Álgebra linear - Tesla Concursos

Álgebra linear Tópicos • 
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Vetores Espaços e subespaços Matrizes Autovalores e autovetores Sistemas lineares Vetores Vetores •  Possuem magnitude e direção.
•  Exemplo: A grandeza física Força é
representada com precisão pela sua
intensidade e direção na qual é aplicada.
Vetores Soma Vetorial
Vetores Magnitude
Dado
calculada por:
, sua magnitude é
Vetores Multiplicação por um escalar
ku
u
Vetores Combinação Linear
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• 
Obtenção de novos vetores a partir de
vetores dados.
Dados os vetores
pertencentes ao
espaço vetorial real V e os números reais
.
Então, o vetor
é outro elemento de V, chamado de combinação
linear de
.
Vetores Pg 80 – 2ed
Pg 80 – 3ed
Vetores Resposta E
Vetores Dependência e Independência Linear
• 
Dados os mesmo vetores
, imagine
que exista uma combinação linear que
resulte em um vetor nulo:
•  Possibilidade 1:
Todos os escalares
são iguais a zero.
E neste caso dizemos que o conjunto
é linearmente independente.
•  Possibilidade 2:
Ao menos 1 escalar kj é diferente de zero. E
neste caso, dizemos que os vetores
são linearmente dependentes.
Vetores Subespaço de um espaço vetorial
Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W,
não vazio, será um subespaço vetorial de V se :
•  Para quaisquer u, v ∈ W tivermos u + v ∈ W.
•  Para quaisquer a ∈ 𝓡, u ∈ W tivermos au ∈
W.
As duas operações acima, soma e multiplicação
por escalar, garantem que, operando em W, não
obteremos um vetor fora de W.
•  Q u a l q u e r s u b e s p a ç o W d e V p r e c i s a
necessariamente conter o vetor nulo, a = 0.
Vetores Base de um espaço vetorial
•  Conjunto finito de vetores do espaço V.
•  Qualquer vetor de V é uma combinação linear
dos vetores da base.
•  É o conjunto de vetores do espaço necessários
para gerar o próprio espaço.
•  Um conjunto {v1,…,vn} será uma base de V
se:
Ø  {v1,…,vn} é Linearmente Independente.
Ø  [v1,…,vn] é o subespaço gerado por v1,…,vn.
Vetores Dimensão de um espaço vetorial
•  Definimos a dimensão do espaço vetorial V
como o número de elementos de uma de suas
bases.
•  Todas as bases do espaço vetorial de dimensão
finita têm a mesma quantidade de elementos.
•  dimV
•  dim{0} = 0
•  {(1,0),(0,1)} = base canônica de 𝓡2
•  dimM2(𝓡) = 4 ⇒ conjunto das matrizes
quadradas de ordem 2.
•  dimMmxn(𝓡) = mxn
Vetores Pg 79 – 2ed
Pg 79 – 3ed
Vetores Resposta C
Vetores Produto escalar ou interno
•  Para cada par de vetores u,v ∈ V é atribuído
um número real. Notação:〈u,v〉.
•  Linearidade: 〈au1+bu2,v〉=a〈u1,v〉+b〈u2,v〉.
•  Simetria ou Homogeneidade: 〈u,v〉=〈v,u〉.
•  Positividade: 〈v,v〉≥0 e 〈v,v〉=0 se e
somente se v=0.
•  Analogia física: Um corpo se desloca em linha
reta na direção e sentido de um vetor v, sob
ação de uma força de direção e sentido F. O
trabalho (escalar) realizado pela ação dessa
força é o produto interno entre v e F, 〈v,F〉.
Vetores Exemplo
•  Dado um espaço tridimensional e 3 pontos
desse espaço: A(1,1,3), B(2,3,2), C(2,2,1).
•  Uma partícula é carregada pelo caminho ABBC-CA pela ação de uma força F(10,2,-5).
•  O Trabalho total quando a partícula se move
nessa trajetória é:
T=TAB+TBC+TCA
•  Calcule T.
•  Lembre-se: 〈u,v〉=〈(u1,u2,u3),(v1,v2,v3)〉=
= u1v1+u2v2+u3v3
Vetores Solução
AB=(2,3,2)-(1,1,3)=(1,2,-1)
BC=(2,2,1)-(2,3,2)=(0,-1,-1)
CA=(1,1,3)-(2,2,1)=(-1,-1,2)
TAB=〈AB,F〉=〈(1,2,-1),(10,2,-5)〉=1*10+2*2+
(-1)*(-5)=10+4+5=19
TBC=〈BC,F〉=〈(0,-1,-1),(10,2,-5)〉=3
TCA=〈CA,F〉=〈(-1,-1,2),(10,2,-5)〉=-22
T=19+3-22=0
Vetores Norma Vetorial
•  “Comprimento” do vetor.
•  Propriedade definida dentro do espaço
vetorial com produto interno.
•  Como o produto interno é não negativo para
qualquer vetor u=(a 1 ,a 2 ,…a n ), sua raiz
quadrada existe.
•  Assim,
•  Vetor unitário ou normalizado:
Vetores Normalização de um vetor
•  Seja v ∈ V um vetor não nulo.
•  Ele pode ser normalizado da seguinte
forma:
•  Exemplo: v = (1,2,-1);
Vetores Ângulo entre vetores
Vetores Pg 82 – 2ed
Pg 82 – 3ed
Vetores Resposta D
Matrizes Matrizes Tipos de matrizes Tipos de matrizes Álgebra matricial Adição Mul>plicação por escalar Mul>plicação Mul>plicação Pg 81 – 2ed
Pg 81 – 3ed
Mul>plicação Transposta Determinantes •  Determinante é uma função matricial que
associa a cada matriz quadrada um escalar.
