Trigonometria I

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
1. Trigonometria no triângulo
retângulo
‘
‘
‘
Trigonometria I
E dessa semelhança podemos deduzir que:
b a
b b'
= ⇒ = '
b' a'
a a
c a
c c'
= ⇒ = '
c ' a'
a a
b c
b b'
=
⇒
=
b' c '
c c'
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
Trigonometria I
(1)
(2)
(3)
1. Trigonometria no triângulo
retângulo
1.Trigonometria no triângulo retângulo
2.Razões trigonométricas de 30o, 45o e 60o
3.Uso de calculadora
4.Unidades de medida de arcos e ângulos
5.Medida algébrica de um arco
6.A circunferência trigonométrica
7.Seno e cosseno na circunferência trigonométrica
As igualdades (1), (2) e (3) mostram que a
razão entre dois lados quaisquer de um triângulo
retângulo é igual à razão entre os dois lados
homólogos de qualquer outro triângulo retângulo
semelhante a ele. Em outras palavras, a razão
entre dois lados quaisquer de um triângulo
retângulo não depende do tamanho desse triângulo,
mas apenas de seus ângulos.
8.Tangente na circunferência trigonométrica
9.Secante, cossecante e cotangente
10.Trigonometria num triângulo qualquer
1. Trigonometria no triângulo
retângulo
1. Trigonometria no triângulo
retângulo
E dessa semelhança podemos deduzir que:
‘
‘
‘
Numa primeira etapa, Trigonometria é o
estudo das relações entre medidas de ângulos e
lados nos triângulos retângulos. Esse estudo é
inteiramente baseado na semelhança de triângulos.
Observe, por exemplo, os triângulos da figura
acima. Eles são semelhantes, pois possuem os
ângulos ordenadamente congruentes.
b1 b2 b3
=
=
= ⋯ = constante
a1 a2 a3
c1 c2 c3
=
=
= ⋯ = constante
a1 a2 a3
b1 b2 b3
=
=
= ⋯ = constante
c1 c2 c3
Essas razões, constantes para cada valor de
α, são chamadas razões trigonométricas.
6
1
1.1. Seno, cosseno e tangente
de um ângulo agudo
1.1. Seno, cosseno e tangente
de um ângulo agudo
Seja α a medida de um ângulo agudo de um
triângulo retângulo.
O seno, o cosseno e a tangente de um ângulo
de medida α são denotados por sen α, cos α e tg α.
cos =
1.1. Seno, cosseno e tangente
de um ângulo agudo
c

cos α =
cateto adjacente

a
⇒
hipotenusa
cos β = b

a
1.1. Seno, cosseno e tangente
de um ângulo agudo
•Seno de α é a razão entre o cateto oposto a esse
ângulo e a hipotenusa.
•Cosseno de α é a razão entre o cateto adjacente a
esse ângulo e a hipotenusa.
•Tangente de α é a razão entre o cateto oposto a
esse ângulo e o cateto adjacente a ele.
1.1. Seno, cosseno e tangente
de um ângulo agudo
O seno, o cosseno e a tangente de um ângulo
de medida α são denotados por sen α, cos α e tg α.
tan =
b

 tan α = c
cateto oposto
⇒
cateto adjacente
 tan β = c

b
1.1. Seno, cosseno e tangente
de um ângulo agudo
Exercício 1: Calcule sen α, cos α e tan α.
O seno, o cosseno e a tangente de um ângulo
de medida α são denotados por sen α, cos α e tg α.
sen =
b

