Oitava Lista - Indutância e circuitos

Oitava Lista - Indutância e circuitos
FGE211 - Fı́sica III
Sumário
• A indutância de um elemento de circuito é definida como:
L=
dΦB
.
di
• A partir da lei de Faraday, a fem induzida pode ser escrita em termos
da indutância como:
di
ε = −L .
dt
• A indutância mútua entre dois elementos de circuito distintos pode
ser escrita como:
dΦij
Mij =
,
dij
onde Mij é a indutância do elemento i devido ao elemento j e Φij o
fluxo magnético no elemento i devido ao elemento j. Pode ser mostrado que:
Mij = Mji = M.
• A energia magnética armazenada em um indutor de indutância L
por onde passa uma corrente i é:
1
UB = Li2 .
2
• Em termos do campo magnético, a densidade de energia magnética
pode ser escrita como:
B2
uB =
.
2µ0
Dicas para resolução de problemas: calcular a autoindutância
A auto-indutância de um indutor pode ser calculada seguindo os passos
abaixo:
1
1. Assuma que há uma corrente estacionária i passando pelo indutor.
2. Escolha uma seção transversal S apropriada e calcule o fluxo magnético
através dessa superfı́cie. Se a superfı́cie estiver relacionada com N
voltas do fio, então multiplique o fluxo por N .
3. A indutância pode ser obtida a partir de:
L=N
dΦB
.
di
Questões conceituais
1. Como você moldaria um fio de comprimento fixo para obter a menor
e a maior indutância?
2. Se o fio que compõe um solenóide é desenrolado e enrolado novamente
em um solenóide com um diâmetro 3 vezes maior, por qual fator a
indutância mudaria?
3. Quais analogias podem ser feitas entre um solenóide ideal e um capacitor de placas paralelas?
4. Explique fisicamente porque a constante de tempo τ = L/R em um
circuito RL é proporcional a L e inversamente proporcional a R.
Problemas
1. Solenóide
Obtenha a indutância de um solenóide de comprimento H e raio a que
contêm n espiras por unidade de comprimento.
2. Toróide
Considere um toróide quadrado de raio interno a, raio externo b e
altura h como mostrado na figura 1.
(a) Calcule a auto-indutância do toróide.
(b) Calcule a energia magnética armazenada no toróide a partir da
indutância.
(c) Alternativamente, calcule a densidade de energia magnética armazenada no toróide a partir do campo magnético e, em seguida,
obtenha a energia magnética. Compare com o item (b).
2
Figura 1: Um toróide com N espiras.
3. Energia magnética
Considere um fio de raio R e comprimento l por onde passa uma
corrente i distribuı́da uniformemente sobre sua seção transversal. Qual
a energia magnética armazenada dentro do fio?
4. Indutância mútua
Um fio infinito por onde passa uma corrente constante i é colocado a
direita de um anel retangular de largura w e altura l como mostra a
figura 2. Qual a indutância mútua do sistema?
Figura 2: Anel retangular colocado perto de um fio infinito por onde passa
uma corrente i.
5. Dois solenóides longos
Considere dois solenóides longos co-axiais de raio R1 e R2 tal que
R2 > R1 . Sejam n1 e n2 o número de espiras por unidade de comprimento de cada um do solenóides e considere que ambos tem o mesmo
comprimento l. Qual a indutância mútua do sistema?
3
6. Dois fios compridos
Dois fios compridos paralelos, cada um de raio a, cujos centros estão
separados por uma distância d, são percorridos por correntes iguais
mas de sinais opostos. Mostre que, desprezando o fluxo dentro dos
próprios fios, a indutância para um comprimento l do par de fios pode
ser escrita como
µ0 l
d−a
L=
.
ln
π
a
7. Circuito RC
Determine a solução particular para a corrente de um circuito RC
submetido a uma fonte alternada V (t) = V0 sin ωt.
4