Lista - Resolvidas

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MAT 044 - ALGEBRA LINEAR I-A
PROF.: GLÓRIA MÁRCIA
1a LISTA DE EXERCÍCIOS
1) Sejam A, B e C matrizes inversíveis de mesma ordem, encontre a expressão
da matriz X , nos itens abaixo:
a) ABt X = C
b) AB + CX = I
c) (CB)-1 AX = I
d) (AB)t XC = I
2) Encontre a matriz LRFE de cada uma das seguintes matrizes:
1 4 0 0 


A = 2 2 1 0 ;
 0 0 0 1


1 - 1 0 
0 1 3
3 0






1 - 3 2 - 1 
 ; D =  2 1 - 4  ; F =  0 0 
B =  - 2 2 0  ; C = 
 2 - 1 2 - 2
0 1 0
2 3 3 
0 2






3) Descreva todas as possíveis matrizes 2 × 2 que estão na forma LRFE.
4) Considere A uma matriz quadrada de ordem n LRFE. Verifique a partir de
exemplos que, se A ≠ In então A possui pelo menos uma linha nula.
5) Verifique se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações;
a) Matrizes linha equivalentes possuem a mesma ordem
b) Qualquer que seja a matriz A, existe uma matriz M tal que A ~ M e M esta
na forma LRFE.
c) Toda matriz na forma LRFE é quadrada.
d) Toda matriz quadrada está na forma LRFE.
e) Uma matriz M está na forma LRFE se, e somente se, M é a identidade.
6) Verifique que toda matriz LRFE é triangular superior. Exiba um contra
exemplo para mostrar que a recíproca desta afirmação é verdadeira.
7) Considere as matrizes:
1 - 1 0 


1 0

0 

0 3 0


0 0 1 3


A =  0 0 1  ; E1 =  0 1 0 
e
1 0 1 


E2 =  0 1 0 
 0 0 1


a) Diga , justificando se E1 e E2 são matrizes elementares e, em caso
afirmativo, indique as operações elementares O1 e O2 que transformam a
matriz identidade de ordem 3 em E1 e E2 , respectivamente.
b) Calcule as matrizes B = E1 A , C = E2 B , D = E2 E1 A
c) Determine as matrizes F, G e H tais que F é obtida de A aplicando-se
nas linhas de A a operação elementar O1 do item a); G é obtida de B
aplicando-se nas linhas de A a operação elementar O2 do item a); e H
é obtida de A aplicando-se nas linhas de A a operação elementar O1 e
O2 , nesta ordem.
d) Compare as matrizes encontradas nos itens b) e c). Conclua sobre a
multiplicação de matrizes elementares à esquerda de uma matriz A e
aplicação de operações elementares nas linhas de A, correspondentes ás
matrizes elementares.
8) Determine o posto e a nulidade de cada uma das seguintes matrizes:
1 0 
1 0 0 




1 4 0 


0
1
 0 1 0 0
 1 - 4


0 1 0
 ; C = 
 ; D = 
; F= 
A =  0 0 1  ; B = 
0 0
0 0 1
0 0 0 1 
0 2 
0 0 0






1 2 
0 1 1 




9) Dê exemplos, se possível, de matrizes satisfazendo as condições dadas
abaixo.
OBS: N(A) = nulidade de A e p(A) = posto de A.
a) B2 × 3 , p(B) = 2 ;
b) C3 × 2 , p(C) = 3 ;
c) D2 × 4 , p(D) = 3;
f) H3, N(H) = 0;
g) J3, p(J) = 2.
d) F2 × 3 , N(F) = 2 ; e) G4 × 3 , N(G) = 0 ;
10) Verifique se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:
a) O posto de uma matriz é um número natural maior ou igual a zero e menor
ou igual ao número de linhas.
b) O posto de uma matriz é um número natural maior ou igual a zero e menor
ou igual ao número de colunas.
c) Se N ( A) = 2 e A2 × 3 , então a matriz B2 × 3 , tal que A~B e B está na
forma LRFE tem uma linha nula.
d) Se C é uma matriz quadrada de ordem 3 e possui uma linha nula, então
p(C ) = 2.
e) Se p(D) = 3 e Dn × m com n ≥ 3, então m ≤ 3.
11) Em cada um dos seguintes itens considere a matriz escalonada linha
equivalente à matriz ampliada de um sistema. A partir dessas matrizes, discuta
o sistema original e dê o conjunto-solução, quando for o caso.
 1 0 1 2 5


