Física - Coseac

PROGRAD / COSEAC – FÍSICA - GABARITO
Prova de Conhecimentos Específicos
1a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Um cavalo puxa uma carroça para cima num plano inclinado, com velocidade
constante. A força de atrito entre a carroça e o plano inclinado é desprezível.
a)
Isole a carroça e indique com vetores as forças que atuam sobre ela, explicitando
quem as aplica.
b)
Determine a força resultante sobre a carroça.
Cálculos e respostas:
a)
onde:
F : força exercida pelo cavalo.
P: peso, força exercida pela terra.
N: força exercida pelo plano inclinado (normal ao plano inclinado).
b) A força resultante é nula, pois a aceleração da carroça é igual a zero e a força
resultante é proporcional a ela ( FR = ma ).
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2a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Um projétil é disparado de um morro com altura h em relação à planície, a
velocidade inicial é v0 e forma um ângulo  com a horizontal (veja a figura abaixo). O
módulo da aceleração da gravidade é g.
a)
Determine o módulo da velocidade imediatamente antes da colisão do projétil
com o solo, na planície.
b)
Calcule o ângulo que o vetor velocidade forma com a horizontal no mesmo
instante indicado no item (a).
Cálculos e respostas:
a) Pela conservação da energia mecânica, temos:
1
1
mgh  mv 02 = mv 2,
2
2
o que leva a:
v = v 02 + 2gh.
b) A componente horizontal da velocidade do projétil é constante.
Chamemos de  ângulo formado pelo vetor velocidade com a horizontal imediatamente
antes da chegada do projétil ao solo, como ilustrado na figura abaixo:
Assim, temos que: cos =
vx
v
, o que leva a: cos =
cos 
2gh
1+ 2
v
.
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3a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Dois blocos superpostos de massas iguais m1 = m2 = 2 kg são colocados
sobre uma superfície horizontal, como mostra a figura abaixo. O atrito entre a
superfície e o bloco 1 é desprezível. Uma força horizontal F=16 N é aplicada ao bloco
2. Adote g=10 m/s2.
a)
Qual deve ser o valor mínimo do coeficiente de atrito estático entre os blocos para
que eles se movam em conjunto, sem deslizamento entre eles?
b)
Determine a aceleração do conjunto, caso a condição de não deslizamento esteja
satisfeita.
Cálculos e respostas:
a) Se não há deslizamento entre os blocos, ambos se movem com a mesma aceleração.
Isolando os blocos, vamos indicar as forças que neles atuam.
Os símbolos denotam os módulos dos vetores
correspondentes. Chamando de a o módulo da
aceleração, que aponta horizontalmente para a
direita, podemos escrever a equação de movimento
para cada bloco:
F − F 12= ma , (1)
F 21= ma. (2)
Pela terceira lei de Newton e impondo que a
componente vertical da força sobre o bloco 1 se
anule, teremos F21 = F12 e N21 = N12 = mg. Somando as
equações (1) e (2), resulta: F  2ma. Como a força de
atrito
máxima
entre
os
blocos
é
teremos
Fmax = μN12 = μN21 = μmg,
F21 = ma = F / 2  μmg, ou seja, μ 
b) a =
F 16
=
= 4m / s2
2m 4
F
16

= 0,4.
2mg 4  10
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4a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Dois corpos, de massas m1=2 kg e m2=3 kg, movem-se sobre uma mesma
reta horizontal, com atrito desprezível. Suas velocidades são v1,a= 3 m/s e
v2,a=4 m/s. Depois da colisão, a velocidade do corpo 1 é v1,d = 0,5 m/s.
a)
Determine a velocidade do corpo 2 após a colisão.
b)
Calcule a energia dissipada na colisão.
Cálculos e respostas:
a) Igualando os momentos lineares do sistema antes e depois da colisão, vem:
os
valores
conhecidos,
teremos:
m1v1a + m2 v 2a = m1v1d + m2 v 2d. Substituindo
−5
2  3 + 3   4  = 2   0,5  + 3v 2d. Daí, obtemos: v 2d = 3 m/s≈ − 1,7 m/ s.
1
1
1
1
2
2
2
2 
b) A variação de energia é: ΔE = Ed  Ea = m1v1d
+ m2 v 2d
  m1v1a
+ m2 v 2a
,
2
2
2
2

