Instituto de Fısica Fısica III – 2015/1

Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de Fı́sica
Fı́sica III – 2015/1 – Prova Final: 15/07/2015
Versão: A
Formulário
~ + q~v × B
~,
F~ = q E
~ =
E
ǫ0
uE = E 2 ,
2
~,
dF~m = Idℓ~ × B
I
1 q
r̂ ,
4πǫ0 r 2
~ ·dA
~ = Qint ,
E
ǫ0
S
I
~ ·dA
~ = 0,
B
~ =
dB
S
I
~ dℓ~ = µ0 Ienc + µ0 ǫ0 dΦE ,
B·
dt
C
Seção 1.
Eind = −
dΦB
,
dt
ΦB = LI ,
1 q
,
4πǫ0 r
ρL
R=
,
A
~ = µ0 I ϕ̂
B
2πs
uB =
1 2
B ,
2µ0
2. Seja uma região R delimitada por uma superfı́cie fechada S. Tal região possui uma densidade volumar
de carga não-uniforme ρ(~
r ) e uma carga total Q. A
partir da lei de Gauss, pode-se dizer que
2
(a)
3q /(4πǫ0 L)
2
(b)
4q /(4πǫ0 L)
(c)
5q 2 /(4πǫ0 L)
(d)
6q 2 /(4πǫ0 L)
(e)
µ0 Idℓ~ × (~r − ~r′ )
,
4π |~r − ~r′ |3
V =
Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Qual é o trabalho necessário para trazermos 3
partı́culas do infinito, de cargas q1 = q2 = q, q3 = 3q, e
as colocarmos nos vértices de um triângulo equilátero
de lado L?
(a)
I
|~J| = ,
A
J~ = nq~v ,
C = Q/V ,
~ = −∇V
~ ,
E
(b)
2
7q /(4πǫ0 L)
(c)
(d)
(e)
1
(a)
mv/eB
(b)
0
(c)
2mv/eB
(d)
mv/2eB
(e)
mv/4eB
4. Considere as seguintes afirmativas: (I) Quanto maior
é o fluxo de campo magnético através da superfı́cie
delimitada por uma espira, maior será a f.e.m. induzida nesta espira; (II) A f.e.m. induzida numa espira
depende se esta é feita de um material condutor ou
dielétrico; (III) A existência de f.e.m. induzida indica
que forças magnéticas, desde que dependam do tempo,
são capazes de realizar trabalho.
(a)
Nenhuma afirmativa está correta.
(b)
Apenas a afirmativa I está correta.
(c)
Apenas a afirmativa II está correta.
Se Q = 0, o campo elétrico é nulo no exterior
de R.
(d)
Apenas a afirmativa III está correta.
(e)
As afirmativas I e II estão corretas.
Além de Q = 0, é necessário que ρ(~
r ) = 0 para
que o campo elétrico seja nulo no exterior de
R.
(f)
As afirmativas I e III estão corretas.
Se Q = 0, o fluxo de campo elétrico sobre S é
nulo.
Além de Q = 0, é necessário que ρ(~
r ) = 0 para
que o fluxo de campo elétrico seja nulo em S.
Nenhuma das opções anteriores.
6. Três resistores cilı́ndricos circulares ôhmicos, 1, 2 e 3,
são construı́dos com o mesmo material, de resistividade conhecida ρ. O resistor 1 tem comprimento L e
área de seção reta A, o resistor 2 tem comprimento L e
área de seção reta 2A, enquanto o resistor 3 tem comprimento 2L e área de seção reta 2A. Se cada um desses resistores for submetido a uma mesma diferença
de potencial entre suas extremidades, podemos afirmar, sobre os módulos Ji (i = 1, 2, 3) das densidades
de corrente que fluem ao longo deles, que
3. Uma partı́cula alfa com carga 2e e massa 4m está
~ quando entra em um
se movendo com velocidade v
~ fazendo um ângulo reto
campo magnético uniforme B
com a sua direção de movimento. Um dêuteron de
carga e e massa 2m também entra no campo na mesma
direção e com a mesma velocidade. Calcule a diferença entre os raios das trajetórias da partı́cula alfa e
do dêuteron na região do campo magnético (sabendo~
se que v = |~v | e B = |B|)
(g)
As afirmativas II e III estão corretas.
(h)
Todas as afirmativas estão corretas.
(a)
J1 = J2 = J3 .
(b)
J1 = J2 /2 = J3 .
(c)
J1 = J2 = J3 /2.
(d)
J1 = 2J2 = J3 .
(e)
J1 = J2 = 2J3 .
~ e massa m entra num ca7. Um elétron com velocidade v
pacitor plano através de um pequeno orifı́cio na placa
inferior, conforme indica a figura. Considere que, para
todos os efeitos, as placas tem área infinita. Qual a
trajetória seguida pelo elétron no interior do capacitor?
v
(a)
5. O mostrador de um relógio analógico, circular tem
partı́culas com cargas positivas q, 2q, 3q e 4q nas
posições da periferia correspondentes a 3, 6, 9 e
12 horas, respectivamente. Os ponteiros do relógio
não perturbam o campo eletrostático criado por tais
partı́culas. A que horas o ponteiro das horas aponta
na mesma direção e sentido do campo elétrico no centro do mostrador?
Um segmento de reta.
(b)
Um arco de cı́rculo.
(c)
Um arco de parábola.
(d)
Um arco de elipse.
(e)
Um arco de hipérbole.
(f)
Nenhuma das opçoes acima.
8. A lei de Ampère-Maxwell é válida
(a)
quando existe um alto grau de simetria na geometria da situação.
4 horas e 30 minutos.
(b)
quando não há simetria.
(c)
8 horas e 30 minutos.
