⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗

Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de Fı́sica
Fı́sica III – 2015/1 – Segunda Prova: 01/07/2015
Versão: A
3. Uma região possui campo elétrico e magnético uniformes.
O campo elétrico aponta na direção e sentido de x̂ e o
campo magnético aponta na direção e sentido de ŷ. Uma
partı́cula de carga positiva atravessa a região em movimento retilı́neo e uniforme. Em qual direção e sentido
aponta a velocidade da partı́cula?
Formulário
~m = q~
~,
F
v×B
I
~,
dF~m = Idℓ~ × B
I
S
~ · dℓ~ = µ0 Ienc + µ0 ǫ0 dΦE ,
B
dt
C
Seção 1.
~
~ = µ0 Idℓ × R̂ ,
dB
4π R2
~ · dA
~ = 0,
B
Eind = −
dΦB
,
dt
ΦB = LI ,
(b)
(c)
(d)
(e)
Lsol = µ0
N2
A,
l
d(tan θ) = sec2 θdθ
uB =
1 B2
,
2 µ0
ẑ
−ẑ
(c)
x̂
(d)
ŷ
(e)
−ŷ
Múltipla escolha (10×0,6 = 6,0 pontos)
2. A figura abaixo mostra uma região atravessada perpendicularmente por várias correntes estacionárias com intensidades de mesmo módulo I. Por convenção, as correntes
que saem da página são representadas por ⊙ e as que entram na página por ⊗. Estão representados, também, três
diferentes caminhos fechados,
orientados, para a a deterH
~ Assinale a opção abaixo
~ ℓ.
minação da integral Γ := C B·d
que melhor indica a relação entre tais integrais para os diferentes caminhos.
1. Durante o processo de carga de um capacitor de placas paralelas por uma corrente constante ic , como se comportam
~ e magnético, B,
~ entre as placas do
os campos elétrico, E,
capacitor? [estacionário = não depende do tempo]
(a)
1 + tan2 θ = sec2 θ ,
(a)
(b)
5. Considere dois cilindros ocos, de mesmo comprimento,
o primeiro de PVC (isolante), CPVC , e o segundo de
alumı́nio (condutor não magnético), CAl , ambos posicionados na vertical com relação ao solo. Desejamos soltar
duas barras, uma imantada, Bi , e a outra não imantada,
Bni , no interior desses cilindros, simultaneamente. O que
acontece quando: (I) soltamos a barra Bi no tubo CPVC
e a barra Bni no tubo CAl ; e (II) soltamos a barra Bni
no tubo CPVC e a barra Bi no tubo CAl ? Suponha que
o experimento é feito na superfı́cie da Terra e despreze a
resistência do ar.
~ =
~ =
E
6 0 e não estacionário; B
6 0 e estacionário
~
~
E 6= 0 e estacionário; B = 0
~ 6= 0 e estacionário; B
~ 6= 0 e estacionário
E
~
~
E = 0; B 6= 0 e estacionário
~ 6= 0 e não estacionário; B
~ 6= 0 e não estaE
cionário
⊗
⊙
C1
⊙
(a)
(b)
(c)
⊗
⊙
⊙
(I) Ambas as barras chegam ao mesmo tempo
ao solo; (II) Ambas as barras chegam ao mesmo
tempo ao solo.
(b)
(I) A barra Bi chega primeiro ao solo; (II) Ambas
as barras chegam ao mesmo tempo ao solo.
(c)
(I) A barra Bni chega primeiro ao solo; (II) A barra
Bni chega primeiro ao solo.
(d)
(I) A barra Bni chega primeiro ao solo; (II) Ambas
as barras chegam ao mesmo tempo ao solo.
(e)
(I) Ambas as barras chegam ao mesmo tempo ao
solo; (II) A barra Bni chega primeiro ao solo.
4. Um circuito é formado por duas semicircunferências de
raios a e b, como é mostrado na figura abaixo. O vetor
~ produzido pelas correntes do fio no
campo magnético B
ponto P é dado por:
⊗
C2
⊗
C3
Γ1 = −Γ2 = Γ3 .
Γ1 = −Γ2 e Γ3 = 0.
Γ1 = Γ2 = Γ3 .
(d)
Γ1 = Γ2 e Γ3 = 0.
(e)
Não podemos determinar Γ sem conhecermos as
dimensões dos caminhos utilizados.
(a)
~ = µ0 I
B
4
1 1
−
a b
(−ŷ)
(b)
~ = µ0 I
B
4
1 1
−
a b
(ẑ)
~ = µ0 I
B
4π
1 1
−
a b
(ẑ)
~ = µ0 I
B
4
1 1
−
a b
(ŷ)
~ = µ0 I
B
4
1 1
−
a b
(c)
(d)
(e)
1
(a)
6. Considere um solenóide ideal de auto-indutância L0 , comprimento l0 e com N0 espiras. Ao montar-se um novo solenóide com um fio maior, de modo que ele tenha o dobro
de espiras e o dobro do comprimento, qual será a autoindutância desse novo solenóide?
(−ẑ)
2
(a)
4L0
(b)
2L0
(c)
L0
(d)
L0 /2
(e)
L0 /4
7. Considere as afirmativas abaixo:
(i)A corrente induzida num circuito, devido à variação
~ ext , surge
temporal do fluxo do campo magnético externo B
sempre no sentido de gerar um campo magnético induzido
~ ext .
oposto a B
(ii) Um solenóide infinito, de raio a, paralelo ao eixo z, é
percorrido por uma corrente constante variável I(t). Uma
espira é colocada fora do solenóide, a uma distância d de
seu eixo. Podemos afirmar que a corrente induzida na
espira gira no sentido anti-horário.
(iii) Duas espiras condutoras (do mesmo material) C1 e
C2 , de raios respectivos a e 2a, são postas numa região de
campo magnético uniforme, porém não constante, dado
~
por B(t).
Considerando o fenômeno de indução, podemos afirmar que a corrente induzida em C2 é o dobro da
induzida em C1 .
Quais são as afirmativas verdadeiras?
9. Uma espira circular de área A é atravessada por um
campo magnético uniforme que oscila periodicamente no
tempo. Considere que a dependência temporal dos campos I (curva cheia) e II (curva pontilhada) ilustrados nas
figuras abaixo. A f.e.m. máxima e o fluxo máximo de
campo magnético se dão, respectivamente, nas situações
B
2
I
Seção 2. Questões discursivas (1×4,0 = 4,0 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [4 pontos] Considere um trilho condutor em forma de U , ao lado de um fio infinito que transporta uma corrente estacionária
I, como indica a figura (onde indicamos ainda os vetores unitários das coordenadas cilı́ndricas ŝ, ϕ̂ e ẑ). Suponha que uma
haste metálica de comprimento L é colocada entre os dois braços do trilho formando um circuito fechado, e que uma força
externa faz a haste deslizar sobre o condutor com velocidade constante ~v . Despreze as forças de atrito e a resistência do
trilho, e considere que a resistência da haste é igual a R. Despreze ainda qualquer efeito auto-indutivo e capacitivo.
II
1
^z
t
-4
-2
2
4
-1
s^
^
-2
(a)
(i) e (ii).
(a)
I e II.
(b)
(i) e (iii).
(b)
II e I.
(c)
(ii) e (iii).
(c)
I e I.
(d)
Nenhuma.
(d)
II e II.
(e)
Todas.
(e)
Para determinarmos a f.e.m. máxima e o fluxo
máximo precisarı́amos conhecer a resistência oferecida pelas espiras.
10. Infinitos fios condutores retilı́neos, de comprimento infinito e seção transversal quadrada, são colocados lado a
lado no plano xy, de forma compacta e paralelamente à
direção ŷ. Cada fio conduz uma corrente I (no sentido
−ŷ) e há n fios por unidade de comprimento transversal.
Qual das seguintes afirmações é correta?
(a) Qual a direção do campo magnético gerado pelo fio infinito, num ponto arbitrário? Argumente detalhadamente, utilizando seus conhecimentos de magnetismo e/ou argumentos de simetria.[0,7 ponto]
(b) Obtenha o módulo do campo magnético gerado pelo fio, num ponto arbitrário. Note que, dependendo do argumento
ultilizado, argumentos de simetria se farão necessários. [0,8 ponto]
(c) Calcule o fluxo magnético gerado pelo campo magnético do fio infinito no circuito (trilho + haste) [0,7 ponto]
(d) Determine o módulo e o sentido da corrente induzida no circuito. Novamente, argumente detalhadamente, utilizando
seus conhecimentos de magnetismo. [1 ponto]
(e) Calcule a força magnética sobre a haste quando ela está a uma distância s(t) do fio infinito. [0,8 ponto]
8. Seja uma superfı́cie esférica S dividida em duas semiesferas S1 e S2 por uma espira circular condutora ôhmica C.
Sabendo-se a esfera está numa região onde há um campo
~ que a espira tem uma resistência finita e
magnético B,
desprezando qualquer efeito auto-indutivo ou capacitivo,
podemos afirmar que
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
~ através de S1 é nulo.
o fluxo de B
~ através de S1 é proporcional à coro fluxo de B
rente induzida na espira C.
~ em torno de C é proporcional à
a circulação de B
corrente através de S.
~ através
a taxa de variação temporal do fluxo de B
de S1 é proporcional à corrente induzida na espira
C.
~ através
a taxa de variação temporal do fluxo de B
de S1 é nula.
3
(a)
O campo magnético aponta na direção e sentido
de ẑ para z > 0 e de −ẑ para z < 0 e seu módulo
é Bz = µ02n I .
(b)
O campo magnético aponta na direção e sentido
de x̂ e seu módulo é Bx = µ02n I .
(c)
O campo magnético aponta na direção e sentido
de ŷ para z > 0 e de −ŷ para z < 0 e seu módulo
é By = µ02n I .
(d)
O campo magnético aponta na direção e sentido
de x̂ para z > 0 e de −x̂ para z < 0, e seu módulo
é Bx = µ02n I .
(e)
O campo magnético aponta na direção e sentido
4
Gabarito para Versão A
Seção 1.
Seção 2. Questões discursivas (1×4,0 = 4,0 pontos)
1. Resolução:
Múltipla escolha (10×0,6 = 6,0 pontos)
1. (a)
6. (b)
2. (c)
7. (d)
3. (a)
8. (d)
4. (b)
9. (b)
5. (e)
10. (e)
a) Seja o sistema de coordenadas cilı́ndrico usual, onde as coordenadas radial, angular, e de altura são denotadas respectivamente por s, ϕ, e z; e os vetores unitários correspondentes são denotados por ŝ, ϕ̂, e ẑ. Suponhamos ainda que o eixo Z
desse sistema coincida com o fio infinito. Pode-se resolver esse item de duas maneiras:
~ = Bs ŝ + Bϕ ϕ̂ +
• Solução por simetrias, lei de Ampère e lei de Gauss para o campo magnético: Temos, em princı́pio, B
~ tem alguma componente radial, podemos traçar uma superfı́cie gaussiana cilı́ndrica,
Bz ẑ. Para determinarmos se B
R
~ · dA
~ = 0. Por simetria de translação no eixo Z, vemos que o fluxo nas 2 tampas
coaxial ao fio, e usar o fato de que S B
se compensam, ou seja, o fluxo na superfı́cie lateral tem de se anular por si só. Mas, pela simetria cilı́ndrica, esse fluxo
só é zero se o fluxo infinitesimal em todos os pontos da superfı́cie se anula, donde concluı́mos que Bs = 0.
