S - ICEB-UFOP

Unidade 2 – Progressão
Geométrica
Sequência e definição de PG
Fórmula do termo geral
Função exponencial e a PG
Juros compostos e a PG
Interpolação geométrica
Soma dos termos de uma PG
Sequência e definição de PG
Imagine que você tem duas propostas para um
emprego.
Em uma delas, seu salário inicial será de R$3.500,00,
mas sofrerá aumentos anuais de 10% em relação ao
salário doa ano anterior.
Na outra proposta, seu salário inicial será de R$4.000,00
e será aumentado a uma taxa de 6% ao ano, em relação
ao ano anterior.
Considerando-se apenas o valor do salário ao final do
quarto ano, qual é a melhor proposta de emprego?
Sequência e definição de PG
Salários da proposta 1
Salários da proposta 2
Ano 0: R$ 3.500,00
Ano 0: R$ 4.000,00
Ano 1: R$ 3.500,00 . 1,10 = R$ 3.850,00
Ano 1: R$ 4.000,00 . 1,06 = R$ 4.240,00
Ano 2: R$ 3.850,00 . 1,10 = R$ 4.235,00
Ano 2: R$ 4.240,00 . 1,06 = R$ 4.494,00
Ano 3: R$ 4.235,00 . 1,10 = R$ 4.658,00
Ano 3: R$ 4.494,00 . 1,06 = R$ 4.764,06
Ano 4: R$ 4.658,00 . 1,10 = R$ 5.124,35
Ano 4: R$ 4.764,06 . 1,06 = R$ 5.049,90
Os valores dos salários de cada proposta aumentam um
mesmo percentual em relação ao valor anterior.
Por isso, no decorrer do tempo, tais valores constituem
uma progressão geométrica.
Definição de PG
Progressão Geométrica (PG) é uma
sequência de números ou expressões em
que cada termo, a partir do segundo, é
igual ao anterior multiplicado por uma
constante.
Essa constante é denominada razão da
PG e será representada pela letra q.
Exemplo:
Para esclarecer o conceito de PG, vamos considerar, por exemplo,
a sequência definida pela seguinte expressão:
a n = 3 .2 , n ∈ N *
n
Vamos construir a sequência :
⇒ n = 1 → a 1 = 3.2 = 6
1
Assim, atribuindo - se valores para n,
obtemos a PG :
(6, 12, 24, 48)
↓ ↓ ↓ ↓
⇒ n = 2 → a 2 = 3.2 = 12
(a1 , a 2 , a 3 , a 4 , )
⇒ n = 3 → a 3 = 3.23 = 24
O primeiro termo é 6 e a razão é 2
⇒ n = 4 → a 4 = 3.2 4 = 48
a1 = 6 e q = 2
2
Cada termo, a partir do segundo, é
igual ao termo anterior multiplicado
por 2.
Fórmula do termo geral
Em uma PG, por meio da fórmula geral, é possível encontrar
qualquer termo an da sequência sem necessidade de se calcularem
todos os termos que o precedem.
Essa última fórmula permite obter um
A partir do segundo termo, qualquer outro é igual ao termo qualquer de ordem n em função
Considere um PG (a1 , a 2 , a 3 , a 4 ,..., a n ,...) de razão q.
anterior multiplicado pela razão, então :
a 2 = a 1.q
a 3 = a 2 .q
a 4 = a 3 .q
a 5 = a 4 .q
M
a n = a n −1 . q
do anterior, de ordem n - 1.
Podemos relacionar um termo qualquer
(de ordem n) com o 1º termo de uma PG.
Tal relação pode ser representada do
seguinte modo :
Fórmula do termo geral
a 2 = a1.q
a 3 = a 2 .q = (a1.q ).q = a 1.q 2 Sendo n ∈ N*, a fórmula do
a 4 = a 3 .q = (a1.q 2 ).q = a1.q 3 termo geral da PG é dada por :
(
)
a 5 = a 4 .q = a1.q .q = a 1.q
3
4
M
(
)
a n = a n -1.q = a 1.q n -2 .q = a1.q n -1
a n = a 1.q
n −1
Aplicação
Conhecendo a fórmula do termo geral,
podemos representar qualquer termo de
uma PG em função do primeiro termo e da
razão.