sen α = a
cateto oposto
⇒
hipotenusa
sen β = c

a
2
1.1. Seno, cosseno e tangente
de um ângulo agudo
2. Razões trigonométricas de
30o, 45o e 60o
Exercício 2: Um observador, de 1,80 m de altura,
situado a 20 m de um edifício, enxerga o topo
desse edifício segundo um ângulo α. Esse ângulo foi
medido a partir da linha horizontal de visão do
observador. Sabendo-se que sen α = 0,914, cos α =
0,407 e tg α = 2,250, calcule a altura do edifício.
Para calcular as razões trigonométricas de
30o e 60o, partimos de um triângulo equilátero, no
qual traçamos uma altura, e obtemos um triângulo
retângulo cujos ângulos agudos medem 30o e 60o.
1.1. Seno, cosseno e tangente
de um ângulo agudo
2. Razões trigonométricas de
30o, 45o e 60o
Exercício 3: Um observador, situado num ponto A,
enxerga uma montanha segundo um ângulo α.
Caminhando 400 m em direção à montanha, ele
passa a enxergá-la segundo um ângulo β.
Desprezando a altura do observador, calcule a
altura da montanha, sabendo que tg α = 1/2 e tg β
= 5/6.
Então, no triângulo retângulo, temos:
sen 30o =
l 2
1
⇒ sen 30o =
l
2
tan 30o =
1.1. Seno, cosseno e tangente
de um ângulo agudo
l 2
l 3 2
cos 30o =
l 3 2
3
⇒ cos 30o =
l
2
⇒ tan 30o =
3
3
2. Razões trigonométricas de
30o, 45o e 60o
Exercício 4: Na figura abaixo, as circunferências
são tangentes entre si e ambas tangenciam os
lados do ângulo AÔB. Calcule: a) sen α em função
de R e r. b) Se r = 5 e sen α = 1/6, calcule R.
Então, no triângulo retângulo, temos:
sen 60o =
l 3 2
3
⇒ sen 60o =
l
2
tan 60o =
cos 60o =
l 2
1
⇒ cos 60o =
l
2
l 3 2
⇒ tan 60o = 3
l 2
3
2. Razões trigonométricas de
30o, 45o e 60o
2. Razões trigonométricas de
30o, 45o e 60o
Exercício 6: Num círculo de centro O e raio r = 2,
traça-se uma corda AB. Se a distância do centro à
corda é igual a 1, qual é a medida do ângulo AÔB?
As razões trigonométricas de 45º são
calculadas no triângulo retângulo obtido da divisão
de um quadrado por sua diagonal.
2. Razões trigonométricas de
30o, 45o e 60o
2. Razões trigonométricas de
30o, 45o e 60o
Exercício 7: Na figura seguinte, ABCD é um
quadrado e ABE é um triângulo equilátero.
Determine: a) o valor do ângulo α e b) a tangente
de α.
sen 45o =
l
l 2
⇒ sen 45o =
2
2
cos 45o =
l
l 2
⇒ cos 45o =
2
2
l
tan 45o = ⇒ tan 45o = 1
l
2. Razões trigonométricas de
30o, 45o e 60o
3. Uso de calculadora
Exercício 5: Calcule x na figura abaixo.
Os
valores
das
demais
razões
trigonométricas, de 1o a 89o, podem ser obtidos
pelo uso de calculadora científica.
21
4
3. Uso de calculadora
4.2. A unidade radiano
Exercício 8: A figura seguinte mostra a trajetória
de uma bola de futebol que, chutada do ponto A,
sobe a rampa e atinge o solo no ponto B. Qual é a
distância entre A e B, aproximadamente?
4. Unidades de
arcos e ângulos
medida
de
Uma maneira de medir arcos de uma
circunferência é compará-los com um outro arco
escolhido para ser unidade de medida sobre a
mesma circunferência. Esse arco é chamado
unitário.
4.2. A unidade radiano
Até aqui temos utilizado apenas a unidade
grau para medir ângulos e arcos. Porém, existem
outras unidades de medida de arcos, das quais
uma, chamada radiano, iremos utilizar com grande
frequência.
Por exemplo, na figura acima escolhemos o
arco PQ, de comprimento u, como arco unitário.
Então, para medir o arco AB, devemos descobrir
quantas vezes o arco unitário “cabe” no arco AB.
Para isso, basta fazer a razão entre o comprimento
do arco AB e o comprimento do arco unitário.
4.2. A unidade radiano
4.1. O grau e seus submúltiplos