Tracemos agora uma curva amperiana retangular em um plano contendo o fio infinito, de modo
R que dois dos lados do
~ ~ℓ = 0. Como não
retângulo estejam paralelos a ele. Como não passa corrente no interior dessa amperiana, temos C B·d
temos componente radial, a contribuição dos lados perpendiculares ao fio se anulam trivialmente, donde cocluı́mos que
a contribuição dos lados paralelos se compensam. Mas, por simetria de translação em Z, o campo em cada um desses
lados é uniforme, donde concluı́mos que a componente z do campo (a única que contribui para a circulação nesses
lados) independe da distância ao fio. Finalmente, como infinitamente longe do fio o campo deve ir a zero, concluı́mos
que Bz = 0 em todo o espaço.
• Solução por lei de Biot-Savart: Da lei de Biot-Savart, sabemos que um elemento infinitesimal de fio produz um campo
dado por
′
~′
~
~ = µ0 Idℓ × (~r − ~r ) = µ0 Idℓ × R̂ ,
dB
(1)
4π
|~r − ~r′ |3
4π R2
~ = ~r −~r′ , R = |R|
~ e, para simplificar a notação , tiramos a linha de dℓ. Escolhendo-se um sistema de coordendas
onde R
de tal modo que (i) a origem esteja no fio e (ii) que o ponto de observação esteja no plano z = 0, temos dℓ~ = dzẑ e
~ = sŝ − zẑ, e então
R
~ = dzẑ × (sŝ − zẑ) = sdzẑ × ŝ = sdz ϕ̂.
dℓ~ × R
(2)
~ = Bϕ ϕ̂.
Como esse argumento vale para qualquer elemento do fio, vemos que B
b) Também pode-se resolver esse item de duas maneiras:
• Solução por lei de Ampère: Do item anterior, sabemos que o campo magnético “circula” em torno do fio, ou seja, que
~ = B(s,ϕ,z)ϕ̂. Pela simetria cilı́ndrica apresentada pelo fio (simetria axial em torno do eixo do fio + simetria de
B
~ = B(s)ϕ̂. Enunciemos
translação ao longo desse eixo), concluı́mos que o campo independe de s e z, ou seja, que B
agora a lei de Ampère
I
~ · dℓ~ = µ0 Ienc
B
(3)
C
~ (que é o lado esquerdo de (3)) devemos escolher uma curva amperiana adequada.
Para calcularmos a circulação de B
Dada a simetria do problema, escolhemos como amperiana uma circunferência num plano perpendicular ao fio infinito
e coaxial a ele, de raio s. Daı́ temos
I
I
Z 2π
Z 2π
~ · dℓ~ =
B
B(s)ϕ̂· dℓϕ̂ =
B(s) sdϕ ϕ̂ · ϕ̂ = B(s) s
dϕ = 2πsB(s),
(4)
| {z }
C
C
0
0
=1
~
que, substituido em (3), nos permite determinar o módulo do vetor B = |B|
2πrB(r) = µ0 Ienc = µ0 I
⇒
B(s) =
µ0 I
2πs
• Solução por lei de Biot-Savart: Aproveitando o resultado do item anterior e lembrando que R =
Z
Z
Z
µ0 I ϕ̂ ∞
Idℓ~ × R̂
Isdz ϕ̂
µ0 ∞
dz
~ = µ0
=
B
=
4π
R2
4π −∞ (s2 + z 2 )3/2
4πs2 −∞ (1 + z 2 /s2 )3/2
1
2
√
s2 + z 2 , temos
(5)
Fazendo agora a transformação de variáveis z/s = tan θ, temos
F~m = Iind B(s)
=s sec2 θdθ
~ =
|B|
µ0 I
4πs2
z }| {
π/2
Z
π/2
µ0 I
s d(tan θ)
µ0 I π/2
⇒
dθ
cos
θ
=
sin
θ
=
2
3/2
4πs −π/2
4πs
−π/2 (1 + tan θ)
−π/2
|
{z
}
| {z }
Z
=sec3 θ
B(s) =
µ0 I
2πs
(6)
~m =
F
c) O fluxo magnético é obtido da expressão
I
~ · n̂ dA
B
S
dz (−ŝ) = Iind B(s)L (−ŝ) .
µ0 IL
2π
Substituindo B(s) e Iind na expressão acima,
=2
ΦB =
Z
(7)
onde S é o retângulo definido pelo trilho mais a haste, e n̂ = ϕ̂. Temos então
ΦB =
Z
~ · ϕ̂ dA = µ0 I
B
2π
S
Z
L
dz
| 0{z }
Z
s
a
ds
µ0 IL h s i
=
ln
s
2π
a
(8)
=L
d) O primeiro passo é a obtenção da f.e.m. induzida pela variação de fluxo de campo magnético
E =−
µ0 IL d h s i
dΦ
.
=−
ln
dt
2π dt
a
(9)
~ a f.e.m. positiva é no sentido horário. Como a haste está a velocidade constante
Notemos que, devido à nossa escolha de dA,
~v , temos:
s(t) = a + vt,
onde colocamos a origem do sistema de coordendas sobre o fio. Efetuando a derivada acima, temos
µ0 IL v
,
2π s(t)
(10)
|E|
µ0 IL v
=
.
R
2πR s(t)
(11)
E =−
onde ds/dt = v, e então a corrente é dada por
Iind =
O sentido da corrente pode ser deduzido da lei de Lenz. Esta afirma que a corrente induzida sempre “conspira” contra
a variação de fluxo do campo magnético externo (estamos desprezando efeitos de auto-indutância), ou seja, a corrente
induzida gera campos de maneira a inibir a variação de fluxo através do circuito. Para que isso aconteça nesse caso, a
corrente induzida deve estar no sentido anti-horário.
e) A força magnética sobre a haste pode ser deduzida da seguinte expressão:
~m = I
F
Z
C
~
dℓ~ × B
O módulo do campo magnético sobre a haste é constante, além disso:
~ = dzB(s) (−ŝ) ,
dℓ~ × B
temos então:
3
4
2
v
(−ŝ) .
Rs2
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de Fı́sica
Fı́sica III – 2015/1 – Segunda Prova: 01/07/2015
Versão: B
Formulário
~m = q~
~,
F
v×B
I
~,
dF~m = Idℓ~ × B
S
~ · dA
~ = 0,
B
I
~ · dℓ~ = µ0 Ienc + µ0 ǫ0 dΦE ,
B
dt
C
Seção 1.
Eind = −
~ =
dB
dΦB
,
dt
µ0 Idℓ~ × R̂
,
4π R2
ΦB = LI ,
N2
A,
l
uB =
1 B2
,
2 µ0
2. Uma região possui campo elétrico e magnético uniformes.
O campo elétrico aponta na direção e sentido de x̂ e o
campo magnético aponta na direção e sentido de ŷ. Uma
partı́cula de carga positiva atravessa a região em movimento retilı́neo e uniforme. Em qual direção e sentido
aponta a velocidade da partı́cula?
(a)
ẑ
(b)
−ẑ
(c)
⊗
⊙
C1
⊙
(a)
Lsol = µ0
d(tan θ) = sec2 θdθ
Múltipla escolha (10×0,6 = 6,0 pontos)
1. A figura abaixo mostra uma região atravessada perpendicularmente por várias correntes estacionárias com intensidades de mesmo módulo I. Por convenção, as correntes
que saem da página são representadas por ⊙ e as que entram na página por ⊗. Estão representados, também, três
diferentes caminhos fechados,
orientados, para a a deterH
~ Assinale a opção abaixo
~ ℓ.
minação da integral Γ := C B·d
que melhor indica a relação entre tais integrais para os diferentes caminhos.
(b)
1 + tan2 θ = sec2 θ ,
⊗
⊙
⊙
⊗
C2
⊗
3. Considere as afirmativas abaixo:
(i)A corrente induzida num circuito, devido à variação
~ ext , surge
temporal do fluxo do campo magnético externo B
sempre no sentido de gerar um campo magnético induzido
~ ext .
oposto a B
(ii) Um solenóide infinito, de raio a, paralelo ao eixo z, é
percorrido por uma corrente constante variável I(t). Uma
espira é colocada fora do solenóide, a uma distância d de
seu eixo. Podemos afirmar que a corrente induzida na
espira gira no sentido anti-horário.
(iii) Duas espiras condutoras (do mesmo material) C1 e
C2 , de raios respectivos a e 2a, são postas numa região de
campo magnético uniforme, porém não constante, dado
~
por B(t).
Considerando o fenômeno de indução, podemos afirmar que a corrente induzida em C2 é o dobro da
induzida em C1 .
Quais são as afirmativas verdadeiras?
(a)
(i) e (ii).
(b)
(i) e (iii).
(c)
(ii) e (iii).
(d)
Nenhuma.
(e)
Todas.
5. Um circuito é formado por duas semicircunferências de
raios a e b, como é mostrado na figura abaixo. O vetor
~ produzido pelas correntes do fio no
campo magnético B
ponto P é dado por:
ŷ
(e)
−ŷ
Γ1 = Γ2 e Γ3 = 0.
(e)
Não podemos determinar Γ sem conhecermos as
dimensões dos caminhos utilizados.
4. Durante o processo de carga de um capacitor de placas paralelas por uma corrente constante ic , como se comportam
~ e magnético, B,
~ entre as placas do
os campos elétrico, E,
capacitor? [estacionário = não depende do tempo]
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
(−ŷ)
(b)
~ = µ0 I
B
4
1 1
−
a b
(ẑ)
~ = µ0 I
B
4π
1 1
−
a b
(ẑ)
~ = µ0 I
B
4
1 1
−
a b
(ŷ)
~ = µ0 I
B
4
1 1
−
a b
(−ẑ)
6. Considere dois cilindros ocos, de mesmo comprimento,
o primeiro de PVC (isolante), CPVC , e o segundo de
alumı́nio (condutor não magnético), CAl , ambos posicionados na vertical com relação ao solo. Desejamos soltar
duas barras, uma imantada, Bi , e a outra não imantada,
Bni , no interior desses cilindros, simultaneamente. O que
acontece quando: (I) soltamos a barra Bi no tubo CPVC
e a barra Bni no tubo CAl ; e (II) soltamos a barra Bni
no tubo CPVC e a barra Bi no tubo CAl ? Suponha que
o experimento é feito na superfı́cie da Terra e despreze a
resistência do ar.
Γ1 = −Γ2 e Γ3 = 0.
Γ1 = Γ2 = Γ3 .
