49(2 - 3 ) /4 = 49(2 - 3 ) /4
r = 7 2 - 3 /2
Jeca 143
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254
geometria plana
Respostas dos exercícios da Aula 12.
01) 6 cm e 6 2 cm
02) (2 3 / 3) cm
03) (8 3 / 3) cm
04) 7 2 cm
05) 2 3 cm
06) k 2
07) k 3
08)
a) 4 3 cm
b) (4 3 / 3) cm
c) (8 3 / 3) cm
09)
a) 8 3 cm
b) 4 cm
c) 8 cm
10) 5 3 cm
11) (7 3 / 2) cm
12)
3
13)
3/3
14) 4 / 3
15)
6 / 12
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
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255
geometria plana
Respostas dos exercícios complementares da Aula 12.
01)
a) 1 cm
b) 1 cm
c) 2 cm
d) 2 3 cm
02)
a) 5k 3 / 2
b) 5k 3 / 6
c) 5k 3 / 3
03)
a) 4 2 cm
b) 8 2 cm
c) 32 2 cm
04)
a) 4k
b) k / 2
c) k 2
d) k 2 / 2
05)
a) 7 cm
b) (7 3 / 2) cm
c) 42 cm
06)
a) 3k
b) 2k 3
c) 2k 3
d) 12k 3
07)
3 /2
08)
2
09)
6 /3
10)
a) 12 2 - 2 cm
e
96 2 - 2 cm
b) 6 2 + 2 cm
11)
a) 7 2 - 3 cm e
84 2 - 3 cm
b) (7 2 + 3 / 2) cm
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
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256
geometria plana
Geometria plana
Aula 13
Áreas das figuras planas.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
I) Áreas das figuras planas.
Área é a medida de superfície.
II) Áreas das figuras poligonais.
1) Área do retângulo.
2) Área do quadrado.
h
3) Área do paralelogramo.
h
l
b
S=b.h
S=
l
4) Área do trapézio.
l
2
S=b.h
b
5) Área do losango.
6) Área do triângulo.
b
h
h
D
B
S= (b + B). h
2
S=d.D
2
d
S= b.h
2
b
III) Outras fórmulas para o cálculo da área de um triângulo.
1) Em função de dois lados e do ângulo entre eles.
2) Em função dos 3 lados (Fórmula de Hierão)
a
p= a+b+c
2
(Importantíssima)
b
b
S = 1 a . b. sen a
2
3) Em função do raio da circunferência inscrita.
p - semiperímetro
c
a
a
S=
p.(p - a)(p - b)(p - c)
4) Em função do raio da circunferência circunscrita.
p - semiperímetro
c
a
p= a+b+c
2
R
r
b
S= p.r
b
c
a
S = a.b.c
4R
IV) Áreas das figuras circulares.
1) Área do círculo.
2) Área da coroa circular.
Área do círculo
S =
r
2
pr
R
r
Perímetro do círculo
r - raio do círculo.
c = 2
R - raio do círculo maior
r - raio do círculo menor
S=
pr
2
2
pR -pr
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257
geometria plana
3) Área do setor circular.
4) Área do segmento circular.
Regra de três
360º
a
r
C
a
2
pr
Ssetor
C
r
Ssetor = a .
360
r - raio do círculo.
Lembrar que a área
do triângulo é dada por
r
Striângulo = 1 a . b. sen a
2
a
r
2
pr
Ssegmento circular = Ssetor - Striângulo
V) Áreas das figura semelhantes.
Duas figuras planas são
ditas semelhantes se uma
delas é a redução ou a
ampliação da outra.
l2
l1
Se duas figuras planas
são semelhantes, então vale
a relação:
S2
S1
=
S2
S1
( ll )
1
2
2
l - comprimento
S - área
Exercício 01 - A figura abaixo é um quadriculado onde cada quadradinho tem lado 1 cm. Todos os pontos, A,
B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O e P estão exatamente sobre os cruzamentos das linhas que
compõem o quadriculado. Com base no desenho e nestas informações, calcule a área de cada polígono (S1, S2,
S3, S4, S5, S6, S7 e S8). Faça os cálculos dentro do próprio desenho.
1 cm
A
S1
B
S2
S3
S4
I
J
G
F
E
D
C
H
S5
K
S6
S7
L
M
S8
N
P
O
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geometria plana
3) Área do setor circular.
4) Área do segmento circular.
Regra de três
360º
a
r
C
a
2
pr
Ssetor
Striângulo = 1 a . b. sen a
2
a
C
r
r
2
Ssetor = a .
360
r - raio do círculo.
Lembrar que a área
do triângulo é dada por
r
pr
Ssegmento circular = Ssetor - Striângulo
V) Áreas das figura semelhantes.
Duas figuras planas são
ditas semelhantes se uma
delas é a redução ou a
ampliação da outra.
l2
l1
Se duas figuras planas
são semelhantes, então vale
a relação:
S2
S1
=
S2
S1
( ll )
1
2
2
l - comprimento
S - área
Exercício 01 - A figura abaixo é um quadriculado onde cada quadradinho tem lado 1 cm. Todos os pontos, A,
B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O e P estão exatamente sobre os cruzamentos das linhas que
compõem o quadriculado. Com base no desenho e nestas informações, calcule a área de cada polígono (S1, S2,
S3, S4, S5, S6, S7 e S8). Faça os cálculos dentro do próprio desenho.
1 cm
A
B
S2
S1
S3 = b . h / 2
S3 = 13 . 7 / 2
S2 = [(b + B) . h / 2] + [(b' + B') h / 2]
S2 = [(13 + 17).7/2] + [7 + 3).7/2]
S2 = 105 + 35 = 140 cm
S1 = d . D / 2
S1 = 8 . 14 / 2
C
S3
2
S4
J
H
S5
S5 = b . h
S4 = SRET - ST1 - ST2 - ST3
S4 = 176 - 28 - 44 - 32
I
G
F
E
D
2
S1 = 56 cm
2
S3 = 91 / 2 cm
2
S5 = 11 . 11 = 121 cm
2
S4 = 72 cm
K
S6
S7
S6 = (b + b) . h / 2
S6 = (6 + 22) . 13 / 2
2
S7 = b . h / 2
S7 = 9 . 16 / 2
L
M
S8
2
S7 = 72 cm
S8 = b . h = 10 . 7
S6 = 182 cm
2
S8 = 70 cm
N
P
O
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geometria plana
02) Determinar a área de um triângulo equilátero de
lado 16 cm.
03) Determinar a área de um hexágono regular de lado
4 cm.
04) Determinar a área de um dodecágono regular inscrito numa circunferência de raio 8 cm.
05) Determinar a área de um triângulo de lados 5 cm,
6 cm e 7 cm.
06) Dado um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm,
determinar o raio da circunferência inscrita no
triângulo e a altura relativa ao lado que mede 6 cm.
07) Dado um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm,
determinar o raio da circunferência circunscrita nesse
triângulo.
08) Determinar a área do paralelogramo abaixo.
09) Determinar a área do trapézio abaixo.
12 cm
12
cm
6c
0º
5
m
15 cm
15 cm
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260
geometria plana
02) Determinar a área de um triângulo equilátero de
lado 16 cm.
1
a . b . sen a
2
S=
1
16 . 16 . sen 60º
2
S=
1
16 . 16 .
2
2
4
4
S=
S = 64 3 cm
03) Determinar a área de um hexágono regular de lado
4 cm.
4
3
2
4
60º
4
4
4
SHEX = 6.STRIÂNG = 6. 1 .a . b . sen a
2
SHEX = 6 . 1 . 4 . 4 . ( 3 / 2)
2
(resp)
2
SHEX = 24 3 cm
04) Determinar a área de um dodecágono regular inscrito numa circunferência de raio 8 cm.
(resp)
05) Determinar a área de um triângulo de lados 5 cm,
6 cm e 7 cm.
Fórmula de Hierão - S = p(p - a)(p - b)(p - c)
SDODEC = 12 . STRIÂNG = 12 . 1 . a . b . sen a
2
p - semiperímetro p = (a + b + c) / 2
a = 360 / 12 = 30º
p = (5 + 6 + 7)/2 = 18/2 = 9 cm
2
SDODEC = 12 . 1 . 8 . 8 . 1 = 192 cm (resp)
2
2
2
S = 9(9 - 5)(9 - 6)(9 - 7) = 6 6 cm
06) Dado um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm,
determinar o raio da circunferência inscrita no
triângulo e a altura relativa ao lado que mede 6 cm.
