colégio israelita brasileiro *a

LISTA DE ESPECÍFICA PUC - 3º Período
Data:
Aluno (a):
1.
Considere
Nota:
Série: 3ª
Ensino Médio
Turma:
Equipe de Ensino Médio
o
polinômio
cúbico
imagens do interior do objeto.
No esquema indicado na figura, uma fonte de
raios X está sendo usada para mapear o ponto
P, que está no interior de um objeto circular
centrado na origem O de um plano cartesiano.
O raio X que passa por P se encontra também
nesse plano. A distância entre P e a origem O
do sistema de coordenadas é igual a 6.
3
p(x)  x  3x  a, onde a é um número real.
a) No caso em que p(1)  0, determine os
valores de x para os quais a matriz A abaixo
não é invertível.
 x 1 0
A  0 x 1
a 3 x 
b) Seja b um número real não nulo e i a
unidade imaginária, isto é, i2  1. Se o número
complexo z  2  bi é uma raiz de p(x),
determine o valor de | z | .
a) Calcule as coordenadas (x, y) do ponto P.
2.
Seja Z um número complexo tal que
possui
argumento
log3 (2Z  2Z  1)  2.
igual
3π
4
a
Determine
o
2Z
b) Determine a equação reduzida da reta que
contém o segmento que representa o raio X da
figura.
Zi
e
5.
número
Seja (a,b,c,d) uma progressão geométrica
(PG) de números reais, com
complexo Z.
razão q  0 e a  0.
3. Resolva os três itens abaixo.
a) Calcule cos 3π 8 e sen 3π 8 .
b)
Dado
o
número
a) Mostre que x  
complexo
cúbico p(x)  a  bx  cx2  dx3 .
z  2  2  i 2  2, encontre o menor inteiro
b) Sejam e e f números reais quaisquer e
considere o sistema linear nas variáveis x e y,
n
n  0 para o qual z seja real.
c) Encontre um polinômio de coeficientes
inteiros que possua z como raiz e que não
possua raiz real.
 a c  x   e 

     . Determine para que valores da
 d b  y   f 
razão q esse tem solução única.
4.
Um tomógrafo mapeia o interior de um
objeto por meio da interação de feixes de raios
X com as diferentes partes e constituições
desse objeto. Após atravessar o objeto, a
informação do que ocorreu com cada raio X é
registrada em um detector, o que possibilita,
posteriormente, a geração de
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1
é uma raiz do polinômio
q
6.
Considere
5
4
o
3
polinômio
2
p(x)  16x  48x  40x  120x  9x  27.
a) Sabendo que p(x) possui uma raiz r natural
menor que 5 , determine r .
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b) Determine o polinômio q(x) 
c)
9. Considere os pontos z1, z2 e z3 , indicados
p(x)
.
x r
Determine todas as raízes de
no plano complexo abaixo, e que correspondem
às raízes cúbicas de 1.
q(x),
especificando suas multiplicidades.
7. O polinômio p(x)  x3  2x2  9x  18 tem três
raízes: r, –r e s.
a) Determine os valores de r e s.
b) Calcule p(z) para z = 1+i, onde i é a unidade
imaginária.
8.
Observe o gráfico da função polinomial de
em
definida por P(x)  2x3  6x2  3x  2.
a) Qual é o menor inteiro n  1, de modo que
 z2 n  1?
Justifique sua resposta.
b) Calcule  z3 
100
10.
.
Considere
o
polinômio
p( x )  x 2  11x  k  2, em que x é variável real e
k um parâmetro fixo, também real.
a) Para qual valor do parâmetro k o resto do
quociente de p(x) por x – 1 é igual a 3?
b) Supondo, agora, k = 4, e sabendo que a e b
são raízes de p(x), calcule o valor de
Determine o conjunto solução da inequação
π π
sen    .
a b
P(x)  0.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
a) Se p(1)  0, pode-se escrever:
Resposta da questão 3:
a) cos
p(1)  1  3  a  0  a  2