(c)
quando existe corrente de deslocamento.
(d)
10 horas e 30 minutos.
(d)
quando o campo magnético é constante.
(e)
1 hora e 30 minutos.
(e)
em todas as situações anteriores.
(a)
3 horas e 30 minutos.
(b)
2
(b) Sabendo que um outro fio retilı́neo infinito, b, está situado a uma distância L do fio a, paralelo a esse, quais
devem ser o valor e o sentido da corrente I0 no fio b para que o campo magnético resultante seja nulo em O? [0,8
ponto]
Figura 1: Plano condutor e placa dieétrica
Seção 2. Questões discursivas (3,2 + 2,0 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [3,2 pontos] Um plano dielétrico P1 possui densidade superficial de carga constante (estacionária e uniforme) σ > 0.
Coloca-se então, a uma distância 2d desse plano, uma placa condutora neutra P2 , de espessura d e transversalmente
infinita, conforme mostra a figura 1. Determine (com justificativas!):
~ 1 produzido apenas pelo plano P1 , para x > 0. [1,2 pontos]
(a) o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico E
(b) o campo no interior da placa condutora. [0,4 ponto]
(c) as densidades de carga induzidas σ1 e σ2 na placa condutora. [0,8 ponto]
~ 0 na região 0 < x < 2d. [0,8 ponto]
(d) o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico E
2. [2 pontos] A Figura 2 mostra um fio a, que consiste de dois segmentos retilı́neos, semi-infinitos, ligados a um outro
semi-circular, de raio R, transportanto uma corrente I.
ŷ
I
R
fio a
ẑ
O
x̂
L
fio b
Figura 2: Figura 2.
(a) Calcule o vetor campo magnético, gerado pelo fio a, no ponto O, centro do semi-cı́rculo. Justifique cuidadosamente. [1,2 ponto]
3
4
Gabarito para Versão A
Seção 1.
Seção 2. Questões discursivas (3,2 + 2,0 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (e)
5. (b)
2. (c)
6. (e)
3. (b)
7. (c)
4. (a)
8. (e)
(a) O campo de um plano com densidade (superficial) de carga constante pode ser obtido a partir de suas simetrias
e da lei de Gauss. Devido a simetria plana, o campo elétrico em todo o espaço só depende da coordenada
x, e devido a simetria axial ele necessariamente aponta na direção x, ou seja, o campo elétrico do plano tem
~ 1 = E1 x̂ para x > d e E
~ 1 = −E1 x̂ para x < 0, com E > 0. Traçando-se então uma superfı́cie
a forma E
gaussiana cilı́ndrica S1 que cruza o plano e perpendicular a ele, temos, da lei de Gauss
I
Z
Z
Z
~ 1 · dA
~ = Qint
~ 1 · dA
~ +
~ 1 · dA
~ = 2 E1 dA = 2E1 A = σA
E
E
⇒
(1)
E
ǫ0
ǫ0
S1
S lat
S1tampas
| 1 {z }
~
~
=0,pois E⊥d
A
donde
E1 =
σ
~ 1 = σ x̂(x > 0)
⇒ E
2ǫ0
2ǫ0
(2)
(b) Como a carga no plano dielétrico é constante, a placa condutora ficará em equilı́brio eletrostático na sua
presença, e portanto o campo é nulo.
(c) Como um condutor só pode ter cargas em sua superfı́cie, a introdução da placa P2 gera efetivamente três
planos de carga com simetria plana. Pela neutralidade da placa, segue imediatamente que σ1 = −σ2 . Pelo
princı́pio da superposição , temos
σ
σ1
σ2
2σ1
σ
σ
~
~
~
x̂ = 0 ⇒
(3)
+
−
+
= 0 ⇒ σ1 = − ,
E1 + E2 + E3 =
2ǫ0 2ǫ0 2ǫ0
2ǫ0
2ǫ0
2
e portanto
σ1 = −σ2 =
σ
.
2
(d) Sabendo-se todas as densidades superficiais, para encontrar o campo precisamos apenas do princı́pio da superposição
~1 +E
~2+E
~ 3 = σ1 − σ1 + σ1 x̂ = σ1 x̂ ,
E
(4)
2ǫ0 4ǫ0 4ǫ0
2ǫ0
ou seja, é o mesmo campo do plano sozinho.
2. Resolução:
(a) O fio a pode ser dividio em três partes: dois fios semi-infinitos, e um semi-cı́rculo. Pela lei de Biot-Savart,
~ Já o campo gerado pelo
vemos que os fios semi-infinitos não contribuem para o campo no ponto O, pois d~ℓ k R.
~ = ~0 e r~ − r
~ ′ = −~
semi-cı́rculo dá (tomando O como a nossa origem, ou seja, r
r ′ = −Rr̂)
Z π
Z ~
Z π
′
~
µ0 I
µ0 I
dℓ × (−Rr̂)
µ0 I
~ = µ0 I dℓ × (~r − ~r ) = µ0 I
dθ = −
ẑ
ẑ .
(5)
=
Rdθ
(−
θ̂
×
r̂)
=
−
B
| {z }
4π |~r − ~r′ |3
4π
R3
4πR2 0
4πR 0
4R
=−ẑ
(b) Bom, como o campo do fio a está ”entrando”no papel, corrente I0 deve estar no sentido positivo do eixo X,
pois só assim o fio b produzirá um campo ”saindo”do papel, e portanto capaz de anular o do fio (a). Sabendo-se
então o campo do fio, temos, no ponto O
~ a = −B
~ b ⇒ µ 0 I = µ 0 I0 ,
B
4R
2πL
1
2
(6)
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de Fı́sica
Fı́sica III – 2015/1 – Prova Final: 15/07/2015
Versão: B
ou seja
IπL
I0 =
.