2
(resp)
07) Dado um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm,
determinar o raio da circunferência circunscrita nesse
triângulo.
2
Do exercício nº 05, tem-se que STRIÂNG = 6 6 cm
Do exercício nº 05, tem-se que STRIÂNG = 6 6 cm
S = p . r - área do triângulo em função do raio da inscrita
p = (a + b + c)/2 = (5 + 6 + 7)/2 = 9
S = a . b . c / 4R - área do triângulo em função do raio da
circunscrita
6 6=9.r
>
2
r = 6 6 / 9 = (2 6 / 3) cm
(resp)
6 6 = 5 . 6 . 7 / 4R
>
>
4R 6 = 35
R = 35 / 4 6 = (35 6 / 24) cm (resp)
S=B.h/2
6 6=6.h/2
>
h = 2 6 cm (resp)
08) Determinar a área do paralelogramo abaixo.
09) Determinar a área do trapézio abaixo.
12 cm
m
h
6c
6c
0º
12
15 cm
SPARALEL = 2 STRIÂNG = 2. 1 . a . b. sen a
2
SPARALEL = 2 . 1 . 6 . 15 . ( 3 / 2)
2
2
SPARALEL = 45 3 cm
Pitágoras
15 cm
STRAP =
(
b+B
2
2
STRAP = 54 cm
cm
º
0
12
5
m
15 cm
h = 4 cm
3
)h = ( 12 +2 15 ) . 4
(resp)
(resp)
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261
geometria plana
10) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido
em 16 quadradinhos de lado 2 cm. Sendo E e F os
centros dos dois semicírculos e B o centro do setor
circular e sabendo que as figuras circulares
tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a
área da região sombreada. (deixar em função de p)
2 cm
E
A
11) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido
em 36 quadradinhos de lado 2 cm. Sendo E o centro
do semicírculo, F o centro do círculo e B o centro do
setor circular e sabendo que as figuras circulares
tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a
área da região sombreada. (deixar em função de p)
B
2 cm
B
C
E
F
D
F
C
D
A
12) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido 13) Na figura abaixo, A, B e C são pontos de tangência e
em 36 quadradinhos de lado 3 cm. Sendo E o centro o círculo está inscrito no setor circular de centro O, raio
do semicírculo e B e C os centros dos setores circular 3 cm e ângulo central 60º. Determinar a área do círculo.
e sabendo que as figuras circulares tangenciam os
lados dos quadradinhos, determine a área da região
sombreada. (deixar em função de p)
A
B
E
D
A
O
3 cm
B
60º
C
C
14) Um trapézio tem base maior 5k, base menor 2k 15) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado k.
e altura 4k. A área do trapézio, em função de k, é :
Sendo P um ponto que dista a de BC e b de CD, a
3
2
2
2
área do quadrilátero ABPD, em função de k, de a e
a) 7k
b) 11k
c) 7k
d) 14k
e) 12k
de b, é :
B
A
b )
a) k(k a
2
2
b )
b) k(k + a
2
2
b
a
c) k(k +
)
k
+
2
2
P a
d) k(k a + b )
2
2
b
2
e) k ( a + b )
2
2
C
D
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262
geometria plana
10) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido
em 16 quadradinhos de lado 2 cm. Sendo E e F os
centros dos dois semicírculos e B o centro do setor
circular e sabendo que as figuras circulares
tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a
área da região sombreada. (deixar em função de p)
2 cm
E
A
S1
11) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido
em 36 quadradinhos de lado 2 cm. Sendo E o centro
do semicírculo, F o centro do círculo e B o centro do
setor circular e sabendo que as figuras circulares
tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a
área da região sombreada. (deixar em função de p)
B
S2
2
2
S1 = 1 p . 8 = 16p cm
4
2
2
S2 = 1 p . 4 = 4p cm
4
2
2
S2 = 1 p . 4 = 8p cm
2
S3
2
D
S2
2
S3 = p . 2 = 4p cm
2
SQuad = 8 . 8 = 64 cm
C
F
2
SSomb = 64 - 2p - 4p - 8p = 64 - 14p = 2(32 - 7p) cm
C
S1
2
2
S1 = 1 p . 2 = 2p cm
2
2
2
S3 = 1 p . 4 = 8p cm
2
2 cm
B
S3
SQuad = 12 . 12 = 144 cm
F
2
D
A
2
(resp)
E
SSomb = 144 - 16p - 8p - 4p = 144 - 28p = 4(36 - 7p) cm
(resp)
12) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido 13) Na figura abaixo, A, B e C são pontos de tangência e
em 36 quadradinhos de lado 3 cm. Sendo E o centro o círculo está inscrito no setor circular de centro O, raio
do semicírculo e B e C os centros dos setores circular 3 cm e ângulo central 60º. Determinar a área do círculo.
e sabendo que as figuras circulares tangenciam os
lados dos quadradinhos, determine a área da região
sen 30º = R / 3 - R
sombreada. (deixar em função de p)
A
B
3R / 2 = 3 / 2
R = 1 cm
S1
D
2
SSomb = 324 - 81p/2 - 81p/4 - 9p = 9(36 - 31p/4) cm
330º
30º
R
B
R
C
2
C
3 cm
R
S = p.1
S3
2
O
2
S = pR
2
2
S3 = 1 p . 6 = 9p cm
4
SQuad = 18 . 18 = 324 cm
A
R = 1 (3 - R)
2
S2
2
2
S1 = 1 p . 9 = 81p / 2 cm
2
E
2
2
1
S2 =
p . 9 = 81p / 4 cm
4
R = sen 30º (3 - R)
2
S = p cm
(resp)
b
k-b
14) Um trapézio tem base maior 5k, base menor 2k 15) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado k.
e altura 4k. A área do trapézio, em função de k, é :
Sendo P um ponto que dista a de BC e b de CD, a
3
2
2
2
área do quadrilátero ABPD, em função de k, de a e
a) 7k
b) 11k
c) 7k
d) 14k
e) 12k
de b, é :
B
A
b )
a) k(k a
2
2
b )
b) k(k + a
STRAP = ( b + B )h = ( 2k + 5k ) . 4k
2
2
2
2
b
2
a
c) k(k +
)
k
+
STRAP = 14k (resp)
2
2
P a
d) k(k a + b )
2
2
b
2
e) k ( a + b )
2
2
C
D
k-a
a
2
SSOMB = k - a . b - [(k - a).b / 2] - [(k - b).a / 2]
SSOMB = k[k - (a / 2) - (b / 2)] (resp)
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263
geometria plana
16) (UFV-MG) As circunferências da figura abaixo são 17) Na figura abaixo, estão representados quatro
concêntricas e têm raios de 1 cm e 2 cm. Determine a círculos congruentes tangentes entre si e um quadrado
de lado 5 cm, cujos vértices são os centros dos quatro
área da região hachurada.
2
círculos. A área da região sombreada, em cm , é :
b
O
a) 100p - 100
b) 100p - 25
c) 75p / 2
d) 50p / 3
e) 75p / 4
a
18) A figura abaixo representa uma semi-circunferência 19) Determinar a área da coroa circular abaixo,
de centro C , onde existe um retângulo inscrito. Deter- sabendo-se que AB mede 10 cm e tangencia o círculo
minar a área da região sombreada.
interno.
A
6 2 cm
3 2 cm
B
C
20) Na figura abaixo, o diâmetro AB coincide com a
altura do triângulo equilátero de lado 12 cm. Sendo C o
centro da circunferência, determine a área da região
externa ao triângulo e interna à circunferência.
A
21) Na figura abaixo estão representados dois
octógonos regulares. A medida do lado do maior é 8 cm
e o octógono menor tem os seus lados apoiados sobre
as diagonais do maior. Determine a área da região
sombreada.
