- Colégio AME

COLÉGIO AME
PROFESSOR RAUL DIAZ ROSAS
Números Complexos
1. (UFU-MG) Sejam os complexos z = 2x – 3i e t = 2 + yi, onde x e y são números reais. Se z = t, então o
produto x.y é
A) 6
B) 4
C) 3
D) –3
E) –6
2. (PUC-MG) Qualo é o quociente de (8 + i)/(2 - i) é igual a
A) 1 + 2i
B) 2 + i
C) 2 + 2i
D) 2 + 3i
E) 3 + 2i
3. (UFV-MG) Dadas as alternativas abaixo
I. i2 = 1
II. (i + 1)2 = 2i
III. ½4 + 3i½ = 5
IV. (1 + 2i).(1 – 2i) = 5 pode-se dizer que
A) todas as alternativas acima estão corretas
B) todas as alternativas acima estão erradas
C) as alternativas I e III estão erradas
D) as alternativas II, III e IV estão corretas
E) as alternativas I e III estão corretas
4. (MACK-SP) Se I é um número complexo e Ī o seu conjugado, então, o número de soluções da
equação Ī = I2 é:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
5. (CESGRANRIO-RJ) O módulo do complexo z, tal que z2 = i, é
A) 0
B) (Ö2)/2
C) 1
D) Ö2
E) 2
6. (UFPA-PA) Qual o valor de m, real, para que o produto (2 + mi).(3 + i) seja um imaginário puro?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 10
7. (MACK-SP) O conjugado de (2 - i)/i vale
A) 1 – 2i
B) 1 + 2i
C) 1 + 3i
D) –1 + 2i
E) 2 - i
8. Se n é um inteiro, então o conjunto solução em Z, da equação in + i-n = 0, onde i = Ö-1, é:
A) {n Є Z/ n é ímpar}
B) {n Є Z/ n é par}
C) {n Є Z/ n > 0}
D) {n Є Z/ n < 0}
E) Z
9. (UFPA-PA) Qual o valor de m, real, para que o produto (2 + mi).(3 + i) seja um imaginário puro?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8 E) 10
10. Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180
11. Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15 , calcule Im(z).w + Im(w).z .
12. (UCMG) O número complexo 2z, tal que 5I + Ī = 12 + 6i é:
13. (UCSal) Para que o produto (a + i).(3 - 2i) seja real, a deve ser:
14. (UFBA) Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac + b é:
15. (Mackenzie-SP) O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é:
16. Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.
17. Calcule [(1 + i)80 + (1 + i)82] : i96.240
18. Se os números complexos z e w são tais que z = 2 - 5i e w = a + bi, sabendo-se que z + w é um número
real e z.w .é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b2 - 2a.
19. Se o número complexo z = 1 - i é uma das raízes da equação x10 + a = 0, então calcule o valor de a.
20- Determine o número complexo I tal que iI + 2.Ī + 1 - i = 0.
21. (UFMG) Se z = (cos q + i senq) é um número complexo na forma trigonométrica, mostra-se que zn =
rn(cos q + i sen nq) para todo n Î IN. Essa fórmula é conhecida como fórmula de De Moivre.
A) Demonstre a fórmula de De Moivre para n = 2, ou seja, demonstre que z 2 = r2(cos 2q + i sen 2q).
B) Determine todos os valores de n, n Є IN, para os quais (Ö3 + i)n seja imaginário puro.
22. (UFMG)
A) Dado o número complexo na forma trigonométrica I = 2[cos (3p/8) + i sen(3p/8)], escreva os números
complexos Ī, I2 e na forma trigonométrica.
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B) No plano complexo da figura abaixo, marque e identifique os números I, Ī, I2 e no item acima.
Nessa figura, os ângulos formados por dois raios consecutivos quaisquer têm a mesma medida.
23. (UFMG) Por três pontos não-colineares do plano complexo, z1, z2 e z3, passa uma única circunferência.
Sabe-se que um ponto z está sobre essa circunferência se, e somente se, for um número real.
Seja C a única circunferência que passa pelos pontos z 1 = 1, z2 = -3i e z3 = -7 + 4i do plano complexo.
Assim sendo, determine todos os pontos do plano complexo cuja parte real é igual a –1 e que estão
sobre a circunferência C.
24. (UFMG) 2002 - Observe esta figura:
Nessa figura, OP = 2 e OQ = 4.
Sejam z e w, respectivamente, os números complexos representados geometricamente pelos
pontos P e Q.
Considerando esses dados, escreva o número complexo z11 / i.w5 na forma a + bi, em que a e b são
números reais.
25. (UEFS) O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i, é:
a) -3i b) 1 – i c) 5/2 + (5/2)i d) 5/2 - (3/2)i
e) ½ - (3/2)i
7
5
3
26. (UEFS) Simplificando-se a expressão E = i + i + ( i + 2i4 )2 , obtêm-se:
a) -1 + 2i b) 1 + 2i c) 1 - 2i d) 3 - 4i e) 3 + 4i
27. (UEFS) Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10 b) 5 e 10
c) 7 e 9 d) 5 e 9 e) 0 e -9
28. (UEFS) A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de
z é:
a) Ö13 b) Ö7
c) 13 d) 7 e) 5
29. (FESP/UPE) Seja z = 1 + i, onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z 8 é igual a:
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a) 16 b) 161 c) 32 d) 32i e) 32 + 16i
30. (UCSal) Sabendo que (1 + i)2 = 2i, então o valor da expressão y = (1 + i)48 - (1 + i)49 é:
a) 1 + i
b) -1 + i
c) 224 . i
d) 248 . i
e) -224 . i
31. Obtenha o produto w = z1 . z 2 .z 3 onde
z
a) 1
z1  3(cos 14   i sen 14  )
 2 (cos 45  i sen 45 )
0
0
b) z 2  4(cos 31  i sen 31 )