2R
(7)
Formulário
~ + q~v × B
~,
F~ = q E
uE =
~ =
E
ǫ0 2
E ,
2
~,
dF~m = Idℓ~ × B
I
1 q
r̂ ,
4πǫ0 r 2
~ ·dA
~ = Qint ,
E
ǫ0
S
I
~ ·dA
~ = 0,
B
~ =
dB
S
I
~ dℓ~ = µ0 Ienc + µ0 ǫ0 dΦE ,
B·
dt
C
Seção 1.
I
|~J| = ,
A
J~ = nq~v ,
C = Q/V ,
Eind = −
~ = −∇V
~ ,
E
µ0 Idℓ~ × (~r − ~r′ )
,
4π |~r − ~r′ |3
dΦB
,
dt
ΦB = LI ,
R=
V =
1 q
,
4πǫ0 r
ρL
,
A
~ = µ0 I ϕ̂
B
2πs
uB =
1 2
B ,
2µ0
Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
~ e massa m entra num ca2. Um elétron com velocidade v
pacitor plano através de um pequeno orifı́cio na placa
inferior, conforme indica a figura. Considere que, para
todos os efeitos, as placas tem área infinita. Qual a
trajetória seguida pelo elétron no interior do capacitor?
1. O mostrador de um relógio analógico, circular tem
partı́culas com cargas positivas q, 2q, 3q e 4q nas
posições da periferia correspondentes a 3, 6, 9 e
12 horas, respectivamente. Os ponteiros do relógio
não perturbam o campo eletrostático criado por tais
partı́culas. A que horas o ponteiro das horas aponta
na mesma direção e sentido do campo elétrico no centro do mostrador?
(a)
3 horas e 30 minutos.
(b)
4 horas e 30 minutos.
(c)
8 horas e 30 minutos.
(d)
10 horas e 30 minutos.
(e)
1 hora e 30 minutos.
v
3
1
(a)
Um segmento de reta.
(b)
Um arco de cı́rculo.
(c)
Um arco de parábola.
(d)
Um arco de elipse.
(e)
Um arco de hipérbole.
(f)
Nenhuma das opçoes acima.
6. A lei de Ampère-Maxwell é válida
3. Qual é o trabalho necessário para trazermos 3
partı́culas do infinito, de cargas q1 = q2 = q, q3 = 3q, e
as colocarmos nos vértices de um triângulo equilátero
de lado L?
(a)
3q 2 /(4πǫ0 L)
(b)
4q 2 /(4πǫ0 L)
(c)
5q 2 /(4πǫ0 L)
(d)
6q 2 /(4πǫ0 L)
(e)
7q 2 /(4πǫ0 L)
Se Q = 0, o campo elétrico é nulo no exterior
de R.
(b)
Além de Q = 0, é necessário que ρ(~
r ) = 0 para
que o campo elétrico seja nulo no exterior de
R.
(c)
Se Q = 0, o fluxo de campo elétrico sobre S é
nulo.
(d)
Além de Q = 0, é necessário que ρ(~
r ) = 0 para
que o fluxo de campo elétrico seja nulo em S.
(e)
Nenhuma das opções anteriores.
quando existe um alto grau de simetria na geometria da situação.
(b)
quando não há simetria.
(c)
quando existe corrente de deslocamento.
(d)
quando o campo magnético é constante.
(e)
em todas as situações anteriores.
7. Uma partı́cula alfa com carga 2e e massa 4m está
~ quando entra em um
se movendo com velocidade v
~ fazendo um ângulo reto
campo magnético uniforme B
com a sua direção de movimento. Um dêuteron de
carga e e massa 2m também entra no campo na mesma
direção e com a mesma velocidade. Calcule a diferença entre os raios das trajetórias da partı́cula alfa e
do dêuteron na região do campo magnético (sabendo~
se que v = |~v | e B = |B|)
4. Seja uma região R delimitada por uma superfı́cie fechada S. Tal região possui uma densidade volumar
de carga não-uniforme ρ(~
r ) e uma carga total Q. A
partir da lei de Gauss, pode-se dizer que
(a)
(a)
(a)
mv/eB
(b)
0
Seção 2. Questões discursivas (3,2 + 2,0 = 5,2 pontos)
(c)
2mv/eB
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
(d)
mv/2eB
(e)
mv/4eB
1. [3,2 pontos] Um plano dielétrico P1 possui densidade superficial de carga constante (estacionária e uniforme) σ > 0.
Coloca-se então, a uma distância 2d desse plano, uma placa condutora neutra P2 , de espessura d e transversalmente
infinita, conforme mostra a figura 1. Determine (com justificativas!):
~ 1 produzido apenas pelo plano P1 , para x > 0. [1,2 pontos]
(a) o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico E
8. Considere as seguintes afirmativas: (I) Quanto maior
é o fluxo de campo magnético através da superfı́cie
delimitada por uma espira, maior será a f.e.m. induzida nesta espira; (II) A f.e.m. induzida numa espira
depende se esta é feita de um material condutor ou
dielétrico; (III) A existência de f.e.m. induzida indica
que forças magnéticas, desde que dependam do tempo,
são capazes de realizar trabalho.
5. Três resistores cilı́ndricos circulares ôhmicos, 1, 2 e 3,
são construı́dos com o mesmo material, de resistividade conhecida ρ. O resistor 1 tem comprimento L e
área de seção reta A, o resistor 2 tem comprimento L e
área de seção reta 2A, enquanto o resistor 3 tem comprimento 2L e área de seção reta 2A. Se cada um desses resistores for submetido a uma mesma diferença
de potencial entre suas extremidades, podemos afirmar, sobre os módulos Ji (i = 1, 2, 3) das densidades
de corrente que fluem ao longo deles, que
Figura 3: Plano condutor e placa dieétrica
(a)
Nenhuma afirmativa está correta.