a)  0 1 2 1 3  ;
0 0 0 0 0


 1 0 0 3


b)  0 1 0 2  ;
0 0 1 2


 1 0 2 0


c)  0 1 3 0  ;
 0 0 0 1


 1 0 3 2

d) 
0 1 4 5
x − y − z = 4
c) 
x − y + z = 2
x + 2y - 3z = 0
d) 2x + 4y - 2z = 2
3x + 6y - 4z = 3

12) Resolva os seguintes sistemas
x + 2y − 2z = −6
x − y + 2z = 4

a) 3x + 2y − 2z = −2 b) 3x + y + 4z = 6
3x − 5z = −9
x + y + z = 1


13) Discuta em função de k os seguintes sistemas:
a)
− 4x + 3y = 2

5x − 4y = 0
2x − y = k

x + y − k z = 0
b) 
k x + y − z = 2
2x − 2y + k z = 2
c) 2x − y + k z = 3
x − k y + z = 0

 x + k z = −2
d) x − y − 2z = k
x + k y + 4z = −5

14) Determine os valores de a e b que tornam o seguinte sistema possível e
determinado
3x − 7y = a

x + y = b

5x + 3y = 5a + 2b
x + 2y = a + b − 1
15) Considere as seguintes matrizes inversíveis
 1 1 1


A =  1 − 1 1
0 1 2


 1 − 1 0


B = 0 1 0
 0 0 1


 1 2 1


C = 0 1 2
 1 1 1


a)Encontre a expressão de X tal que BAX = C
b)Determine, caso exista, a inversa da matriz X do item a)
 1 0 0


16) Mostre que a matriz A =  a 1 0  é inversível , ∀ a, b e c ∈ R e determine A-1
 b c 1


17) Considere a matriz
1 
1 1 1


B =  2 1 1 − 3  . Determine uma matriz N, LRFE; N ~B
1 2 −1 0 


e uma matriz inversível M de ordem 3 tal que N = MB.
18) Em que condições uma matriz diagonal é inversível? Qual é a sua inversa?
19) Verifique se as matrizes a seguir são inversíveis e, em caso afirmativo,
determine a inversa, usando escalonamento
 1 2

 2 2
a) 
 1 2 2


b)  0 1 2 
 1 3 4


2 1 - 1 


c)  5 2 - 3 
0 2 1 


d)
0

1
1

0

1

0 0 1
1 1 − 1

2 0 3 
0 1
20) Determine os valores de a e b para que as matrizes abaixo sejam inversíveis
 1 1 1


a)  2 1 2 
 1 2 a


a + 3

b)  − 1
 1

7
a−5
1
6 

−6 
a + 2 
21) Verifique se os conjuntos dados a seguir têm a estrutura de espaço
vetorial, com as operações dadas.
e
. : R x R2 → R 2
I. V1 = R 2 , + : R 2 x R 2 → R 2
 x + x 2 y1 + y 2 
( x1, y1) + ( x 2, y 2 ) =  1
,

2 
 2
II. V2 = M2 (R) ,
+ : M2 (R) x M2 (R) → M2 (R)
a.(x,y )= (ax,ay)
e
. : R x M2 (R) → M2 (R)
 x1 y1   x 2 y 2   x1 + x 2 y1 + y 2 

 + 
 = 

 z1 w1   z 2 w 2   z1 + z 2 w 1 + w 2 
III. V3 = R∗ ,
+ : R∗ x R ∗ → R ∗
 x y   ax y 