z2  3(cos15  i sen 15 )
0
0

z 3  6(cos 43  i sen 43 )
z1  16(cos160   i sen 160  )
c) z 2  5(cos 325  i sen 325 )


z 3  cos 308   i sen 308 
R. a) w= 3
2 (cos 600  sen 600 ) b) w = 72(cos88+ isen88) c) w = 80(cos73º + isen73º)
2 (cos
32. Sendo z=


 i sen ) e utilizando a multiplicação definida acima, detemine z2, z3 e z4.
4
4
33. Determine o módulo e o argumento do número
z 4 para os complexos
a) z = 3(cos125+isen125) b) z = 2(cos300º + isen300º)
R. a) 
 81 e   140  b)   16 e   120
34. Calcule as potências, dando a resposta na forma algébrica
a) (1  i 3 )
8
R. a) -128 - 128
b) ( 3  i )
3i
6
b) -64
35. Dado o número complexo z = cos 45 + isen 45 , calcule
w = z + z2 + z3 + z 4 + z 5 + z6
R. w = (-1 -
2
2
)+
i
2
2
36.Escreva as expressões abaixo na forma
a) (4  i )  i  (6  3i )i
b)
a  bi :
2  i 2
3  i 2
c) (4  i ).(1  4i )
d)
3i
4  5i
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7  6i
R. a)
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b) 
i
c) 17i
2
7  19i
41
d)
i 2 , i 3 , i 4 , i 5 e observe que as potências começam a se repetir depois de i 4 . Comprove este
4n r
 i r e aplique este resultado para calcular:
fato, mostrando que i
37.Calcule
a) i
R. a) 1
38.Sendo
1 i 

1 i 
n
10
b) 1  i 
c) 
d) 1  i  i    i
b) -64
c) -1
d) 1
12
20
um inteiro, que valores podem ter i  i
n
2
n
1992
?
R. 0, 2 ou -2
a
39.Determine
real para que
ai
seja real.
1  ai
real para que
2  ai
seja um imaginário puro.
1 i
R.  1
a
40.Determine
R. 2
41.Resolva em C as seguintes equações:
a) z  2i
b) z  2 z  1  i
2
2
R. a) {1  i,  1  i}
c)
1
1 1
 
z 3 z 3
d)
z2 z 2
 
6 2 3
2  2  2i 2  2  2i
 3  3 3i
3  7i
,
} c)
d)
2
2
2
2
b) {
42.Representar na forma trigonométrica:
a) 1
3i
R.a) 2 cos

b)

3
 i sin
1  i


3
c)
5
d)
b) 2  cos

sen  i cos
3
3 
 i sin

4
4 
cos 0  i sin 0
c) 2
3 
3 


cos 
  i sin  

2 
2 


43.Para que valores de
n
inteiro positivo 1  i  é real?
n
R. n múltiplo de 4.
44.Qual é a forma algébrica do número complexo z representado na figura abaixo?
d)
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R.
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3i 3
45.A figura abaixo representa um octógono regular inscrito numa circunferência. Sabendo-se que
BF  8 , determine as formas algébrica e trigononétrica dos números complexos cujos afixos são os
pontos B e D .
R. B : 2 2  i 2 2 ; D : 2 2  i 2 2
46.Calcule, dando a resposta na forma algébrica:
a)  1  i 
6
R. a) 8i b) 256
b)

 5 3 5 
2  i 2 c)  
 i 
2
2 


12
 1
3

d)    i
 2
2 

8
c) 5
12
d) 
100
1
3
i
2
2
47.Encontre as raízes sextas de 8. Represente seus afixos no plano. Qual a medida de cada um dos arcos
determinados pelos afixos? Qual é a conclusão?
3
3 
48.(FUVEST – SP) A forma algébrica do número complexo z =  cos
 i sin
 é:

4
4 
49. (UEL – PR) Sejam z1 = 3(cos 30º + i sen 30º) e z2 = 5 (cos 45º + isen 45º) o produto de z 1 por z2 é o
número:
50.(UCSal – BA) O produtos dos números complexos z1 =
3
3 

5 cos
 i sin
 na sua forma algébrica é igual a:
2
2 




2 cos  i sin  e z2 =
3
3
