Aula 3 - Faculdades Integradas Campos Salles

Faculdades Integradas Campos Salles
Aula 3 – Funções: Introdução, Par ordenado, Plano Cartesiano, Relações, Domínio, Contradomínio
e Imagem.
Introdução
Em diversas situações envolvendo duas variáveis, o valor de uma delas depende da outra.
Assim, por exemplo, o valor de uma conta de energia elétrica depende da quantidade consumida,
o imposto de renda de uma pessoa depende do rendimento tributável entre outros.
Grande parte das relações apresenta a propriedade de que a cada valor de uma variável
corresponde um único valor da outra; essas relações são chamadas funções.
Definição de função
Dados dois conjuntos A e B, uma função f de A em B, é toda relação que cada elemento
de A corresponde um único elemento de B, e podemos indicar por f: AB.
A relação ente os conjuntos A e B é dada através de uma regra de associação expressa
na forma y = f(x).
Essa regra diz, que o elemento x A, chamado de variável independente, está relacionado
de modo único ao elemento y = f(x) B, chamado de variável dependente.
O conjunto A é chamado domínio e indicamos A = Dom (f) e o conjunto B, de
contradomínio. O conjunto imagem, indicado como Im(f) é o conjunto dos elementos de B aos
quais foram associados elementos de A, isto é, Im (f) = { y B / y = f(x) para algum x A}.
O número y B, y = f(x) recebe o nome de valor da função f no ponto x.
Exemplo 1 – Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = { 2, 3, 4, 5} e consideremos a relação que a
cada elemento x de A se associa um elemento y em B tal que y = x + 1.
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Além do diagrama de flechas podemos representar essa relação por meio do plano cartesiano.
Plano Cartesiano
A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x) e a reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y).
Localização do ponto no plano
Podemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano.
Exemplos:
A (3, 5) ==> 3 e 5 são as coordenadas do ponto A.
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Os números do par ordenados são chamados de coordenadas cartesianas.
Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par.
Assim:
(1, 2)
2º elemento -ordenada
Coordenadas cartesianas
1º elemento – abscissa
Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos uma seqüência prática:
• O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas.
• O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas.
Exemplo: Localize o ponto A (4, 3)
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O gráfico de uma função é o conjunto dos pontos que representam os pares ordenados (x,y) da
função em que x é um elemento do domínio de y a sua imagem.
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Vamos analisar a relação dos conjuntos A = {1, 2} e B = {2, 3, 4} e seja a relação que cada
elemento x de A se associa um elemento y em B tal que y > x.
Ao elemento 1 estão associados os valores 2, 3 e 4.
Ao elemento 2 estão associados os valores 3 e 4.
O diagrama de flechas da relação é dado abaixo na figura. Notemos que tal relação não é uma
função, pois a cada elemento de A se associa vários elementos de B.
Seja a função cuja imagem é dada por f(x) = 2x, em que o domínio é o conjunto A ={1, 2, 3, ..., n,
...} e o contradomínio é o conjunto dos números reais.
Temos: f(1) = 2
f(2) = 4
f(3) = 6
...
f(n) = 2n
...
Portanto, o conjunto imagem é Im = { 2, 4, 6, ..., 2n, ...}. O gráfico é dado pela figura 2.5, e
podemos verificar que os pontos do gráfico estão alinhados.
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Caso tivéssemos uma função definida pela mesma sentença f(x) = 2x, mas com domínio A = R, o
gráfico seria formado por todos os pontos da reta da figura 2.6
Observação: Geralmente, quando não explicitado, o contradomínio é o conjunto formado por todos os
números reais (conjunto R).
Exemplo real:
Referências:
Notas de aula Prof. Leônidas Sandoval.
Notas de aula Profas. Miua Tanaka, Fernanda Bonafini e Maria Aparecida (Nivelamento).
IEZZI, G.,MURAKAMI, C. Fundamentos da Matemática elementar. São Paulo: Atual, 1985.
Pares Ordenados e Produto cartesiano. Disponível em:
http://www.somatematica.com.br/fundam/paresord.php - , Acesso em: 04 janeiro 2012.
Funçãoes. Disponível em: http://www.uapi.ufpi.br/conteudo/disciplinas/matematica/download/unidade2.pdf
- Acessado em: 04 janeiro 2012.
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