MATEMÁTICA

MATEMÁTICA
5)
CADERNO 3 – CURSO E
I) x + 1 = 0 ⇔ x = – 1
II) 2x – 7 + x + 1 ⭓ 0
FRENTE 1 – Álgebra
n Módulo 11 – Módulo de um Número Real
1)
x2 – 6x + 5 < – 5 não tem solução, pois a ≥ 0, ∀a ∈ Resposta: C
2)
A igualdade
Assim, 2x – 7 + x + 1 ⭓ 0 ⇔ x ⭓ 2
x2
Resposta: D
– x – 2 = 2x + 2, com 2x + 2 ≥ 0, é verificada para:
1o. ) x2 – x – 2 = 2x + 2 ⇔ x2 – 3x – 4 = 0 ⇔ x = 4 ou x = – 1
2o. ) – x2 + x + 2 = 2x + 2 ⇔ x2 + x = 0 ⇔ x = 0 ou x = – 1
6)
Assim, o conjunto solução da equação é {– 1; 0; 4} e a soma
dos valores de x é igual a 3.
Resposta: B
3)
V = {x ∈ / x ⭓ – 3}
Resposta: V = {x ∈ x ⭓ – 3}
7)
I) x ⭓ 0 ⇒ (1 + x) (1 – x) ⭓ 0 ⇔
⇔ 1 – x2 ⭓ 0 ⇔ – 1 ⭐ x ⭐ 1 e x ⭓ 0 ⇔ 0 ⭐ x ⭐ 1.
II) x ⭐ 0 ⇒ (1 + x) (1 – (– 1)) ⭓ 0 ⇔
⇔ (1 + x) (1 + x) ⭓ 0 ⇔ (1 + x)2 ⭓ 0
∀x ∈ e x ⭐ 0 ⇒ x ⭐ 0
V=
4
x ∈ x < –– ou x > 4
3
O conjunto solução da inequação é S = {x ∈ x ⭐ 1}
Resposta: B
Resposta: C
8)
4)
I) x + 2 = 0 ⇔ x = – 2
II) x + 2 ⭐ 2x + 5
x
x
Lembrando que ––– = 1 se x ⬎ 0 e ––– = – 1 se x ⬍ 0,
x
x
temos:
a
b
ab
1) a ⬎ 0 e b ⬎ 0 ⇒ ––– + ––– – –––– = 1 + 1 – 1 = 1
a
b
ab
a
b
ab
2) a ⬎ 0 e b ⬍ 0 ⇒ ––– + ––– – –––– = 1 + (– 1) – (– 1) = 1
a
b
ab
a
b
ab
3) a ⬍ 0 e b ⬎ 0 ⇒ ––– + ––– – –––– = (– 1) + (1) – (– 1)= 1
a
b
ab
a
ab
b
4) a ⬍ 0 e b ⬍ 0 ⇒ ––– + ––– – –––– = (– 1) + (– 1) – (+ 1) = – 3
b
a
ab
Então, sendo a e b dois números reais diferentes de zero, a
7
Assim, x + 2 ⭐ 2x + 5 ⇔ x ⭓ – ––
3
Resposta: C
a
b
ab
expressão algébrica ––– + ––– – –––– resulta 1 ou – 3.
a
b
ab
Resposta: D
–1
n Módulo 12 – Função Modular
1)
7)
I) O gráfico da função g: → definida por g(x) =
1
––
2
x
é
I) x + 2 = 0 ⇔ x = – 2
II) Se x ≥ – 2 ⇒ f(x) = x . x + 2 = x . (x + 2)
III) Se x ≤ – 2 ⇒ f(x) = x . x + 2 = x . (– x – 2)
IV) O gráfico da função definida por
f(x) = x . x + 2 =
x . (x + 2), para x ≥ – 2
x . (– x – 2), para x ≤ – 2 é:
II) O gráfico da função h: → definida por h(x) =
x
––2 1
III) O gráfico da função f: → definida por
2)
a) é falsa, pois se x = 3 e y = – 4, tem-se x < y e x > y
f(x) = 1 – 2 – x ⇔ f(x) = 1 –
b) é verdadeira
x
––2 1
é
c) é falsa, pois se x = 3 e y = – 4, tem-se x + y = – 1 = 1 e
x + y = 3 + 4 = 7
d) é falsa, pois – x ≥ 0 para todo x ∈ e) é falsa, pois se x < 0, então x = – x
Resposta: B
3)
Resposta: E
4)
Resposta: C
2x – 1 < 3 ⇔ – 3 < 2x – 1 < 3 ⇔ – 2 < 2x < 4 ⇔ – 1 < x < 2
8)
I) O gráfico da função g(x) = x2 – 4x + 3 é
2x – 3 ≤ 5 ⇔ – 5 ≤ 2x – 3 ≤ 5 ⇔ – 2 ≤ 2x ≤ 8 ⇔ – 1 ≤ x ≤ 4
Resposta: C
5)
x ≥ 1 ⇔ x ≤ – 1 ou x ≥ 1
Resposta: E
6)
II) O gráfico da função f(x) = x2 – 4x + 3 = x2 – 4x + 3 é
x2 – 5x + 5 < 1 ⇔ – 1 < x2 – 5x + 5 < 1 ⇔
– 1 < x2 – 5x + 5
⇔
2 – 5x + 5 < 1
⇔
x
⇔
1<x<4
x < 2 ou x > 3
x2 – 5x + 6 > 0
⇔
2 – 5x + 4 < 0
x
⇔ 1 < x < 2 ou 3 < x < 4
Resposta: B
9)
2–
Resposta: B
I) x2 – x – 2 = 0 ⇔ x = – 1 ou x = 2
é
II) Se x < – 1 ou x > 2, tem-se x2 – x – 2 > 0 e
5)
x2 – x – 2
x2 – x – 2
f(x) = –––––––––– = –––––––––– = 1
2
x2 – x – 2
x –x–2
III) Se – 1 < x < 2, tem-se x2 – x – 2 < 0 e
1
2B – ––– A = 2 .
2
=
– (x2 – x – 2)
x2 – x – 2
f(x) = –––––––––– = ––––––––––––– = – 1
x2 – x – 2
x2 – x – 2
2
0
0
2
1
0 1 – –––2 3
1 0
2
–1
––
2
1
–
3
––
2
Resposta: C
1
1
––
2
3
– ––
2
1
=
1
–1
2
=
Assim, o gráfico da função f é:
6)
I) B =
–1
2
II) A – Bt =
3
0
2
1
⇔B =3
–1 2
0
2 1
t
1
3
5
2
4
6
–1 2
3 0
2 1
–
=
2
0
3
⇔
0
4
5
Resposta: B
7)
n Módulo 13 – Matrizes
x
1
1
2
+
2 y
0 –1
=
3
z
2
t
x+2=3
1+y=2
⇔
1+0=z
2–1=t
x=1
y=1
z=1
t=1
Resposta: A
1)
Se a matriz A é de ordem 2x3 e aij = i . j, então:
a
a11
A=
=
21
a12
a22
2
4
3
6
1
2
= 2.1
a13
a23
1.1
1.2
2.2
=
1.3
2.3
n Módulo 14 – Multiplicação de Matrizes
1)
Resposta: C
Lembrando que o produto de matrizes de ordens n x m e
p x q existe se m = p e resulta numa nova matriz de ordem n
x q. Pode-se observar que:
2)
A matriz de ordem 2x3 com aij =
a11
a21
=
=
–1
1 a12
a22
2
3
a13
a23
0
4
2i – j, se i ≠ j
, é:
i + j, se i = j
1 + 1 2.1 – 2 2.1 – 3
2.2 – 1 2 + 2 2.2 – 3
An x m
.
Bp x q = Cn x q
iguais
=
resultado
I) Verdadeira, pois A3 x 2
Resposta: D
.
B2 x 1 = C3 x 1
=
3x1
3)
A+B=
1
3
4
2
2
3
+
2
1
2
0
4
2
=
3
4
6
2
6
5
II) Falso, pois A5 x 4
I)
III) Verdadeira, pois A2 x 3
X–A
B+X
–––––– = –––––– + C ⇔ 3X – 3A = 2B + 2X + 6C ⇔
2
3
=
6
9
3
–3
Resposta: B
1
–1
+
+2. –2
2
B3 x 2 = C2 x 2
2x2
II) Para as matrizes A, B e C dadas no enunciado, tem-se:
2
3
.
=
⇔ X = 3A + 2B + 6C
X=3.
B5 x 2 não existe
≠
Resposta: A
4)
.