1 1
−
a b
(e)
Γ1 = −Γ2 = Γ3 .
(c)
(d)
C3
(d)
~ = µ0 I
B
4
(c)
x̂
(d)
(a)
~ =
~ =
E
6 0 e não estacionário; B
6 0 e estacionário
~
~
E 6= 0 e estacionário; B = 0
~ 6= 0 e estacionário; B
~ 6= 0 e estacionário
E
~
~
E = 0; B 6= 0 e estacionário
~ 6= 0 e não estacionário; B
~ 6= 0 e não estaE
cionário
2
(a)
(I) Ambas as barras chegam ao mesmo tempo
ao solo; (II) Ambas as barras chegam ao mesmo
tempo ao solo.
(b)
(I) A barra Bi chega primeiro ao solo; (II) Ambas
as barras chegam ao mesmo tempo ao solo.
(c)
(I) A barra Bni chega primeiro ao solo; (II) A barra
Bni chega primeiro ao solo.
(d)
(I) A barra Bni chega primeiro ao solo; (II) Ambas
as barras chegam ao mesmo tempo ao solo.
(e)
(I) Ambas as barras chegam ao mesmo tempo ao
solo; (II) A barra Bni chega primeiro ao solo.
7. Considere um solenóide ideal de auto-indutância L0 , comprimento l0 e com N0 espiras. Ao montar-se um novo solenóide com um fio maior, de modo que ele tenha o dobro
de espiras e o dobro do comprimento, qual será a autoindutância desse novo solenóide?
(a)
10. Infinitos fios condutores retilı́neos, de comprimento infinito e seção transversal quadrada, são colocados lado a
lado no plano xy, de forma compacta e paralelamente à
direção ŷ. Cada fio conduz uma corrente I (no sentido
−ŷ) e há n fios por unidade de comprimento transversal.
Qual das seguintes afirmações é correta?
4L0
(b)
2L0
(c)
L0
(d)
L0 /2
(e)
L0 /4
(a)
(c)
(d)
(e)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [4 pontos] Considere um trilho condutor em forma de U , ao lado de um fio infinito que transporta uma corrente estacionária
I, como indica a figura (onde indicamos ainda os vetores unitários das coordenadas cilı́ndricas ŝ, ϕ̂ e ẑ). Suponha que uma
haste metálica de comprimento L é colocada entre os dois braços do trilho formando um circuito fechado, e que uma força
externa faz a haste deslizar sobre o condutor com velocidade constante ~v . Despreze as forças de atrito e a resistência do
trilho, e considere que a resistência da haste é igual a R. Despreze ainda qualquer efeito auto-indutivo e capacitivo.
z^
8. Seja uma superfı́cie esférica S dividida em duas semiesferas S1 e S2 por uma espira circular condutora ôhmica C.
Sabendo-se a esfera está numa região onde há um campo
~ que a espira tem uma resistência finita e
magnético B,
desprezando qualquer efeito auto-indutivo ou capacitivo,
podemos afirmar que
(b)
Seção 2. Questões discursivas (1×4,0 = 4,0 pontos)
~ através de S1 é nulo.
o fluxo de B
~ através de S1 é proporcional à coro fluxo de B
rente induzida na espira C.
~ em torno de C é proporcional à
a circulação de B
corrente através de S.
~ através
a taxa de variação temporal do fluxo de B
de S1 é proporcional à corrente induzida na espira
C.
~ através
a taxa de variação temporal do fluxo de B
de S1 é nula.
9. Uma espira circular de área A é atravessada por um
campo magnético uniforme que oscila periodicamente no
tempo. Considere que a dependência temporal dos campos I (curva cheia) e II (curva pontilhada) ilustrados nas
figuras abaixo. A f.e.m. máxima e o fluxo máximo de
campo magnético se dão, respectivamente, nas situações
(a)
O campo magnético aponta na direção e sentido
de ẑ para z > 0 e de −ẑ para z < 0 e seu módulo
é Bz = µ02n I .
(b)
O campo magnético aponta na direção e sentido
de x̂ e seu módulo é Bx = µ02n I .
(c)
O campo magnético aponta na direção e sentido
de ŷ para z > 0 e de −ŷ para z < 0 e seu módulo
é By = µ02n I .
(d)
O campo magnético aponta na direção e sentido
de x̂ para z > 0 e de −x̂ para z < 0, e seu módulo
é Bx = µ02n I .
(e)
O campo magnético aponta na direção e sentido
de −x̂ para z > 0 e de x̂ para z < 0, e seu módulo
é Bx = µ02n I .
(a) Qual a direção do campo magnético gerado pelo fio infinito, num ponto arbitrário? Argumente detalhadamente, utilizando seus conhecimentos de magnetismo e/ou argumentos de simetria.[0,7 ponto]
(b) Obtenha o módulo do campo magnético gerado pelo fio, num ponto arbitrário. Note que, dependendo do argumento
ultilizado, argumentos de simetria se farão necessários. [0,8 ponto]
(c) Calcule o fluxo magnético gerado pelo campo magnético do fio infinito no circuito (trilho + haste) [0,7 ponto]
(d) Determine o módulo e o sentido da corrente induzida no circuito. Novamente, argumente detalhadamente, utilizando
seus conhecimentos de magnetismo. [1 ponto]
(e) Calcule a força magnética sobre a haste quando ela está a uma distância s(t) do fio infinito. [0,8 ponto]
B
2
s^
^
φ
I
II
1
t
-4
-2
2
4
-1
-2
(a)
I e II.
(b)
II e I.
(c)
I e I.
(d)
II e II.
(e)
Para determinarmos a f.e.m. máxima e o fluxo
máximo precisarı́amos conhecer a resistência oferecida pelas espiras.
3
4
Gabarito para Versão B
Seção 1.
Seção 2. Questões discursivas (1×4,0 = 4,0 pontos)
1. Resolução:
Múltipla escolha (10×0,6 = 6,0 pontos)
1. (c)
6. (e)
2. (a)
7. (b)
3. (d)
8. (d)
4. (a)
9. (b)
5. (b)
10. (e)
a) Seja o sistema de coordenadas cilı́ndrico usual, onde as coordenadas radial, angular, e de altura são denotadas respectivamente por s, ϕ, e z; e os vetores unitários correspondentes são denotados por ŝ, ϕ̂, e ẑ. Suponhamos ainda que o eixo Z
desse sistema coincida com o fio infinito. Pode-se resolver esse item de duas maneiras:
~ = Bs ŝ + Bϕ ϕ̂ +
• Solução por simetrias, lei de Ampère e lei de Gauss para o campo magnético: Temos, em princı́pio, B
~ tem alguma componente radial, podemos traçar uma superfı́cie gaussiana cilı́ndrica,
Bz ẑ. Para determinarmos se B
R
~ · dA
~ = 0. Por simetria de translação no eixo Z, vemos que o fluxo nas 2 tampas
coaxial ao fio, e usar o fato de que S B
se compensam, ou seja, o fluxo na superfı́cie lateral tem de se anular por si só. Mas, pela simetria cilı́ndrica, esse fluxo
só é zero se o fluxo infinitesimal em todos os pontos da superfı́cie se anula, donde concluı́mos que Bs = 0.
Tracemos agora uma curva amperiana retangular em um plano contendo o fio infinito, de modo
R que dois dos lados do
~ ~ℓ = 0. Como não
retângulo estejam paralelos a ele. Como não passa corrente no interior dessa amperiana, temos C B·d
temos componente radial, a contribuição dos lados perpendiculares ao fio se anulam trivialmente, donde cocluı́mos que
a contribuição dos lados paralelos se compensam. Mas, por simetria de translação em Z, o campo em cada um desses
lados é uniforme, donde concluı́mos que a componente z do campo (a única que contribui para a circulação nesses
lados) independe da distância ao fio. Finalmente, como infinitamente longe do fio o campo deve ir a zero, concluı́mos
que Bz = 0 em todo o espaço.
• Solução por lei de Biot-Savart: Da lei de Biot-Savart, sabemos que um elemento infinitesimal de fio produz um campo
dado por
′
~′
~
~ = µ0 Idℓ × (~r − ~r ) = µ0 Idℓ × R̂ ,
dB
(1)
4π
|~r − ~r′ |3
4π R2
~ = ~r −~r′ , R = |R|
~ e, para simplificar a notação , tiramos a linha de dℓ. Escolhendo-se um sistema de coordendas
onde R
de tal modo que (i) a origem esteja no fio e (ii) que o ponto de observação esteja no plano z = 0, temos dℓ~ = dzẑ e
~ = sŝ − zẑ, e então
R
~ = dzẑ × (sŝ − zẑ) = sdzẑ × ŝ = sdz ϕ̂.
dℓ~ × R
(2)
~ = Bϕ ϕ̂.
Como esse argumento vale para qualquer elemento do fio, vemos que B
b) Também pode-se resolver esse item de duas maneiras:
• Solução por lei de Ampère: Do item anterior, sabemos que o campo magnético “circula” em torno do fio, ou seja, que
~ = B(s,ϕ,z)ϕ̂. Pela simetria cilı́ndrica apresentada pelo fio (simetria axial em torno do eixo do fio + simetria de
B
~ = B(s)ϕ̂. Enunciemos
translação ao longo desse eixo), concluı́mos que o campo independe de s e z, ou seja, que B
agora a lei de Ampère
I
~ · dℓ~ = µ0 Ienc
B
(3)
C
~ (que é o lado esquerdo de (3)) devemos escolher uma curva amperiana adequada.
Para calcularmos a circulação de B
Dada a simetria do problema, escolhemos como amperiana uma circunferência num plano perpendicular ao fio infinito
e coaxial a ele, de raio s. Daı́ temos
I
I
Z 2π
Z 2π
~ · dℓ~ =
B
B(s)ϕ̂· dℓϕ̂ =
B(s) sdϕ ϕ̂ · ϕ̂ = B(s) s
dϕ = 2πsB(s),
(4)
| {z }
C
C
0
0
=1
~
que, substituido em (3), nos permite determinar o módulo do vetor B = |B|
2πrB(r) = µ0 Ienc = µ0 I
⇒
B(s) =
µ0 I
2πs
• Solução por lei de Biot-Savart: Aproveitando o resultado do item anterior e lembrando que R =
Z
Z
Z
µ0 I ϕ̂ ∞
Idℓ~ × R̂
Isdz ϕ̂
µ0 ∞
dz
~ = µ0
=
B
=
4π
R2
4π −∞ (s2 + z 2 )3/2
4πs2 −∞ (1 + z 2 /s2 )3/2
1
2
√
s2 + z 2 , temos
(5)
Fazendo agora a transformação de variáveis z/s = tan θ, temos
F~m = Iind B(s)
=s sec2 θdθ
~ =
|B|
µ0 I
4πs2
z }| {
π/2
Z
π/2
µ0 I
s d(tan θ)
µ0 I π/2
⇒
dθ
cos
θ
=
sin
θ
=
2
3/2
4πs −π/2
4πs
−π/2 (1 + tan θ)
−π/2
|
{z
}
| {z }
Z
=sec3 θ
B(s) =
µ0 I
2πs
(6)
~m =
F
c) O fluxo magnético é obtido da expressão
I
~ · n̂ dA
B
S
dz (−ŝ) = Iind B(s)L (−ŝ) .