Para que a matriz A não seja invertível, seu
determinante deve ser igual a zero. Assim,
pode-se escrever:
3π
 3π 
 cos  2 
4
8 

2
 3π 
2  3π 
 cos2 
  sen  8 
2
8




2
 3π  
 3π  
 cos2 
  1  cos2 


2
 8  
 8 
x 1 0
x 1
det A  0 x 1  0  x3  3x  2  0   x  1  x 2  x  2  2  2cos2  3 π   1
2 x  2  8 
a 3 x
 3π  2  2
cos2 
 4
b) Supondo como raízes do polinômio os
 8 
números 2  bi; 2  bi ; r, pode-se escrever:
2 2
 3π 
cos 

 2  bi  (2  bi)  r  0  r  4
8
2





Considerando 4 como raiz, pode-se deduzir o
valor de a :
 3π 
Calculando agora o valor do sen   :
 8 
64  12  a  0  a  52
 3π 
2  3π 
sen2 
  1  cos  8 
8




Fazendo o produto das três raízes (Relações
de Girard), pode-se escrever:
 2  bi  (2  bi)  ( 4)  52  4  b2  13
 2 2 

sen 
 1 



2
 8 


Assim, | z | será:
 3π  2  2
sen2 
 4
 8 
2  3π 
| z || 2  bi | 4  b2 | z | 13
 3π 
sen 

 8 
Resposta da questão 2:
Considerando Z como um número complexo
qualquer de forma a  bi, pode-se escrever:
2
2 2
2
b) Teremos:
log3 (2Z  2Z  1)  2  2Z  2Z  1  32  2  (a  bi)  2  (a  bi)  8  2a  8  a  4
Substituindo:
2Z
Zi

2  (2  bi) 4  2bi b  2i 4b  8i  2b2i  4b 8b  8i  2b2i  8b   8  2b2 





i

(2  bi)  i
b  2i b  2i
b2  4
b2  4
 b2  4   b2  4 
Sabendo que o argumento de Z é igual a
conclui-se que
8  2b2
b2  4
3π
,
4
 0, portanto, | b | 2.
a  2 2 e b  2 2
ρz  a2  b2 , logo,
Substituindo:
 2b2  8 
 2Z 
2 b2 2 4b2  4 2
arg 
 0 ρz  2.
  1  2b2  8  8b  2b2  8b ρ8z 0 
  arctg 

8b
 Zi 


2
b
  4  4  1 4    32  22  22  2
tgθz  , logo,
a
b  2  2 2 (não convém, pois | b | 2)
4  4 2
b

2 2
2
tgθz 
.
b  2  2 2
2 2
Portanto Z será igual a:


Do item [A], temos:
Z  2  2  2 2 i
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tgθz  tg
3π
3π
ou θz 
.
8
8
b) Sendo BOP  60, temos POA  90  60  30
e, portanto, OAP  75. Daí, segue que
OP  OA  6 e, assim, A  (0, 6).
Assim, na forma trigonométrica, temos:
3π
3π 

z  ρz  cos θz  i sen θz   z  2  cos
 i sen

8
8 


 3π 
 3π 
zn  2n cos  n
  i sen  n 8   .
8





3
π


Se zn é real: sen  n
0 
8 

3π
8
3π
n
8
3π
n
8
3π
n
8
n
y6 
3 3 6
 (x  0)  y  ( 3  2)x  6.
30
Resposta da questão 5:
a) Tem-se que b  aq, c  aq2 e d  aq3 . Logo,
vem
 0 (não convém, pois n > 0)
8
(não convém, pois n  z)
3
16
 2π  n =
(não convém, pois n  z)
3
Portanto, a equação reduzida da reta AP é
π  n
 3π  n  8
2
3
 n1 =
 8.
 1
 1
 1
resposta:
p     a  aq     aq2     aq3   
 q
 q
 q
 q
 aaaa
 0.
Por conseguinte, x  
c) Do item [B], concluímos que zn é real para n
= 8 ou n = 16, ou n = 24, etc.
Supondo n = 8, temos:
1
é uma raiz do
q
polinômio p(x).