4
0
–1
1
+
2
0
+6. 24 –6
12 6
4
2
=
28
23
–1
1
=
1
3
Resposta: B
2)
Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, tem-se:
I) Existe A . B se, e somente se, n = 4
II) Existe B . A se, e somente se, m = 3
Resposta: C
–3
3)
(4
1
1
2
5
3) .
8)
= (4 . 1 + 1 . 2 + 3 . 5) = (21)
Resposta: C
4)
I) AB =
II) BA =
1
3
0
–4
. –1 0 = 6
2
1
–1 0 . 1
2
1
III) AB – BA =
3
6
6
0
–4
3
1
6
–
3
1
= –3 0 7 –4
7 –4
–3 0
=
–1 7
9 1
= 1
II)
x
y
1
x–y+3
III)
x – y + 3 = 0 ⇒ x = – 2
0
0
0 1 –1
1 –1 3
.
y–1
.
0
1 –1
–1 3
y–1
0
y=1
FRENTE 2 – Trigonometria
.
a21
.
.
a22
.
.
a23
.
.
–2
.
=
.
4
.
.
–8
.
n Módulo 11 – Estudo das Funções
Trigonométricas
II) Se B é uma matriz 3 x 3 e bij = (–1)i, tem-se:
B=
1 –1
0 2
1
Resposta: C
I) Se A é uma matriz 3 x 3 e aij = (–2)j, tem-se:
A=
– 1 1 . 1
Logo, x + y = – 1
Resposta: B
5)
I)
.
.
.
.
.
.
b13
b23
b33
.
.
.
=
.
.
.
–1
1
–1
1)
π
Para x = ––– , temos:
2
A = sen 3x + cos 4x – tg 2x =
3π
= sen –––– + cos 2π – tg π = – 1 + 1 – 0 = 0
2
III) O elemento c23 da matriz C = A . B é dado por:
c23 = a21 . b13 + a22 . b23 + a23 . b33 = (–2) . (–1) + 4 . 1 + (–8) . (–1) =
Resposta: zero
= 2 + 4 + 8 = 14
Resposta: A
2)
6)
3 5
1 2
Sendo A =
B=
a
d
b
e
3 5.
1 2
⇒
x
3x
π
π
sen ––– + 2 . tan ––––
sen ––– + 2 . tan –––
2
4
6
4
––––––––––––––––––––––––––– = –––––––––––––––––––––––– =
3 . cos x
π
3 . cos –––
3
4
1 8
, devemos ter
3 21
1
3
8
21
, tal que:
c
f
a
d
11
e A.B =
b
e
3a + 5d = 11
a + 2d = 4
= 11
c
f
⇔
4
⇒
d = 1
a=2
Resposta: B
3)
Para A =
I)
A2
4
1
2
–3
=A.A=
II) 2 . A = 2 .
eI= 0
1
1 2
4 –3
4
III) 11 . I = 11 .
1
2
–3
0
1
IV) A2 + 2 . A – 11 . I =
Resposta: C
4–
0
1
.
=8
0
1
2
=0
4
–6
=
9 –4
–8 17
⇔ (
3)2 – m .
2
3
2
=0⇔
+ ––––
2
Resposta: 15
–8 17 + 8 –6 – 0 11 = 0 0 9 –4
1
–––
2
m
3
⇔ 3 – ––– + ––– = 0 ⇔ 12 – m + 3 = 0 ⇔ m = 15
4
4
11 0
11
π
Se ––– é raiz da equação tg2x – m . cos2x + sen2x = 0, então:
3
π
π
π
tg2 ––– – m . cos2 ––– – sen2 ––– = 0 ⇔
3
3
3
, tem-se:
1 2
4 –3
1
5
––– + 2 . 1
–––
2
2
5
2
5
= –––––––––––– = –––––– = ––– . ––– = –––
1
3
2
3
3
3 . –––
–––
2
2
Portanto, a soma dos elementos da primeira coluna da matriz
B é a + d = 3.
Resposta: C
7)
π
Para x = ––– , temos:
3
2
4
11 0
0 0
4)
Se tg x = 1 302 076 > 0, x pode pertencer ao 1o. ou 3o. quadrantes, pois são os quadrantes nos quais a tangente é
positiva.
Resposta: B
5)
π
Para x = ––– , temos:
2
9)
tg x = 0
y = cos 4x + sen 2x + tg 2x – sec 8x =
1
= cos 2π + sen π + tg π – sec 4π = 1 + 0 + 0 – –––––––– =
cos 4π
1
= 1 + 0 + 0 – ––– = 0
1
Resposta: D
6)
Para 0 ≤ x ≤ 2π, temos x = 0 ou x = π ou x = 2π
Resposta: V = {0; π; 2π}
10) tg x = ± 1 ⇔ tg x = – 1 ou tg x = 1
3
I) sen 240° = – sen 60° = – ––––
2
1
II) cos 240° = – cos 60° = – –––
2
3
III) tg 240° = tg 60° = 1
3
IV) – –––– < – ––– < 3 ⇒ sen 240° < cos 240° < tg 240°
2
2
π ou x = 3π ou
Para 0 ≤ x ≤ 2π, temos x = –––
––––
4
4
5π ou x = 7π
x = –––
––––
4
4
Resposta: C
Resposta: V =
7)
3π
5π
7π
–––– ; –––– ; ––––
4
4
4
I) 1440° = 4 . 360° + 0°
II) 810° = 2 . 360° + 90°
11) I) cos2α = 1 – sen2α = 1 –
III) 720° = 2 . 360° + 0°
= cos 0° + sen 90° + tg 0° = 1 + 1 + 0 = 2
Resposta: B
I)
sen α < 0
cos α < 0
cos β < 0
cos β < 0
9
16
= 1 – –––– = –––– ⇒
25
25
3
–––
5
sen α
3
II) tg α = ––––––– = –––––– = – ––
4
cos α
4
– ––
5
o
o
Resposta: A
2
Resposta: C
⇒ α ∈ 3o. quadrante
tg β < 0 ⇒ sen β > 0 ⇒ β ∈ 2 . quadrante
sen γ > 0
sen γ > 0
III) ⇒
⇒ γ ∈ 1 . quadrante
cotg γ > 0
cos γ > 0
II)
––35 4
⇒ cos α = – –– , pois α ∈ 2o. quadrante
5
IV) cos 1440° + sen 810° + tg 720° =
8)
π ;
–––
4
12) I)
cos2x
=1–
sen2x
=1–
––––
2
2
2
2
2
= 1 – ––– = ––– ⇒
4
4
2
⇒ cos x = – –––– , pois x ∈ 2o. quadrante
2
2
––––
2
sen
x
II) tg x = ––––––– = –––––––– = – 1
cos x
2
– ––––
2
Resposta: A
–5
1
13) cotg x = 1 ⇔ ––––– = 1 ⇔ tg x = 1
tg x
5 , tem-se:
16) Para cossec x = –––
4
1
5 =
1
I) cossec x = –––––––
⇒ –––
–––––– ⇔
sen x
4
sen x
4
16
⇔ sen x = ––– ⇒ sen2x = ––––
5
25
16
9
II) cos2 x = 1 – sen2x = 1 – –––– = ––––
25
25
16
––––
2x
25
sen
16
III) tg2 x = –––––––
= –––––– = ––––
9
cos2x
9
––––
25
16
16
IV) 25 . sen2x – 9 . tg2x = 25 . –––– – 9 . –––– = 16 – 16 = 0
25
9
π
5π
Para 0 ≤ x ≤ 2π, temos x = ––– ou x = –––
4
4
Resposta: V =
π
5π
––– ; –––
4
4
Resposta: D
3
3
1
14) cotg x = –––– ⇔ ––––– = –––– ⇔
3
3
tg x
sen x
17) sen x = cos x ⇔ ––––––– = 1 ⇔ tg x = 1
cos x
3
3
3
3
⇔ tg x = –––– = –––– . ––––– = 3
3
3
π
5π
Para 0 < x < 2π, temos x = ––– ou x = –––
4
4
Resposta: V =
π
; –––
–––
4
4 5π
π
4π
Para 0 ≤ x ≤ 2π, temos x = ––– ou x = –––
3
3
Resposta: V =
π
; –––
–––
3
3 4π
18) cos x + sen x = 0 ⇔ sen x = – cos x ⇔
sen x
⇔ ––––––– = – 1 ⇔ tg x = – 1
cos x
15) tg x = 3
A solução geral da equação, nesses 2 pontos, é:
π
x = ––– + n . π
3
Resposta: V =
6–
3π
7π
11π
Para x ∈ [0; 3π], temos x = ––– ou x = ––– ou x = –––– ,
4
4
4
portanto, 3 soluções.