Minuto de grau: É a sexagésima parte do grau.
1º = 60’
Segundo de grau: É a sexagésima parte do minuto
de grau.
1’ = 60”
AB =
comprimento do arco AB
comprimento do arco PQ
AB =
3u
⇒ AB = 3
u
5
4.2. A unidade radiano
4.3. Os arcos de volta inteira
e meia-volta
AB = 1rad
Chama-se radiano o arco unitário cujo
comprimento é igual ao raio da circunferência que
o contém.
Para determinar as medidas em radianos dos
arcos de 360º e 180º, é preciso relembrar a
seguinte propriedade:
“A razão entre o comprimento de uma
circunferência e seu diâmetro é constante, e igual
a π, qualquer que seja a circunferência”.
Assim, sendo C o comprimento de uma
circunferência de diâmetro d, então:
C
=π
d
1 radiano = 1 rad
onde π é um número irracional.
4.3. Os arcos de volta inteira
e meia-volta
4.2. A unidade radiano
Como o diâmetro é o dobro do raio, essa
relação pode ser escrita assim:
C
= π , ou ainda C = 2π r
2r
⌢
Se AB = 1 rad, então AOB = 1 rad.
Decorre da definição, que a medida em
radianos de um arco AB é dada por:
AB =
A última igualdade é a conhecida fórmula
que permite calcular o comprimento de uma
circunferência. A partir dela vamos determinar a
medida do arco de volta inteira em radianos.
comprimento do arco AB
raio
4.2. A unidade radiano
4.3. Os arcos de volta inteira
e meia-volta
Exercício 9: Calcule AÔB em radianos, sabendo
que o comprimento do arco AB é o dobro do raio da
circunferência.
Para isso, temos de dividir o seu
comprimento pelo raio, e, como o arco de volta
inteira
é
a
própria
circunferência,
seu
comprimento é igual a 2πr. Então, sua medida é:
2π r
= 2π rad
r
6
4.3. Os arcos de volta inteira
e meia-volta
Sabendo que o arco de volta inteira mede 2π
rad, deduzimos que o arco de meia-volta mede π
rad.
4.4. Conversões de medidas
5. Medida
arco
algébrica
de
um
Arco orientado. Imagine um ponto P que,
partindo de um ponto A de uma circunferência,
desloca-se sobre ela e pode movimentar-se no
sentido horário ou anti-horário.
5. Medida
arco
algébrica
de
um
Para converter medidas de arcos de
radianos para graus ou vice-versa, usamos a
seguinte relação:
π rad equivale a 180º ou π rad = 180º
Nos
dois
sentidos
possíveis
de
deslocamento, para cada posição do ponto P, fica
determinado um arco AP denominado arco
orientado. O ponto A é chamado origem do arco e o
ponto P é a extremidade dele.
4.4. Conversões de medidas
5. Medida
arco
algébrica
de
um
Exercício 10: Num triângulo ABC, sabe-se que o
ângulo B é o dobro do ângulo C e que o ângulo A é o
triplo do ângulo C.
a) Determine os ângulos A, B e C em radianos.
b) Classifique esse triângulo quanto aos lados e
quanto aos ângulos.
Circunferência orientada. É uma circunferência na qual um dos dois possíveis sentidos de
deslocamento é adotado como positivo. Para o
estudo da Trigonometria, o sentido positivo é o
anti-horário.
7
5. Medida
arco
algébrica
de
um
Medida algébrica de um arco orientado.
Considere um arco orientado contido numa
circunferência orientada. A medida algébrica
desse arco é a sua medida comum, afetada dos
sinais + ou -, conforme o sentido do arco seja,
respectivamente, concordante ou discordante do
sentido positivo da circunferência.
5. Medida
arco
algébrica
de
um
Na trigonometria, os arcos orientados no
sentido anti-horário têm medidas algébricas
positivas e os orientados no sentido horário têm
medidas algébricas negativas.
5. Medida
arco
algébrica
de
um
A medida algébrica de um arco orientado de
origem A e extremidade P é representada pelo
símbolo AP . Veja os exemplos:
5. Medida
arco
algébrica
de
um