(b)
Apenas a afirmativa I está correta.
(c)
Apenas a afirmativa II está correta.
(a)
J1 = J2 = J3 .
(d)
Apenas a afirmativa III está correta.
(b)
J1 = J2 /2 = J3 .
(e)
As afirmativas I e II estão corretas.
(c)
J1 = J2 = J3 /2.
(f)
As afirmativas I e III estão corretas.
(d)
J1 = 2J2 = J3 .
(g)
As afirmativas II e III estão corretas.
(e)
J1 = J2 = 2J3 .
(h)
Todas as afirmativas estão corretas.
(b) o campo no interior da placa condutora. [0,4 ponto]
(c) as densidades de carga induzidas σ1 e σ2 na placa condutora. [0,8 ponto]
~ 0 na região 0 < x < 2d. [0,8 ponto]
(d) o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico E
2. [2 pontos] A Figura 2 mostra um fio a, que consiste de dois segmentos retilı́neos, semi-infinitos, ligados a um outro
semi-circular, de raio R, transportanto uma corrente I.
ŷ
I
R
fio a
ẑ
O
x̂
L
fio b
Figura 4: Figura 2.
(a) Calcule o vetor campo magnético, gerado pelo fio a, no ponto O, centro do semi-cı́rculo. Justifique cuidadosamente. [1,2 ponto]
2
3
(b) Sabendo que um outro fio retilı́neo infinito, b, está situado a uma distância L do fio a, paralelo a esse, quais
devem ser o valor e o sentido da corrente I0 no fio b para que o campo magnético resultante seja nulo em O? [0,8
ponto]
4
Gabarito para Versão B
Seção 1.
Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (b)
5. (e)
2. (c)
6. (e)
3. (e)
7. (b)
4. (c)
8. (a)
1
Seção 2. Questões discursivas (3,2 + 2,0 = 5,2 pontos)
ou seja
I0 =
1. Resolução:
(a) O campo de um plano com densidade (superficial) de carga constante pode ser obtido a partir de suas simetrias
e da lei de Gauss. Devido a simetria plana, o campo elétrico em todo o espaço só depende da coordenada
x, e devido a simetria axial ele necessariamente aponta na direção x, ou seja, o campo elétrico do plano tem
~ 1 = E1 x̂ para x > d e E
~ 1 = −E1 x̂ para x < 0, com E > 0. Traçando-se então uma superfı́cie
a forma E
gaussiana cilı́ndrica S1 que cruza o plano e perpendicular a ele, temos, da lei de Gauss
I
Z
Z
Z
~ 1 · dA
~ = Qint
~ 1 · dA
~ +
~ 1 · dA
~ = 2 E1 dA = 2E1 A = σA
E
E
⇒
(1)
E
ǫ0
ǫ0
S1
S lat
S1tampas
| 1 {z }
~
~
=0,pois E⊥d
A
donde
E1 =
σ
~ 1 = σ x̂(x > 0)
⇒ E
2ǫ0
2ǫ0
(2)
(b) Como a carga no plano dielétrico é constante, a placa condutora ficará em equilı́brio eletrostático na sua
presença, e portanto o campo é nulo.
(c) Como um condutor só pode ter cargas em sua superfı́cie, a introdução da placa P2 gera efetivamente três
planos de carga com simetria plana. Pela neutralidade da placa, segue imediatamente que σ1 = −σ2 . Pelo
princı́pio da superposição , temos
σ
σ1
σ2
2σ1
σ
σ
~
~
~
x̂ = 0 ⇒
(3)
+
−
+
= 0 ⇒ σ1 = − ,
E1 + E2 + E3 =
2ǫ0 2ǫ0 2ǫ0
2ǫ0
2ǫ0
2
e portanto
σ1 = −σ2 =
σ
.
2
(d) Sabendo-se todas as densidades superficiais, para encontrar o campo precisamos apenas do princı́pio da superposição
~1 +E
~2+E
~ 3 = σ1 − σ1 + σ1 x̂ = σ1 x̂ ,
E
(4)
2ǫ0 4ǫ0 4ǫ0
2ǫ0
ou seja, é o mesmo campo do plano sozinho.
2. Resolução:
(a) O fio a pode ser dividio em três partes: dois fios semi-infinitos, e um semi-cı́rculo. Pela lei de Biot-Savart,
~ Já o campo gerado pelo
vemos que os fios semi-infinitos não contribuem para o campo no ponto O, pois d~ℓ k R.
~ = ~0 e r~ − r
~ ′ = −~
semi-cı́rculo dá (tomando O como a nossa origem, ou seja, r
r ′ = −Rr̂)
Z π
Z ~
Z π
′
~
µ0 I
µ0 I
dℓ × (−Rr̂)
µ0 I
~ = µ0 I dℓ × (~r − ~r ) = µ0 I
dθ = −
ẑ
ẑ .
(5)
=
Rdθ
(−
θ̂
×
r̂)
=
−
B
| {z }
4π |~r − ~r′ |3
4π
R3
4πR2 0
4πR 0
4R
=−ẑ
(b) Bom, como o campo do fio a está ”entrando”no papel, corrente I0 deve estar no sentido positivo do eixo X,
pois só assim o fio b produzirá um campo ”saindo”do papel, e portanto capaz de anular o do fio (a). Sabendo-se
então o campo do fio, temos, no ponto O
~ a = −B
~ b ⇒ µ 0 I = µ 0 I0 ,
B
4R
2πL
2
(6)
3
IπL
.