Resposta: C
x∈x=
π
––– + n . π, n ∈ 3
sen x
19) Para que a função f(x) = ––––––––––––– exista, devemos ter
sen x + cos x
sen x + cos x ≠ 0 ⇔ sen x ≠ – cos x ⇔
sen x
cos x
23) tg x + cotg x = 3 ⇔ –––––––– + –––––––– = 3 ⇔
cos x
sen x
sen2x + cos2x
1
⇔ ––––––––––––––– = 3 ⇔ ––––––––––––– = 3 ⇔
sen x . cos x
sen x . cos x
1
⇔ sen x . cos x = –––
3
sen x
⇔ –––––– ≠ – 1 ⇔ tg x ≠ – 1
cos x
Resposta: D
24) Sendo f(x) = sen x e g(x) = tg x, temos os seguintes gráficos:
3π
Assim, o domínio da função é x ≠ –––– + n . π
4
Resposta: D(f) = –
20) tg
x–
π
–––
2
3π
+n.π
–––
4
(n ∈ )
=1
Os pontos de encontro dos gráficos das funções são as
soluções da equação f(x) = g(x), assim, temos:
sen x
sen x
sen x = tg x ⇔ sen x = ––––––– ⇔ sen x – ––––––– = 0 ⇔
cos x
cos x
1
––––– = 0 ⇔ sen x = 0 ou cos x = 1 ⇔ x = n . π
cos x
Para 0 < x < π, a equação não tem solução, ou seja, não exis⇔ sen x
1–
tem pontos de encontro dos gráficos.
Resposta: zero
π
25) Se ––– < y < π, então:
2
A solução geral da equação é:
π
π
π
π
3π
x – ––– = ––– + n . π ⇔ x = ––– + ––– + n . π ⇔ x = –––– + n . π
2
4
4
2
4
Resposta:
3π
x ∈ x = ––– + n . π, n ∈ 4
21) Para que a função f(x) = 2 – tg
x
–––
3
3π
––– + n . 3π, n ∈ 2
22) A função y = tg(2x – 30°) não é definida para
2x – 30° = 90° + n . 180° ⇔ 2x = 120° + n . 180° ⇔
⇔ x = 60° + n . 90°
Sendo 0° < x < 90°, temos, para n = 0, x = 60°
Resposta: 60°
⇔
2x
⇔
tg y = 2x + 3
⇔
1
––––– = x + 1
tg y
tg y = 2x + 3
⇒
2 + 5x + 2 = 0
exista, devemos ter:
x
π
3π
––– ≠ ––– + n . π ⇔ x ≠ ––– + n . 3π
3
2
2
Resposta: D(f) = –
tg y = 2x + 3
⇔
cotg y = x + 1
x=–2
⇒
tg y = – 1
x=–2
tg y = 2x + 3
tg y = 2x + 3
⇔
1
––––––– = x + 1
2x + 3
⇔
x=–2
3π
y = ––––
4
3π
Resposta: x = – 2 e y = –––
4
26) I)
sec x – tg x = n
sec x + tg x = m
⇔
⇔
2 . sec x = m + n ⇔
2 . tg x = m – n
m–n
tg x = –––––––
2
m+n
sec x = –––––––
2
–7
2
II) sec2x = 1 + tg2x ⇒
m+n
––––––
2
2
=1+
m–n
––––––
2
⇔
m2 + 2m.n + n2
m2 – 2m.n + n2
⇔ –––––––––––––––– = 1 + –––––––––––––––– ⇔
4
4
⇔ m2 + 2m.n + n2 = 4 + m2 – 2m.n + n2 ⇔
⇔ 4m.n = 4 ⇔ m.n = 1
Resposta: B
π , cos x = 0 não tem solução e
II) Para 0 ≤ x < –––
2
27) Considerando a função g(x) = x2 – 2x + 2, tem-se:
–b
I) A abscissa do vértice é xv = –––– =
2a
–Δ
II) A ordenada do vértice é yv = –––– =
4a
2
––– = 1
2
4
––– = 1
4
Representando graficamente as funções g(x) =
f(x) = sen x, temos:
1
π
cos x = ––– ⇒ x = –––
2
3
Resposta: D
x2
– 2x + 2 e
π
30) Como – 1 ≤ sen t – –– ≤ 1, o valor mínimo de P(t) é obtido
2
π
quando sen t – –– = – 1, isto é:
2
π
3π
t – –– = ––– ⇒ t = 2π
2
2
Resposta: D
31) cos x + sen x = 0 ⇔ sen x = – cos x ⇔
sen x
⇔ ––––––– = – 1 ⇔ tg x = – 1
cos x
Como os gráficos não possuem intersecção, a equação
sen x = 2 – 2x + x2 ⇔ f(x) = g(x) não tem solução.
Resposta: zero
1
28) 9– cos x = ––– ⇔ (32)– cos x = 3– 1 ⇔
3
1
⇔ 3– 2 cos x = 3– 1 ⇔ – 2 cos x = – 1 ⇔ cos x = –––
2
3π
7π
11π
Para x ∈ [0; 3π], temos x = ––– ou x = ––– ou x = –––– ,
4
4
4
portanto, 3 soluções.
Resposta: C
sen x
32) Para que a função f(x) = ––––––––––––– exista, devemos ter
sen x + cos x
1
π
O menor valor positivo de x para o qual cos x = ––– é ––– .
2
3
Resposta: C
cos2x
29) I)
cos2x
2 . cos2x
625
(252)
25
––––––––– = 1 ⇔ ––––––––––– = 1 ⇔ ––––––––––– = 1 ⇔
25cos x
25cos x
25cos x
2 . cos2x – cos x
⇔ 25
= 250 ⇔ 2 . cos2x – cos x = 0 ⇔
1
⇔ cos x . (2 . cos x – 1) = 0 ⇔ cos x = 0 ou cos x = –––
2
8–
sen x + cos x ≠ 0 ⇔ sen x ≠ – cos x ⇔
sen x
⇔ –––––– ≠ – 1 ⇔ tg x ≠ – 1
cos x
π
36) Para 0 ≤ x ≤ ––– , temos:
2
3π
Assim, o domínio da função é x ≠ –––– + n . π
4
Resposta: D(f) = –
3π
+n.π
–––
4
1
I) sen x = ––– ⇔ cossec x = 3
3
(n ∈ )
33) sen2x + sen4x + sen6x = 3 ⇔ sen2x = sen4x = sen6x = 1 ⇔
⇔ sen x = 1 ou sen x = – 1
2
2
1
8
II) cos2x = 1 – sen2x = 1 – ––– = ––– ⇒ cos x = ––––––
3
9
9
1
–––
3
2
1
1
sen x
2
III) tg x = ––––––– = ––––––– = ––––– = ––––– . ––––– = ––––
cos x
4
2
2
2
2
2
2
2
––––––
3
1
2
2
2
––– . –––––– – ––––
3
3
4
sen x . cos x – tg x
IV) A = –––––––––––––––––––– = –––––––––––––––––––– =
1 – cossec x
1–3
2
2
2
8
2 – 9
2
–––––– – ––––
––––––––––––
9
4
36
= ––––––––––––––– = ––––––––––––––– =
–2
–2
π
A solução geral da equação é x = ––– + n . π
2
Resposta:
x∈x=
π
––– + n . π, n ∈ 2
1
– 2
2
= –––––– . –––– = –––––
–2
36
72
cos2x
34) Para que a função f(x) = –––––––––– exista, devemos ter
1 – sen x
2
Resposta: –––––
72
π
1 – sen x ≠ 0 ⇔ sen x ≠ 1 ⇔ x ≠ ––– + n . 2π
2
Resposta: D(f) = –
π
––– + n2π, n ∈ 2
37) sen2 2x + sen 2x = 0 ⇔ sen 2x . (sen 2x + 1) = 0 ⇔
⇔ sen 2x = 0 ou sen 2x = – 1
1
35) sen x = sec x – cos x ⇔ sen x = –––––– – cos x ⇔
cos x
⇔ sen x . cos x = 1 – cos2x ⇔ sen x . cos x = 1 – (1 – sen2x) ⇔
⇔ sen x . cos x = 1 – 1 + sen2x ⇔ sen x . cos x – sen2x = 0 ⇔
⇔ sen x . (cos x – sen x) = 0 ⇔ sen x = 0 ou cos x – sen x = 0
⇔
⇔ sen x = 0 ou sen x = cos x ⇔ sen x = 0 ou tg x = 1
Para 0 ≤ x ≤ π ⇔ 0 ≤ 2x ≤ 2π, tem-se:
I) sen 2x = 0 ⇒ 2x = 0 ou 2x = π ou 2x = 2π ⇔
π
⇔ x = 0 ou x = ––– ou x = π
2
3π
3π
II) sen 2x = – 1 ⇒ 2x = –––– ⇔ x = ––––
2
4
π
A solução geral da equação é x = n . π ou x = ––– + n . π
4
Resposta:
π
x ∈ x = n . π ou x = ––– + n . π, n ∈ 4
III) V =
0;
π
3π
––– ; –––– ; π , portanto, são 4 soluções para
2
4
x ∈ [0; π]
Resposta: 4
–9
3
38) Sendo x um arco do 2o. quadrante e cos x = – ––– , temos:
4
7
9
7
2
2
I) sen x = 1 – cos x = 1 – ––– = ––– ⇒ sen x = ––––
16
16
4
3
II) cos(π + x) = – cos x = – – –––
4
2 . sen
L(3) = 3 .