 3n π
 3π  
zn  2n cos 
  i sen  n 8   .
8





b) De (a), obtemos
z8  28 cos  3 π   i sen  3 π   z8  256.
 a
 a c  x   e 

       3
 d b  y   f 
 aq
Logo, o polinômio procurado é: z8  256  0.
aq2   x   e 
     .
aq   y   f 
Sabendo que a  0, q  0 e q  , o sistema
terá solução única se, e somente se,
Resposta da questão 4:
Considere a figura, em que A e B são,
respectivamente, os pontos de interseção do
raio X com o eixo das ordenadas e o eixo das
abscissas.
a
3
aq
aq2
 0  a2 q  a2q5  0
aq
 a2 q(1  q2 )(1  q2 )  0.
Portanto, além de q  0, deve-se ter q  1.
Resposta da questão 6:
Fatorando p, encontramos
p(x)  16x5  48x 4  40x 3  120x 2  9x  27
 16x 4 (x  3)  40x 2 (x  3)  9(x  3)
 (x  3)(16x 4  40x 2  9)
a) O ponto P é a imagem do número complexo
de módulo 6 e argumento
π
rad. Desse modo,
3
9 
1

 16(x  3)  x 2   x 2  

4 
4
3 
3 
1 
1

 16(x  3)  x   x   x   x   .

2 
2 
2 
2
tem-se que
π
π

P   6  cos , 6sen   (3, 3 3).
3
3

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1
2
Portanto, as raízes de p são  , 
-4-
3
e 3.
2
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a) Como 3 é a única raiz natural menor do que
5, segue que r  3.
b) Sendo
3 
3 
1 
1

p(x)  16(x  3)  x   x   x   x   e

2 
2 
2 
2
r  3,
vem
p(x)
x3
3 
3 
1 
1

 16  x   x   x   x   .

2 
2 
2 
2
q(x) 
3
2
Portanto, a solução da inequação será dada
1 1
3
e , todas de
2 2
2
c) As raízes de q são  ,  ,


por S  x 
multiplicidade um.


Resposta da questão 7:
a) Fatorando p(x), obtemos
/

1 3
1 3

x
ou x  2.
2
2


Resposta da questão 9:
a)
 z2 n   cos120  i.sen120n  cos n.120  i.sen(n.120),
p(x)  x3  2x2  9x  18
n deverá ser 3, pois
cos 3.120  i.sen 3.120  1.
 x2 (x  2)  9(x  2)
2
 (x  2)(x  9).
b)
 z3 100  cos(240)  i.sen(240)100  cos 2400  i.sen2400  cos240  i.sen240  z3.
Portanto, r  3 e s  2.
b) Se z  1 i, então z2  (1  i)2  2i. Logo,
Resposta da questão 10:
a) Utilizando o teorema do resto, temos:
p(z)  (1  i 2)(2i  9)
p 1  3
 2i2  9i  2i  9
 7  11i.
12 – 11.1  k  2  3
8  k  3
k  11
Resposta da questão 8:
O número 2 é raiz, pois p(2) = 0.
b) Fazendo k = 4, temos P(x) = x2 – 11x + 6
com raízes a e b, onde:
a + b = –(–11)/1 = 11 e a.b = 6/1 = 6
Dividindo p(x) por (x – 2), temos:
11π
1
π π
 (a  b).π 
sen     sen 
 sen


6
2
a b
 a.b 


Logo, P  x    x  2  2x2  2x  1
Onde suas raízes são x  2, x 
1 3
.
2
Resolvendo, agora a inequação P(x)  0
através do gráfico do polinômio P(x).
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