C
B
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geometria plana
16) (UFV-MG) As circunferências da figura abaixo são 17) Na figura abaixo, estão representados quatro
concêntricas e têm raios de 1 cm e 2 cm. Determine a círculos congruentes tangentes entre si e um quadrado
de lado 5 cm, cujos vértices são os centros dos quatro
área da região hachurada.
2
a + b = 120º
círculos. A área da região sombreada, em cm , é :
SA
q=b/2
SV
2
cos a = 1/2
a = 60º
b = 60º
q = 30º
a
a
qq 1
b
a
a
2
a) 100p - 100
b) 100p - 25
c) 75p / 2
d) 50p / 3
e) 75p / 4
1
2
5
5/2
3
4
5/2
6
7
SSOMB = 12 . SCÍRCULO / 4
SSomb = 4 SA + 4 SV - SCírculo
9
8
10
11
12
2
SSOMB = 12 . p . (5 / 2) / 4
2
SSomb = 4 1 1 . 2 . sen 30º + 4 1 1 . 2 .sen 60º - pr
2
2
2
SSOMB = (75p / 4) cm
2
SSomb = 4 1 1 . 2 . 1 + 4 1 1 . 2 . 3 - p1
2
2
2
2
2
SSomb = 2 + 2 3 - p = [2(1 + 3 ) - p)] cm
(resp)
(resp)
18) A figura abaixo representa uma semi-circunferência 19) Determinar a área da coroa circular abaixo,
de centro C , onde existe um retângulo inscrito. Deter- sabendo-se que AB mede 10 cm e tangencia o círculo
minar a área da região sombreada.
interno.
A
5
R
6 2 cm
3 2 cm
Pitágoras
2
2
3 2 cm
R =r +5
2
r
2
5
2
R - r = 25
R
B
Área da coroa circular
2
2
SCOROA = pR - pr
C
R = d onde d é a diagonal do quadrado
d = l 2 onde l = 3 2 é o lado do quadrado
Portanto R = 6 cm
2
2
SCOROA = p(R - r )
2
SCOROA = p . 25 = 25p cm (resp)
SSOMB = SCÍRCULO / 2 - SRETÂNGULO
2
SSOMB = p . 6 / 2 - 6 2 . 3 2 = 18p - 36
2
SSOMB = 18(p - 2) cm
(resp)
20) Na figura abaixo, o diâmetro AB coincide com a
altura do triângulo equilátero de lado 12 cm. Sendo C o
centro da circunferência, determine a área da região
externa ao triângulo e interna à circunferência.
12
0º
A
R
sen 60º = co / hip = h / 12
R = h/2
h = 12 . sen 60º = 12 3 / 2
C
h=6 3
120º
21) Na figura abaixo estão representados dois
octógonos regulares. A medida do lado do maior é 8 cm
e o octógono menor tem os seus lados apoiados sobre
as diagonais do maior. Determine a área da região
sombreada.
8
R = h / 2 = 3 3 cm
R
8
º
135
x
Lei dos cossenos
2
2
2
64 = 2x + 2x
2
B
2
SSOMB = 2(SSETOR - STRIÂNG) = 2( a pR - 1 .a . b . sen a)
360
2
2
SSOMB = 2( 120 p(3 3 ) - 1 3 3 . 3 3 .( 3 / 2)
360
2
2
SSOMB = 18[p - (3 3 / 4)] cm
x
x
8 = x + x - 2 . x . x . cos 135º
2
60º
x
45º
x
2
2/2
64 = x (2 + 2 )
2
x = 64 / (2 + 2 ) = 32(2 - 2 )
2
2
2
SSOMB = 8 STRIÂNG = 8.x /2 = 4.x = 128(2 - 2 ) cm
(resp)
(resp)
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geometria plana
22) (Fuvest-SP) Na figura, BC é paralelo a DE, AB = 23) Na figura abaixo, o triângulo ADF tem área K.
4 e BE = 5. Determine a razão entre as áreas do triân- Sabendo-se que DF // BC e que AD = DE = EB e que
gulo ABC e do trapézio BCDE.
AF = FG = GC, pode-se afirmar que a área do triângulo
ABC vale :
A
A
a) 9K
B
2
b) 9K
c) 3K
C
2
E
D
F
D
d) 3K
e) 6K
E
G
B
24) (Fuvest-SP) No papel quadriculado da figura abaixo, adota-se como unidade de comprimento o lado do
quadrado sombreado. DE é paralelo a BC. Determinar
a medida de AD na unidade adotada para que a área
do triângulo ADE seja a metade da área do triângulo
C
ABC.
C
25) (Unifesp) Você tem dois pedaços de arame de
mesmo comprimento e pequena espessura. Um deles
você usa para formar o círculo da figura 1, e o outro
você corta em 3 partes iguais para formar os três
círculos da figura 2.
E
figura 2
figura 1
A
D
B
26) Na figura abaixo, o triângulo ABC tem altura
h = 12 cm. Sabendo-se que DE é paralelo a BC,
determinar o valor de x para que a área do triângulo
ADE seja o dobro da área do trapézio BCED.
Se S é a área do círculo maior e s é a área de um
dos círculos menores, a relação entre S e s é dada
por:
a) S = 3s b) S = 4s c) S = 6s d) S = 8s e) S = 9s
27) Na figura abaixo, o triângulo ABC tem altura
h = 12 cm. Sabendo-se que DE é paralelo a BC,
determinar o valor de x para que a área do triângulo
ADE seja um terço da área do trapézio BCED.
A
A
x
x
h
h
D
B
D
E
B
C
E
C
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geometria plana
22) (Fuvest-SP) Na figura, BC é paralelo a DE, AB = 23) Na figura abaixo, o triângulo ADF tem área K.
4 e BE = 5. Determine a razão entre as áreas do triân- Sabendo-se que DF // BC e que AD = DE = EB e que
gulo ABC e do trapézio BCDE.
AF = FG = GC, pode-se afirmar que a área do triângulo
A
ABC vale :
A
Áreas de figuras semelhantes.
4
S1
=
S2
( )
l1
l2
2
B
a) 9K
d
2
C
b) 9K
c) 3K
5
2
E
SABC - área do triângulo ABC.
SAED - área do triângulo AED
SBCDE - área do trapézio BCDE
SABC
=
SAED
( )
2
4
9
16
=
81
SABC
=
SBCDE
16 SAED
81
16
65
=
S1
=
S2
65 SAED
81
=
SADF = k
1
2
2
SAEG = 2 . SADF = 4k
2
25) (Unifesp) Você tem dois pedaços de arame de
mesmo comprimento e pequena espessura. Um deles
você usa para formar o círculo da figura 1, e o outro
você corta em 3 partes iguais para formar os três
círculos da figura 2.
E
S
S
A
S
=
2S
( x8 )2
1
=
2
x
64
2
B
D
x
8
2
>
x = 32
>
Se S é a área do círculo maior e s é a área de um
dos círculos menores, a relação entre S e s é dada
por:
a) S = 3s b) S = 4s c) S = 6s d) S = 8s e) S = 9s
Áreas de figuras
semelhantes.
S
( ll )2
S
x = 4 2 uc (resp)
S1
=
S2
S1
=
S2
2S
E
S
B
C
2S
=
3S
9C
C
S = 9s (resp)
1
s =
Áreas de figuras semelhantes.
A
2
S1
=
S2
x
h
SADE = 2 S
SABC = 3 S
D
S
2
B
2
( ll )2
1
2
SADE = S
SABC = 4 S
E
3S
( )
x
12
C
( C/3
)2
27) Na figura abaixo, o triângulo ABC tem altura
h = 12 cm. Sabendo-se que DE é paralelo a BC,
determinar o valor de x para que a área do triângulo
ADE seja um terço da área do trapézio BCED.
( )
l1
l2
s =
2
Áreas de figuras semelhantes.
A
figura 2
figura 1
26) Na figura abaixo, o triângulo ABC tem altura
h = 12 cm. Sabendo-se que DE é paralelo a BC,
determinar o valor de x para que a área do triângulo
ADE seja o dobro da área do trapézio BCED.
D
( ll )2
2
SADE = S
SABC = 2 S
h
C
SABC = 3 . SADF = 9k (resp)
( )
x
G
(resp)
Áreas de figuras
semelhantes.
l1
l2
E
d
Áreas de figuras semelhantes.