= 3 . 2 . sen
3
= –––
4
– 2 – cos ––––––
––––––
6 =
12 3.π
3.π
2 –2+0=
––4π – 2 + cos ––2π = 3 . 2 . ––––
2
=3–2=1
7
7+3
3
III) cos(π + x) + sen x = ––– + –––– = ––––––––
4
4
4
Portanto, o lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas
dessas peças é 1 000.
7+3
Resposta: –––––––
Resposta: C
4
43) A função f(x) = 900 – 800 . sen
39) I) sen2x + cos2x = 1 ⇒ (sen2x + cos2x)2 = 12 ⇔
⇔ sen4x + 2 . sen2x . cos2x + cos4x = 1 ⇔
x.π
, em que f(x) é o
–––––
12 número de clientes, assume:
⇔ sen4x + cos4x = 1 – 2 . sen2x . cos2x
I) número máximo de clientes, quando
II) cos4x + sen4x – 2 . sen2x . cos2x = 1 ⇔
⇔ 1 – 2 . sen2x . cos2x – 2 . sen2x . cos2x = 1 ⇔
sen
⇔ – 4 . sen2x . cos2x = 0 ⇔ sen2x = 0 ou cos2x = 0 ⇔
x.π
–––––
12
= –1 (às 18 horas), igual a:
π
⇔ sen x = 0 ou cos x = 0 ⇔ x = n . ––– , n ∈ 2
Resposta:
40) I)
π
x ∈ x = n . ––– , (n ∈ )
2
cos x – m . sen x = 1
cos x + m . sen x = 0
⇔
⇔
f(18) = 900 – 800 . sen
2m . sen x = – 1
2 . cos x = 1
1
cos x = –––
2
1
sen x = – ––––
2m
2
2
1
+ –––
2
1
⇔ m2 = ––– ⇔ m = ±
3
= 1 ⇔ cos x – (1 –
44) 2cos
= 900 – 800 = 100
3 ⇒
–––2 – 3 = 0 ⇒ cos –––2 = ––––
2
x
x
x
π
π
⇒ ––– = ± ––– + n . 2π, n ∈ ⇒ x = ± ––– + n . 4π, n ∈ 2
6
3
Para x ∈ [– π; 4π] e n ∈ , temos:
cos2x)
π
π
11π
x = – –– , x = –––– , x = –––
3
3
3
=1⇔
Resposta: C
ou cos x = 1 ⇔ x = n . 2π, n ∈ Resposta: {x ∈ x = n . 2π, n ∈ }
42) Para x dezenas de certo produto, o lucro L(x) em milhares de
reais é obtido por L(x) = V(x) – C(x).
10 –
6.π
–––––
12
completo, é igual a 1600.
⇔ cos2x + cos x – 2 = 0 ⇔ cos x = – 2 (impossível)
Para x = 3, resulta:
Resposta: E
3
Resposta: m = ± –––––
3
41) cos x –
= 1 (às 6 horas), igual a:
mínimo de clientes dentro do supermercado, em um dia
1
1
––– = ± –––– =
3
3
1
3
3
= ± –––– . –––– = ± ––––
3
3
3
= 900 – 800 . (–1) = 1700
Portanto, a diferença entre o número máximo e o número
= 1⇔
1
1
⇔ –––––– + ––– = 1 ⇔ 1 + m2 = 4m2 ⇔ 3m2 = 1 ⇔
4
4m2
sen2x
x.π
–––––
12
f(6) = 900 – 800 . sen
II) número mínimo de clientes, quando
⇔
sen
1
II) sen2x + cos2x = 1 ⇒ – –––––
2m
18 . π
––––––
12
45)
3)
Se x + y = 90°, temos cos y = sen x.
Então
⇔
cos2x
cos2x
=3
cos2y
= 3(1 –
cos2x)
⇔
cos2x
=3
⇔
cos2x
3 ⇔
= –––
4
sen2x
y = sen 105° – cos 75° = sen(45° + 60°) – cos(45° + 30°) =
⇔
= sen 45° . cos 60° + sen 60° . cos 45° –
– cos 45° . cos 30° + sen 45° . sen 30° =
1
1
2
2
2
3
2
3
= –––– . ––– + –––– . –––– – –––– . –––– + –––– . ––– =
2
2
2
2
2
2
2
2
3
⇔ cos x = –––– (x é agudo)
2
1
2
2
= 2 . –––– . ––– = ––––
2
2
2
Portanto: x = 30°, y = 60° e y – x = 30°
Resposta: B
2
Resposta: ––––
2
46) Para 0 < z < 2π, tem-se:
1
2 sen2z + sen z – 1 = 0 ⇔ sen z = – 1 ou sen z = ––– ⇔
2
3π
π
5π
⇔ z = ––– ou z = ––– ou z = –––
2
6
6
tg a + tg b
Como ––––––––––––– = tg (a – b),
1 + tg a . tg b
4)
para a = x + y e b = y obtém-se
tg(x + y) – tg y
–––––––––––––––––– = tg(x + y – y) = tg x
1 + tg(x + y). tg y
Assim, a soma dos possíveis valores de z em radianos é
3π
π
5π
5π
––– + ––– + ––– = ––– , que corresponde a 450°.
2
6
6
2
Resposta: tg x
Resposta: E
5) I)
47) Lembrando que sen(– x) = – sen x, ∀x ∈ , temos:
3
sen y = ––
5
π
0 < y < ––
2
⇒
3
sen y = ––
5
4
cos y = ––
5
π
π
π
II) x + y = –– ⇔ x = –– – y ⇒ sen x = sen –– – y =
4
4
4
sen2x – sen(– x) = 0 ⇔ sen2x + sen x = 0 ⇔
⇔ sen x = – 1 ou sen x = 0
π
π
= sen –– . cos y – sen y . cos –– =
4
4
Para x ∈ [0;2π], temos:
3π
9π
3π
x = 0, x = π, x = ––– ou x = 2π e 0 + π + ––– + 2π = –––
2
2
2
2
2
4
3
2
= ––– . –– – –– . ––– = –––
2
5
5
2
10
Resposta: B
2
Resposta: ––––
10
n Módulo 12 – Adição e Subtração de
Arcos
tg x + tg y
–––––––––––––
1 – tg x . tg y = 33 ⇒
tg x = 3
sen 75° = sen (45° + 30°) = sen 45° cos 30° + sen 30° cos 45° =
1
6 + 2
2 . 2
3 + —
= –––
. ––– = ––––––––
–––
4
2
2
2
2
3 + tg y
⇒ –––––––––– = 33 ⇔ 3 + tg y = 33 – 99 tg y ⇔
1 – 3 tg y
6)
1)
Resposta: E
tg (x + y) = 33
⇒
tg x = 3
⇔ tg y + 99 tg y = 33 – 3 ⇔ 100 tg y = 30 ⇔ tg y = 0,3
Resposta: B
2)
Fazendo x = sen 15° + cos 15°, temos:
I) x2 = (sen 15° + cos 15°)2 =
= sen215° + 2 . sen 15° . cos 15° + cos215° =
1
3
= 1 + sen 30° = 1 + — = —
2
2
3
II) x2 = — ⇒ x =
2
6
Resposta: ––––
2
3
3
3
2
6
— = –––– = –––– . –––– = ––– , pois x > 0
2
2
2
2
2
7)
I) sen(x + y) + sen(x – y) = 2 ⇔
⇔ sen x . cos y + sen y . cos x +
+ sen x . cos y – sen x . cos y = 2 ⇔
⇔ 2 . sen x . cos y = 2 ⇔ sen x . cos y = 1
II)
sen x + cos y = 2
sen(x + y) + sen(x – y) = 2
⇔
sen x = 1
⇔
cos y = 1
Resposta:
⇔
sen x + cos y = 2 ⇔
sen x . cos y = 1
π
x = ––
2 , pois 0 ≤ x < 2π e 0 ≤ y < 2π
y=0
π
; 0 –––
2
– 11
8)
IV) tg(α + β) = – 1 ⇒ α + β = 135°, pois α e β são agudos
1
I) sen 150° = sen 30° = –––
2
Resposta: 135°
II) E = sen(150° + a) + sen(150° – a) =
= sen 150° . cos a + sen a . cos 150° +
+ sen 150° . cos a – sen a . cos 150° =
1
= 2 . sen 150° . cos a = 2 . ––– . cos a = cos a
2
Resposta: cos a
9)
π
π
π
sen ––– + x = sen ––– . cos x + sen x . cos ––– =
2
2
2
3
= 1 . cos x + 0 . sen x = cos x = –––