2R
(7)
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de Fı́sica
Fı́sica III – 2015/1 – Prova Final: 15/07/2015
Versão: C
Formulário
~ + q~v × B
~,
F~ = q E
uE =
~ =
E
ǫ0 2
E ,
2
~,
dF~m = Idℓ~ × B
I
1 q
r̂ ,
4πǫ0 r 2
~ ·dA
~ = Qint ,
E
ǫ0
S
I
′
~
~ = µ0 Idℓ × (~r − ~r ) ,
dB
′
3
4π |~r − ~r |
~ ·dA
~ = 0,
B
S
I
~ dℓ~ = µ0 Ienc + µ0 ǫ0 dΦE ,
B·
dt
C
Seção 1.
I
|~J| = ,
A
J~ = nq~v ,
C = Q/V ,
Eind
~ = −∇V
~ ,
E
dΦB
=−
,
dt
ΦB = LI ,
R=
V =
1 q
,
4πǫ0 r
ρL
,
A
~ = µ0 I ϕ̂
B
2πs
1 2
uB =
B ,
2µ0
Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. O mostrador de um relógio analógico, circular tem
partı́culas com cargas positivas q, 2q, 3q e 4q nas
posições da periferia correspondentes a 3, 6, 9 e
12 horas, respectivamente. Os ponteiros do relógio
não perturbam o campo eletrostático criado por tais
partı́culas. A que horas o ponteiro das horas aponta
na mesma direção e sentido do campo elétrico no centro do mostrador?
(a)
3 horas e 30 minutos.
(b)
4 horas e 30 minutos.
(c)
8 horas e 30 minutos.
(d)
10 horas e 30 minutos.
(e)
1 hora e 30 minutos.
2. Seja uma região R delimitada por uma superfı́cie fechada S. Tal região possui uma densidade volumar
de carga não-uniforme ρ(~
r ) e uma carga total Q. A
partir da lei de Gauss, pode-se dizer que
(a)
(b)
Se Q = 0, o campo elétrico é nulo no exterior
de R.
Além de Q = 0, é necessário que ρ(~
r ) = 0 para
que o campo elétrico seja nulo no exterior de
R.
(c)
Se Q = 0, o fluxo de campo elétrico sobre S é
nulo.
(d)
Além de Q = 0, é necessário que ρ(~
r ) = 0 para
que o fluxo de campo elétrico seja nulo em S.
(e)
Nenhuma das opções anteriores.
3. Uma partı́cula alfa com carga 2e e massa 4m está
~ quando entra em um
se movendo com velocidade v
~ fazendo um ângulo reto
campo magnético uniforme B
com a sua direção de movimento. Um dêuteron de
carga e e massa 2m também entra no campo na mesma
direção e com a mesma velocidade. Calcule a diferença entre os raios das trajetórias da partı́cula alfa e
do dêuteron na região do campo magnético (sabendo~
se que v = |~v | e B = |B|)
(a)
quando existe um alto grau de simetria na geometria da situação.
(b)
quando não há simetria.
(c)
quando existe corrente de deslocamento.
(d)
quando o campo magnético é constante.
(e)
em todas as situações anteriores.
7. Qual é o trabalho necessário para trazermos 3
partı́culas do infinito, de cargas q1 = q2 = q, q3 = 3q, e
as colocarmos nos vértices de um triângulo equilátero
de lado L?
(a)
mv/eB
(b)
0
(c)
2mv/eB
(d)
mv/2eB
(a)
3q 2 /(4πǫ0 L)
(e)
mv/4eB
(b)
4q 2 /(4πǫ0 L)
(c)
5q 2 /(4πǫ0 L)
(d)
6q 2 /(4πǫ0 L)
(e)
7q 2 /(4πǫ0 L)
4. Três resistores cilı́ndricos circulares ôhmicos, 1, 2 e 3,
são construı́dos com o mesmo material, de resistividade conhecida ρ. O resistor 1 tem comprimento L e
área de seção reta A, o resistor 2 tem comprimento L e
área de seção reta 2A, enquanto o resistor 3 tem comprimento 2L e área de seção reta 2A. Se cada um desses resistores for submetido a uma mesma diferença
de potencial entre suas extremidades, podemos afirmar, sobre os módulos Ji (i = 1, 2, 3) das densidades
de corrente que fluem ao longo deles, que
(a)
J1 = J2 = J3 .
(b)
J1 = J2 /2 = J3 .
(c)
J1 = J2 = J3 /2.
(d)
J1 = 2J2 = J3 .
(e)
J1 = J2 = 2J3 .
~ e massa m entra num ca8. Um elétron com velocidade v
pacitor plano através de um pequeno orifı́cio na placa
inferior, conforme indica a figura. Considere que, para
todos os efeitos, as placas tem área infinita. Qual a
trajetória seguida pelo elétron no interior do capacitor?
5. Considere as seguintes afirmativas: (I) Quanto maior
é o fluxo de campo magnético através da superfı́cie
delimitada por uma espira, maior será a f.e.m. induzida nesta espira; (II) A f.e.m. induzida numa espira
depende se esta é feita de um material condutor ou
dielétrico; (III) A existência de f.e.m. induzida indica
que forças magnéticas, desde que dependam do tempo,
são capazes de realizar trabalho.
v
(a)
Um segmento de reta.
(b)
Um arco de cı́rculo.
(c)
Um arco de parábola.
Nenhuma afirmativa está correta.
(d)
Um arco de elipse.
(b)
Apenas a afirmativa I está correta.
(e)
Um arco de hipérbole.
(c)
Apenas a afirmativa II está correta.
(f)
Nenhuma das opçoes acima.
(d)
Apenas a afirmativa III está correta.