 AP = +120o

ou

2π
 AP = +
rad
3


 AQ = −120o

ou

2π
 AQ = −
rad
3

6. A circunferência trigonométrica
Observe a figura acima. Ela mostra uma
circunferência orientada no sentido anti-horário, à
qual associamos um sistema de coordenadas
cartesianas.
6. A circunferência trigonométrica
• O centro da circunferência é O = (0, 0).
• O raio da circunferência é unitário, isto é, r = 1.
8
6. A circunferência trigonométrica
• A = (1, 0) é a origem dos arcos. Isto é, os arcos
são medidos a partir de A.
• A circunferência da figura é chamada circunfe-
6. A circunferência trigonométrica
A partir disso, dizemos que um arco
pertence ao quadrante no qual se encontra a sua
extremidade.
rência trigonométrica.
6. A circunferência trigonométrica
Como a origem dos arcos é um ponto fixo, na
circunferência trigonométrica a extremidade de
um arco fica determinada pela sua medida
algébrica.
6. A circunferência trigonométrica
Por exemplo, os arcos cujas medidas estão
representadas acima são
π , 3π , 7π e − π
6
6
cem,
ao
2º,
3º
respectivamente,
3
4
1º,
pertene
4º
quadrantes.
6. A circunferência trigonométrica
Desse modo, a cada ponto da circunferência
trigonométrica ficam associados números reais,
representando estes as medidas em radianos dos
arcos que têm extremidades nesse ponto.
Particularmente, dizemos que o ponto A, origem
dos arcos, é um arco nulo e que sua medida é zero.
7. Seno e cosseno na circunferência trigonométrica
Seja α a medida de um arco de extremidade
P na circunferência trigonométrica. Então,
sen α é a ordenada de P
cos α é a abscissa de P
9
7. Seno e cosseno na circunferência trigonométrica
7. Seno e cosseno na circunferência trigonométrica
Em
razão
dessas
definições,
na
Trigonometria o eixo Ox é chamado eixo dos
cossenos e o eixo Oy, eixo dos senos.
7. Seno e cosseno na circunferência trigonométrica
sen α = OR
(2)
As igualdades (1) e (2) mostram que cos α e
sen α são a abscissa e a ordenada de P.
7.1. Alguns valores notáveis de
seno e cosseno
Lembrando que o raio da circunferência
trigonométrica é unitário, no triângulo OPQ da
figura acima, temos:
7. Seno e cosseno na circunferência trigonométrica
Observe as figuras e procure determinar os
valores de seno e cosseno dos ângulos indicados
nas figuras.
7.1. Alguns valores notáveis de
seno e cosseno
OQ OQ
=
OP
1
∴
QP QP
sen α =
=
OP
1
∴
cos α =
Como QP = OR, temos
cos α = OQ
sen α = QP
0
π/2
π
3π/2
2π
sen
0
1
0
-1
0
cos
1
0
-1
0
1
(1)
10
7.1. Alguns valores notáveis de
seno e cosseno
7.1. Alguns valores notáveis de
seno e cosseno
Exercício 13: Identifique quais das igualdades
abaixo são possíveis.
a) sen x = 2
1
5
5
c) sen x = −
3
3
d) sen x =
7
b) sen x = −
Note que seno e cosseno são no máximo
iguais a 1 e no mínimo iguais a -1. Assim, sen α e
cos α variam no intervalo de -1 a 1.
−1 ≤ sen α ≤ 1 e
− 1 ≤ cos α ≤ 1
7.1. Alguns valores notáveis de
seno e cosseno