5
3
Resposta: –––
5
x = 90° + n . 360°, n ∈ }
π
π
π
III) sen ––– – x = sen ––– . cos x – sen x . cos ––– = cos x
2
2
2
+ cos x =
= – sen x + (– sen x) – cos x + cos x = – 2 . sen x
11) I) 8π = 4 . 2π + 0
II) 10π = 5 . 2π + 0
III) sen(8π – a) = sen(0 – a) = sen 0 . cos a – sen a . cos 0 =
= – sen a
π
π
π
IV) cos ––– – a = cos ––– . cos a + sen ––– . sen a = sen a
2
2
2
1
1
V) sec 10π = sec 0 = –––––– = ––– = 1
cos 0
1
π
VI) sen(8π – a) . cos ––– – a + sec 10π = cosna ⇒
2
⇒ – sen a . sen a + 1 = cosna ⇔
⇔ – sen2a + 1 = cosna ⇔ 1 – sen2a = cosna ⇔
⇔ cos2a = cosna ⇔ n = 2
Resposta: n = 2
3
4
12) I) cotg α = ––– ⇔ tg α = –––
4
3
1
II) cotg β = ––– ⇔ tg β = 7
7
4
25
–– + 7
––––
tg α + tg β
3
3
III) tg(α + β) = ––––––––––––– = ––––––––––– = ––––––– = – 1
1 – tg α . tg β
4
25
1 – –– . 7
– ––––
3
3
12 –
14) I) sen(π – x) = sen π . cos x – sen x . cos π = sen x
3π
3π
3π
II) sen ––– + x = sen ––– . cos x + sen x . ––– = – cos x
2
2
2
π
III) Se x = –––, tem-se:
5
3π
2 . cos π . sen (π – x) . sen ––– + x =
2
= 2 . (– 1) . sen x . (– cos x) = 2 . sen x . cos x = sen(2x) =
2π
= sen –––
5
Resposta: – 2 . sen x
⇔ x + 30° = 60° + n . 360° ou x + 30° = 120° + n . 360°, n ∈ ⇔
Resposta: V = {x ∈ x = 30° + n . 360° ou
II) sen(π + x) = sen π . cos x + sen x . cos π = – sen x
π
IV) E = sen(– x) + sen(π + x) – sen ––– – x
2
3
⇔ sen (x + 30°) = –––– ⇔
2
⇔ x = 30° + n . 360° ou x = 90° + n . 360°, n ∈ 10) I) sen(– x) = sen(0 – x) = sen 0 . cos x – sen x . cos 0 = – sen
x
3
3
1
–––– . sen x + ––– . cos x = –––– ⇔
2
2
2
3
⇔ cos 30° . sen x + sen 30° . cos x = –––– ⇔
2
3
Se cos x = ––– , então:
5
3
1
13) Lembrando que cos 30° = –––– e sen 30° = ––– , tem-se:
2
2
Resposta: C
15) I)
II)
III)
IV)
V)
VI)
VII)
cos (90° + x) = – sen x
cos (180° – x) = – cos x
cos (360° – x) = cos x
cos (90° – x) = sen x
sen (270° + x) = – cos x
sen (90° + x) = cos x
sen (360° + x) = sen x
cos(90° + x) + cos(180° – x) + cos(360° – x) + 3 . cos(90° – x)
VIII) ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– =
sen(270° + x) – sen(90° + x) – cos(90° – x) + sen(360° + x)
– sen x – cos x + cos x + 3 . sen x
= –––––––––––––––––––––––––––––––––– =
– cos x – cos x – sen x + sen x
2 . sen x
sen x
= ––––––––––– = – –––––––– = – tg x
– 2 . cos x
cos x
Resposta: – tg x
16) Se a + b = 30°, então:
(cos a + sen b)2 + (cos b + sen a)2 =
= cos2a + 2 . cos a . sen b + sen2b + cos2b +
+ 2 . cos b . sen a + sen2a =
= 1 + 1 + 2 . (sen a . cos b + sen b . cos a) =
1
= 2 + 2 . sen (a + b) = 2 + 2 . sen 30° = 2 + 2 . ––– = 2 + 1 = 3
2
Resposta: E
1
1
17) Se tg x = ––– e tg y = ––– , então:
3
5
1
1
2
–– – ––
–––
3
5
15
tg x – tg y
tg (x – y) = –––––––––––––– = ––––––––––– = –––––––––– =
1 + tg x . tg y
1 1
1
1 + –– . ––
1 + –––
3 5
15
2
–––
15
2
1
= –––––– = ––– = –––
16
8
16
–––
15
2)
Resposta: C
π
cos x – ––
π
2
sen x
II) cotg x – –– = –––––––––––– = –––––––
2
– cos x
π
sen x – ––
2
III) cos(180° + x) = – cos x
4)
π + 2π
π
π
3π
π
III) ––
+ –– = –––––––– = –––– = ––
6
6
3
6
2
Resposta: D
5)
Resposta: B
π
II) sen ––– + x = cos x
2
III) tg (– x) = – tg x
4
a) sen (2a) = 2 . sen a . cos a = 2 . ––– .
5
π
IV) cos (x + π) + sen ––– + x – tg(– x) + cotg x =
2
4
Para sen a = ––– , tem-se:
5
16
9
sen2a + cos2a = 1 ⇒ –––– + cos2a = 1 ⇔ cos2a = –––– ⇔
25
25
3
⇔ cos a = ± –––
5
19) I) cos(x + π) = – cos x
I) 0 ≤ x ≤ π ⇔ 0 ≤ 2x ≤ 2π
π
π
2π
π
⇒ 2x = ––– ou 2x = –––– ⇔ x = –– ou x = ––
3
3
3
6
sen x
– cos x . ––––––––
– cos x
sen x
= –––––––––––––––––– = –––––––– = – sen x
1
–1
– cos x . –––––––
cos x
= 2 . sen x . cos x + 1 – sen2x – cos2x =
3
3
II) 2 sen x cos x = –––– ⇔ sen(2x) = –––– ⇒
2
2
15π
π
sen –––– – x .cotg x – ––
2
2
V) y = ––––––––––––––––––––––––––––– =
cos(180° + x) . sec(– x)
Resposta: B
1
1
IV) sec(– x) = –––––––– = ––––––
cos(– x)
cos x
2
1
sen x
cos x sen x
1
1
0
cos x
= sen(2x) + 1 – (sen2x + cos2x) = sen(2x) + 1 – 1 = sen(2x)
π
15π
3π
18) I) sen –––– – x = sen ––– – x = – sen ––– + x = – cos x
2
2
2
1
sen x = –––
2
⇒ x = 150°
90° < x < 180°
1
II) cos(2x) = cos 300° = cos 60° = –––
2
3)
Resposta: D
I)
24
± –––35 = ± –––
25
9
16
7
b) cos (2a) = cos2a – sen2a = ––– – ––– = – –––
25
25
25
= – cos x + cos x – (– tg x) + cotg x = tg x + cotg x =
sen x
cos x
sen2x + cos2x
1
= ––––––– + ––––––– = ––––––––––––––– = ––––––––––––– =
cos x
sen x
sen x . cos x
sen x . cos x
2
2
= –––––––––––––––– = ––––––––––
2 . sen x . cos x
sen (2x)
24
7
Respostas: a) ± ––– ; b) – –––
25
25
Resposta: A
6)
n Módulo 13 – Arco Duplo
1)
π
Se x ∈ 0; ––– , então:
2
1
π
π
I) cos(2x) = ––– ⇒ 2x = ––– ⇔ x = –––
2
3
6
π
1
II) sen x = sen ––– = –––
6
2
Resposta: D
7)
I) sen x = – 1 ⇒ cos x = 0
II) sen(2x) = 2 . sen x . cos x = 2 . (– 1) . 0 = 0
Resposta: 0
3
Sendo cos x = ––– e observando que
4
cos(2x) = cos2x – sen2x = cos2x – (1 – cos2x) = 2 . cos2x – 1,
tem-se:
9
9
1
I) cos(2x) = 2 . cos2x – 1 = 2 . ––– – 1 = ––– – 1 = –––
16
8
8
– 13
II) cos(4x) = 2 .