(e)
As afirmativas I e II estão corretas.
(a)
1
6. A lei de Ampère-Maxwell é válida
(f)
As afirmativas I e III estão corretas.
(g)
As afirmativas II e III estão corretas.
(h)
Todas as afirmativas estão corretas.
2
(b) Sabendo que um outro fio retilı́neo infinito, b, está situado a uma distância L do fio a, paralelo a esse, quais
devem ser o valor e o sentido da corrente I0 no fio b para que o campo magnético resultante seja nulo em O? [0,8
ponto]
Figura 5: Plano condutor e placa dieétrica
Seção 2. Questões discursivas (3,2 + 2,0 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [3,2 pontos] Um plano dielétrico P1 possui densidade superficial de carga constante (estacionária e uniforme) σ > 0.
Coloca-se então, a uma distância 2d desse plano, uma placa condutora neutra P2 , de espessura d e transversalmente
infinita, conforme mostra a figura 1. Determine (com justificativas!):
~ 1 produzido apenas pelo plano P1 , para x > 0. [1,2 pontos]
(a) o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico E
(b) o campo no interior da placa condutora. [0,4 ponto]
(c) as densidades de carga induzidas σ1 e σ2 na placa condutora. [0,8 ponto]
~ 0 na região 0 < x < 2d. [0,8 ponto]
(d) o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico E
2. [2 pontos] A Figura 2 mostra um fio a, que consiste de dois segmentos retilı́neos, semi-infinitos, ligados a um outro
semi-circular, de raio R, transportanto uma corrente I.
ŷ
I
R
fio a
ẑ
O
x̂
L
fio b
Figura 6: Figura 2.
(a) Calcule o vetor campo magnético, gerado pelo fio a, no ponto O, centro do semi-cı́rculo. Justifique cuidadosamente. [1,2 ponto]
3
4
Gabarito para Versão C
Seção 1.
Seção 2. Questões discursivas (3,2 + 2,0 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (b)
5. (a)
2. (c)
6. (e)
3. (b)
7. (e)
4. (e)
8. (c)
(a) O campo de um plano com densidade (superficial) de carga constante pode ser obtido a partir de suas simetrias
e da lei de Gauss. Devido a simetria plana, o campo elétrico em todo o espaço só depende da coordenada
x, e devido a simetria axial ele necessariamente aponta na direção x, ou seja, o campo elétrico do plano tem
~ 1 = E1 x̂ para x > d e E
~ 1 = −E1 x̂ para x < 0, com E > 0. Traçando-se então uma superfı́cie
a forma E
gaussiana cilı́ndrica S1 que cruza o plano e perpendicular a ele, temos, da lei de Gauss
I
Z
Z
Z
~ 1 · dA
~ = Qint
~ 1 · dA
~ +
~ 1 · dA
~ = 2 E1 dA = 2E1 A = σA
E
E
⇒
(1)
E
ǫ0
ǫ0
S1
S lat
S1tampas
| 1 {z }
~
~
=0,pois E⊥d
A
donde
E1 =
σ
~ 1 = σ x̂(x > 0)
⇒ E
2ǫ0
2ǫ0
(2)
(b) Como a carga no plano dielétrico é constante, a placa condutora ficará em equilı́brio eletrostático na sua
presença, e portanto o campo é nulo.
(c) Como um condutor só pode ter cargas em sua superfı́cie, a introdução da placa P2 gera efetivamente três
planos de carga com simetria plana. Pela neutralidade da placa, segue imediatamente que σ1 = −σ2 . Pelo
princı́pio da superposição , temos
σ
σ1
σ2
2σ1
σ
σ
~
~
~
x̂ = 0 ⇒
(3)
+
−
+
= 0 ⇒ σ1 = − ,
E1 + E2 + E3 =
2ǫ0 2ǫ0 2ǫ0
2ǫ0
2ǫ0
2
e portanto
σ1 = −σ2 =
σ
.
2
(d) Sabendo-se todas as densidades superficiais, para encontrar o campo precisamos apenas do princı́pio da superposição
~1 +E
~2+E
~ 3 = σ1 − σ1 + σ1 x̂ = σ1 x̂ ,
E
(4)
2ǫ0 4ǫ0 4ǫ0
2ǫ0
ou seja, é o mesmo campo do plano sozinho.
2. Resolução:
(a) O fio a pode ser dividio em três partes: dois fios semi-infinitos, e um semi-cı́rculo. Pela lei de Biot-Savart,
~ Já o campo gerado pelo
vemos que os fios semi-infinitos não contribuem para o campo no ponto O, pois d~ℓ k R.
~ = ~0 e r~ − r
~ ′ = −~
semi-cı́rculo dá (tomando O como a nossa origem, ou seja, r
r ′ = −Rr̂)
Z π
Z ~
Z π
′
~
µ0 I
µ0 I
dℓ × (−Rr̂)
µ0 I
~ = µ0 I dℓ × (~r − ~r ) = µ0 I
dθ = −
ẑ
ẑ .
(5)
=
Rdθ
(−
θ̂
×
r̂)
=
−
B
| {z }
4π |~r − ~r′ |3
4π
R3
4πR2 0
4πR 0
4R
=−ẑ
(b) Bom, como o campo do fio a está ”entrando”no papel, corrente I0 deve estar no sentido positivo do eixo X,
pois só assim o fio b produzirá um campo ”saindo”do papel, e portanto capaz de anular o do fio (a). Sabendo-se
então o campo do fio, temos, no ponto O
~ a = −B
~ b ⇒ µ 0 I = µ 0 I0 ,
B
4R
2πL
1
2
(6)
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de Fı́sica
Fı́sica III – 2015/1 – Prova Final: 15/07/2015
Versão: D
ou seja
IπL
I0 =
.