µ0 IL
2π
Substituindo B(s) e Iind na expressão acima,
=2
ΦB =
Z
(7)
onde S é o retângulo definido pelo trilho mais a haste, e n̂ = ϕ̂. Temos então
ΦB =
Z
~ · ϕ̂ dA = µ0 I
B
2π
S
Z
L
dz
| 0{z }
Z
s
a
ds
µ0 IL h s i
=
ln
s
2π
a
(8)
=L
d) O primeiro passo é a obtenção da f.e.m. induzida pela variação de fluxo de campo magnético
E =−
µ0 IL d h s i
dΦ
.
=−
ln
dt
2π dt
a
(9)
~ a f.e.m. positiva é no sentido horário. Como a haste está a velocidade constante
Notemos que, devido à nossa escolha de dA,
~v , temos:
s(t) = a + vt,
onde colocamos a origem do sistema de coordendas sobre o fio. Efetuando a derivada acima, temos
µ0 IL v
,
2π s(t)
(10)
|E|
µ0 IL v
=
.
R
2πR s(t)
(11)
E =−
onde ds/dt = v, e então a corrente é dada por
Iind =
O sentido da corrente pode ser deduzido da lei de Lenz. Esta afirma que a corrente induzida sempre “conspira” contra
a variação de fluxo do campo magnético externo (estamos desprezando efeitos de auto-indutância), ou seja, a corrente
induzida gera campos de maneira a inibir a variação de fluxo através do circuito. Para que isso aconteça nesse caso, a
corrente induzida deve estar no sentido anti-horário.
e) A força magnética sobre a haste pode ser deduzida da seguinte expressão:
~m = I
F
Z
C
~
dℓ~ × B
O módulo do campo magnético sobre a haste é constante, além disso:
~ = dzB(s) (−ŝ) ,
dℓ~ × B
temos então:
3
4
2
v
(−ŝ) .
Rs2
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de Fı́sica
Fı́sica III – 2015/1 – Segunda Prova: 01/07/2015
Versão: C
Formulário
~m = q~
~,
F
v×B
~,
dF~m = Idℓ~ × B
I
I
S
~ · dℓ~ = µ0 Ienc + µ0 ǫ0 dΦE ,
B
dt
C
Seção 1.
~ · dA
~ = 0,
B
Eind = −
~ =
dB
dΦB
,
dt
ΦB = LI ,
(b)
(c)
1 + tan2 θ = sec2 θ ,
Lsol = µ0
N2
A,
l
uB =
d(tan θ) = sec2 θdθ
1 B2
,
2 µ0
Múltipla escolha (10×0,6 = 6,0 pontos)
1. Seja uma superfı́cie esférica S dividida em duas semiesferas S1 e S2 por uma espira circular condutora ôhmica C.
Sabendo-se a esfera está numa região onde há um campo
~ que a espira tem uma resistência finita e
magnético B,
desprezando qualquer efeito auto-indutivo ou capacitivo,
podemos afirmar que
(a)
µ0 Idℓ~ × R̂
,
4π R2
2. Um circuito é formado por duas semicircunferências de
raios a e b, como é mostrado na figura abaixo. O vetor
~ produzido pelas correntes do fio no
campo magnético B
ponto P é dado por:
5. Infinitos fios condutores retilı́neos, de comprimento infinito e seção transversal quadrada, são colocados lado a
lado no plano xy, de forma compacta e paralelamente à
direção ŷ. Cada fio conduz uma corrente I (no sentido
−ŷ) e há n fios por unidade de comprimento transversal.
Qual das seguintes afirmações é correta?
3. Considere dois cilindros ocos, de mesmo comprimento,
o primeiro de PVC (isolante), CPVC , e o segundo de
alumı́nio (condutor não magnético), CAl , ambos posicionados na vertical com relação ao solo. Desejamos soltar
duas barras, uma imantada, Bi , e a outra não imantada,
Bni , no interior desses cilindros, simultaneamente. O que
acontece quando: (I) soltamos a barra Bi no tubo CPVC
e a barra Bni no tubo CAl ; e (II) soltamos a barra Bni
no tubo CPVC e a barra Bi no tubo CAl ? Suponha que
o experimento é feito na superfı́cie da Terra e despreze a
resistência do ar.
(a)
(I) Ambas as barras chegam ao mesmo tempo
ao solo; (II) Ambas as barras chegam ao mesmo
tempo ao solo.
(b)
(I) A barra Bi chega primeiro ao solo; (II) Ambas
as barras chegam ao mesmo tempo ao solo.
(c)
(I) A barra Bni chega primeiro ao solo; (II) A barra
Bni chega primeiro ao solo.
(d)
(e)
(a)
(I) A barra Bni chega primeiro ao solo; (II) Ambas
as barras chegam ao mesmo tempo ao solo.
O campo magnético aponta na direção e sentido
de ẑ para z > 0 e de −ẑ para z < 0 e seu módulo
é Bz = µ02n I .
(b)
(I) Ambas as barras chegam ao mesmo tempo ao
solo; (II) A barra Bni chega primeiro ao solo.
O campo magnético aponta na direção e sentido
de x̂ e seu módulo é Bx = µ02n I .
(c)
O campo magnético aponta na direção e sentido
de ŷ para z > 0 e de −ŷ para z < 0 e seu módulo
é By = µ02n I .
(d)
O campo magnético aponta na direção e sentido
de x̂ para z > 0 e de −x̂ para z < 0, e seu módulo
é Bx = µ02n I .
(e)
O campo magnético aponta na direção e sentido
de −x̂ para z > 0 e de x̂ para z < 0, e seu módulo
é Bx = µ02n I .
~ através de S1 é nulo.
o fluxo de B
~ através de S1 é proporcional à coro fluxo de B
rente induzida na espira C.
~ em torno de C é proporcional à
a circulação de B
corrente através de S.
(d)
(e)
~ através
a taxa de variação temporal do fluxo de B
de S1 é proporcional à corrente induzida na espira
C.
~ através
a taxa de variação temporal do fluxo de B
de S1 é nula.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
~ = µ0 I
B
4
~ = µ0 I
B
4
~ = µ0 I
B
4π
~ = µ0 I
B
4
~ = µ0 I
B
4
1 1
−
a b
(−ŷ)
1 1
−
a b
(ẑ)
1 1
−
a b
(ẑ)
1 1
−
a b
(ŷ)
1 1
−
a b
(−ẑ)
4. Uma região possui campo elétrico e magnético uniformes.
O campo elétrico aponta na direção e sentido de x̂ e o
campo magnético aponta na direção e sentido de ŷ. Uma
partı́cula de carga positiva atravessa a região em movimento retilı́neo e uniforme. Em qual direção e sentido
aponta a velocidade da partı́cula?
(a)
ẑ
(b)
−ẑ
(c)
x̂
(d)
ŷ
(e)
−ŷ
2
6. Considere as afirmativas abaixo:
(i)A corrente induzida num circuito, devido à variação
~ ext , surge
temporal do fluxo do campo magnético externo B
sempre no sentido de gerar um campo magnético induzido
~ ext .
oposto a B
(ii) Um solenóide infinito, de raio a, paralelo ao eixo z, é
percorrido por uma corrente constante variável I(t). Uma
espira é colocada fora do solenóide, a uma distância d de
seu eixo. Podemos afirmar que a corrente induzida na
espira gira no sentido anti-horário.
(iii) Duas espiras condutoras (do mesmo material) C1 e
C2 , de raios respectivos a e 2a, são postas numa região de
campo magnético uniforme, porém não constante, dado
~
por B(t).
Considerando o fenômeno de indução, podemos afirmar que a corrente induzida em C2 é o dobro da
induzida em C1 .
Quais são as afirmativas verdadeiras?
8. Uma espira circular de área A é atravessada por um
campo magnético uniforme que oscila periodicamente no
tempo. Considere que a dependência temporal dos campos I (curva cheia) e II (curva pontilhada) ilustrados nas
figuras abaixo. A f.e.m. máxima e o fluxo máximo de
campo magnético se dão, respectivamente, nas situações
B
2
I
-2
2
-1
(a)
I e II.
(b)
II e I.
(c)
(ii) e (iii).
(c)
I e I.
(d)
Nenhuma.
(d)
II e II.
(e)
Todas.
(e)
Para determinarmos a f.e.m. máxima e o fluxo
máximo precisarı́amos conhecer a resistência oferecida pelas espiras.
9. Durante o processo de carga de um capacitor de placas paralelas por uma corrente constante ic , como se comportam
~ e magnético, B,
~ entre as placas do
os campos elétrico, E,
capacitor? [estacionário = não depende do tempo]
7. A figura abaixo mostra uma região atravessada perpendicularmente por várias correntes estacionárias com intensidades de mesmo módulo I. Por convenção, as correntes
que saem da página são representadas por ⊙ e as que entram na página por ⊗. Estão representados, também, três
diferentes caminhos fechados,
orientados, para a a deterH
~ Assinale a opção abaixo
~ ℓ.
minação da integral Γ := C B·d
que melhor indica a relação entre tais integrais para os diferentes caminhos.
⊙
(a)
(b)
⊗
⊙
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
⊗
C3
Γ1 = −Γ2 = Γ3 .
Γ1 = −Γ2 e Γ3 = 0.
(c)
Γ1 = Γ2 = Γ3 .
(d)
Γ1 = Γ2 e Γ3 = 0.
(e)
Não podemos determinar Γ sem conhecermos as
dimensões dos caminhos utilizados.
~ =
~ =
E
6 0 e não estacionário; B
6 0 e estacionário
~ 6= 0 e estacionário; B
~ =0
E
~ 6= 0 e estacionário; B
~ =
E
6 0 e estacionário
~ = 0; B
~ 6= 0 e estacionário
E
~ 6= 0 e não estacionário; B
~ =
E
6 0 e não estacionário
(a) Qual a direção do campo magnético gerado pelo fio infinito, num ponto arbitrário? Argumente detalhadamente, utilizando seus conhecimentos de magnetismo e/ou argumentos de simetria.[0,7 ponto]
(b) Obtenha o módulo do campo magnético gerado pelo fio, num ponto arbitrário. Note que, dependendo do argumento
ultilizado, argumentos de simetria se farão necessários. [0,8 ponto]
(c) Calcule o fluxo magnético gerado pelo campo magnético do fio infinito no circuito (trilho + haste) [0,7 ponto]
(d) Determine o módulo e o sentido da corrente induzida no circuito. Novamente, argumente detalhadamente, utilizando
seus conhecimentos de magnetismo. [1 ponto]
(e) Calcule a força magnética sobre a haste quando ela está a uma distância s(t) do fio infinito. [0,8 ponto]
10. Considere um solenóide ideal de auto-indutância L0 , comprimento l0 e com N0 espiras. Ao montar-se um novo solenóide com um fio maior, de modo que ele tenha o dobro
de espiras e o dobro do comprimento, qual será a autoindutância desse novo solenóide?