16 SAED
81
24) (Fuvest-SP) No papel quadriculado da figura abaixo, adota-se como unidade de comprimento o lado do
quadrado sombreado. DE é paralelo a BC. Determinar
a medida de AD na unidade adotada para que a área
do triângulo ADE seja a metade da área do triângulo
C
ABC.
S1
=
S2
d) 3K
e) 6K
B
> SABC =
SBCDE = SAED - SABC = SAED 16 SAED
81
65 SAED
81
D
F
D
d
C
S
=
4S
( 12x )2
2
144 . 2 = 3 . x
x = 36
x = 6 cm (resp)
2
x = 96
x = 4 6 cm (resp)
Jeca 151
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267
geometria plana
Geometria plana
Áreas das figuras planas.
Exercícios complementares da aula 13.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Determinar a área de cada figura abaixo.
c)
b)
B
7 cm
12 cm
d)
A
8 cm
7 cm
a)
D
8 cm
e)
10 cm
C
11 cm
AB//CD
AD//BC
f)
7 cm
cm
8 cm
10
6 cm
11 cm
15 cm
16 cm
h)
14 cm
12 cm
i)
6 cm
g)
20 cm
j)
14 cm
12 cm
l)
k)
m
8c
m
12 cm
8c
30º
8 cm
10
cm
12
0º
13 cm
8 cm
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268
geometria plana
Geometria plana
Áreas das figuras planas.
Exercícios complementares da aula 13.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Determinar a área de cada figura abaixo.
c)
b)
B
7 cm
12 cm
D
8 cm
2
S = b . h = 12 . 7 = 84 cm
d)
A
8 cm
7 cm
a)
2
S = b . h = l . l = 8 . 8 = 64 cm
(resp)
S = b . h = 11 . 7 = 77 cm
2
S = 100 cm
2
Pitágoras 10 = 6 + h
h = 8 cm
16 cm
S=d.D/2
S = 7 . 16 / 2
S = (b + B).h / 2
S = (11 + 17) . 8 / 2
2
S = 112 cm
(resp)
g)
2
2
S = 56 cm
h)
i)
14 cm
12 cm
20 cm
2
S=b.h/2
S = 12 . 14 / 2
S=b.h/2
S = 14 . 6 / 2
S = 84 cm
S = 42 cm
2
(resp)
j)
14 cm
12 cm
S=b.h/2
S = 20 . 12 / 2
S = 120 cm
2
(resp)
(resp)
l)
k)
cm
m
8c
m
12 cm
8c
30º
8 cm
10
(resp)
(resp)
6 cm
2
7 cm
cm
8 cm
10
6 cm
11 cm
S = (10 + 15) . 8 / 2
(resp)
f)
15 cm
S = (b + B).h / 2
AB//CD
AD//BC
2
(resp)
e)
10 cm
C
11 cm
12
0º
S = 1 . a . b . sen a
2
S = 1 . 10 . 12 . sen 30º
2
13 cm
S = 1 . a . b . sen a
2
S = 1 . 8 . 13 . sen 120º
2
2
S = 1 . 10 . 12 . 1 = 30 cm (resp)
2
2
2
S = 1 . 8 . 13 . 3 = 26 3 cm (resp)
2
2
60º
8 cm
S = 1 . a . b . sen a
2
S = 1 . 8 . 8 . sen 60º
2
2
S = 1 . 8 . 8 . 3 = 16 3 cm (resp)
2
2
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269
geometria plana
02) Determinar a área e o perímetro de um círculo de 03) Determinar a área e o raio de um círculo de perímeraio 13 cm.
tro c = 14p cm.
04) Determinar o raio e o perímetro de um círculo de 05) Determinar a área da coroa circular abaixo.
2
área A = 64p cm .
R
r
R = 11 cm
r = 9 cm
06) Determinar a área da coroa circular abaixo, 07) Determinar o perímetro do círculo maior da coroa
sabendo-se que AB mede 10 cm e tangencia o círculo circular de área 39p cm2 , sabendo-se que a diferença
interno.
entre os raios é igual a 3 cm.
A
B
08) Determinar a área do setor circular de raio 9 cm e 09) Determinar a área do setor circular de raio 8 cm e
ângulo central 2 radianos.
ângulo central igual a 135º.
C
C
10) Determinar a área de um setor circular de raio 12 cm 11) Determinar a área da região sombreada.
cujo arco correspondente tem comprimento c = 30 cm.
c=
30
cm
C
r = 7 cm
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270
geometria plana
02) Determinar a área e o perímetro de um círculo de 03) Determinar a área e o raio de um círculo de perímeraio 13 cm.
tro c = 14p cm.
2
2
2
c = 2pR = 14p
R = 7 cm (resp)
S = pr = p . 13 = 169p cm
c = 2pr = 2 . p . 13 = 26p cm
2
S = pR
2
S = p.7
2
S = 49p cm
(resp)
04) Determinar o raio e o perímetro de um círculo de 05) Determinar a área da coroa circular abaixo.
2
área A = 64p cm .
2
2
R
S = pR = 64p
R = 8 cm (resp)
2
SCOROA CIRCULAR = pR - pr
r
c = 2pR
c = 2.p.8
c = 16p cm (resp)
2
SCC = p.11 - p.9
2
SCC = 121p - 81p
R = 11 cm
r = 9 cm
SCC = 40p cm
2
(resp)
06) Determinar a área da coroa circular abaixo, 07) Determinar o perímetro do círculo maior da coroa
sabendo-se que AB mede 10 cm e tangencia o círculo circular de área 39p cm2 , sabendo-se que a diferença
interno.
entre os raios é igual a 3 cm.
Pitágoras
A
2
r
2
2
+
R - r = 25
R
R
2
2
3
2
R =r +5
5
2
2
SCOROA CIRCULAR = pR - pr
5
2
2
B
SCC = 25p cm
2
(resp)
2
39p = p(R + 6R + 9) - pR
2
R
SCC = p(R - r )
2
39p = p(R + 3) - pR
2
2
39 = R + 6R + 9 - R
39 = 6R + 9
6R = 30
R = 5 cm
c = 2p(R + 3) = 2.p.8 = 16p cm (resp)
08) Determinar a área do setor circular de raio 9 cm e 09) Determinar a área do setor circular de raio 8 cm e
ângulo central 2 radianos.
ângulo central igual a 135º.
2
a
pR
360
SSETOR CIRCULAR =
(a em radianos)
2
SSC = 135 p.9
360
135
C
SSETOR CIRCULAR =
º
R=9
2
SSC = 243p / 8 cm
C
(resp)
SSC =
2
a
pR
2p
2
2
p.8
2p
2
SSC = 64 cm
(resp)
10) Determinar a área de um setor circular de raio 12 cm 11) Determinar a área da região sombreada.
cujo arco correspondente tem comprimento c = 30 cm.
c=
30
cm
l pR
2pR
(área do setor em função do
comprimento do arco)
2
SSETOR CIRCULAR =
C
SSETOR CIRCULAR =
r = 7 cm
SSC =
30 p.122
2.p.12
SSC = 180 cm
2
SSC =
2
a
pR
360
90 p.72
360
2
SSC = 49p / 4 cm
(resp)
(resp)
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geometria plana
12) Determinar a área do segmento circular de raio 9 cm e ângulo central 120º
C
13) Na figura abaixo, o hexágono é regular e tem lado 4 cm. Determinar a área da região hachurada.
14) Determinar a área de um octógono regular inscrito numa circunferência de raio 14 cm.
15) Determinar a área de um dodecágono regular inscrito numa circunferência de raio 7 cm.
16) Determinar a área de um polígono regular com 40 lados inscrito numa circunferência de raio 7 cm.
(Dado sen 9º = 0,1564)
17) Sendo S a área do retângulo AEFJ, AB = BC = CD = DE e AJ // BI // CH // DG // EF, determinar a área do
triângulo BCF em função de S.
