Lista 12

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
COLÉGIO DE APLICAÇÃO - INSTITUTO DE MATEMÁTICA
OFICINAS DE ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA
LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO EM MATEMÁTICA
‘
Responsáveis:
Prof. Luiz Davi Mazzei, Profa Simone Cruz, Profa. Fabiana Serres, Prof . Marcus Basso,
Acadêmicos: Andressa Pizzinato, Guiherme Guedes, Jordana Donelli, Marcelo Anjos, Paola Rossato e Walter Haselein
Lista 12 – Análise Combinatória e Probabilidade
1)
No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de se obter, com as faces voltadas para cima, a soma
dos pontos ser igual a 5?
Como temos 6 possibilidades de pontos para o primeiro dado e 6 possibilidades de ponto para o segundo dado,
teremos que: n(EA) = 36. E = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)} então n(E) = 4, portanto P(A) =
2)
Uma urna contém bolas coloridas. Retirando-se uma bola dessa urna, a probabilidade de se obter uma
bola vermelha é 0,64. Qual a probabilidade de se obter uma bola que não seja vermelha?
Seja A, que será o nosso evento formado pelas bolas vermelhas, e B o evento B, que será o evento formado
pelas bolas não vermelhas. Sabemos que p(A) + p(B) = 1. Portanto p(B) + 0,64 =1, então p(B) = 0,36.
3)
Uma urna contém cinco bolas vermelhas, três bolas azuis e quatro bolas brancas. Retira-se, ao acaso,
uma bola da urna. Qual a probabilidade de sair uma bola vermelha ou uma bola azul?
Sabemos que na urna há 12 bolas, portanto n(EA) = 12, total de bolas, Chamaremos E1 o evento que contém
as bolas vermelhas e chamaremos de E2 o evento que contém as bolas azuis. Há cinco bolas vermelhas e três
bolas azuis na urna, logo n(E1) = 5 e (primeiro evento  tirar uma bola da urna que seja vermelha), n(E2) = 3
(segundo evento tirar uma bola da urna que seja azul),.Como queremos saber a probabilidade de retirar uma
bola vermelha ou uma bola azul da urna, então
=
.
4)
Uma cartola contém 7 coelhos, donde 4 são pintados de azul e 3 são pintados de vermelho. Retira-se ao
acaso um coelho da cartola, registra-se sua cor e o repõe na cartola. A seguir retira-se, novamente ao acaso, um
coelho da cartola e registra-se sua cor. Calcule a probabilidade de:
Sabemos que n(EA) = 7
a)
Sair um coelho azul e depois um vermelho; n(A) = 4 e n(B) = 3 então p(C) =
b)
Sair coelhos de cores diferentes; Primeiro caso: primeiro coelho sair azul depois sair vermelho: p(C) =
e o segundo caso: o primeiro coelho sair vermelho e depois sair azul: p(D) =
. COmo temos
dois casos distintos somamos os resultados: p(DUC) =
5)
Em um refeitório há doces e salgados. Cada pessoa receberá um recipiente com 3 doces, dos 8
tipos disponíveis e apenas 2 salgados, dos 7 tipos produzidos. Quantas são as diferentes possibilidades
de preenchimento do recipiente?
Estamos trabalhando com combinação simples, pois não importa a ordem de preenchimento dos
recipientes, o número de possibilidades de escolhermos três doces diferentes é C8, 3 =
Site: http://matematicao.mat.ufrgs.br/assessorias/2012/oem3_122/
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e o número de possibilidades de escolhermos dois salgados diferentes é C7, 2 =
= 21, Logo, pelo principio multiplicativo, o número total de possibilidades de preenchermos será
dado pelo produto de 56 por 21: 21.56 = 1176 diferentes possibilidades de preenchimento do
recipiente.
6)
Um certo número de pessoas pode ser agrupado de duas em duas pessoas, não importando a
ordem das mesmas, resultando em 10 diferentes possibilidades de agrupamento. Quantas pessoas
fazem parte deste grupo?
Como a ordem de posicionamento das pessoas é irrelevante, estamos falando de combinação simples.
Então temos que resolver a equação, ou seja:
–
Cn, 2 =
. Portanto, fazem parte desse grupo 5 pessoas, pois o número de pessoas não pode
ser negativo..
7)
Dados três dados iguais enfileirados, de quantas formas podemos combinar as suas faces
voltadas para cima?
Quando temos apenas 1 dado, temos um total de 6 resultados possíveis. Quando temos 2 dados, cada
um dos 6 resultados possíveis de um dos dados, pode ser combinado com cada um dos 6 resultados
possíveis do outro dado, resultando, então, em 36 resultados possíveis. Como temos 3 dados, as 36
possibilidades combinadas dos outros 2 dados, combinadas às 6 possibilidades do terceiro dado
resultarão em 216 resultados. Em outras palavras, pelo princípio multiplicativo temos: 6 . 6 . 6 = 216
possíveis agrupamentos.
8)
Em uma prova com 10 questões e cinco alternativas por questão, de quantas maneiras
diferentes um aluno poderá marcar as respostas de toda a prova?
Cada questão da prova tem 5 alternativas para marcar. Então para a primeira questão temos 5
alternativas possíveis, para a segunda questão também teremos cinco possíveis alternativas e assim
sucessivamente. Usamos o principio multiplicativo, pois para cada alternativa que marcamos na
questão 1, temos 5 possibilidades para questão 2,e cada alternativa marcada da questão 2 teremos as 5
possibilidades para questão 3 e assim por diante até a questão 10. Logo temos 5.5.5.5.5.5.5.5.5.5=510
possíveis marcações de respostas diferentes.
9)
Verifique qual a alternativa correta e justifique:
a)
10!=8!+2!
10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 8.7.6.5.4.3.2.1 + 2.1
3.628.800 = 40320 + 2
3.628.800 = 40322, logo podemos ver que não são iguais;
b)
10!= 2!5! 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 120 + 2
3.628.800 = 122
logo podemos ver que não
são iguais;
c)
10!= 12!-2!
10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 – 2.1
3.628.800 =
479.001.600 – 2
3.628.800 = 479.001.598
logo podemos ver que não são iguais
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Acadêmicos: Andressa Pizzinato, Guiherme Guedes, Jordana Donelli, Marcelo Anjos, Paola Rossato e Walter Haselein
d)
10!=10x9x8!
portanto são iguais;
10)
10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 =10.9.8!
10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
Considere a Palavra PERNAMBUCO. Quantos anagramas:
a)
Podemos formar? Com 10 letras distintas, que trocam de posição entre si, temos: 10! =
3.628.800 anagramas
b)
Começam com a letra P? Como ocupamos 1 letra na primeira posição, restam 9 letras para
permutar, ou seja, para trocar posição, logo temos 9! = 362880 anagramas.
c)
Começam com PER, nessa ordem? Como ocupamos as 3 letras nas 3 primeiras posições,
restam 7 letras para permutar, ou seja, para trocar posição, logo temos 1.7! = 5040 anagramas.
d)
Possuem a silaba PER? Considerando a silaba PER como se fosse uma única letra, temos oito
letras para permutar, assim 8! = 40320 anagramas.
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