cos2(2x)
1
1
31
– 1 = 2 . ––– – 1 = ––– – 1 = – –––
64
32
32
14) Sendo f(x) = cos(2x) e g(x) = sen2x – 1, temos:
f(x) + g(x) = cos(2x) + sen2x – 1 =
= cos2x – sen2x + sen2x – 1 = – sen2x + 1 – 1 = – sen2x
Resposta: C
31
Resposta: – –––
32
2 . tg x
a
15) I) Sendo tg(2x) = ––––––––––– , fazendo x = –– , temos:
2
1 – tg2x
8)
y = (sen x + cos x)2 = sen2x + 2 . sen x . cos x + cos2x =
= (sen2x + cos2x) + (2 . sen x . cos x) = 1 + sen(2x)
a
2 . tg ––
2
tg a = –––––––––––––
a
1 – tg2 ––
2
Resposta: 1 + sen(2x)
9)
y = (sen x + cos x + 1) . (sen x + cos x – 1) =
II) Para tg
= (sen x + cos x)2 – 12 = sen2x + 2 . sen x . cos x + cos2x – 1 =
= 2 . sen x . cos x = sen(2x)
1
2 . –––
4
1
2
tg a = ––––––––– = –––––– = –––
3
3
1
–––
1 – –––
4
4
Resposta: C
1
10) sen a – cos a = ––– ⇒ (sen a – cos a)2 =
5
–––5 1
2
⇔
Resposta: A
1
⇔ sen2a – 2sen a cos a + cos2a = ––– ⇔
25
1
1
24
⇔ 1 – sen (2a) = ––– ⇔ 1 – ––– = sen (2a) ⇔ sen (2a) = –––
25
25
25
Resposta: B
1
1
11) y = 3 + sen x . cos x = 3 + –– . 2 sen x cos x = 3 + –– sen (2x)
2
2
␲ ⇔ 0 ≤ 2x ≤ ␲, temos:
Para 0 ≤ x ≤ ––
2
0
1
1
0 ≤ sen (2x) ≤ 1 ⇔ –– ≤ –– sen (2x) ≤ –– ⇔
2
2
2
1
7
1
⇔ 0 + 3 ≤ 3 + –– sen (2x) ≤ –– + 3 ⇔ 3 ≤ y ≤ ––
2
2
2
7
O maior valor que y pode assumir é, portanto, igual a –– .
2
Resposta: D
1
12) sen x = ––––––– ⇔ sen x . cos x = 1 e cos x ≠ 0 ⇔
cos x
⇔ 2 sen x cos x = 2 e cos x ≠ 0 ⇔ sen (2x) = 2
–––a2 = –––12 , temos:
16) I) cos(2x) = cos2x – sen2x = 1 – sen2x – sen2x = 1 – 2 . sen2x
II) cos(2x) + 2 . sen2x + 2 = 0 ⇔
⇔ 1 – 2 . sen2x + 2 . sen2x + 2 = 0 ⇔ 3 = 0, assim, não existe
x que satisfaça a equação.
Resposta: C
17
cos2x + 2 . sen2x + 2 = 0 ⇔ 1 – sen2x + 2 . sen2x + 2 = 0 ⇔
⇔ sen2x + 3 = 0 ⇔ sen2x = – 3, assim, a equação não tem
solução.
Resposta: nenhuma
sen x
cos x
18) I) tg x + cotg x = 3 ⇔ –––––––––– + –––––––––– = 3 ⇔
cos x
sen x
1
sen2x + cos2x
⇔ ––––––––––––––––––––– = 3 ⇔ –––––––––––––––––– = 3 ⇔
sen x . cos x
sen x . cos x
1
⇔ sen x . cos x = –––
3
1
2
II) sen (2x) = 2 . sen x . cos x = 2 . ––– = –––
3
3
2
Resposta: –––
3
A solução da equação proposta é V = Ø, pois – 1 ≤ sen (2x) ≤ 1
Resposta: E
19) I) cos
13) 2 . cos (2x) – cos x = 3 ⇔ 2 . (cos2x – sen2x) – cos x = 3 ⇔
3π
x
+ ––– =
–––
2
2
⇔ 2 . (2 . cos2x – 1) – cos x = 3 ⇔ 4 . cos2x – 2 – cos x = 3 ⇔
1±9
⇔ 4 . cos2x – cos x – 5 = 0 ⇔ cos x = –––––– ⇒
8
= cos
3π
x
3π
x
. cos ––– – sen ––– . sen ––– =
–––
2 2
2
2
⇒ cos x = – 1, pois – 1 ≤ cos x ≤ 1
Como x ∈ ]0; 5π[, tem-se x = π ou x = 3π
Resposta: {π; 3π}
14 –
= 0 . cos
–––x2 – (– 1) . sen –––x2 = sen –––x2 I) Pela lei dos senos, tem-se:
x
II) Sendo cos (2a) = 1 – 2 . sen2a, fazendo a = ––– , temos:
2
cos x = 1 – 2 . sen2
2
2
2
2
––––––– = –––––––– ⇔ ––––––– = ––––– ⇔
sen ␣
sen ␣
sen 30°
1
–––
2
x
–––
2
1
2
⇔ 2 sen ␣ = 1 ⇔ sen ␣ = ––– = ––– ⇒ ␣ = 45°
2
2
3
III) Para cos x = ––– , temos:
5
3
––– = 1 – 2 . sen2
5
⇔ 2 . sen2
⇔ sen
x
2
x
3
II)
–––2 = –––5 ⇔ sen –––2 = –––5 ⇔
x
–––2 = ±
Assim, cos
–––2 ⇔ 2 . sen –––2 = 1 – –––5 ⇔
x
2
2
x
␣ + ␤ + 30° = 180°
␣ = 45°
⇒ 45° + β° + 30° = 180° ⇔ ␤ = 105°
1
5
1
1
––– = ± –––– = ± ––––
5
5
5
Resposta: D
3)
5
3π
x
x
+ ––– = sen ––– = ± ––––
–––
2
2
2
5
5
Resposta: ± ––––
5
n Módulo 14 – Lei dos Senos e dos
Cossenos
1)
^
Seja α a medida do ângulo AOB (0 < α < π).