J
I
H
G
A
B
C
D
F
E
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geometria plana
12) Determinar a área do segmento circular de raio 9 cm e ângulo central 120º
SSEG = SSET - STRIÂNG =
2
1
a
pr a . b . sen a
2
360
SSEG = SSET - STRIÂNG =
2
1
120
p9 a . b . sen 120º
2
360
C
2
SSEG = 27p - 81 3 / 4 = 27[p - (3 3 /4)] cm
13) Na figura abaixo, o hexágono é regular e tem lado 4 cm. Determinar a área da região hachurada.
2
SSOMB = SCÍRCULO - SHEXÁGONO = pR - 6.STRIÂNG
2
SSOMB = p.4 - 6 . 1 . 4 . 4 . sen 60º
2
2
SSOMB = 16p - 24 3 cm
4
2
SSOMB = 8(2p - 3 3 ) cm
60º
(resp)
4
4
14) Determinar a área de um octógono regular inscrito numa circunferência de raio 14 cm.
SOCT = 8.STRIÂNG = 8. 1 . a . b . sen a
2
SOCT = 8. 1 .14 . 14 . sen 45º
2
SOCT = 8 . 1 . 14 . 14 . 2
2
2
SOCT = 392 2 cm
2
14
a = 360/8 = 45º
14
45º
(resp)
15) Determinar a área de um dodecágono regular inscrito numa circunferência de raio 7 cm.
SDOD = 12.STRIÂNG = 12. 1 . a . b . sen a
2
SDOD = 12. 1 . 7 . 7 . sen 30º
2
SDOD = 12 . 1 . 7 . 7 . 1
2
2
2
SDOD = 147 cm
a = 360/12 = 30º
7
30º
7
(resp)
16) Determinar a área de um polígono regular com 40 lados inscrito numa circunferência de raio 7 cm.
(Dado sen 9º = 0,1564)
S40 = 40.STRIÂNG = 40 . 1 . a . b . sen a
2
1
S40 = 40. . 7 . 7 . sen 9º
2
S40 = 40 . 1 . 7 . 7 . 0,1564
2
a = 360/40 = 9º
S40 = 153,27 cm
2
(resp)
17) Sendo S a área do retângulo AEFJ, AB = BC = CD = DE e AJ // BI // CH // DG // EF, determinar a área do
triângulo BCF em função de S.
I
J
H
G
F
S = SRETÂNGULO = 4b . h
b.h=S/4
h
STRIÂNG = b . h / 2 = (S / 4) / 2 = S / 8
STRIÂNG = S / 8 (resp)
A
b
B
b
C
b
D
b
E
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geometria plana
18) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo de lados k e 2k onde as regiões circulares tangenciam os lados de
ABCD. Determinar a área das regiões sombreadas em função de k.
E
A
B
D
C
F
19) Na figura abaixo, as partes circulares tangenciam os lados do quadrado de perímetro 16 cm. Determinar a
área da região sombreada.
20) Na figura abaixo, B e C são os centros dos semi-círculos. Sendo AB = BC = CD = 8 cm, determinar a área da
região sombreada.
B
A
C
D
21) Os três semi-círculos abaixo têm centros B, C e E. Sendo BC = CD = DE = EF = 2 cm e AB = 4 cm, determinar
a área da região sombreada.
B
A
C
D
E
F
22) O triângulo abaixo é equilátero de lado 16 cm e está inscrito em um círculo. Determinar a área da região
sombreada.
23) O triângulo abaixo é equilátero de lado k e DE é um arco de circunferência tangente ao lado BC do triângulo.
Determinar a área da região sombreada.
A
D
B
E
C
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274
geometria plana
18) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo de lados k e 2k onde as regiões circulares tangenciam os lados de
ABCD. Determinar a área das regiões sombreadas em função de k.
E
2
2
A
B
SSomb = 2(SQuad - SCírc/4) = 2(l - pr /4)
2
2
2
2
SSomb = 2(k - pk /4) = 2k (1 - p/4) = k (4 - p)/2 (resp)
D
C
F
19) Na figura abaixo, as partes circulares tangenciam os lados do quadrado de perímetro 16 cm. Determinar a
área da região sombreada.
4
4
4
4
2x
(
)
4
SSOMB = 2(SSETOR - STRIÂNG)
a pR2 - b . h / 2)
360
SSOMB = 2(
2
SSOMB = 2( 90 p . 4 - 4 . 4 / 2)
360
2
SSOMB = 8(p - 2) cm
4
(resp)
20) Na figura abaixo, B e C são os centros dos semi-círculos. Sendo AB = BC = CD = 8 cm, determinar a área da
região sombreada.
SSOMB = STRIÂNG + 2.SSEGMENTO CIRCULAR
8
B
A
8
60º
2
SSOMB = 1 . a . b . sen a + 2( a pR - 1 .a . b . sen a)
360
2
2
C
8
D
SSOMB = 1 . 8 . 8 . 3
2
2
2
2
+ 2( 60 p . 8 - 1 . 8 . 8 . 3 ) = [16(4p - 3 3 ) / 3] cm (resp)
360
2
2
21) Os três semi-círculos abaixo têm centros B, C e E. Sendo BC = CD = DE = EF = 2 cm e AB = 4 cm, determinar
a área da região sombreada.
SSOMB = SA - SB - SC
A
B
C
B 2 C 2 D 2 E 2 F
4
A
2
2
2
SSOMB = 1 . p . 6 - 1 . p . 4 - 1 . p . 2
2
2
2
SSOMB = 18p - 8p - 2p = 8p cm2 (resp)
6
22) O triângulo abaixo é equilátero de lado 16 cm e está inscrito em um círculo. Determinar a área da região
sombreada.
cos 30º = 8 / R
R = 16 3 / 3
2
SSOMB = SCÍRCULO - STRIÂNG = pR - 1 .a . b . sen a
2
R
30º
8
2
2
SSOMB = p(16 3 / 3) - 1 . 16 . 16 . 3 / 2 = 256[(p/3) - ( 3 /4)] cm (resp)
2
8
23) O triângulo abaixo é equilátero de lado k e DE é um arco de circunferência tangente ao lado BC do triângulo.
Determinar a área da região sombreada.
A
k
D
B
sen 60º = h / k
h=R=k 3/2
2
SSOMB = STRIÂNG - SSETOR = 1 .a.b.sen a - a pR
2
360
k
h=R
60º
k
E
C
2
2
2
SSOMB = 1 .k.k. 3 /2 - a .p.(k 3 /2) = k (2 3 - p) / 8 uc (resp)
2
360
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Jeca 155
275
geometria plana
24) (MACKENZIE - SP 2000) Determinar a área do 25) (Fuvest - SP 2000) Na figura seguinte, estão
representados um quadrado de lado 4, uma de suas
setor assinalado no círculo de raio 1 e centro O.
diagonais e uma semi-circunferência de raio 2. Determinar a área da região hachurada.
110º
O
26) (Unicamp - SP) No canto A de uma casa de forma
quadrada ABCD, de 4 metros de lado, prende-se uma
corda flexível e inextensível, em cuja extremidade livre
é amarrada uma pequena estaca que serve para riscar
o chão, o qual se supõe que seja plano. A corda tem 6
metros de comprimento, do ponto em que está presa
até sua extremidade livre. Mantendo-se a corda sempre esticada de tal forma que inicialmente sua
extremidade livre esteja encostada à parede BC, riscase um contorno no chão, em volta da casa, até que a
extremidade livre toque a parede CD.
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
b) Calcule a área da região exterior à casa, delimitada
pelo traçado da estaca.
27) (Cesgranrio - RJ) Na figura, os três círculos são
concêntricos e as áreas das duas regiões hachuradas
são iguais. Determinar o raio do círculo intermediário
sabendo-se que o raio do círculo menor é 5 m e o do
maior é 13 m.
28) (Vunesp - SP) O ângulo central AÔB referente ao
círculo da figura adiante, mede 60º e OX é sua
bissetriz. Se M é o ponto médio do raio OC que mede
5 cm, calcular a área da figura hachurada.
29) Calcular a área da região hachurada.
2a
A
O
C
M
x
2a
B
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276
geometria plana
24) (MACKENZIE - SP 2000) Determinar a área do 25) (Fuvest - SP 2000) Na figura seguinte, estão
representados um quadrado de lado 4, uma de suas
setor assinalado no círculo de raio 1 e centro O.