substituindo os valores numéricos,
2
obtemos: ΔE = 1 0,52 +
3 5 
3


 1 9 +  16   28J. , vemos que a energia dissipada
2  3  
2

é aproximadamente igual a 28 J.
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5a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Um disco de massa m e raio R está fixado a um eixo vertical e gira com atrito
desprezível com uma velocidade angular constante . O momento de inércia do eixo é
desprezível. Solta-se outro disco de mesmo raio e massa m/3, inicialmente em
repouso, sobre o disco girante, de maneira que os discos se superponham. Há atrito
entre os discos, e, depois de algum deslizamento, eles passam a girar com a mesma
2
velocidade angular f. O momento de inércia de um disco é I = mR /2.
a)
Determine a velocidade angular final f em termos da velocidade angular inicial .
b)
Calcule as energias cinéticas de rotação inicial e final, exprimindo seus resultados em
termos de m, R e .
Cálculos e respostas:
a) Aplicando a conservação do momento angular ao processo, teremos que:
mR2
 mR2 m / 3 2 
ω=
+
R ω
2
2
 2
 f.
Dessa expressão, obtemos :
3
ω = ω.
f
4
b) A energia cinética inicial é:
1
1
Ei = Iω2 = mR2ω2 .
2
4
Já no final, teremos a energia cinética:
1
1  mR2 mR2  9 2 3mR2 2
E = I ω2 = 
+
ω.
 ω =
f
2 f f 2 2
6  16
16
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6a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Calcule
1
x
lim
x 0
1
2
x
x
Cálculos e respostas:
Multiplicando numerador e denominador por x, que é diferente de zero, resulta
1
2
2
 1) 1
x0
x  lim x  1  lim(x
lim

 1
x0
x0
1
2x

1
lim(2x

1)

1
x

0
2
x
x
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7a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Encontre a derivada da função
f ( x)  xe x
2
Cálculo e resposta:
Pelas regras da cadeia e da derivada de um produto, temos
f '(x)  ex  x(ex )'  ex  x(2xex )  (2x2  1)ex
2
2
2
2
2
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8a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Esboce o gráfico da função
f(x) =
2
+ x2 ,
x
x >0
e determine o seu valor mínimo.
Cálculo e resposta:
A função f(x) =
2
+ x2 ,
x
x >0
é positiva e cresce indefinidamente tanto para x
Vejamos para que valores de x a derivada de f é nula:
f(x) = 
0 quanto para x
.
2
+ 2x = 0  x3 = 1  x = 1
2
x
Portanto, o valor mínimo de f(x) é alcançado em x = 1 e fmin = f(1) = 3.
Consequentemente, o gráfico de f tem a seguinte forma:
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9a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Calcule

/2
sen x cos x dx .
0
Cálculo e resposta:
Como d(sen x) = cos x dx, podemos escrever


0
2

sen x cos x dx  0

2
sen2 x 2 1
sen x d(sen x) 
 ,
2 0
2
pois sen /2 = 1 e sen 0 = 0.
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10a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Dada a função contínua f, prove que


xf (sen x) dx 
0

2


f (sen x) dx
0
Sugestão: faça a mudança de varável u = – x.
Cálculo e resposta:
I 
Seja
I 


xf (sen x) dx . Fazendo a mudança de variável u =  – x, obtemos
0
xf (sen x) dx 
0

0

(   u) f (sen(   u))( du) 


(   u) f (sen(   u)) du.
0
Como sen( – u) = sen u, segue-se que
I 

(   u) f (senu)du  
0



f (senu) du 
0
 uf (senu) du .
0
Como o valor de uma integral definida não depende do nome usado para a variável
de integração, temos
I  

f (senu)du  I  2I  
0


0
Portanto,


0
xf (sen x)dx 

2


0
f (sen x) dx .
f (sen u) du,  I 

2


0
f (sen x) dx .