C2
⊗
s^
^
φ
-2
(i) e (iii).
⊙
z^
4
(i) e (ii).
C1
1. [4 pontos] Considere um trilho condutor em forma de U , ao lado de um fio infinito que transporta uma corrente estacionária
I, como indica a figura (onde indicamos ainda os vetores unitários das coordenadas cilı́ndricas ŝ, ϕ̂ e ẑ). Suponha que uma
haste metálica de comprimento L é colocada entre os dois braços do trilho formando um circuito fechado, e que uma força
externa faz a haste deslizar sobre o condutor com velocidade constante ~v . Despreze as forças de atrito e a resistência do
trilho, e considere que a resistência da haste é igual a R. Despreze ainda qualquer efeito auto-indutivo e capacitivo.
t
-4
(a)
⊙
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
II
1
(b)
⊗
Seção 2. Questões discursivas (1×4,0 = 4,0 pontos)
3
(a)
4L0
(b)
2L0
(c)
L0
(d)
L0 /2
(e)
L0 /4
4
Gabarito para Versão C
Seção 1.
Seção 2. Questões discursivas (1×4,0 = 4,0 pontos)
1. Resolução:
Múltipla escolha (10×0,6 = 6,0 pontos)
1. (d)
6. (d)
2. (b)
7. (c)
3. (e)
8. (b)
4. (a)
9. (a)
5. (e)
10. (b)
a) Seja o sistema de coordenadas cilı́ndrico usual, onde as coordenadas radial, angular, e de altura são denotadas respectivamente por s, ϕ, e z; e os vetores unitários correspondentes são denotados por ŝ, ϕ̂, e ẑ. Suponhamos ainda que o eixo Z
desse sistema coincida com o fio infinito. Pode-se resolver esse item de duas maneiras:
~ = Bs ŝ + Bϕ ϕ̂ +
• Solução por simetrias, lei de Ampère e lei de Gauss para o campo magnético: Temos, em princı́pio, B
~ tem alguma componente radial, podemos traçar uma superfı́cie gaussiana cilı́ndrica,
Bz ẑ. Para determinarmos se B
R
~ · dA
~ = 0. Por simetria de translação no eixo Z, vemos que o fluxo nas 2 tampas
coaxial ao fio, e usar o fato de que S B
se compensam, ou seja, o fluxo na superfı́cie lateral tem de se anular por si só. Mas, pela simetria cilı́ndrica, esse fluxo
só é zero se o fluxo infinitesimal em todos os pontos da superfı́cie se anula, donde concluı́mos que Bs = 0.
Tracemos agora uma curva amperiana retangular em um plano contendo o fio infinito, de modo
R que dois dos lados do
~ ~ℓ = 0. Como não
retângulo estejam paralelos a ele. Como não passa corrente no interior dessa amperiana, temos C B·d
temos componente radial, a contribuição dos lados perpendiculares ao fio se anulam trivialmente, donde cocluı́mos que
a contribuição dos lados paralelos se compensam. Mas, por simetria de translação em Z, o campo em cada um desses
lados é uniforme, donde concluı́mos que a componente z do campo (a única que contribui para a circulação nesses
lados) independe da distância ao fio. Finalmente, como infinitamente longe do fio o campo deve ir a zero, concluı́mos
que Bz = 0 em todo o espaço.
• Solução por lei de Biot-Savart: Da lei de Biot-Savart, sabemos que um elemento infinitesimal de fio produz um campo
dado por
′
~′
~
~ = µ0 Idℓ × (~r − ~r ) = µ0 Idℓ × R̂ ,
dB
(1)
4π
|~r − ~r′ |3
4π R2
~ = ~r −~r′ , R = |R|
~ e, para simplificar a notação , tiramos a linha de dℓ. Escolhendo-se um sistema de coordendas
onde R
de tal modo que (i) a origem esteja no fio e (ii) que o ponto de observação esteja no plano z = 0, temos dℓ~ = dzẑ e
~ = sŝ − zẑ, e então
R
~ = dzẑ × (sŝ − zẑ) = sdzẑ × ŝ = sdz ϕ̂.
dℓ~ × R
(2)
~ = Bϕ ϕ̂.
Como esse argumento vale para qualquer elemento do fio, vemos que B
b) Também pode-se resolver esse item de duas maneiras:
• Solução por lei de Ampère: Do item anterior, sabemos que o campo magnético “circula” em torno do fio, ou seja, que
~ = B(s,ϕ,z)ϕ̂. Pela simetria cilı́ndrica apresentada pelo fio (simetria axial em torno do eixo do fio + simetria de
B
~ = B(s)ϕ̂. Enunciemos
translação ao longo desse eixo), concluı́mos que o campo independe de s e z, ou seja, que B
agora a lei de Ampère
I
~ · dℓ~ = µ0 Ienc
B
(3)
C
~ (que é o lado esquerdo de (3)) devemos escolher uma curva amperiana adequada.
Para calcularmos a circulação de B
Dada a simetria do problema, escolhemos como amperiana uma circunferência num plano perpendicular ao fio infinito
e coaxial a ele, de raio s. Daı́ temos
I
I
Z 2π
Z 2π
~ · dℓ~ =
B
B(s)ϕ̂· dℓϕ̂ =
B(s) sdϕ ϕ̂ · ϕ̂ = B(s) s
dϕ = 2πsB(s),
(4)
| {z }
C
C
0
0
=1
~
que, substituido em (3), nos permite determinar o módulo do vetor B = |B|
2πrB(r) = µ0 Ienc = µ0 I
⇒
B(s) =
µ0 I
2πs
• Solução por lei de Biot-Savart: Aproveitando o resultado do item anterior e lembrando que R =
Z
Z
Z
µ0 I ϕ̂ ∞
Idℓ~ × R̂
Isdz ϕ̂
µ0 ∞
dz
~ = µ0
=
B
=
4π
R2
4π −∞ (s2 + z 2 )3/2
4πs2 −∞ (1 + z 2 /s2 )3/2
1
2
√
s2 + z 2 , temos
(5)
Fazendo agora a transformação de variáveis z/s = tan θ, temos
F~m = Iind B(s)
=s sec2 θdθ
~ =
|B|
µ0 I
4πs2
z }| {
π/2
Z
π/2
µ0 I
s d(tan θ)
µ0 I π/2
⇒
dθ
cos
θ
=
sin
θ
=
2
3/2
4πs −π/2
4πs
−π/2 (1 + tan θ)
−π/2
|
{z
}
| {z }
Z
=sec3 θ
B(s) =
µ0 I
2πs
(6)
~m =
F
c) O fluxo magnético é obtido da expressão
I
~ · n̂ dA
B
S
dz (−ŝ) = Iind B(s)L (−ŝ) .
µ0 IL
2π
Substituindo B(s) e Iind na expressão acima,
=2
ΦB =
Z
(7)
onde S é o retângulo definido pelo trilho mais a haste, e n̂ = ϕ̂. Temos então
ΦB =
Z
~ · ϕ̂ dA = µ0 I
B
2π
S
Z
L
dz
| 0{z }
Z
s
a
ds
µ0 IL h s i
=
ln
s
2π
a
(8)
=L
d) O primeiro passo é a obtenção da f.e.m. induzida pela variação de fluxo de campo magnético
E =−
µ0 IL d h s i
dΦ
.
=−
ln
dt
2π dt
a
(9)
~ a f.e.m. positiva é no sentido horário. Como a haste está a velocidade constante
Notemos que, devido à nossa escolha de dA,
~v , temos:
s(t) = a + vt,
onde colocamos a origem do sistema de coordendas sobre o fio. Efetuando a derivada acima, temos
µ0 IL v
,
2π s(t)
(10)
|E|
µ0 IL v
=
.
R
2πR s(t)
(11)
E =−
onde ds/dt = v, e então a corrente é dada por
Iind =
O sentido da corrente pode ser deduzido da lei de Lenz. Esta afirma que a corrente induzida sempre “conspira” contra
a variação de fluxo do campo magnético externo (estamos desprezando efeitos de auto-indutância), ou seja, a corrente
induzida gera campos de maneira a inibir a variação de fluxo através do circuito. Para que isso aconteça nesse caso, a
corrente induzida deve estar no sentido anti-horário.
e) A força magnética sobre a haste pode ser deduzida da seguinte expressão:
~m = I
F
Z
C
~
dℓ~ × B
O módulo do campo magnético sobre a haste é constante, além disso:
~ = dzB(s) (−ŝ) ,
dℓ~ × B
temos então:
3
4
2
v
(−ŝ) .
Rs2
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de Fı́sica
Fı́sica III – 2015/1 – Segunda Prova: 01/07/2015
Versão: D
(a)
Formulário
~m = q~
~,
F
v×B
~,
dF~m = Idℓ~ × B
I
I
S
~ · dℓ~ = µ0 Ienc + µ0 ǫ0 dΦE ,
B
dt
C
~ · dA
~ = 0,
B
Eind = −
~
~ = µ0 Idℓ × R̂ ,
dB
4π R2
dΦB
,
dt
ΦB = LI ,
1 + tan2 θ = sec2 θ ,
Lsol = µ0
N2
A,
l
6. Uma espira circular de área A é atravessada por um
campo magnético uniforme que oscila periodicamente no
tempo. Considere que a dependência temporal dos campos I (curva cheia) e II (curva pontilhada) ilustrados nas
figuras abaixo. A f.e.m. máxima e o fluxo máximo de
campo magnético se dão, respectivamente, nas situações
3. Considere um solenóide ideal de auto-indutância L0 , comprimento l0 e com N0 espiras. Ao montar-se um novo solenóide com um fio maior, de modo que ele tenha o dobro
de espiras e o dobro do comprimento, qual será a autoindutância desse novo solenóide?
uB =
d(tan θ) = sec2 θdθ
4L0
B
(b)
2L0
(c)
L0
2
(d)
L0 /2
1
(e)
L0 /4
I
II
t
1 B2
,
2 µ0
-4
-2
2
4
-1
-2
Seção 1.
Múltipla escolha (10×0,6 = 6,0 pontos)
2. Considere dois cilindros ocos, de mesmo comprimento,
o primeiro de PVC (isolante), CPVC , e o segundo de
alumı́nio (condutor não magnético), CAl , ambos posicionados na vertical com relação ao solo. Desejamos soltar
duas barras, uma imantada, Bi , e a outra não imantada,
Bni , no interior desses cilindros, simultaneamente. O que
acontece quando: (I) soltamos a barra Bi no tubo CPVC
e a barra Bni no tubo CAl ; e (II) soltamos a barra Bni
no tubo CPVC e a barra Bi no tubo CAl ? Suponha que
o experimento é feito na superfı́cie da Terra e despreze a
resistência do ar.