 = 
 z w   z aw 
a . 
. : R x R∗ → R∗
a . x = xa
e
x+y = x.y
22) Verifique em cada item a seguir se W é um subespaço vetorial de V.
I. V = R 3
a) W = {( x, y, z) ∈ R3 ; y ≤ 0}
b) W = {( x, y, z ) ∈ R3 ; x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1}
c) W = {( x, y, z) ∈ R3 ; z = 0}
d) W = Q3 ,Q o conjunto dos racionais.
f) W = {( x, y, z) ∈ R3 ; y = x 2 }
e) W = {( x, y, z) ∈ R3 ; x.y = 1}
II. V = Mn(R), n ≥ 2 .
b) W ={A ∈ V ; A é inversível}
a) W ={A ∈ V ; A é simétrica}
c )W ={A∈V ; A é não inversível} d) W ={A∈V ; A 2 = A}
III. V é o espaço vetorial de todas as funções f : R → R.
a) W = {f∈V; f(3) = 0}
b) W = {f∈V; f(7) = f(1)}
23) Verifique se o conjunto das soluções do sistema de equações lineares
de n incógnitas, AX = B, é subespaço vetorial de M n x1(R ), sendo:
a) B = 0 (sistema homogêneo).
b) B ≠ 0 (sistema não homogêneo).
24) Utilizando os resultados do exercício anterior, verifique se Wi é
subespaço vetorial de Vi , em cada item a seguir:
a) V1 = R3 , W1 = {( x, y, z) ∈ R3 ; x − y + z = 0}
b) V2 = R3 , W2 = {( x, y, z) ∈ R3 ; x − y − 1 = 0 e y + z = 0}
 x y 


 ∈ V3 ; x − y = 0 e z + w − 2 = 0
c) V3 = M2 (R) , W3 = 
 z w 

 x y 


 ∈ V4 ; x = y = 0 e z + w = 0
d) V4 = M2 (R) , W4 = 
 z w 

e) V5 = P3 (R) , W5 = {xt3 + yt 2 + zt + w ∈ V5 ; x − y − z = 0}
f) V6 = P2 (R) , W6 = {xt 2 + yt + z ∈ V6 ; x − z = 0}
RESPOSTAS
a) X = ( Bt )-1 A -1 C ; b) X = C-1( I – AB ) ; c) X = A-1CB ; d) X = [(ABt]-1 C-1
1)
2)
 0 0   0 1  1 0 
; 
; 
 e
 0 0   0 0   0 1
1 k

; k ∈ R ;
0 0
3) 
5) a) V; b) V; c) F; d) F; e) F
 1 2 0


6) A matriz  0 1 0  é triangular superior mas não é LRFE.
0 0 0


7)
a) E1 é matriz elementar pois é obtida da identidade I3 a partir da operação
1
3
elementar O1: L3 → L3
E2 é matriz elementar pois é obtida da identidade I3 a partir da operação elementar
O2: L1 → L1 + L3 .
b) B =
 1 − 1 0


 0 0 1 ;
0 1 0


C=
 1 0 0


 0 0 1 ;
0 1 0


D=C
c) F = B; G = H = C
d) Efetuar uma operação elementar sobre as linhas de uma matriz A é
equivalente a multiplicar à esquerda de A uma matriz elementar correspondente à
operação elementar aplicada.
8) p( A ) = 2 e N ( A ) = 1; p ( B ) = 2 = N ( B ); p( C ) = 2 e N( C ) = 0; p ( D ) = 2
e N( D ) = 0, p( E ) 3 e N( E ) = 0
 1 0 0
 ;
0 1 0
9) a) B = 
e) G =
1

0
0

0

0 0

1 0
;
0 1

0 0 
b) impossível;
c) impossível;
 1 0 0


f) H =  0 1 0  ;
 0 0 1


 1 0 0
 ;
0 0 0
d) F= 
 1 0 0


g) J =  0 1 0 
0 0 0


OBS: Estes exemplos não são únicos
10) a) V; b) V; c) V; d) F; e) F
11) a) Sistema possível e indeterminado com duas variáveis livres
S = { ( x, y, z, w) ∈ R4; x = 5 − z − 2w e y = 3 −2z −w }
b) Sistema possível e determinado S = { ( 3, 2, 2 ) }
c) Sistema impossível
d) Sistema possível e indeterminado com uma variável livre
S = { ( x, y, z ) ∈ R3; x = 2 − 3z e y = 5 −4z }
12) a) S = { ( 2, −1, 3 ) };
b) S = ( x, y, z ) ∈ R3 ; x =