2R
(7)
Formulário
~ + q~v × B
~,
F~ = q E
uE =
~ =
E
ǫ0 2
E ,
2
~,
dF~m = Idℓ~ × B
I
1 q
r̂ ,
4πǫ0 r 2
~ ·dA
~ = Qint ,
E
ǫ0
S
I
~ ·dA
~ = 0,
B
~ =
dB
S
I
~ dℓ~ = µ0 Ienc + µ0 ǫ0 dΦE ,
B·
dt
C
Seção 1.
Eind = −
µ0 Idℓ~ × (~r − ~r′ )
,
4π |~r − ~r′ |3
dΦB
,
dt
ΦB = LI ,
R=
V =
1 q
,
4πǫ0 r
ρL
,
A
~ = µ0 I ϕ̂
B
2πs
uB =
1 2
B ,
2µ0
Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. A lei de Ampère-Maxwell é válida
(a)
quando existe um alto grau de simetria na geometria da situação.
(b)
quando não há simetria.
(c)
quando existe corrente de deslocamento.
(d)
quando o campo magnético é constante.
(e)
em todas as situações anteriores.
3. Qual é o trabalho necessário para trazermos 3
partı́culas do infinito, de cargas q1 = q2 = q, q3 = 3q, e
as colocarmos nos vértices de um triângulo equilátero
de lado L?
2. Uma partı́cula alfa com carga 2e e massa 4m está
~ quando entra em um
se movendo com velocidade v
~ fazendo um ângulo reto
campo magnético uniforme B
com a sua direção de movimento. Um dêuteron de
carga e e massa 2m também entra no campo na mesma
direção e com a mesma velocidade. Calcule a diferença entre os raios das trajetórias da partı́cula alfa e
do dêuteron na região do campo magnético (sabendo~
se que v = |~v | e B = |B|)
3
I
|~J| = ,
A
J~ = nq~v ,
C = Q/V ,
~ = −∇V
~ ,
E
(a)
mv/eB
(b)
0
(c)
2mv/eB
(d)
mv/2eB
(e)
mv/4eB
1
(a)
3q 2 /(4πǫ0 L)
(b)
4q 2 /(4πǫ0 L)
(c)
5q 2 /(4πǫ0 L)
(d)
6q 2 /(4πǫ0 L)
(e)
7q 2 /(4πǫ0 L)
~ e massa m entra num ca4. Um elétron com velocidade v
pacitor plano através de um pequeno orifı́cio na placa
inferior, conforme indica a figura. Considere que, para
todos os efeitos, as placas tem área infinita. Qual a
trajetória seguida pelo elétron no interior do capacitor?
6. O mostrador de um relógio analógico, circular tem
partı́culas com cargas positivas q, 2q, 3q e 4q nas
posições da periferia correspondentes a 3, 6, 9 e
12 horas, respectivamente. Os ponteiros do relógio
não perturbam o campo eletrostático criado por tais
partı́culas. A que horas o ponteiro das horas aponta
na mesma direção e sentido do campo elétrico no centro do mostrador?
v
(a)
Um segmento de reta.
(b)
Um arco de cı́rculo.
(c)
Um arco de parábola.
(d)
Um arco de elipse.
(e)
Um arco de hipérbole.
(f)
Nenhuma das opçoes acima.
(a)
3 horas e 30 minutos.
(b)
4 horas e 30 minutos.
(c)
8 horas e 30 minutos.
(d)
10 horas e 30 minutos.
(e)
1 hora e 30 minutos.
7. Seja uma região R delimitada por uma superfı́cie fechada S. Tal região possui uma densidade volumar
de carga não-uniforme ρ(~
r ) e uma carga total Q. A
partir da lei de Gauss, pode-se dizer que
5. Considere as seguintes afirmativas: (I) Quanto maior
é o fluxo de campo magnético através da superfı́cie
delimitada por uma espira, maior será a f.e.m. induzida nesta espira; (II) A f.e.m. induzida numa espira
depende se esta é feita de um material condutor ou
dielétrico; (III) A existência de f.e.m. induzida indica
que forças magnéticas, desde que dependam do tempo,
são capazes de realizar trabalho.
(a)
Se Q = 0, o campo elétrico é nulo no exterior
de R.
(b)
Além de Q = 0, é necessário que ρ(~
r ) = 0 para
que o campo elétrico seja nulo no exterior de
R.
(c)
Se Q = 0, o fluxo de campo elétrico sobre S é
nulo.
(d)
Além de Q = 0, é necessário que ρ(~
r ) = 0 para
que o fluxo de campo elétrico seja nulo em S.
(e)
Nenhuma das opções anteriores.
8. Três resistores cilı́ndricos circulares ôhmicos, 1, 2 e 3,
são construı́dos com o mesmo material, de resistividade conhecida ρ. O resistor 1 tem comprimento L e
área de seção reta A, o resistor 2 tem comprimento L e
área de seção reta 2A, enquanto o resistor 3 tem comprimento 2L e área de seção reta 2A. Se cada um desses resistores for submetido a uma mesma diferença
de potencial entre suas extremidades, podemos afirmar, sobre os módulos Ji (i = 1, 2, 3) das densidades
de corrente que fluem ao longo deles, que
(a)
Nenhuma afirmativa está correta.
(b)
Apenas a afirmativa I está correta.
(c)
Apenas a afirmativa II está correta.
(d)
Apenas a afirmativa III está correta.
(a)
J1 = J2 = J3 .
(e)
As afirmativas I e II estão corretas.
(b)
J1 = J2 /2 = J3 .
(f)
As afirmativas I e III estão corretas.