7.1. Alguns valores notáveis de
seno e cosseno
Exercício 11: Calcule o valor da expressão abaixo.
3π
− 5 cos 2π
2
3π
3sen
+ cos2 π
2
Exercício 14: Determine m para que a igualdade
abaixo seja possível.
2sen
7.1. Alguns valores notáveis de
seno e cosseno
cos x = 2m − 1
7.2. Arcos da forma: π - α,
π + α e 2π
π - α
Exercício 12: Determine os valores de x que
satisfazem as equações seguintes no intervalo
0 ≤ x ≤ 2π.
a) sen x = 0
b) cos x = 0
c) sen x = 1
d) cos2 x − 1 = 0
e) sen x + sen x ⋅ cos x = 0
Seja P a extremidade de um arco do
primeiro quadrante. Observe estas três outras
extremidades.
P1: simétrico de P em relação ao eixo Oy.
P2: simétrico de P em relação ao centro O.
P3: simétrico de P em relação ao eixo Ox.
11
7.2. Arcos da forma: π - α,
π + α e 2π
π - α
7.2. Arcos da forma: π - α,
π + α e 2π
π - α
Exercício 15: Calcule o valor de
sen
7π
4π
2π
 π
⋅ cos
+ sen
⋅ cos  − 
6
3
3
 6
As medidas dos arcos de extremidades P1,
P2 e P3, sendo AP = α , podem ser expressas em
função de α.
AP 1 = π − α , AP 2 = π + α e AP 3 = 2π − α , ou AP 3 = −α
7.2. Arcos da forma: π - α,
π + α e 2π
π - α
7.2. Arcos da forma: π - α,
π + α e 2π
π - α
Exercício 16: Simplifique a expressão
sen(2π − α ) ⋅ sen(π + α ) + sen(π − α ) ⋅ cos(π + α )
sen(π − α ) + cos(π − α )
Assim, o seno e o cosseno desses arcos
podem ser expressos em função de sen α e cos α.
sen (π − α ) = sen α
sen (π + α ) = −sen α
sen (2π − α ) = −sen α
sen ( −α ) = −sen α
7.2. Arcos da forma: π - α,
π + α e 2π
π - α
7.2. Arcos da forma: π - α,
π + α e 2π
π - α
Exercício 17: Resolva as equações seguintes no
intervalo ]0;2π [ .
a) sen x =
1
2
b) cos x = −
Assim, o seno e o cosseno desses arcos
podem ser expressos em função de sen α e cos α.
cos (π − α ) = − cos α
cos (π + α ) = − cos α
cos (2π − α ) = cos α
2
2
1
4
1
d) sen2 x =
2
c) cos2 x =
cos ( −α ) = cos α
12
7.3. Primeira relação fundamental
7.3. Primeira relação fundamental
Exercício 18: Se sen 18o =
5 −1
, calcule cos 18o.
4
Para qualquer
um dos dois casos
apresentados nas figuras, as medidas dos catetos
do triângulo retângulo OPQ, são:
PQ = sen α
e OQ = cos α
7.3. Primeira relação fundamental
7.3. Primeira relação fundamental
Exercício 19: Calcule m, para que se tenha
sen x =
m −1
m
e
cos x =
m−2
m
Pelo teorema de Pitágoras:
PQ 2 + OQ 2 = 1 ⇒
2
sen α + cos α
2
2
=1
Como a = a , ∀a ∈ ℝ , a última igualdade fica:
2
sen2 α + cos2 α = 1
7.3. Primeira relação fundamental
7.3. Primeira relação fundamental
Exercício 20: Simplifique as expressões abaixo:
a) sen ( − α ) ⋅ sen(π + α ) − cos( − α ) ⋅ cos(π − α )
b)
sen4 x − cos4 x
sen x + cos x
Embora as figuras da demonstração
mostrem os arcos no 1º e 3º quadrantes, todo o
raciocínio também é válido quando os arcos
pertencem aos demais quadrantes.
13
7.3. Primeira relação fundamental
8. Tangente na circunferência
trigonométrica
Exercício 21: Se cos x = 1/a, calcule o valor da