3
c)S = { ( x, y, z ) ∈ R ; x = y + 3 e z = − 1 } ;
5 − 3z
z − 3
e y=
;
2
2 
d)
13)
a) Se k = −6, então o sistema é possível determinado e S = { (−8, −10)}. Se k ≠
−6, o sistema é impossível.
b) Se k ≠ 1, então o sistema é possível e indeterminado. Se k = 1, o sistema é
impossível.
c) Se k ≠ 2, o sistema é possível, determinado e S = { ( k +2, 1, −2 ) }. Se k = 2, o
sistema é indeterminado.
d) Se k ≠1 e k ≠ −4 então o sistema é possível e determinado. Se k = −4, o
sistema é impossível .
Se k = 1, o sistema é possível, indeterminado e S = { (x,y,z) ∈R3; x = −z−2 e
y = −3z−3 ) }.
14) a = 2 e b = 4.
a) X = A-1B-1C;
15)
16)
17)
0 0
 1


A =  −a
1 0
 ac − b − c 1 


1
0
0
−
4




N =  0 1 0 3 ;
0 0 1 2 


 − 1/ 2

b) X−1 =  0
 1/ 2

5 / 2

1 −2 
− 1 3 / 2 
1
-1
1
0 
−1


M =  1 − 2 / 3 1/ 3 
 1 − 1/ 3 − 1/ 3


18) Uma matriz diagonal A = (aij )nxn é inversível sss aii ≠ 0 para todo i = 1, 2,...n. A
inversa de A é a matriz B = (bij )nxn tal que bii =
1 
−1
;
1
−
1
/ 2 

19) a) 
b) Não é inversível;
1
para todo i = 1, 2,...n.
aii
2 − 1
− 2 7


 8 - 3 - 1


3
1 −3 −3 3
c)  - 5 2 1 ; d) 
9 7 − 2 2 − 1
10 - 4 - 1




 2
2 − 2 1 

20) a) a ≠ 1; b ) Não existe a;
21) I. V1 não é espaço vetorial (a propriedade associativa da + não é válida).
II. V2 não é espaço vetorial ( (a + b).v ≠ a.v + b.v ) .
III. V3 é espaço vetorial. O elemento neutro é 1 e o oposto de x é x −1
( x + 1 = x.1 = x e x + x −1 = x.x −1 = 1 ) .
22) . I. a)Não. Contra-exemplo: (-2).(1,-2,3)=(-2,4,-6) ∉W.
b) " . "
" : (0,1,0)+(1,0,0)=(1,1,0) ∉ W.
c)Sim.
d)Não. Contra-exemplo: 2 .(1,2,3) ∉ Q 3 .
e)Não. Contra-exemplo: (1,1,0)+(-1,-1,0)=(0,0,0) ∉W.
f) " . "
" : (2,4,0)+(-3,9,0)=(-1,13,0) ∉W.
II. a) Sim.
1 0   − 1 0   0 0 
 + 
 =   ∉ W .
 0 1  0 − 1   0 0 
 1 0   0 0  1 0 
c) Não. Contra-exemplo:   +   =   ∉ W .
 0 0   0 1   0 1
b) Não. Contra-exemplo: 
d) Não, pois se A e B pertencem a W, não necessariamente A+B
pertencerá a W, visto que: ( A + B)2 = A 2 + A.B + B.A + B2 .
III. a) Sim
b) Sim.
23) Será resolvida em sala de aula .
24) Os itens a, d, e e f são subespaços, pois as equações que os caracterizam
formam sist. lineares homogêneos. Já os itens b e c, não são subespaços,
porque as equações que os caracterizam formam sist. lineares não homogêneos.