(c)
J1 = J2 = J3 /2.
(g)
As afirmativas II e III estão corretas.
(d)
J1 = 2J2 = J3 .
(h)
Todas as afirmativas estão corretas.
(e)
J1 = J2 = 2J3 .
2
Figura 7: Plano condutor e placa dieétrica
Seção 2. Questões discursivas (3,2 + 2,0 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [3,2 pontos] Um plano dielétrico P1 possui densidade superficial de carga constante (estacionária e uniforme) σ > 0.
Coloca-se então, a uma distância 2d desse plano, uma placa condutora neutra P2 , de espessura d e transversalmente
infinita, conforme mostra a figura 1. Determine (com justificativas!):
~ 1 produzido apenas pelo plano P1 , para x > 0. [1,2 pontos]
(a) o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico E
(b) o campo no interior da placa condutora. [0,4 ponto]
(c) as densidades de carga induzidas σ1 e σ2 na placa condutora. [0,8 ponto]
~ 0 na região 0 < x < 2d. [0,8 ponto]
(d) o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico E
2. [2 pontos] A Figura 2 mostra um fio a, que consiste de dois segmentos retilı́neos, semi-infinitos, ligados a um outro
semi-circular, de raio R, transportanto uma corrente I.
ŷ
I
R
fio a
ẑ
O
x̂
L
fio b
Figura 8: Figura 2.
(a) Calcule o vetor campo magnético, gerado pelo fio a, no ponto O, centro do semi-cı́rculo. Justifique cuidadosamente. [1,2 ponto]
3
(b) Sabendo que um outro fio retilı́neo infinito, b, está situado a uma distância L do fio a, paralelo a esse, quais
devem ser o valor e o sentido da corrente I0 no fio b para que o campo magnético resultante seja nulo em O? [0,8
ponto]
4
Gabarito para Versão D
Seção 1.
Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (e)
5. (a)
2. (b)
6. (b)
3. (e)
7. (c)
4. (c)
8. (e)
1
Seção 2. Questões discursivas (3,2 + 2,0 = 5,2 pontos)
ou seja
I0 =
1. Resolução:
(a) O campo de um plano com densidade (superficial) de carga constante pode ser obtido a partir de suas simetrias
e da lei de Gauss. Devido a simetria plana, o campo elétrico em todo o espaço só depende da coordenada
x, e devido a simetria axial ele necessariamente aponta na direção x, ou seja, o campo elétrico do plano tem
~ 1 = E1 x̂ para x > d e E
~ 1 = −E1 x̂ para x < 0, com E > 0. Traçando-se então uma superfı́cie
a forma E
gaussiana cilı́ndrica S1 que cruza o plano e perpendicular a ele, temos, da lei de Gauss
I
Z
Z
Z
~ 1 · dA
~ = Qint
~ 1 · dA
~ +
~ 1 · dA
~ = 2 E1 dA = 2E1 A = σA
E
E
⇒
(1)
E
ǫ0
ǫ0
S1
S lat
S1tampas
| 1 {z }
~
~
=0,pois E⊥d
A
donde
E1 =
σ
~ 1 = σ x̂(x > 0)
⇒ E
2ǫ0
2ǫ0
(2)
(b) Como a carga no plano dielétrico é constante, a placa condutora ficará em equilı́brio eletrostático na sua
presença, e portanto o campo é nulo.
(c) Como um condutor só pode ter cargas em sua superfı́cie, a introdução da placa P2 gera efetivamente três
planos de carga com simetria plana. Pela neutralidade da placa, segue imediatamente que σ1 = −σ2 . Pelo
princı́pio da superposição , temos
σ
σ1
σ2
2σ1
σ
σ
~
~
~
x̂ = 0 ⇒
(3)
+
−
+
= 0 ⇒ σ1 = − ,
E1 + E2 + E3 =
2ǫ0 2ǫ0 2ǫ0
2ǫ0
2ǫ0
2
e portanto
σ1 = −σ2 =
σ
.
2
(d) Sabendo-se todas as densidades superficiais, para encontrar o campo precisamos apenas do princı́pio da superposição
~1 +E
~2+E
~ 3 = σ1 − σ1 + σ1 x̂ = σ1 x̂ ,
E
(4)
2ǫ0 4ǫ0 4ǫ0
2ǫ0
ou seja, é o mesmo campo do plano sozinho.
2. Resolução:
(a) O fio a pode ser dividio em três partes: dois fios semi-infinitos, e um semi-cı́rculo. Pela lei de Biot-Savart,
~ Já o campo gerado pelo
vemos que os fios semi-infinitos não contribuem para o campo no ponto O, pois d~ℓ k R.
~ = ~0 e r~ − r
~ ′ = −~
semi-cı́rculo dá (tomando O como a nossa origem, ou seja, r
r ′ = −Rr̂)
Z π
Z ~
Z π
′
~
µ0 I
µ0 I
dℓ × (−Rr̂)
µ0 I
~ = µ0 I dℓ × (~r − ~r ) = µ0 I
dθ = −
ẑ
ẑ .
(5)
=
Rdθ
(−
θ̂
×
r̂)
=
−
B
| {z }
4π |~r − ~r′ |3
4π
R3
4πR2 0
4πR 0
4R
=−ẑ
(b) Bom, como o campo do fio a está ”entrando”no papel, corrente I0 deve estar no sentido positivo do eixo X,
pois só assim o fio b produzirá um campo ”saindo”do papel, e portanto capaz de anular o do fio (a). Sabendo-se
então o campo do fio, temos, no ponto O
~ a = −B
~ b ⇒ µ 0 I = µ 0 I0 ,
B
4R
2πL
2
(6)
3
IπL
.
2R
(7)