1. Um circuito é formado por duas semicircunferências de
raios a e b, como é mostrado na figura abaixo. O vetor
~ produzido pelas correntes do fio no
campo magnético B
ponto P é dado por:
~ = µ0 I
B
4
1 1
−
a b
(−ŷ)
~ = µ0 I
B
4
1 1
−
a b
(b)
(ẑ)
(c)
~ = µ0 I
B
4π
1 1
−
a b
(ẑ)
(d)
~ = µ0 I
B
4
1 1
−
a b
(ŷ)
(e)
~ = µ0 I
B
4
1 1
−
a b
(−ẑ)
(a)
1
(a)
(I) Ambas as barras chegam ao mesmo tempo
ao solo; (II) Ambas as barras chegam ao mesmo
tempo ao solo.
(b)
(I) A barra Bi chega primeiro ao solo; (II) Ambas
as barras chegam ao mesmo tempo ao solo.
(c)
(I) A barra Bni chega primeiro ao solo; (II) A barra
Bni chega primeiro ao solo.
(d)
(I) A barra Bni chega primeiro ao solo; (II) Ambas
as barras chegam ao mesmo tempo ao solo.
(e)
(I) Ambas as barras chegam ao mesmo tempo ao
solo; (II) A barra Bni chega primeiro ao solo.
4. Durante o processo de carga de um capacitor de placas paralelas por uma corrente constante ic , como se comportam
~ e magnético, B,
~ entre as placas do
os campos elétrico, E,
capacitor? [estacionário = não depende do tempo]
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
I e II.
(b)
II e I.
(c)
I e I.
(d)
II e II.
(e)
Para determinarmos a f.e.m. máxima e o fluxo
máximo precisarı́amos conhecer a resistência oferecida pelas espiras.
~ =
~ =
E
6 0 e não estacionário; B
6 0 e estacionário
~
~
E 6= 0 e estacionário; B = 0
~ 6= 0 e estacionário; B
~ 6= 0 e estacionário
E
~
~
E = 0; B 6= 0 e estacionário
~ 6= 0 e não estacionário; B
~ 6= 0 e não estaE
cionário
7. Seja uma superfı́cie esférica S dividida em duas semiesferas S1 e S2 por uma espira circular condutora ôhmica C.
Sabendo-se a esfera está numa região onde há um campo
~ que a espira tem uma resistência finita e
magnético B,
desprezando qualquer efeito auto-indutivo ou capacitivo,
podemos afirmar que
5. Uma região possui campo elétrico e magnético uniformes.
O campo elétrico aponta na direção e sentido de x̂ e o
campo magnético aponta na direção e sentido de ŷ. Uma
partı́cula de carga positiva atravessa a região em movimento retilı́neo e uniforme. Em qual direção e sentido
aponta a velocidade da partı́cula?
(a)
(b)
(c)
(a)
ẑ
(b)
(d)
(c)
−ẑ
x̂
(d)
ŷ
(e)
(e)
−ŷ
2
~ através de S1 é nulo.
o fluxo de B
~ através de S1 é proporcional à coro fluxo de B
rente induzida na espira C.
~ em torno de C é proporcional à
a circulação de B
corrente através de S.
~ através
a taxa de variação temporal do fluxo de B
de S1 é proporcional à corrente induzida na espira
C.
~ através
a taxa de variação temporal do fluxo de B
de S1 é nula.
8. A figura abaixo mostra uma região atravessada perpendicularmente por várias correntes estacionárias com intensidades de mesmo módulo I. Por convenção, as correntes
que saem da página são representadas por ⊙ e as que entram na página por ⊗. Estão representados, também, três
diferentes caminhos fechados,
orientados, para a a deterH
~ Assinale a opção abaixo
~ ℓ.
minação da integral Γ := C B·d
que melhor indica a relação entre tais integrais para os diferentes caminhos.
⊗
⊙
C1
⊙
(a)
(b)
⊗
⊙
⊙
10. Infinitos fios condutores retilı́neos, de comprimento infinito e seção transversal quadrada, são colocados lado a
lado no plano xy, de forma compacta e paralelamente à
direção ŷ. Cada fio conduz uma corrente I (no sentido
−ŷ) e há n fios por unidade de comprimento transversal.
Qual das seguintes afirmações é correta?
Seção 2. Questões discursivas (1×4,0 = 4,0 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [4 pontos] Considere um trilho condutor em forma de U , ao lado de um fio infinito que transporta uma corrente estacionária
I, como indica a figura (onde indicamos ainda os vetores unitários das coordenadas cilı́ndricas ŝ, ϕ̂ e ẑ). Suponha que uma
haste metálica de comprimento L é colocada entre os dois braços do trilho formando um circuito fechado, e que uma força
externa faz a haste deslizar sobre o condutor com velocidade constante ~v . Despreze as forças de atrito e a resistência do
trilho, e considere que a resistência da haste é igual a R. Despreze ainda qualquer efeito auto-indutivo e capacitivo.
z^
⊗
C2
⊗
C3
s^
^
φ
Γ1 = −Γ2 = Γ3 .
Γ1 = −Γ2 e Γ3 = 0.
(c)
Γ1 = Γ2 = Γ3 .
(d)
Γ1 = Γ2 e Γ3 = 0.
(e)
Não podemos determinar Γ sem conhecermos as
dimensões dos caminhos utilizados.
9. Considere as afirmativas abaixo:
(i)A corrente induzida num circuito, devido à variação
~ ext , surge
temporal do fluxo do campo magnético externo B
sempre no sentido de gerar um campo magnético induzido
~ ext .
oposto a B
(ii) Um solenóide infinito, de raio a, paralelo ao eixo z, é
percorrido por uma corrente constante variável I(t). Uma
espira é colocada fora do solenóide, a uma distância d de
seu eixo. Podemos afirmar que a corrente induzida na
espira gira no sentido anti-horário.
(iii) Duas espiras condutoras (do mesmo material) C1 e
C2 , de raios respectivos a e 2a, são postas numa região de
campo magnético uniforme, porém não constante, dado
~
por B(t).
Considerando o fenômeno de indução, podemos afirmar que a corrente induzida em C2 é o dobro da
induzida em C1 .
Quais são as afirmativas verdadeiras?
(a)
(i) e (ii).
(b)
(i) e (iii).
(c)
(ii) e (iii).
(d)
Nenhuma.
(e)
Todas.
(a)
O campo magnético aponta na direção e sentido
de ẑ para z > 0 e de −ẑ para z < 0 e seu módulo
é Bz = µ02n I .
(b)
O campo magnético aponta na direção e sentido
de x̂ e seu módulo é Bx = µ02n I .
(c)
O campo magnético aponta na direção e sentido
de ŷ para z > 0 e de −ŷ para z < 0 e seu módulo
é By = µ02n I .
(d)
O campo magnético aponta na direção e sentido
de x̂ para z > 0 e de −x̂ para z < 0, e seu módulo
é Bx = µ02n I .
(e)
O campo magnético aponta na direção e sentido
de −x̂ para z > 0 e de x̂ para z < 0, e seu módulo
é Bx = µ02n I .
(a) Qual a direção do campo magnético gerado pelo fio infinito, num ponto arbitrário? Argumente detalhadamente, utilizando seus conhecimentos de magnetismo e/ou argumentos de simetria.[0,7 ponto]
(b) Obtenha o módulo do campo magnético gerado pelo fio, num ponto arbitrário. Note que, dependendo do argumento
ultilizado, argumentos de simetria se farão necessários. [0,8 ponto]
(c) Calcule o fluxo magnético gerado pelo campo magnético do fio infinito no circuito (trilho + haste) [0,7 ponto]
(d) Determine o módulo e o sentido da corrente induzida no circuito. Novamente, argumente detalhadamente, utilizando
seus conhecimentos de magnetismo. [1 ponto]
(e) Calcule a força magnética sobre a haste quando ela está a uma distância s(t) do fio infinito. [0,8 ponto]
3
4
Gabarito para Versão D
Seção 1.
Seção 2. Questões discursivas (1×4,0 = 4,0 pontos)
1. Resolução:
Múltipla escolha (10×0,6 = 6,0 pontos)
1. (b)
6. (b)
2. (e)
7. (d)
3. (b)
8. (c)
4. (a)
9. (d)
5. (a)
10. (e)
a) Seja o sistema de coordenadas cilı́ndrico usual, onde as coordenadas radial, angular, e de altura são denotadas respectivamente por s, ϕ, e z; e os vetores unitários correspondentes são denotados por ŝ, ϕ̂, e ẑ. Suponhamos ainda que o eixo Z
desse sistema coincida com o fio infinito. Pode-se resolver esse item de duas maneiras:
~ = Bs ŝ + Bϕ ϕ̂ +
• Solução por simetrias, lei de Ampère e lei de Gauss para o campo magnético: Temos, em princı́pio, B
~ tem alguma componente radial, podemos traçar uma superfı́cie gaussiana cilı́ndrica,
Bz ẑ. Para determinarmos se B
R
~ · dA
~ = 0. Por simetria de translação no eixo Z, vemos que o fluxo nas 2 tampas
coaxial ao fio, e usar o fato de que S B
se compensam, ou seja, o fluxo na superfı́cie lateral tem de se anular por si só. Mas, pela simetria cilı́ndrica, esse fluxo
só é zero se o fluxo infinitesimal em todos os pontos da superfı́cie se anula, donde concluı́mos que Bs = 0.
Tracemos agora uma curva amperiana retangular em um plano contendo o fio infinito, de modo
R que dois dos lados do
~ ~ℓ = 0. Como não
retângulo estejam paralelos a ele. Como não passa corrente no interior dessa amperiana, temos C B·d
temos componente radial, a contribuição dos lados perpendiculares ao fio se anulam trivialmente, donde cocluı́mos que
a contribuição dos lados paralelos se compensam. Mas, por simetria de translação em Z, o campo em cada um desses
lados é uniforme, donde concluı́mos que a componente z do campo (a única que contribui para a circulação nesses
lados) independe da distância ao fio. Finalmente, como infinitamente longe do fio o campo deve ir a zero, concluı́mos
que Bz = 0 em todo o espaço.
• Solução por lei de Biot-Savart: Da lei de Biot-Savart, sabemos que um elemento infinitesimal de fio produz um campo
dado por
′
~′
~
~ = µ0 Idℓ × (~r − ~r ) = µ0 Idℓ × R̂ ,
dB
(1)
4π
|~r − ~r′ |3
4π R2
~ = ~r −~r′ , R = |R|
~ e, para simplificar a notação , tiramos a linha de dℓ. Escolhendo-se um sistema de coordendas
onde R
de tal modo que (i) a origem esteja no fio e (ii) que o ponto de observação esteja no plano z = 0, temos dℓ~ = dzẑ e
~ = sŝ − zẑ, e então
R
~ = dzẑ × (sŝ − zẑ) = sdzẑ × ŝ = sdz ϕ̂.
dℓ~ × R
(2)
~ = Bϕ ϕ̂.