expressão abaixo, em função de a.
cos x + cos x ⋅ sen2 x
1 − sen4 x
Seja P a extremidade de um arco qualquer
de medida α e seja T o ponto em que a reta
conduzida
pelo
centro
da
circunferência
trigonométrica e por P intercepta o eixo At. Então,
tg α é o número associado ao ponto T no eixo At.
8. Tangente na circunferência
trigonométrica
8. Tangente na circunferência
trigonométrica
Para
o
estudo
das
tangentes
dos
arcos
na
circunferência
trigonométrica,
associamos mais um eixo a ela,
conforme mostra a figura acima.
At é chamado eixo das tangentes.
8. Tangente na circunferência
trigonométrica
Quadrante
1o
2o
3o
4o
Sinais
de tg α
+
-
+
-
8. Tangente na circunferência
trigonométrica
• O eixo At tangencia a circunferência em A.
• O ponto A é a origem do eixo
das tangentes, isto é, ao ponto A
está associado o número zero
desse eixo.
•O
raio
da
circunferência
trigonométrica é a unidade de
medida também no eixo das
tangentes.
tg
0
π/2
π
3π/2
2π
0
∃
0
∃
0
14
8. Tangente na circunferência
trigonométrica
8.1 Segunda relação fundamental
Exercício 22: Calcule o valor de
5π
7π
+ tg
6
4
4π
π
sen ⋅ tg
4
3
tgπ ⋅ cos
Como QP // AT temos
Então
tg α =
8. Tangente na circunferência
trigonométrica
∆OQP ∼ ∆OAT.
tg α
AT OA
1
=
⇒
=
QP OQ
sen α
cos α
sen α
cos α
8.1 Segunda relação fundamental
Exercício 23: Resolva as equações no intervalo de
0 ≤ x ≤ 2π.
3
3
b) tg2 x = 3
a) tg x =
c) tg x = 1
Como em todos os quadrantes os sinais de
tg α e sen α são idênticos, teremos:
d) tg2 x − tg x = 0
cos α
tg α =
8.1. Segunda relação fundamental
sen α
cos α
8.1 Segunda relação fundamental
Para os dois casos apresentados nas figuras
acima, note que as medidas dos catetos dos
triângulos OQP e OAT são:
PQ = sen α
AT = tg α
OQ = cos α
Note que, se cos α = 0, então sen α não está
cos α
definido. Porém, os arcos para os quais cos α = 0
são justamente aqueles em que não existe tg α.
OA = 1
15
8.1 Segunda relação fundamental
9. Secante,
cotangente
Exercício 24: Dado tg x = 5/12, 0 < x < π/2,
calcule sen x e cos x.
cossecante
e
Se α é a medida de um arco, ou ângulo
qualquer, então:
• Secante de α (sec α) é o inverso de cos α.
sec α =
8.1 Segunda relação fundamental
9. Secante,
cotangente
Exercício 25: Se cos a = 2
5, 0 < a < π/2, e cos b = 1 10,
cossecante
1
cos α
(cos α ≠ 0)
e
Se α é a medida de um arco, ou ângulo
qualquer, então:
0 < b < π/2, calcule o valor de
tg a + tg b
1 − tg a ⋅ tg b
• Cossecante de α (cossec α) é o inverso de sen α.
cossec α =
8.1 Segunda relação fundamental
Exercício 26: Resolva as equações abaixo no intervalo
0 ≤ x ≤ 2π.
a) sen x = cos x
b) sen2 x −
1
cos2 x = 0
3
9. Secante,
cotangente
cossecante
1
sen α
(sen α ≠ 0)
e
Se α é a medida de um arco, ou ângulo
qualquer, então:
• Cotangente de α (cotg α) é o inverso de tg α.
cotg α =
ou
cotg α =
1
tg α
cos α
sen α
(tg α ≠ 0)
(sen α ≠ 0)
16
9. Secante,
cotangente