14
diagonais e uma semi-circunferência de raio 2. Deter0º
minar a área da região hachurada.
110º
Setor circular
a pr2
360
SSETOR =
SSETOR = 140
360
SSETOR =
O
2
p.1
2
7p
uc (resp)
18
2
220
º
SSOMB = STRIÂNG + 1 SCÍRCULO
4
2
2
2
SSOMB = (b . h / 2) + 1 p.R
4
2
2
SSOMB = 2 . 2 / 2 + 1 p . 2 = (2 + p) uc (resp)
4
26) (Unicamp - SP) No canto A de uma casa de forma
quadrada ABCD, de 4 metros de lado, prende-se uma
corda flexível e inextensível, em cuja extremidade livre
é amarrada uma pequena estaca que serve para riscar
o chão, o qual se supõe que seja plano. A corda tem 6
metros de comprimento, do ponto em que está presa
até sua extremidade livre. Mantendo-se a corda sempre esticada de tal forma que inicialmente sua
extremidade livre esteja encostada à parede BC, riscase um contorno no chão, em volta da casa, até que a
extremidade livre toque a parede CD.
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
b) Calcule a área da região exterior à casa, delimitada
pelo traçado da estaca.
27) (Cesgranrio - RJ) Na figura, os três círculos são
concêntricos e as áreas das duas regiões hachuradas
são iguais. Determinar o raio do círculo intermediário
sabendo-se que o raio do círculo menor é 5 m e o do
maior é 13 m.
5
2
2
p.5 = p . 13 - p(5 + d)
b)
a)
A
2
2
2
S= 3 p.6 + 2 p.2
4
4
6
2
S = 27p + 2p = 29p m
4
13
SMENOR = SMAIOR
2
d
25p = 169p - p(25 +10d + d )
2
d + 10d - 119 = 0
(resp)
d=7
>
R = 5 + 7 = 12 m (resp)
2
28) (Vunesp - SP) O ângulo central AÔB referente ao
círculo da figura adiante, mede 60º e OX é sua
bissetriz. Se M é o ponto médio do raio OC que mede
5 cm, calcular a área da figura hachurada.
29) Calcular a área da região hachurada.
A
B
S
A
2a
5
S
SSOMB = SSETOR - 2.STRIÂNG
SSOMB =
O
30º
a pR2 - 2. 1 a.b.sen q
360
2
2
SSOMB = 60 p.( 5 ) - 2 . 1
360
2
2
SSOMB = [5(2p - 3) / 12] cm
C
M
5
2
5. 5 . 1
2
2
(resp)
S
S
x
2a
B
2
SSOMB = SABC = 2a . 2a / 2 = 2a
C
(resp)
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277
geometria plana
30) A bandeira retangular representada na figura mede
4 m de comprimento por 3 m de largura. A faixa escura
cobre 50% da superfície da bandeira. Determinar a
medida de x.
x
31) (Fuvest-SP)
Um trapézio isósceles está
circunscrito a uma circunferência de raio 2 cm e tem
um ângulo interno de 60º. Determinar a área desse
trapézio.
x
x
x
32) (Fuvest-SP) Um losango está circunscrito a uma
circunferência de 2 cm de raio. Calcule a área desse
losango, sabendo que um de seus ângulos mede 60º.
33) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, a reta r é paralela ao segmento AC, sendo E o ponto de intersecção de r com a reta determinada por D e C.
Se as áreas dos triângulos ACE e ADC são 4 e
10, respectivamente, e a área do quadrilátero ABED
é 21, então a área do triângulo BCE é:
r
a)
b)
c)
d)
e)
E
6
7
8
9
10
B
C
D
A
34) (Fuvest-SP) Cortando-se os cantos de um quadrado, como mostra a figura, obtém-se um octógono regular de lados iguais a 10 cm.
a) Qual a área total dos quatro triângulos cortados ?
b) Calcule a área do octógono.
35) Determinar a área da região sombreada.
70º
40º
r = 2 cm
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278
geometria plana
30) A bandeira retangular representada na figura mede
4 m de comprimento por 3 m de largura. A faixa escura
cobre 50% da superfície da bandeira. Determinar a
medida de x.
x
x
S=3
S
=3
x
b = 2x - base menor
B = 2y - base maior
h = 4 cm
60º
S=3
x
2
4-x
x
30º
y
S = b . h / 2 = (4 - x) . (3 - x) / 2
tg 60º = 2 / x
tg 30º = 2 / y
2
3 = 12 - 7x + x
x = 6 (não convém)
2
x - 7x + 6 = 0
(
32) (Fuvest-SP) Um losango está circunscrito a uma
circunferência de 2 cm de raio. Calcule a área desse
losango, sabendo que um de seus ângulos mede 60º.
sen 30º = 2/a
60º
2
a = 4 cm
30º
30º
tg 30º = b/a
>
>
x = 2/( 3) = 2 3 / 3 cm
y = 2 / ( 3 / 3) = 6 3 / 3 = 2 3 cm
( 2x 2+ 2y).4 = (32
b=4. 3/3
E
6
7
8
9
10
B
h
SADC = 10
SACE = 4
SABE - 21 - 10 - 4 = 7
S=d.D/2
d = 2b = 8 3 / 3 cm
D = 2a = 8 cm
h
4
C
10
D
A
Portanto têm a mesma área.
34) (Fuvest-SP) Cortando-se os cantos de um quadrado, como mostra a figura, obtém-se um octógono regular de lados iguais a 10 cm.
a) Qual a área total dos quatro triângulos cortados ?
b) Calcule a área do octógono.
Pitágoras
2
2
a)
2
SABE = SBEC = 7 uc
70º
40º
70º
2
40º
r = 2 cm
a - área do segmento de 110º
b - área do setor de 110º
c - área do triângulo de 110º
d - área do segmento de 70º
e - área do setor de 70º
f - área do triângulo de 70º
2
S4TRIÂNG = 4 . x /2
2
S4TRIÂNG = 4(5 2 ) / 2
2
S4TRIÂNG = 100 cm
(resp)
35) Determinar a área da região sombreada.
10 = x + x
x = 5 2 cm
x
7
Os triângulos ABE e BEC têm a mesma base e a mesma
altura.
2
S = (8 . 8 3 / 3) / 2 = (32 3 / 3) cm
10
(resp)
33) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, a reta r é paralela ao segmento AC, sendo E o ponto de intersecção de r com a reta determinada por D e C.
Se as áreas dos triângulos ACE e ADC são 4 e
10, respectivamente, e a área do quadrilátero ABED
é 21, então a área do triângulo BCE é:
a)
b)
c)
d)
e)
a
x
2
3 / 3) cm
r
b
b = a . tg 30º
Área do losango
)
S = b + B .h =
2
x = 1 m (resp)
1/2 = 2/a
2
3-x
3
S=
31) (Fuvest-SP)
Um trapézio isósceles está
circunscrito a uma circunferência de raio 2 cm e tem
um ângulo interno de 60º. Determinar a área desse
trapézio.
(resp)
SSOMB = a - d = b - c - (e - f) = b - c - e + f
b)
SOCT = SQUADR - S4TRIÂNG
2
2
SSOMB = 110 p.2 - 1 .2.2.sen 110º - 70 p.2 + 1 .2.2.sen 70º
360
2
360
2
2
2
SOCT = (10 + 2x) - 100 = (10 + 2 . 5 2 ) - 100
2
SOCT = 200( 2 + 1) cm
(resp)
Mas sen 110º = sen 70º e as áreas c e f se anulam.
SSOMB =
11p
9
7p
=
9
4p
9
2
cm
(resp)
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279
geometria plana
36) (FUVEST-SP) Na figura seguinte, E é o ponto de
intersecção das diagonais do quadrilátero ABCD e q
é o ângulo agudo BÊC. Se EA = 1, EB = 4, EC = 3 e
ED = 2, então a área do quadrilátero ABCD será :
a) 12sen q b) 8sen q c) 6sen q d) 10cos q e) 8cos q
37) (FUVEST-SP) Os quadrados da figura têm lados
medindo 10 cm e 20 cm, respectivamente. Se C é o
centro do quadrado de menor lado, qual o valor da área
hachurada ?