Como esse argumento vale para qualquer elemento do fio, vemos que B
b) Também pode-se resolver esse item de duas maneiras:
• Solução por lei de Ampère: Do item anterior, sabemos que o campo magnético “circula” em torno do fio, ou seja, que
~ = B(s,ϕ,z)ϕ̂. Pela simetria cilı́ndrica apresentada pelo fio (simetria axial em torno do eixo do fio + simetria de
B
~ = B(s)ϕ̂. Enunciemos
translação ao longo desse eixo), concluı́mos que o campo independe de s e z, ou seja, que B
agora a lei de Ampère
I
~ · dℓ~ = µ0 Ienc
B
(3)
C
~ (que é o lado esquerdo de (3)) devemos escolher uma curva amperiana adequada.
Para calcularmos a circulação de B
Dada a simetria do problema, escolhemos como amperiana uma circunferência num plano perpendicular ao fio infinito
e coaxial a ele, de raio s. Daı́ temos
I
I
Z 2π
Z 2π
~ · dℓ~ =
B
B(s)ϕ̂· dℓϕ̂ =
B(s) sdϕ ϕ̂ · ϕ̂ = B(s) s
dϕ = 2πsB(s),
(4)
| {z }
C
C
0
0
=1
~
que, substituido em (3), nos permite determinar o módulo do vetor B = |B|
2πrB(r) = µ0 Ienc = µ0 I
⇒
B(s) =
µ0 I
2πs
• Solução por lei de Biot-Savart: Aproveitando o resultado do item anterior e lembrando que R =
Z
Z
Z
µ0 I ϕ̂ ∞
Idℓ~ × R̂
Isdz ϕ̂
µ0 ∞
dz
~ = µ0
=
B
=
4π
R2
4π −∞ (s2 + z 2 )3/2
4πs2 −∞ (1 + z 2 /s2 )3/2
1
2
√
s2 + z 2 , temos
(5)
Fazendo agora a transformação de variáveis z/s = tan θ, temos
F~m = Iind B(s)
=s sec2 θdθ
~ =
|B|
µ0 I
4πs2
z }| {
π/2
Z
π/2
µ0 I
s d(tan θ)
µ0 I π/2
⇒
dθ
cos
θ
=
sin
θ
=
2
3/2
4πs −π/2
4πs
−π/2 (1 + tan θ)
−π/2
|
{z
}
| {z }
Z
=sec3 θ
B(s) =
µ0 I
2πs
(6)
~m =
F
c) O fluxo magnético é obtido da expressão
I
~ · n̂ dA
B
S
dz (−ŝ) = Iind B(s)L (−ŝ) .
µ0 IL
2π
Substituindo B(s) e Iind na expressão acima,
=2
ΦB =
Z
(7)
onde S é o retângulo definido pelo trilho mais a haste, e n̂ = ϕ̂. Temos então
ΦB =
Z
~ · ϕ̂ dA = µ0 I
B
2π
S
Z
L
dz
| 0{z }
Z
s
a
ds
µ0 IL h s i
=
ln
s
2π
a
(8)
=L
d) O primeiro passo é a obtenção da f.e.m. induzida pela variação de fluxo de campo magnético
E =−
µ0 IL d h s i
dΦ
.
=−
ln
dt
2π dt
a
(9)
~ a f.e.m. positiva é no sentido horário. Como a haste está a velocidade constante
Notemos que, devido à nossa escolha de dA,
~v , temos:
s(t) = a + vt,
onde colocamos a origem do sistema de coordendas sobre o fio. Efetuando a derivada acima, temos
µ0 IL v
,
2π s(t)
(10)
|E|
µ0 IL v
=
.
R
2πR s(t)
(11)
E =−
onde ds/dt = v, e então a corrente é dada por
Iind =
O sentido da corrente pode ser deduzido da lei de Lenz. Esta afirma que a corrente induzida sempre “conspira” contra
a variação de fluxo do campo magnético externo (estamos desprezando efeitos de auto-indutância), ou seja, a corrente
induzida gera campos de maneira a inibir a variação de fluxo através do circuito. Para que isso aconteça nesse caso, a
corrente induzida deve estar no sentido anti-horário.
e) A força magnética sobre a haste pode ser deduzida da seguinte expressão:
~m = I
F
Z
C
~
dℓ~ × B
O módulo do campo magnético sobre a haste é constante, além disso:
~ = dzB(s) (−ŝ) ,
dℓ~ × B
temos então:
3
4
2
v
(−ŝ) .
Rs2
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de Fı́sica
Fı́sica III – 2015/1 – Segunda Prova: 01/07/2015
Versão: E
Formulário
~m = q~
~,
F
v×B
I
~,
dF~m = Idℓ~ × B
I
S
~ · dℓ~ = µ0 Ienc + µ0 ǫ0 dΦE ,
B
dt
C
~ · dA
~ = 0,
B
Eind = −
~
~ = µ0 Idℓ × R̂ ,
dB
4π R2
dΦB
,
dt
ΦB = LI ,
1 + tan2 θ = sec2 θ ,
Lsol = µ0
N2
A,
l
uB =
d(tan θ) = sec2 θdθ
1 B2
,
2 µ0
(a)
(b)
Seção 1.
Múltipla escolha (10×0,6 = 6,0 pontos)
2. Infinitos fios condutores retilı́neos, de comprimento infinito e seção transversal quadrada, são colocados lado a
lado no plano xy, de forma compacta e paralelamente à
direção ŷ. Cada fio conduz uma corrente I (no sentido
−ŷ) e há n fios por unidade de comprimento transversal.
Qual das seguintes afirmações é correta?
1. Considere um solenóide ideal de auto-indutância L0 , comprimento l0 e com N0 espiras. Ao montar-se um novo solenóide com um fio maior, de modo que ele tenha o dobro
de espiras e o dobro do comprimento, qual será a autoindutância desse novo solenóide?
(a)
4L0
(b)
2L0
(c)
L0
(d)
L0 /2
(e)
L0 /4
(a)
O campo magnético aponta na direção e sentido
de ẑ para z > 0 e de −ẑ para z < 0 e seu módulo
é Bz = µ02n I .
(b)
O campo magnético aponta na direção e sentido
de x̂ e seu módulo é Bx = µ02n I .
(c)
(d)
(e)
1
O campo magnético aponta na direção e sentido
de ŷ para z > 0 e de −ŷ para z < 0 e seu módulo
é By = µ02n I .
O campo magnético aponta na direção e sentido
de x̂ para z > 0 e de −x̂ para z < 0, e seu módulo
é Bx = µ02n I .
O campo magnético aponta na direção e sentido
de −x̂ para z > 0 e de x̂ para z < 0, e seu módulo
é Bx = µ02n I .
5. Uma espira circular de área A é atravessada por um
campo magnético uniforme que oscila periodicamente no
tempo. Considere que a dependência temporal dos campos I (curva cheia) e II (curva pontilhada) ilustrados nas
figuras abaixo. A f.e.m. máxima e o fluxo máximo de
campo magnético se dão, respectivamente, nas situações
3. Considere dois cilindros ocos, de mesmo comprimento,
o primeiro de PVC (isolante), CPVC , e o segundo de
alumı́nio (condutor não magnético), CAl , ambos posicionados na vertical com relação ao solo. Desejamos soltar
duas barras, uma imantada, Bi , e a outra não imantada,
Bni , no interior desses cilindros, simultaneamente. O que
acontece quando: (I) soltamos a barra Bi no tubo CPVC
e a barra Bni no tubo CAl ; e (II) soltamos a barra Bni
no tubo CPVC e a barra Bi no tubo CAl ? Suponha que
o experimento é feito na superfı́cie da Terra e despreze a
resistência do ar.
B
2
t
-4
-2
2
(d)
(I) A barra Bni chega primeiro ao solo; (II) Ambas
as barras chegam ao mesmo tempo ao solo.
(e)
(I) Ambas as barras chegam ao mesmo tempo ao
solo; (II) A barra Bni chega primeiro ao solo.
-2
4. Considere as afirmativas abaixo:
(i)A corrente induzida num circuito, devido à variação
~ ext , surge
temporal do fluxo do campo magnético externo B
sempre no sentido de gerar um campo magnético induzido
~ ext .
oposto a B
(ii) Um solenóide infinito, de raio a, paralelo ao eixo z, é
percorrido por uma corrente constante variável I(t). Uma
espira é colocada fora do solenóide, a uma distância d de
seu eixo. Podemos afirmar que a corrente induzida na
espira gira no sentido anti-horário.
(iii) Duas espiras condutoras (do mesmo material) C1 e
C2 , de raios respectivos a e 2a, são postas numa região de
campo magnético uniforme, porém não constante, dado
~
por B(t).
Considerando o fenômeno de indução, podemos afirmar que a corrente induzida em C2 é o dobro da
induzida em C1 .
Quais são as afirmativas verdadeiras?
(a)
(i) e (ii).
(b)
(i) e (iii).
(c)
(ii) e (iii).
(d)
Nenhuma.
(e)
Todas.
4
-1
(I) A barra Bi chega primeiro ao solo; (II) Ambas
as barras chegam ao mesmo tempo ao solo.
(I) A barra Bni chega primeiro ao solo; (II) A barra
Bni chega primeiro ao solo.
II
1
(I) Ambas as barras chegam ao mesmo tempo
ao solo; (II) Ambas as barras chegam ao mesmo
tempo ao solo.
(c)
I
(a)
I e II.
(b)
II e I.
(c)
I e I.
(d)
II e II.
(e)
Para determinarmos a f.e.m. máxima e o fluxo
máximo precisarı́amos conhecer a resistência oferecida pelas espiras.
6. A figura abaixo mostra uma região atravessada perpendicularmente por várias correntes estacionárias com intensidades de mesmo módulo I. Por convenção, as correntes
que saem da página são representadas por ⊙ e as que entram na página por ⊗. Estão representados, também, três
diferentes caminhos fechados,
orientados, para a a deterH
~ Assinale a opção abaixo
~ ℓ.
minação da integral Γ := C B·d
que melhor indica a relação entre tais integrais para os diferentes caminhos.
⊗
⊙
C1
⊙
(a)
(b)
(c)
2
⊗
⊙
⊙
⊗
C2
⊗
C3
Γ1 = −Γ2 = Γ3 .
Γ1 = −Γ2 e Γ3 = 0.
Γ1 = Γ2 = Γ3 .
(d)
Γ1 = Γ2 e Γ3 = 0.
(e)
Não podemos determinar Γ sem conhecermos as
dimensões dos caminhos utilizados.
7. Durante o processo de carga de um capacitor de placas paralelas por uma corrente constante ic , como se comportam
~ e magnético, B,
~ entre as placas do
os campos elétrico, E,
capacitor? [estacionário = não depende do tempo]
(a)
(b)
(c)
(d)
9. Uma região possui campo elétrico e magnético uniformes.
O campo elétrico aponta na direção e sentido de x̂ e o
campo magnético aponta na direção e sentido de ŷ. Uma
partı́cula de carga positiva atravessa a região em movimento retilı́neo e uniforme. Em qual direção e sentido
aponta a velocidade da partı́cula?