cossecante
e
9. Secante,
cotangente
cossecante
e
Note que as variações dos sinais de sec α,
cossec α e cotg α, segundo cada quadrante, são
idênticas às variações de sinais de cos α, sen α e
tg α, respectivamente.
Como em todos os quadrantes os sinais de
cotg α e cos α são idênticos, teremos:
sen α
cotg α =
9. Secante,
cotangente
cossecante
e
9. Secante,
cotangente
A cotangente pode ser interpretada
graficamente associando-se mais um eixo à
circunferência
trigonométrica,
conforme
é
mostrado na figura acima. Nesse caso, obtém-se a
cotangente de modo inteiramente análogo ao que
se emprega para determinar a tangente.
9. Secante,
cotangente
cossecante
e
cos α
não está
sen α
definido. Porém, os arcos para os quais sen α = 0
são justamente aqueles em que não existe cotg α.
cossecante
e
∼ ∆OQP
cotg α
1
Então BC = OB ⇒
=
QP OQ
cos α
sen α
cotg α =
e
Note que, se sen α = 0, então
9. Secante,
cotangente
Como BC / /QP temos ∆OBC
cossecante
cos α
sen α
cotg
0
π/2
π
3π/2
2π
∃
0
∃
0
∃
cos α
sen α
17
9. Secante,
cotangente
cossecante
e
Na figura acima, a reta s é tangente à
circunferência na extremidade P do arco de
medida α. Com base na figura, fazemos as
seguintes definições de secante e cossecante.
9. Secante,
cotangente
cossecante
e
9. Secante,
cotangente
cossecante
e
sec α é o número associado ao ponto X no
eixo Ox.
9. Secante,
cotangente
cossecante
e
P
P
1
O
sec α
cossecante
e
sec α é o número associado ao ponto X no
eixo Ox.
X
∆OPX ∼ ∆OQP
Então
OX OP
sec α
1
=
⇒
=
OP OQ
1
cos α
sec α =
9. Secante,
cotangente
O
Q
cos α
Temos
sec α é o número associado ao ponto X no
eixo Ox.
9. Secante,
cotangente
1
cossecante
1
cos α
e
cossec α é o número associado ao ponto Y no
eixo Oy.
18
9. Secante,
cotangente
cossecante
e
9. Secante,
cotangente
cossecante
e
Exercício 27: Calcule o valor de
a) sec
2π
3π
11π
+ cotg
− cossec
3
4
6
cossec α é o número associado ao ponto Y no
eixo Oy.
9. Secante,
cotangente
cossecante
9. Secante,
cotangente
e
cossecante
e
Exercício 28: Sabendo que 3π/2 < a < 2π, e que
sen a = -7/25, calcule as demais razões trigonométricas.
cossec α é o número associado ao ponto Y no
eixo Oy.
9. Secante,
cotangente
cossecante
9.1. Outras relações fundamentais
e
Y
P
cossec α
O
Temos
R
sen α
1
O
P
1
∆OPY ∼ ∆ORP
Então OY = OP ⇒ cossec α =
OP
OR
cossec α =
1
1
sen α
Dividindo ambos os membros da relação
1
sen α
sen2 α + cos2 α = 1 por cos2 α , teremos:
sen2 α + cos2 α = 1 ⇒
sen2 α cos2 α
1
+
=
cos2 α cos2 α cos2 α
tg2 α + 1 = sec 2 α ⇒ sec 2 α = 1 + tg2 α
19
9.1. Outras relações fundamentais
9.2. Resumo das relações fundamentais
Exercício 30: Resolva a equação abaixo no intervalo
0 ≤ x ≤ 2π.
(sec x + 1) ⋅ (sec x − 1) = 3
Agora, vamos dividir ambos os membros de
sen2 α + cos2 α = 1 por sen2 α , teremos:
sen2 α + cos2 α = 1 ⇒
sen2 α cos2 α
1
+
=
sen2 α sen2 α sen2 α
1 + cotg2 α = cossec 2 α ⇒ cossec 2 α = 1 + cotg2 α