B
C
A
E
q
C
D
38) (UEL-PR) Na figura, ABCD é um quadrado cujo
lado mede k. Um dos arcos está contido na circunferência de centro C e raio k, e o outro é uma
semicircunferência de centro no ponto médio de BC e
de diâmetro k. Determinar a área da região hachurada.
A
D
B
C
39) (UEL-PR) Na figura abaixo, o quadrado está inscrito na circunferência. Sabendo que a medida do lado
do quadrado é 4 m, determinar a área da parte sombreada.
40) (FUVEST-SP) Considere o triângulo representado 41) (FUVEST-SP) Considere o quadrado ABCD insna malha pontilhada com quadrados de lados iguais a crito na semi-circunferência de centro na origem. Se
1 cm. Determine a área desse triângulo.
(x , y) são as coordenadas do ponto A, determinar a
área da região exterior ao quadrado e interior à semicircunferência em função de x e y.
y
A(x , y)
B
x
C
O
D
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280
geometria plana
36) (FUVEST-SP) Na figura seguinte, E é o ponto de
intersecção das diagonais do quadrilátero ABCD e q
é o ângulo agudo BÊC. Se EA = 1, EB = 4, EC = 3 e
ED = 2, então a área do quadrilátero ABCD será :
a) 12sen q b) 8sen q c) 6sen q d) 10cos q e) 8cos q
B
sen q = sen(180 - q)
37) (FUVEST-SP) Os quadrados da figura têm lados
medindo 10 cm e 20 cm, respectivamente. Se C é o
centro do quadrado de menor lado, qual o valor da área
hachurada ?
A
90
4
A
1
a
180 - q
2
F
C
S = 1 1.2.senq + 1 4.3.senq + 1 1.4.sen(180 - q) + 1 2.3.sen(180 - q)
2
2
2
2
S = sen q + 6sen q + 2sen(180 - q) + 3sen(180 - q)
Mas sen q = sen (180 - q)
Então S = sen q + 6 sen q + 2 sen q + 3 sen q = 12 sen q (resp)
38) (UEL-PR) Na figura, ABCD é um quadrado cujo
lado mede k. Um dos arcos está contido na circunferência de centro C e raio k, e o outro é uma semicircunferência de centro no ponto médio de BC e de
diâmetro k. Determinar a área da região hachurada.
D
E
Pelo caso A.L.A. , pode-se afirmar que os triângulos
ABC e EFC são congruentes.
Portanto a área sombreada é igual à area do quadrado
BCFD de lado 5 cm.
A área sombreada é constante qualquer que seja a
posição do quadrado maior.
2
SSOMB = 5 . 5 = 25 cm
(resp)
39) (UEL-PR) Na figura abaixo, o quadrado está inscrito na circunferência. Sabendo que a medida do lado
do quadrado é 4 m, determinar a área da parte sombreada.
4
D
k
R
d - diagonal do quadrado
R - raio
Pitágoras
k
B
B
5
3
D
A
-a
5
q
E
C
a
C
2
2
2
4 = R + R = 2R
R=2 2m
k/2
k/2
C
SSOMB = 1 SCÍRCULO MAIOR - 1 SCÍRCULO MENOR
4
2
2
2
2
2
2
SSOMB = 1 pk - 1 p(k/2) = pk /4 - pk /8 = pk /8 (resp)
4
2
4
R
2
SSOMB = 1 SCÍRCULO + STRIÂNG
4
2
SSOMB = 1 p(2 2 ) + 2 2 . 2 2 / 2
4
2
SSOMB = 2p + 4 = 2(p + 2) cm
R
4
(resp)
40) (FUVEST-SP) Considere o triângulo representado 41) (FUVEST-SP) Considere o quadrado ABCD insna malha pontilhada com quadrados de lados iguais a crito na semi-circunferência de centro na origem. Se
1 cm. Determine a área desse triângulo.
(x , y) são as coordenadas do ponto A, determinar a
área da região exterior ao quadrado e interior à semicircunferência em função de x e y.
y
h
A(x , y)
B
2
R
1
x
1
2
x
O
C
b = 4 2 cm
h = 2 / 2 cm
S = b . h / 2 = 4 2 . ( 2 / 2) / 2
S = 2 cm
y
2
2
D
2
2
2
Pitágoras R = x + y
> R= x +y
2
2
2
2
2
1
1
SSOMB =
pR - (2x) =
p(x + y ) - 4x
2
2
(resp)
ou SSOMB =
2
2
p(x + y ) - 2xy (resp)
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281
geometria plana
42) (Fuvest) A circunferência dada pela figura abaixo
tem centro em C, raio igual a 2 cm e é tangente aos
eixos coordenados x e y nos pontos A e B. Determinar a área da região hachurada.
N
43) (UFSCAR-SP) Considere a região R sombreada,
exibida a seguir, construída no interior de um quadrado
de lado medindo 4 cm. Sabendo-se que os arcos de circunferência que aparecem nos cantos do quadrado
têm seus centros nos vértices do quadrado e que cada
raio mede 1 cm, pedem-se :
a) a área não sombreada do quadrado;
b) a área da região sombreada R.
1 cm
C
B
2 cm
M
1 cm
A
O
44) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de
um quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus
vértices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-a
de maneira que o vértice D fique sobre o lado AB (figura
2). Seja D’ esta nova posição do vértice D e x a distânde A a D’. Determinar a função que expressa a área
do triângulo retângulo sombreado, em função de x.
D
45) (Fuvest) Na figura, ABCD é um quadrado de lado
1, DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1,
centrados em A e D, respectivamente. Determinar a
área da região hachurada.
D
C
C
E
C’
E
A
B
A
x
A
B
D’
46) (FUVEST) O trapézio ABCD abaixo é tal que AB =
10, M é médio de AD, BN = 2NC e as áreas dos
quadriláteros ABNM e CDMN são iguais. Determinar
a medida de CD.
A
B
47) (Jeca) Na figura abaixo, a coroa circular tem a
mesma área que o círculo menor. Determinar o raio do
círculo menor, sabendo-se que o raio do círculo maior é
R.
(Figuras semelhantes)
B
P
M
N
D
C
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282
geometria plana
42) (Fuvest) A circunferência dada pela figura abaixo
tem centro em C, raio igual a 2 cm e é tangente aos
eixos coordenados x e y nos pontos A e B. Determinar a área da região hachurada.
N
a
2
B
O
a)
SNS = 4.STRIÂNG + 4.SCÍRCULO /4
C
2
43) (UFSCAR-SP) Considere a região R sombreada,
exibida a seguir, construída no interior de um quadrado
de lado medindo 4 cm. Sabendo-se que os arcos de circunferência que aparecem nos cantos do quadrado
têm seus centros nos vértices do quadrado e que cada
raio mede 1 cm, pedem-se :
a) a área não sombreada do quadrado;
b) a área da região sombreada R.
1 cm
2
SNS = 4(2 . 2 / 2) + 4.p1 /4
q
b)
SS = SQUADR - SNS
A
SHACH = STRIÂNG + SSETORES
Mas a + q = 90º
SHACH = (2 + p) cm
2
SS = (8 - p) cm
45) (Fuvest) Na figura, ABCD é um quadrado de lado
1, DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1,
centrados em A e D, respectivamente. Determinar a
área da região hachurada.
D
C
21 - y
C’
S1
1
E
B
2
2
2
2
Pitágoras (21 - y) = y + x
441 - 42y + y = y + x
2
-y
A
60º
21
y
A
2
D’
x
2
S = x . y / 2 = (441x - x ) / 84 (resp)
46) (FUVEST) O trapézio ABCD abaixo é tal que AB =
10, M é médio de AD, BN = 2NC e as áreas dos
quadriláteros ABNM e CDMN são iguais. Determinar
a medida de CD.
10
A
B
b
180
S1
h
B
r
x
R
N
S2
y
q
(resp)
47) (Jeca) Na figura abaixo, a coroa circular tem a
mesma área que o círculo menor. Determinar o raio do
círculo menor, sabendo-se que o raio do círculo maior é
R.