Pela lei dos cossenos, temos:
(AB)2 = (OA)2 + (OB)2 – 2(OA) (OB) cos α ⇒
De acordo com o enunciado, tem-se a figura a seguir:
⇒ 62 = (2
3 )2 + (2
3 )2 – 2 . 2
3 . 2
3 . cos α ⇔
2π
1
⇔ cos α = – ––– ⇒ α = ––––
2
3
Resposta: B
I) sen 105° = sen (60° + 45°) =
4)
De acordo com o enunciado, tem-se a figura a seguir:
= sen 60° . cos 45° + sen 45° . cos 60° =
1
3 2
2
6 + 2
= –––
. ––– + ––– . ––– = –––––––––
2
2
2
2
4
II) Pela lei dos senos, obtém-se:
c
20
20
c
–––––––––– = ––––––– ⇔ ––––––––––– = –––– ⇔
sen 105°
sen 30°
1
6 + 2
––
––––––––
2
4
40
80
⇔ 2c = –––––––––– ⇔ c = –––––––––
6 + 2
6 + 2
Resposta: C
2)
Sendo R, em metros, o raio da circunferência circunscrita ao
triângulo ABC, pela lei dos senos, tem-se:
AB
10
––––––– = 2R ⇒ ––––––––– = 2R ⇔ 2R . sen 60° = 10 ⇔
^
sen C
sen 60°
10
3
10
3 = 10 ⇔ R = ––––––
⇔ 2R . ––––
= ––––––
3
2
3
10
3
Resposta: –––––– m
3
– 15
5)
De acordo com o enunciado, tem-se a figura a seguir:
9)
De acordo com a lei dos senos e sendo R o raio da circunferência que circunscreve o triângulo ABC, temos:
AB
2
––––––– = 2R ⇒ 4
2 = 2R . ––––– ⇔ R = 4
^
2
sen C
Resposta: 4
Sendo x, em metros, a medida do terceiro lado, pela lei dos
cossenos, tem-se:
x2 = 62 + 102 – 2 . 6 . 10 . cos 120° ⇔
1
⇔ x2 = 36 + 100 – 2 . 6 . 10 . – –––
2
10)
⇔
⇔ x2 = 36 + 100 + 60 ⇔ x2 = 196 ⇒ x = 14, pois x > 0
6)
Resposta: 14 m
I) No triângulo BCP, pela lei dos senos, tem-se:
BC
PB
––––––––– = –––––––– ⇔ BC . sen 30° = PB . sen 135° ⇒
sen 135°
sen 30°
1
2 ⇔
6 – 2) . ––––
⇒ BC . ––– = (
2
2
I) No triângulo ABD, tem-se:
AB
1
AB
sen 30° = –––– ⇒ ––– = –––– ⇔ AB = 20
AD
2
40
⇔ BC = 12 – 2 = 2
3 – 2 = 2(
3 – 1)
II) No triângulo ABC, tem-se:
II) No triângulo ABC, tem-se:
AB
3
20
20
20
tg 60° = –––– ⇒ 3 = ––– ⇔ x = ––––– = ––––––
BC
3
x
3
Resposta: E
AB
AB
3
sen 60° = –––– ⇒ –––– = –––––––––– ⇔
BC
2
3 – 1)
2(
⇔ AB = 3 (
3 – 1) = 3 – 3
11)
Resposta: 3 – 3
7)
De acordo com o enunciado, tem-se a figura a seguir:
Utilizando a lei dos cossenos no triângulo ACD obtém-se:
^
(
21)2 = 52 + 42 – 2 . 5 . 4 . cos C ⇔
^
⇔ 21 = 25 + 16 – 40 cos C ⇔
^
Sendo α a medida do ângulo B AC, pela lei dos cossenos,
^
^
^
^
1
⇔ 40 cos C = 20 ⇔ cos C = –– ⇔ C = 60o, pois 0° < C < 180°
2
tem-se:
(
39)2 = 52 + 72 – 2 . 5 . 7 . cos α ⇔
⇔ 39 = 25 + 49 – 70 . cos α ⇔ 70 . cos α = 35 ⇔
35
1
⇔ cos α = ––– = –– ⇒ α = 60°, pois 0° < α < 180°
70
2
Resposta: 60°
8)
Sendo a = 4, b = 2
3 e α = 60° o ângulo formado pelos lados
a e b, a área do triângulo é dada por:
1
1
3 . sen 60° =
–– . a . b . sen α = –– . 4 . 2
2
2
1
3
3 . –––– = 6
= –– . 4 . 2
2
2
Resposta: 6
16 –
O triângulo ABC é isósceles, pois tem dois ângulos com medidas iguais a 30°. Os dois lados opostos a esses ângulos
também têm medidas iguais e cada um mede 4.
A área do triângulo ABC é dada por:
^
1
–– . AC . BC . sen ACB =
2
1
1
3 = 4
= –– . 4 . 4. sen 120° = –– . 4 . 4. ––––
3
2
2
2
Resposta: B
12)
5
6
5
3
III) b = 2c = 2 . ––––– = –––––
5
5
6
5
3
5
Resposta: ––––– e –––––
5
5
^
15) c2 = a2 + b2 – 2ac . cos C ⇒
⇒ c2 = 42 + (3
2)2 – 2 . 4 . 3
2 . cos 45° ⇔
A distância x, em km, entre B e C é tal que:
2
⇔ c2 = 16 + 18 – 2 . 4 . 3
2 . –––– ⇔
2
x2 = 1202 + 802 – 2 . 120 . 80 . cos 60o ⇔
1
⇔ x2 = 14 400 + 6 400 – 2 . 9 600 . –– ⇔
2
⇔ c2 = 16 + 18 – 24 ⇔ c2 = 10 ⇒ c = 10, pois x > 0
Resposta: 10
⇔ x2 = 20 800 – 9 600 ⇔ x2 = 11 200 ⇒
⇒x=
10 <
11200
= 10
112, pois x > 0
16) a) 42 = 32 + 32 – 2 . 3 . 3 . cos ␣ ⇔
112 < 11 ⇒ 100 < 10 . 112 < 110
1
⇔ 18 cos ␣ = 2 ⇔ cos ␣ = ––
9
Resposta: C
AC
BC
3
4
b) –––––––– = –––––––– ⇒ –––––––––– = –––––––– ⇔
sen β
sen α
sen 60°
sen α
13)
3
⇔ 3 . sen α = 4 . sen 60° ⇔ 3 . sen α = 4 . –––– ⇔
2
2
3
⇔ sen α = –––––– > 1, portanto, não existe α.
3
1
Respostas: a) cos α = ––
9
^
^
^
^
^
^
I) A + B + C = 180° ⇔ A + C = 180° – B
^
^
^
b) Nas condições propostas, não existe o
triângulo.
^
II) cos B = – cos (180° – B) = – cos (A + C)
III) Pela lei dos cossenos, tem-se:
^
^
^
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B ⇔ b2 = a2 + c2 – 2ac[– cos (A + C)] ⇔
^
^
17)
⇔ b2 = a2 + c2 + 2ac cos (A + C)
Resposta: B
14)
Sendo BC = x, tem-se:
x2 = 32 + 42 – 2 . 3 . 4 . cos A ⇒
⇒ x2 = 9 + 16 – 24 cos ␣ ⇔ x2 = 25 – 24 cos ␣
Se ␣ é obtuso, isto é, 90o < ␣ < 180o, então:
I)
c
b
––––––– = –––––––
sen C
sen B
1
sen C = –– sen B
2
– 1 < cos ␣ < 0 ⇒ 24 > – 24 cos ␣ > 0 ⇒
c
b
⇒ ––––––––––– = ––––––– ⇔
sen B
1
–– sen B
2
⇒ 0 < – 24 cos ␣ < 24 ⇒ 0 + 25 < 25 – 24 cos α < 24 + 25 ⇒
⇒ 25 < x2 < 49 ⇒ 5 < x < 7
Resposta: D
⇔ b = 2c
II) b2 + c2 = 32 ⇒ (2c)2 + c2 = 9 ⇔ 4c2 + c2 = 9 ⇔
3
5
3
9
⇔ 5c2 = 9 ⇔ c2 = –– ⇒ c = –––– = ––––– , pois c > 0
5
5
5
– 17
18)
4)
Sendo x, em metros, o comprimento da sombra da estátua,
temos:
5
4+x
––– = –––––– ⇔ 5x = 8 + 2x ⇔ 5x – 2x = 8 ⇔ 3x = 8 ⇔
2
x
8
⇔ x = –––
3
8
Resposta: ––– m
3
62 = 42 + 52 – 2 . 5 . 4 . cos x ⇔ 36 = 16 + 25 – 40 cos x ⇔
1
⇔ 40 cos x = 5 ⇔ cos x = ––
8
5)
Resposta: E
—
Sendo x, em metros, a medida de ED, pela semelhança dos
triângulos AED e ABC, temos:
AE
ED
12
x
–––– = –––– ⇒ –––– = ––––––– ⇔ 5x = 30 + 3x ⇔ 5x – 3x = 30 ⇔
AB
BC
20
10 + x
⇔ 2x = 30 ⇔ x = 15
19)
Resposta: A
6)
ΔABE ΔCDE ⇒
AB = AE ⇒ 136 = AE ⇔ 2AE = 408 ⇔ AE = 204
⇒ ––––
–––– ––––
––––
50
75
CD
CE
Resposta: C
I) No triângulo ABC tem-se: (AC)2 = 32 + 22 ⇒ AC =
13
7)
2
II) No triângulo ACD tem-se: (
13 ) = 32 + x2 – 2 . 3 . x . cos 60° ⇔
Sendo x, em metros, a medida do raio do disco voador,
então:
30
80
–––– = –––– ⇔ 16x = 48 ⇔ x = 3
16
2x
⇔ x2 – 3x – 4 = 0 ⇒ x = 4, pois x > 0
III) O perímetro, em centímetros, é 4 + 3 + 3 + 2 = 12
Resposta: A
Resposta: B
8)
FRENTE 3 – Geometria Plana
n Módulo 11 – Semelhança de Triângulos
1)
10
1 + BE
AB
BD
ΔABD ΔCBE ⇒ ––––– = ––––– ⇒ –––––––– = –––– ⇔