9.2. Resumo das relações fundamentais
10. Trigonometria num triângulo qualquer
sen2 α + cos2 α = 1
tg α =
sen α
cos α
cotg α =
sec α =
cos α
sen α
1
cos α
sec 2 α = 1 + tg2 α
Passaremos a representar sempre por a, b e
c as medidas dos lados opostos aos ângulos A, B e
C de um triângulo ABC.
cotg α =
1
tg α
cossec α =
1
sen α
cossec 2 α = 1 + cotg2 α
9.2. Resumo das relações fundamentais
10.1. Lei dos senos
Exercício 29: Calcule cos x, 3π/2 < x < 2π, sabendo
que tg x = -2.
Para qualquer triângulo ABC, sendo R o raio
da circunferência circunscrita, vale a relação:
a
b
c
⌢ =
⌢ =
⌢ = 2R
sen A sen B senC
20
10.1. Lei dos senos
10.1. Lei dos senos
Exercício 31: Num triângulo ABC sabe-se que o
ângulo A é igual a 60o, o ângulo B é igual a 45o e a = 9.
Calcule: a) o raio da circunferência circunscrita e b) a
medida do lado b.
Traçando-se o diâmetro AD e unindo D e C,
temos:
⌢ ⌢ AC
1º) D = B =
2
2º) ∆ACD é retângulo em C por estar inscrito numa semicircunferência.
10.1. Lei dos senos
10.1. Lei dos senos
Exercício 32: Num triângulo ABC tem-se
a = 8 2, b = 8 3 e B = 60o.
Calcule C .
⌢
b
b
Então, no ∆ACD , sen B =
⌢ = 2R
⇒
2R
sen B
Analogamente, demonstra-se que
a
c
⌢ = 2R ⇒
⌢ = 2R
sen C
sen A
10.1. Lei dos senos
10.1. Lei dos senos
Exercício 33: Um triângulo ABC está inscrito em uma
circunferência de raio R. Se a = R, calcule A .
Logo,
a
b
c
⌢ =
⌢ =
⌢ = 2R
sen A sen B sen C
21
10.2. Lei dos cossenos
10.2. Lei dos cossenos
Para todo triângulo ABC, vale a relação:
⌢
a = b + c − 2bc cos A
2
2
2
A demonstração completa exige que se
analisem os casos em que ∢A é agudo e em que∢A
é obtuso.
10.2. Lei dos cossenos
Do triângulo retângulo AHC, tiramos:
⌢
m
cos (π − A) =
⌢ m
b
cos A =
⌢ m
b
−
cos
=
A
⌢
b
m = b cos A
(2)
⌢
m = −b cos A
(2)
10.2. Lei dos cossenos
Pelo teorema de Pitágoras, nos triângulos
AHC e BHC, temos:
Substituindo em (1) o valor de m encontrado
em (2), temos finalmente:
⌢
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
10.2. Lei dos cossenos
10.2. Lei dos cossenos
Exercício 34: De um triângulo ABC, são dados:
a = 3 + 1, b = 2 e C = 30o.
Calcule c.
h 2 = b 2 − m2
 2
2
2
h = a − (c − m)
h 2 = b 2 − m2
 2
2
2
h = a − (c + m)
a 2 − (c − m )2 = b 2 − m 2
a 2 − (c + m )2 = b 2 − m 2
a 2 − (c 2 − 2cm + m2 ) = b 2 − m2
a 2 − (c 2 + 2cm + m2 ) = b 2 − m2
a 2 − c 2 + 2cm − m 2 = b 2 − m2
a 2 − c 2 − 2cm − m 2 = b 2 − m2
a 2 = b 2 + c 2 − 2cm
a 2 = b 2 + c 2 + 2cm
(1)
(1)
22
10.2. Lei dos cossenos
Exercício 35: Dois automóveis A e B seguem por uma
mesma rodovia. No instante em que B entra numa
estrada secundária, que forma um ângulo de 60o com a
primeira, ele é ultrapassado por A, que continua na
rodovia principal. As duas estradas podem ser
consideradas retilíneas. Se A viaja a 80 km/h e B a
50 km/h, qual a distância entre A e B 6 minutos após
B ter entrado na rodovia secundária?
10.2. Lei dos cossenos
23