~ =
~ =
E
6 0 e não estacionário; B
6 0 e estacionário
~ 6= 0 e estacionário; B
~ =0
E
~ 6= 0 e estacionário; B
~ =
E
6 0 e estacionário
~ = 0; B
~ 6= 0 e estacionário
E
ẑ
−ẑ
(c)
~ 6= 0 e não estacionário; B
~ 6= 0 e não estaE
cionário
8. Um circuito é formado por duas semicircunferências de
raios a e b, como é mostrado na figura abaixo. O vetor
~ produzido pelas correntes do fio no
campo magnético B
ponto P é dado por:
(e)
(a)
(b)
ŷ
(e)
−ŷ
10. Seja uma superfı́cie esférica S dividida em duas semiesferas S1 e S2 por uma espira circular condutora ôhmica C.
Sabendo-se a esfera está numa região onde há um campo
~ que a espira tem uma resistência finita e
magnético B,
desprezando qualquer efeito auto-indutivo ou capacitivo,
podemos afirmar que
(b)
(c)
(d)
~ = µ0 I
B
4π
s^
^
φ
1 1
−
a b
(ẑ)
1 1
−
a b
(ẑ)
(d)
~ = µ0 I
B
4
1 1
−
a b
(ŷ)
(d) Determine o módulo e o sentido da corrente induzida no circuito. Novamente, argumente detalhadamente, utilizando
seus conhecimentos de magnetismo. [1 ponto]
(e)
~ = µ0 I
B
4
1 1
−
a b
(−ẑ)
(e) Calcule a força magnética sobre a haste quando ela está a uma distância s(t) do fio infinito. [0,8 ponto]
(c)
~ = µ0 I
B
4
~ através de S1 é nulo.
o fluxo de B
~ através de S1 é proporcional à coro fluxo de B
rente induzida na espira C.
~ em torno de C é proporcional à
a circulação de B
corrente através de S.
~ através
a taxa de variação temporal do fluxo de B
de S1 é proporcional à corrente induzida na espira
C.
~ através
a taxa de variação temporal do fluxo de B
de S1 é nula.
z^
(b)
1. [4 pontos] Considere um trilho condutor em forma de U , ao lado de um fio infinito que transporta uma corrente estacionária
I, como indica a figura (onde indicamos ainda os vetores unitários das coordenadas cilı́ndricas ŝ, ϕ̂ e ẑ). Suponha que uma
haste metálica de comprimento L é colocada entre os dois braços do trilho formando um circuito fechado, e que uma força
externa faz a haste deslizar sobre o condutor com velocidade constante ~v . Despreze as forças de atrito e a resistência do
trilho, e considere que a resistência da haste é igual a R. Despreze ainda qualquer efeito auto-indutivo e capacitivo.
1 1
−
a b
(a)
~ = µ0 I
B
4
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
x̂
(d)
(a)
Seção 2. Questões discursivas (1×4,0 = 4,0 pontos)
(−ŷ)
(e)
(a) Qual a direção do campo magnético gerado pelo fio infinito, num ponto arbitrário? Argumente detalhadamente, utilizando seus conhecimentos de magnetismo e/ou argumentos de simetria.[0,7 ponto]
(b) Obtenha o módulo do campo magnético gerado pelo fio, num ponto arbitrário. Note que, dependendo do argumento
ultilizado, argumentos de simetria se farão necessários. [0,8 ponto]
(c) Calcule o fluxo magnético gerado pelo campo magnético do fio infinito no circuito (trilho + haste) [0,7 ponto]
3
4
Gabarito para Versão E
Seção 1.
Seção 2. Questões discursivas (1×4,0 = 4,0 pontos)
1. Resolução:
Múltipla escolha (10×0,6 = 6,0 pontos)
1. (b)
6. (c)
2. (e)
7. (a)
3. (e)
8. (b)
4. (d)
9. (a)
5. (b)
10. (d)
a) Seja o sistema de coordenadas cilı́ndrico usual, onde as coordenadas radial, angular, e de altura são denotadas respectivamente por s, ϕ, e z; e os vetores unitários correspondentes são denotados por ŝ, ϕ̂, e ẑ. Suponhamos ainda que o eixo Z
desse sistema coincida com o fio infinito. Pode-se resolver esse item de duas maneiras:
~ = Bs ŝ + Bϕ ϕ̂ +
• Solução por simetrias, lei de Ampère e lei de Gauss para o campo magnético: Temos, em princı́pio, B
~ tem alguma componente radial, podemos traçar uma superfı́cie gaussiana cilı́ndrica,
Bz ẑ. Para determinarmos se B
R
~ · dA
~ = 0. Por simetria de translação no eixo Z, vemos que o fluxo nas 2 tampas
coaxial ao fio, e usar o fato de que S B
se compensam, ou seja, o fluxo na superfı́cie lateral tem de se anular por si só. Mas, pela simetria cilı́ndrica, esse fluxo
só é zero se o fluxo infinitesimal em todos os pontos da superfı́cie se anula, donde concluı́mos que Bs = 0.
Tracemos agora uma curva amperiana retangular em um plano contendo o fio infinito, de modo
R que dois dos lados do
~ ~ℓ = 0. Como não
retângulo estejam paralelos a ele. Como não passa corrente no interior dessa amperiana, temos C B·d
temos componente radial, a contribuição dos lados perpendiculares ao fio se anulam trivialmente, donde cocluı́mos que
a contribuição dos lados paralelos se compensam. Mas, por simetria de translação em Z, o campo em cada um desses
lados é uniforme, donde concluı́mos que a componente z do campo (a única que contribui para a circulação nesses
lados) independe da distância ao fio. Finalmente, como infinitamente longe do fio o campo deve ir a zero, concluı́mos
que Bz = 0 em todo o espaço.
• Solução por lei de Biot-Savart: Da lei de Biot-Savart, sabemos que um elemento infinitesimal de fio produz um campo
dado por
′
~′
~
~ = µ0 Idℓ × (~r − ~r ) = µ0 Idℓ × R̂ ,
dB
(1)
4π
|~r − ~r′ |3
4π R2
~ = ~r −~r′ , R = |R|
~ e, para simplificar a notação , tiramos a linha de dℓ. Escolhendo-se um sistema de coordendas
onde R
de tal modo que (i) a origem esteja no fio e (ii) que o ponto de observação esteja no plano z = 0, temos dℓ~ = dzẑ e
~ = sŝ − zẑ, e então
R
~ = dzẑ × (sŝ − zẑ) = sdzẑ × ŝ = sdz ϕ̂.
dℓ~ × R
(2)
~ = Bϕ ϕ̂.
Como esse argumento vale para qualquer elemento do fio, vemos que B
b) Também pode-se resolver esse item de duas maneiras:
• Solução por lei de Ampère: Do item anterior, sabemos que o campo magnético “circula” em torno do fio, ou seja, que
~ = B(s,ϕ,z)ϕ̂. Pela simetria cilı́ndrica apresentada pelo fio (simetria axial em torno do eixo do fio + simetria de
B
~ = B(s)ϕ̂. Enunciemos
translação ao longo desse eixo), concluı́mos que o campo independe de s e z, ou seja, que B
agora a lei de Ampère
I
~ · dℓ~ = µ0 Ienc
B
(3)
C
~ (que é o lado esquerdo de (3)) devemos escolher uma curva amperiana adequada.
Para calcularmos a circulação de B
Dada a simetria do problema, escolhemos como amperiana uma circunferência num plano perpendicular ao fio infinito
e coaxial a ele, de raio s. Daı́ temos
I
I
Z 2π
Z 2π
~ · dℓ~ =
B
B(s)ϕ̂· dℓϕ̂ =
B(s) sdϕ ϕ̂ · ϕ̂ = B(s) s
dϕ = 2πsB(s),
(4)
| {z }
C
C
0
0
=1
~
que, substituido em (3), nos permite determinar o módulo do vetor B = |B|
2πrB(r) = µ0 Ienc = µ0 I
⇒
B(s) =
µ0 I
2πs
• Solução por lei de Biot-Savart: Aproveitando o resultado do item anterior e lembrando que R =
Z
Z
Z
µ0 I ϕ̂ ∞
Idℓ~ × R̂
Isdz ϕ̂
µ0 ∞
dz
~ = µ0
=
B
=
4π
R2
4π −∞ (s2 + z 2 )3/2
4πs2 −∞ (1 + z 2 /s2 )3/2
1
2
√
s2 + z 2 , temos
(5)
Fazendo agora a transformação de variáveis z/s = tan θ, temos
F~m = Iind B(s)
=s sec2 θdθ
~ =
|B|
µ0 I
4πs2
z }| {
π/2
Z
π/2
µ0 I
s d(tan θ)
µ0 I π/2
⇒
dθ
cos
θ
=
sin
θ
=
2
3/2
4πs −π/2
4πs
−π/2 (1 + tan θ)
−π/2
|
{z
}
| {z }
Z
=sec3 θ
B(s) =
µ0 I
2πs
(6)
~m =
F
c) O fluxo magnético é obtido da expressão
I
~ · n̂ dA
B
S
dz (−ŝ) = Iind B(s)L (−ŝ) .
µ0 IL
2π
Substituindo B(s) e Iind na expressão acima,
=2
ΦB =
Z
(7)
onde S é o retângulo definido pelo trilho mais a haste, e n̂ = ϕ̂. Temos então
ΦB =
Z
~ · ϕ̂ dA = µ0 I
B
2π
S
Z
L
dz
| 0{z }
Z
s
a
ds
µ0 IL h s i
=
ln
s
2π
a
(8)
=L
d) O primeiro passo é a obtenção da f.e.m. induzida pela variação de fluxo de campo magnético
E =−
µ0 IL d h s i
dΦ
.
=−
ln
dt
2π dt
a
(9)
~ a f.e.m. positiva é no sentido horário. Como a haste está a velocidade constante
Notemos que, devido à nossa escolha de dA,
~v , temos:
s(t) = a + vt,
onde colocamos a origem do sistema de coordendas sobre o fio. Efetuando a derivada acima, temos
µ0 IL v
,
2π s(t)
(10)
|E|
µ0 IL v
=
.
R
2πR s(t)
(11)
E =−
onde ds/dt = v, e então a corrente é dada por
Iind =
O sentido da corrente pode ser deduzido da lei de Lenz. Esta afirma que a corrente induzida sempre “conspira” contra
a variação de fluxo do campo magnético externo (estamos desprezando efeitos de auto-indutância), ou seja, a corrente
induzida gera campos de maneira a inibir a variação de fluxo através do circuito. Para que isso aconteça nesse caso, a
corrente induzida deve estar no sentido anti-horário.
e) A força magnética sobre a haste pode ser deduzida da seguinte expressão:
~m = I
F
Z
C
~
dℓ~ × B
O módulo do campo magnético sobre a haste é constante, além disso:
~ = dzB(s) (−ŝ) ,
dℓ~ × B
temos então:
3
4
2
v
(−ŝ) .
Rs2