Folha 8 - Departamento de Matemática

Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra
Álgebra Linear e Geometria Analı́tica
Folha 8
Engenharia Electrotécnica
Ano lectivo 2007/2008
120. Se F é um plano de R3 que passa pela origem, quais são os possı́veis subespaços suplementares
de F ? E se F é uma recta que passa na origem?

 

0 0 1
0 0 1 2
121. Determine a caracterı́stica e o espaço nulo das matrizes  0 0 1  e  0 0 1 2  .
1 1 1
1 1 1 0
122. Para cada uma das matrizes do exercı́cio 73:
- indique a caracterı́stica e a nulidade;
- determine uma base para o espaço das linhas e uma base para o espaço das colunas.


1 −α
2
123. Considere a matriz A =  α −1 3α − 1  , onde α é um parâmetro real. Determine para
1 −1
3
que valores de α a caracterı́stica de A é, respectivamente, 1, 2 e 3. Em cada caso, determine
bases para o espaço das colunas e para o espaço nulo de A.


1 2α 1
1 α .
124. A mesma pergunta agora para a matriz A =  α
0
1 α
125. Considere os seguintes vectores de R3 :
v1 = (1, α, 1),
v2 = (1, α − 1, 1)
v3 = (1, α + 1, 1),
v4 = (α, 1, 1).
Determine os valores de α ∈ R para os quais o subespaço gerado por estes quatro vectores tem
dimensão 2.
126. Construa uma matriz cujo espaço nulo seja gerado pelo vector (1, 0, 1).
127. Existirá uma matriz cujo espaço das linhas contenha o vector (1, 1, 1) e cujo espaço nulo
contenha o vector (1, 0, 0)?
128. Se A for uma matriz 64×17 com caracterı́stica 11, quantos vectores linearmente independentes
satisfazem Ax = 0? E quantos vectores linearmente independentes satisfazem AT y = 0?
129. Será verdade que para qualquer matriz A se tem nul(A) = nul(AT )?
130. Seja A n × n. Prove que, se A2 = A e car(A) = n, então A = I.
131. Escreva na forma uv T as seguintes matrizes de caracterı́stica 1:




2
1
1
·
¸
1 0 0 3
 4
2
2 
2 −2
.

 0 0 0 0 ;
;
 8
4
4 
2 −2
2 0 0 6
−2 −1 −1
132. Prove que, se uma matriz quadrada A satisfaz A2 = A, então N (A) ∩ C(A) = {0}.
IV. Transformações Lineares
133. Para cada uma das seguintes aplicações, diga se é ou não linear.
(a) T :
R2
−→
R2
(x, y) → (x + 1, y)
(b) T :
R2
−→
R2
(x, y) → (x, y 2 )
(c) T :
R3
−→
R2
(x, y, z) → (2x, y + z)
(d) T :
R2
−→
R3
(x, y) → (x − y, 1, x)
(e) T :
R3
−→
R3
(x, y, z) → (x, 3x − y + z, 0)
(f) T : CC −→ CC
z
→
z
134. Sejam T e P as aplicações de R2 em R2 definidas por T (x, y) = (y, x) e P (x, y) = (x, 0).
(a) Prove que T e P são lineares.
(b) Descreva T e P geometricamente.
135. Mostre que toda a aplicação linear transforma conjuntos linearmente dependentes em conjuntos
linearmente dependentes.
136. Será verdade que toda a aplicação linear transforma conjuntos linearmente independentes em
conjuntos linearmente independentes?
137. Seja T : R3 −→ R2 a transformação linear definida por
T (1, 0, 0) = (1, 3),
T (0, 1, 0) = (3, 1)
e T (0, 0, 1) = (1, −1).
(a) Determine T (1, 2, 3).
(b) Determine os vectores (x, y, z) de R3 tais que T (x, y, z) = (1, 2).
138. Seja T : R3 −→ R2 definida por T (1, 1, 1) = (1, 2), T (1, 1, 0) = (2, 1) e T (1, 0, 0) = (1, −1).
Determine T (1, −1, 1) e T (−1, 1, −1).
139. Diga, justificando, se existe alguma transformação linear T : R2 −→ R2 tal que
T (1, 1) = (1, 0),
T (2, −1) = (0, 1)
e T (8, −5) = (4, 7).
140. Para cada uma das transformações lineares encontradas no exercı́cio 124, calcule uma matriz
A tal que T (v) = Av para todo o v (escrito como matriz coluna) do domı́nio.
141. Escreva a matriz da transformação linear T : R3 −→ R3 definida por
T (x, y, z) = (2x − y − z, 2y − x − z, 2z − x − y).
relativamente à:
(a) base canónica;
(b) base {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}.
142. Determine a matriz que representa a transformação linear T : R3 −→ R2 definida por
T (x, y, z) = (x+y, x−z) relativamente às bases {(1, 0, −1), (1, 2, 1), (−1, 1, 1)} e {(1, −1), (2, −1)}.
143. Sejam {e1 , e2 , e3 , e4 } uma base de R4 e f : R4 −→ R4

1
 3
M (f ; {e1 , e2 , e3 , e4 }) = 
 2
1
uma transformação linear tal que

2
0 1
0 −1 2 
.
5
3 1 
2
1 3
(a) Determine M (f ; {e1 , e3 , e2 , e4 }).
(b) Determine M (f ; {e1 , e1 + e2 , e1 + e2 + e3 , e1 + e2 + e3 + e4 }).