•  O determinante de uma matriz é igual ao
determinante da sua transposta:
•  Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é
composta de zeros, então o determinante
desta matriz será zero.
•  Se uma matriz é triangular (superior ou
inferior) o seu determinante é o produto dos
elementos da diagonal principal.
•  k*a1j ou k*ai1, então o determinante da nova
matriz será = k*det(A).
Determinantes •  Se permutarmos duas linhas ou colunas de A
então o determinante da nova matriz é
−det(A)
•  Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais,
então det(A) = 0
•  det(AB) = det(A).det(B), A e B quadradas de
mesma ordem
•  Se somarmos a uma linha (ou coluna) de A um
múltiplo de outra linha (ou coluna), o
determinante da nova matriz é igual ao de A
•  Para A invertível,
Segunda ordem Terceira ordem Terceira ordem Pg 154 – 2ed
Pg 142 – 3ed
Terceira ordem Resposta D
Inversa •  Para uma matriz quadrada:
Inversa Pg 81 – 2ed
Pg 81 – 3ed
Solução 2:
Autovalores e Autovetores Autovalores e Autovetores Pg 81 – 2ed
Pg 81 – 3ed
Autovalores e Autovetores Resposta C
Sistemas de equações lineares Sistemas Sistemas Exemplo
Eliminação gaussiana
Definição: É um método para resolver
sistemas de equações lineares. Ao aplicar a
Eliminação Gaussiana, reduz-se o sistema
à forma escalonada ou triangular.
Forma escalonada Forma escalonada Pg 154 – 2ed
Pg 142 – 3ed
Forma escalonada Exemplo Pg 82 – 2ed
Pg 82 – 3ed
Ex13
(PETROBRAS - Eng. E. Jr - Elétrica) - 2011
(PETROBRAS - Eng. Petróleo Jr) - 2011
Com relação ao sistema de variáveis x e y, mx+y=3, x-y=n, no qual m e
n são números reais, tem-se que
(A) Se m=-1 e n=-3, qualquer par ordenado (x,y), x e y reais, é solução.
(B) Não tem solução se m=-1 e n≠-3.
(C) Tem sempre solução quaisquer que sejam m e n reais.
(D) Tem duas soluções se m≠-1.
(E) (1,1) é solução se m=n.
Exemplo Solução
L 1:
L 2:
mx+y=3
x-y=n
L1+L2:
(m+1)x = 3+n
(A) Se m=-1 e n=-3, então 0x=0
-x+y=3
y=3+x
S={x,3+x}
(B) Se m=-1 e n≠-3, então 0x=b com b≠0: impossível
Alternativa (B)
Sistemas Pg 79 – 2ed
Pg 79 – 3ed
Sistemas Solução
Elementos do espaço solução:
v=(x,w,z,w) que satisfazem ambas as equações do sistema
linear.
Dentre as alternativas dadas, descartamos:
•  a “d” já que para qualquer elemento do conjunto dado,
as equações do sistema ficam 1=0.
•  a “e” já que todo elemento nulo está contido num
subespaço formado pelos elementos de uma base; ele
por si só não gera outros vetores no espaço além de si
mesmo.
•  “b” já que o elemento (-5/3,1,1/3,1) não é solução para
o sistema
Resposta: Ambos os elementos de “a” solucionam o
sistema, e são LI entre si, portanto formam uma base para
o sistema!
Regra de Cramer Exemplo Pg 78 – 2ed
Pg 79 – 3ed
Ex1
(PETROBRAS - Eng. E. Jr – T. e D.) – 2011
Sejam u=(1,2), v=(m,-4) e w=(3,n) vetores de R2. Se w=2u-v, então
a) m+n=0
b) m+n=-4
c) m=3n
d) m.n=-8
e) m.n=1
Exemplo Solução
w = 2u-v
em i:
3 = 2-m
m = -1
em j:
n = 4+4
n=8
m.n = -8
Alternativa (D)
Exemplo Pg 80 – 2ed
Pg 80 – 3ed
Ex 5
-(PETROBRAS - Eng. E. Jr – T. e D.) - 2011
(PETROBRAS - Eng. Petróleo Jr) – 2011
Sejam u e v vetores de R3 cujos módulos são, respectivamente, 3 e 1 e
que formam entre si um ângulo θ tal que cosθ=-2/3. O módulo do vetor
2u-3v é:
a) 3.
b) √3.
c) √13.
d) √23.
e) √69.
Exemplo Solução
Pela lei dos cossenos:
a2=b2+c2-2.a.b.cos(t)
a2=62+32-2.6.3.(-2/3)
a2=36+9+24
a=√69
Alternativa (E)
Exemplo Pg 80 – 2ed
Pg 80 – 3ed
Ex 6
-(PETROBRAS - Eng. E. Jr - Elétrica) -2011
(PETROBRAS - Eng. Petróleo Jr) - 2011
Seja T uma transformação linear de R2 em R2 tal que Tu=(-1,2) e
Tv=(0,3), onde u e v são vetores do R2. Sendo a e b reais não nulos,
tem-se que T(au+bv) é igual
a)(-a,2a+3b)
b) (-a+2b,3b)
c) (-b,2b+3a)
d) (-b+2a,3a)
e) (-a,5b)
Exemplo Solução
T(au) = (-a,2a)
T(bv) = (0,3b)
T(au+bv) = (-a,2a+3b)
Alternativa (A)