(Figuras semelhantes)
-q x
S2
P
S1
D
S2
30º
2
2
SSOMB = 1 - 1 1 . 1 . 3 - 1 p1 = 1 - 3 - p
6
2
6
4
2
3
M
1
SSOMB = SQUADR - S1 - 2.S2
2
2
SSOMB = l - 1 a.b.sen 60º - 2. 30 pr
360
2
y = (x - 441) / -42 = (441 - x ) / 42
b
S1 - área do triângulo
S2 - área do setor circular
E
A
B
21 - x
S2
1
C
Portanto
SABN = SCDN
(resp)
(resp)
D
SAMN = SDMN
mesma base
mesma altura
1 cm
SS = 4 - (8 + p)
SS = 16 - 8 - p
2
44) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de
um quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus
vértices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-a
de maneira que o vértice D fique sobre o lado AB (figura
2). Seja D’ esta nova posição do vértice D e x a distânde A a D’. Determinar a função que expressa a área
do triângulo retângulo sombreado, em função de x.
2
2 cm
2
SHACH = STRIÂNG + SCÍRCULO / 4 = 2 . 2 / 2 + p . 2 / 4
2
h
(resp)
2
SNS = (8 + p) cm
M
x
SCOROA = SMAIOR - SMENOR
SCOROA = SMENOR
SMENOR = SMAIOR - SMENOR
SMAIOR = 2.SMENOR
2
2
pR = 2.pr
C
2
2
r = (R /2)
r = R 2 / 2 (resp)
1 10 . 2x . sen(180 - q) = 1 y . x . sen q
2
2
Mas sen q = sen (180 - q)
Então 10x sen q = 1 x . y . sen q
2
y = 20 uc (resp)
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283
geometria plana
Respostas dos exercícios da Aula 13.
2
2
01) S1 = 56 cm
2
S4 = 72 cm
2
S7 = 72 cm
S2 = 140 cm
2
S5 = 121 cm
2
S8 = 70 cm
24) 4 2 uc
25) e
2
26) 4 6 cm
2
27) 6 cm
02) 64 3 cm
03) 24 3 cm
04) 192 cm
2
S3 = (91/2) cm
2
S6 = 182 cm
2
2
05) 6 6 cm
2
06) 2 6 / 3 cm,
2 6 cm
2
07) (35 6 / 24) cm
2
08) 45 3 cm
2
09) 54 cm
2
10) 2(32 - 7p) cm
2
11) 4(36 - 7p) cm
2
12) 9(36 - 31p / 4) cm
2
13) p cm
14) d
15) a
2
16) (2( 3 + 1) - p) cm
17) e
2
18) 18(p - 2) cm
2
19) 25p cm
2
20) 18(p - 3 3 / 4) cm
2
21) 128(2 - 2 ) cm
22) 16 / 65
23) a
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
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284
geometria plana
Respostas dos exercícios complementares da Aula 13.
01)
2
a) 84 cm
2
b) 64 cm
2
c) 77 cm
2
d) 100 cm
2
e) 112 cm
2
f) 56 cm
2
g) 120 cm
2
h) 84 cm
2
i) 42 cm
2
j) 30 cm
2
k) 26 3 cm
2
l) 16 3 cm
2
2
2
40) 2 cm
2
20) (16(4p - 3 3 ) / 3) cm
2
2
23) k (2 3 - p) / 8
43)
2
a) (p + 8) cm
2
b) (8 - p) cm
24) 7p / 18
44) (441x - x ) / 84) cm
25) 2 + p
45) 1 - ( 3 / 4) - (p / 6)
26)
a) desenho
46) 20
2
e 7 cm
3
A
2
b) 29p m
04) 8 cm e 16p cm
2
27) 12 m
06) 25p cm
2
28) (5(2p - 3) / 12) cm
07) 16p cm
29) 2a
05) 40p cm
2
47) R 2 / 2
2
2
30) 1 m
2
08) (243p / 8) cm
2
31) (32 3 / 3) cm
2
09) 64 cm
10) 180 cm
2
32) (32 3 / 3) cm
2
33) b
2
11) (49p / 4) cm
2
12) (27(4p - 3 3 ) / 4 ) cm
2
13) 8(2p - 3 3 ) cm
2
14) 392 2 cm
15) 147 cm
2
42) (p + 2) cm
22) (64(4p - 3 3 ) / 3) cm
e 26p cm
2
41) (p(x + y ) / 2) - 2xy
2
21) 8p cm
2
2
39) 2(p + 2) m
19) 8(p - 2) cm
02) 169p cm
03) 49p cm
2
18) k (4 - p) / 2
34)
2
a) 100 cm
2
b) 200( 2 + 1) cm
2
35) (4p / 9) cm
36) a
2
16) 153,27 cm
2
2
37) 25 cm
2
38) pk / 8
17) S / 8
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
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285
geometria plana
Ilusões da vida.
Quem passou pela vida em branca nuvem
E em plácido repouso adormeceu;
Quem não sentiu o frio da desgraça,
Quem passou pela vida e não sofreu,
Foi espectro de homem - não foi homem,
Só passou pela vida - não viveu.
Francisco Otaviano de Almeida Rosa (1825 - 1899)
Poeta Brasileiro
m
i
F
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286
geometria plana
Demonstração da fórmula de Herão.
C
2 2
4h c
16
=
1
2
2
2
3
2
4
2
2 2
h c / 4 = (p - b).(p - c).(p - a).p
b
a
h
2
2
h = 4.[p.(p - a).(p - b).(p - c)] / c
A
h = 2
c
B
m
p.(p - a).(p - b).(p - c)
c
Teorema de Pitágoras
2
2
2
h =b -m
Striângulo = base x altura
2
Lei dos cossenos
2
2
2
a = b + c - 2bc cos A
Striângulo =
Mas cos A = m/b
2
2
2
Portanto a = b + c - 2bc m/b
2
2
2
a = b + c - 2mc
2
2
c
2
2
Striângulo =
2
2
p.(p - a).(p - b).(p - c)
p.(p - a).(p - b).(p - c)
onde p = (a + b + c) / 2
(semiperímetro)
Teorema de Pitágoras
2
2
2
2
2
2
h = b - [(b + c - a ) / 2c]
2 2
c . hc
2
Fórmula de Herão
2mc = b + c - a
2
2
2
Portanto m = (b + c - a ) / 2c
2
2
c
=
2 2
CQD
2
h = [4b c - (b + c - a ) ] / 4c
2 2
2 2
2
2
2 2
4h c = 4b c - (b + c - a )
2
Aproveitando esta demonstração, temos também
que as alturas de um triângulo podem ser obtidas por
2
Lembrar que x - y = (x - y)(x + y)
Fatorando a diferença dos quadrados, tem-se:
2 2
2
2
2
2
2
2
4h c = [2bc - (b + c - a )] [2bc + (b + c - a )]
2 2
2
2
2
2
2
Agrupando como o quadrado da diferença, tem-se
2
2
2
2
Lembrar que x - y = (x - y) (x + y)
2 2
4h c = [a - (b - c)] [a + (b - c)] [ (b + c) - a] [(b + c) + a]
1
3
2
Fazendo p = (a + b + c) / 2
hb = 2
b
p.(p - a).(p - b).(p - c)
hc = 2
c
p.(p - a).(p - b).(p - c)
2
4h c = [a - (b - c) ] [(b + c) - a ]
2
p.(p - a).(p - b).(p - c)
2
4h c = (2bc - b - c + a ) (2bc + b + c - a )
2 2
ha = 2
a
4
onde p é o semiperímetro
a, b e c são os lados do triângulo
semiperímetro
1 /2
[a - (b - c)] / 2 = (a - b + c) / 2 = (a + b + c - 2b) / 2 = p - b
2 /2
[a + (b - c)] / 2 = (a + b - c) / 2 = (a + b + c - 2c) / 2 = p - c
3 /2
[(b + c) - a] / 2 = (b + c - a) / 2 = (a + b + c - 2a) / 2 = p - a
4 /2
[(b + c) + a] / 2 = (a + b + c) / 2 = p
Jeca 163
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287
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Correções
288
geometria plana
2
Lei dos cossenos
2
2
x = a + b - 2.a.b.cos a
Lei dos senos.
b
c
=
= 2R
=
sen C
sen B
3
R
R
N
N
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3
>
3
A
a
sen A
289
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