Tabela 1.1 – Pares ordenados que satisfazem a relação dada

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – CCE
NOTAS DE AULA DO DISCIPLINA MATEMÁTICA D
CURSO DE MEDICINA VETERINÁRIA – 3MAT027
Prof. Paulo Laerte Natti – Depto de Matemática sala 318B
CAPÍTULO 1: FUNÇÕES E GRÁFICO DE FUNÇÕES
1.1. Plano cartesiano
Considere que estamos interessados na relação existente entre a temperatura corporal e a
freqüência cardíaca. Considere que estas quantidades podem ser medidas com grande
exatidão. A temperatura corporal t (em graus Celsius) varia de 35ºC nas pessoas saudáveis
até 41ºC nas pessoas doentes, enquanto a freqüência de pulsação f (em ciclos por minuto)
varia entre 50 e 150 batidas por minuto. Ambas quantidades variam continuamente entre
seus respectivos extremos. Temos portanto, um conjunto A para os valores possíveis de
temperatura e um conjunto B para os valores possíveis de freqüência cardíaca, ou seja,
A  {t | 35  t  41} e
B  { f | 50  f  150} .
Observe que deve haver uma relação matemática (fórmula) , tal que para cada temperatura
corporal t existe uma freqüência cardíaca f correspondente. Logo, combinando os
valores possíveis da temperatura corporal com os correspondentes valores possíveis para a
freqüência cardíaca, definimos as quantidades (t , f ) , as quais chamamos pares ordenados.
Observe que um par ( x, y ) é ordenado, se podemos distinguir (a, b) de (b, a) , ou seja, em
nosso exemplo acima podemos dizer que para a temperatura 37ºC a freqüência
correspondente é de 100 batidas por minuto por exemplo, situação que pode ser
representada pelo par ordenado (37,100) . Por outro lado, o par ordenado (100,37),
corresponde a uma situação absurda, ou seja, para uma temperatura corporal de 100ºC a
freqüência cardíaca correspondente seria de 37 batidas por minuto. Neste sentido o par
(t , f ) é ordenado.
O plano cartesiano é uma construção geométrica, a partir da qual podemos melhor
“visualizar” as relações entre duas quantidades através de uma representação gráfica. O
plano cartesiano consiste de dois eixos perpendiculares que se interceptam no ponto “de
coordenadas” (0,0) . Observe que estamos também utilizando o termo coordenadas para
designar pares ordenados. O primeiro número do par ordenado é chamado abcissa,
enquanto o segundo número é chamado ordenada. Cada par ordenado é representado por
um ponto no plano cartesiano, em particular o ponto (0,0) é chamado de origem do
sistema de coordenadas. Desta forma podemos representar graficamente relações entre duas
quantidades. Na figura 1.1 vemos a relação entre as quantidades x e y ,
d
c
a
b
Figura 1.1 – O gráfico representa uma relação existente entre as quantidades x e y .
Observe que para o valor de abcissa x  a corresponde o valor de ordenada y  c .
Normalmente, uma relação entre duas quantidades pode ser representada por uma relação
matemática. Por exemplo,
y  2x  3
(1.1)
que admite um número infinito de pares ordenados ( x, y ) como solução. Dentre eles
citamos:
Abcissa , ordenada
x=0 => y=3
x=1 => y=5
x=-1 => y=1
x=2 => y=7
............
Par ordenados
(0,3)
(1,5)
(-1,1)
(2,7)
..........
Tabela 1.1 – Pares ordenados que satisfazem a relação dada pela equação 1.1
O conjunto de pares ordenados que satisfazem a equação (1.1) podem ser representados no
plano cartesiano como pode ser visto na figura 1.2. Dizemos que a figura 1.2 é o gráfico da
relação entre as quantidades x e y dada pela equação 1.1.
y
5
x
1
Figura 1.2 – Gráfico da relação dada pela equação 1.1.
1.2. Conceito de função
Considere um conjunto de P pessoas de uma cidade. Seja D o conjunto de impressões
digitais destas pessoas. Cada pessoa possui dez impressões digitais. Já que a relação entre
digitais e pessoas é de interesse prático, introduzimos os pares ordenados
(impressão digital, pessoa) .
Observe que os conjuntos P (pessoas) e D (impressões digitais) possuam uma
propriedade marcante, ou seja, a cada impressão digital x esta associada exatamente a uma
única pessoa y . Tal relação, impressão digital – pessoa, é chamada mapeamento ou função.
Note que a unicidade da associação no exemplo acima é apenas em uma direção, pois cada
pessoa y possui mais de uma impressão digital. Matematicamente representamos este
mapeamento ou função como:
f :x y
ou
x  f (x)
ou
y  f (x) .
No restante do curso chamaremos a relação entre as quantidades x e y de função e a
representaremos matematicamente por y  f (x) , que é a forma mais tradicional. As duas
primeira notações são mais modernas (atuais). Representamos esquematicamente abaixo
esta associação em as quantidades x e y
y
x
Figura 1.3 – Esquema da relação entre as quantidades x e y dada por uma relação
matemática .
As quantidades x são chamadas de variável independente e as quantidades y são
chamadas de variável dependente. O conjunto das variáveis independentes x é chamado de
domínio da função f . O conjunto das variáveis dependentes y é chamado de imagem da
função f .
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