3
BE
CB
BE
Sendo x, em metros, o comprimento da sombra da moça no
chão, temos:
⇔ BE + (BE)2 = 30 ⇔ (BE)2 + BE – 30 = 0 ⇒ BE = 5
4
x+2
–––– = –––––– ⇔ 4x = 1,5x + 3 ⇔ 4x – 1,5x = 3 ⇔
x
1,5
Resposta: D
3
⇔ 2,5x = 3 ⇔ x = –––– ⇔ x = 1,20
2,5
2)
AB
BC
15
20
ΔABC ΔEDC ⇒ –––– = –––– ⇒ –––– = –––– ⇔
ED
DC
x
15
45
⇔ 4x = 45 ⇔ x = –––– ⇔ x = 11,25
4
Resposta: D
Resposta: B
n Módulo 12 – Relações Métricas no
Triângulo Retângulo
1)
3)
Sendo x a medida do lado do quadrado, temos:
BD
DE
1–x
x
ΔBDE ΔBAC ⇒ –––– = –––– ⇒ –––––– = ––– ⇔
BA
AC
1
3
3
⇔ x = 3 – 3x ⇔ x + 3x = 3 ⇔ 4x = 3 ⇔ x = ––– = 0,75
4
Resposta: B
18 –
Sendo x o comprimento do cabo de energia, em metros,
temos:
x2 = 62 + 82 ⇔ x2 = 36 + 64 ⇔ x2 = 100 ⇒ x = 10
Resposta: D
2)
6)
Utilizando a relação (HIP) . (ALT) = (CAT) . (CAT), temos:
36
15 . h = 9 . 12 ⇔ h = ––– = 7,2
5
Resposta: B
Sendo x a medida, em metros, de cada lado não-paralelo do
trapézio isósceles, temos:
x + x = 20 m ⇔ x = 10 m
7)
No triângulo ABC, sendo h a medida em metros do trapézio,
temos: h2 + (8 m)2 = (10 m)2 ⇒ h = 6 m
Resposta: A
Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo sombreado,
tem-se:
3)
2
2
a + –––2 = –––
2 De acordo com o Teorema de Pitágoras, tem-se:
r2 = (r – 5)2 + 102 ⇔ 10r = 125 ⇔ r = 12,5
Resposta: C
R
R
+ (R – a)2 ⇔
R2
R2
⇔ a2 + aR + ––– = ––– + R2 – 2aR + a2 ⇔
4
4
R
⇔ aR = R2 – 2aR ⇔ 3aR = R2 ⇔ 3a = R ⇔ a = –––
3
4)
Resposta: D
8)
De acordo com o Teorema de Pitágoras, no triângulo
retângulo OCE, tem-se: (OE)2 = (OC)2 + (CE)2
Assim:
Se h é altura do triângulo ACB relativa ao lado CB, e se x é a
medida de CD, então:
(OE)2 = (8)2 + (8)2 ⇔ (OE)2 = 8 + 8 ⇔ (OE)2 = 16 ⇒ OE = 4
Resposta: D
I) No triângulo ADC, tem-se
h2 + x2 = 32 ⇔ h2 = 9 – x2
5)
Fazendo AB = x, tem-se a figura a seguir:
II) No triângulo ADB, tem-se
h2 + (6 – x)2 = 42 ⇔ h2 = 12x – 20 – x2
29
Logo, 12x – 20 – x2 = 9 – x2 ⇔ x = –––
12
Resposta: E
n Módulo 13 – Ângulos na Circunferência
e Potência de Ponto
x2 + 102 = 262 ⇔ x2 + 100 = 676 ⇔ x2 = 576 ⇒ x = 24
Resposta: D
1)
130°
x = ––––– = 65°, pois x é um ângulo inscrito.
2
Resposta: C
– 19
2)
90° + 40°
x = ––––––––– = 65°, pois x é um ângulo excêntrico interior.
2
80°
x = –––– = 40°
2
Resposta: C
3)
100° – 30°
x = –––––––––– = 35°, pois x é um ângulo excêntrico exterior.
2
Resposta: B
7)
Resposta: A
4)
PA . PB = PC . PD ⇒ 1 . 6 = x . 3 ⇔ x = 2
Resposta: C
160°
x = ––––– = 80°
2
8)
Resposta: D
5)
PA . PB = PC . PD ⇒ 2 . 12 = 4 . (4 + x) ⇔
⇔6=4+x⇔x=2
Resposta: C
35° + 45°
I) β = ––––––––– = 40°
2
II) β + x = 180° ⇒ 40° + x = 180° ⇔ x = 140°
Resposta: E
9)
(AB)2 = AC . AD ⇒ 82 = x . (x + x) ⇔
⇔ 64 = 2x2 ⇔ x2 = 32 ⇒ x = 4
2, pois x > 0
6)
Resposta: E
—
10) Considerando que PA é tangente à circunferência no ponto
A e PA = 3 . PC, então:
(PA)2 = PC . PB ⇒ (3 . PC)2 = PC . PB ⇔
⇔ 9 . (PC)2 = PC . PB ⇔ 9 . PC = PB
Resposta: B
20 –
n Módulo 14 – Áreas das Figuras Planas
3)
I) Sendo S = 16
3 m2 a área do triângulo equilátero de lado
L, em metros, tem-se:
3
L2 . 3
L2 . 3 = –––––––– ⇔ L2 = 64 ⇒ L = 8
S = –––––––– ⇒ 16
4
4
1)
II) A altura h, em metros, do triângulo equilátero, é dada por:
L . 3
8 . 3
h = –––––––– = –––––––– = 4 . 3
2
2
III) Sendo A a área do quadrado, em metros quadrados, cuja
3, tem-se:
diagonal, em metros, é d = h = 4
16 . 3
d2
3)2
(4
A = –––– = ––––––– = ––––– = 24
2
2
2
I) CE = AB = 5m ⇒ DE = 3 m
Resposta: B
II) No triângulo ADE, tem-se:
(3 m)2 + h2 = (5 m)2 ⇒ h = 4 m
4)
III) A área do trapézio é:
(AB + CD) . h
(5 m + 8 m) . 4m
S = ––––––––––––– = ––––––––––––––– = 26 m2
2
2
Resposta: A
2)
Considerando as medidas em centímetros, tem-se:
I) A área do quadrado ABCD é 4 cm2, assim, a medida do
lado quadrado é l = 2 cm
II) BD = l
2 = 2
2 cm é a diagonal do quadrado
I)
x2 + h2 = 32
⇔
(5 – x)2 + h2 = 42
x2 + h2 = 9
25 – 10x + x2 + h2 = 16
⇔
x2 + h2 = 9
– 10x + x2 + h2 = – 9
⇔
x2 + h2 = 9
⇔
9
x = –––
5
144
h2 = ––––
25
9
x = –––
5
⇔
⇒
⇔
IV) A área do triângulo EFG é dada por
x2 + h2 = 9
– 10x + 9 = – 9
81
–––– + h2 = 9
25
⇔
9
x = –––
5
⇔
2
2
2
––––
–––– . ––––
4
2
2
EF . FG
2
2
––––––– = ––––––––––– cm = –––––––– cm =
2
2
2
81
h2 = 9 – ––––
25
⇔
9
x = –––
5
1
––––
2
1
–––––––– cm2 = –––– cm2
2
4
12
h = ––––
5
9
x = –––
5
II) A área do trapézio, em centímetros quadrados, é:
12
12
(10 + 5) . ––––
15 . ––––
5
5
3 . 12
S = ––––––––––––– = –––––––––––– = –––––––– = 18
2
2
2
Resposta: A
BD
2
2
2
III) EF = FG = –––– = ––––– cm = ––––– cm
4
4
2
⇔
Resposta: E
5)
A área sombreada S corresponde à diferença entre a área de
1
um quadrado de lado l = 2 e ––– da área de um círculo de raio
4
R = 2, assim:
1
1
S = l2 – ––– . π . R2 = 22 – ––– . π . 22 = 4 – π
4
4
Resposta: A
– 21
6)
A área S da coroa circular sombreada, em cm2, corresponde
à diferença entre a área do círculo maior, de raio 5 cm, e a do
círculo menor, de raio 3 cm, assim:
S = π . 52 – π . 32 = 25π – 9π = 16π
Resposta: C
7)
I) A diagonal do quadrado é d = 2R = 2
II) A área pedida S corresponde à diferença entre a área do
círculo de raio R = 1 e a do quadrado de diagonal d = 2,
assim:
d2
22
S = π . R2 – ––– = π . 12 – ––– = π – 2
2
2
Respostas: D
8)
I) Se o lado do quadrado ABCD mede 2 cm, o raio do círculo,
2
em centímetros, é R = ––– = 1
2
II) A diagonal do quadrado menor, em centímetros, é d = 2R = 2
III) A área pedida S, em centímetros quadrados, corresponde
à diferença entre a área do círculo de raio R = 1 e a do
quadrado de diagonal d = 2, assim:
22
d2
S = π . R2 – ––– = π . 12 – ––– = π – 2
2
2
Resposta: D
9)
A área S da parte sombreada corresponde à área do
quadrado menor, cuja diagonal mede d = 2a, assim:
(2a)2
4a2
d2
S = –––– = ––––– = –––– = 2a2
2
2
2
Resposta: C
22 –