Observe alguns exemplos:
7 º termo : n = 7 → a7 = a1.q
6
13º termo : n = 13 → a13 = a1.q
12
48º termo : n = 48 → a48 = a1.q 47
Atenção
Uma PG pode ser classificada como crescente,
decrescente, oscilante ou constante.
Observe alguns exemplos:
(5, 5, 5, 5,..) → PG constante cuja razão é q = 1
(1, 2, 4, 8,...) → PG crescente cuja razão é q =2
(27, 9, 3, 1,...) → PG decrescente cuja razão é q = 1/3
(1, -3, 9, -27,...) → PG oscilante cuja razão é q = -3
Função exponencial e a
Progressão geométrica
Função exponencial e a Progressão
geométrica
Observe as figuras a seguir em um corpo de peso P está em
equilíbrio pela aplicação de uma força F por meio de uma
associação de polias:
1
F = .P
2
1
F = .P
4
1
F = .P
8
Função exponencial e a Progressão
geométrica
Em cada figura, a primeira polia é fixa e as
demais são móveis.
A força F, utilizada para manter o corpo
em equilíbrio, depende da quantidade de
polias móveis da associação.
Essa aplicação é chamada de “talha
exponencial”.
Função exponencial e a Progressão
geométrica - Preste Atenção:
A força que deve ser aplicada em uma
associação de polias para manter um
corpo em repouso ou permitir que ele
realize um movimento uniforme é igual ao
peso desse corpo dividido por 2n, em que
n é o número de polias móveis da
associação.
Função exponencial e a Progressão
geométrica - Aplicação
A relação existente entre o número n de polias móveis
da associação e a força F pode ser descrita por meio da
seguinte função exponencial:
n
1
F (n ) = P.  , em que n ∈ N
2
Suponha que o corpo suspenso tenha peso igual a
100N.
Vamos atribuir alguns valores a n e observar a
sequência formada pelos valores da força:
Função exponencial e a Progressão
geométrica - Aplicação
0
1
n = 0 → F (0) = P.  = 100 N
2
1
1
n = 1 → F (1) = P.  = 50 N
2
2
1
n = 2 → F (2 ) = P.  = 25 N
2
3
1
n = 3 → F (3) = P.  = 12,5 N
2
A sequência numérica correspondente aos valores
da força constituem uma PG de primeiro termo
igual a 100N e razão igual a
1
2
Função exponencial e a Progressão
geométrica - Aplicação
Esse exemplo mostra que uma progressão
geométrica é uma caso particular de função
exponencial cujo domínio assume apenas
valores inteiros consecutivos.
Função exponencial e a Progressão
geométrica - Aplicação
É possível representar graficamente a relação
entre a força aplicada F e o número de polias
móveis n:
Em geral, para qualquer função exponencial da
forma f(x) = a . bx,cujo o domínio seja formado
apenas por números inteiros consecutivos, os
valores de f corresponderão a termos de uma
PG cuja a razão é b.
Função exponencial e a Progressão
geométrica - Aplicação
Juros Compostos e
Progressões
Geométricas
Juros Compostos e Progressões
Geométricas
A maioria das operações financeiras efetuadas
nos dias de hoje utiliza juros compostos para
remunerar um capital.
Para ilustrar, suponha, por exemplo, que uma
pessoa aplicou R$ 1.000,00 em renda fixa a
uma taxa de 20% ao ano.
O montante M1, obtido após um ano de
aplicação, é calculado adicionando-se ao capital
aplicado os juros do período, ou seja:
Juros Compostos e Progressões
Geométricas
M1 = 1.000 + 0,20.1000,00
M1 = 1.000 . (1 + 0,20)
M1 = 1.000 . (1,20)
M1 = 1.200,00
Observe que, para aumentar uma quantia em 20%, basta multiplicálo por 1,20.
Dessa forma, o montante após 2 anos é igual ao valor do montante
após um ano multiplicado por 1,20:
M2 = M1 . 1,20
M2 = 1.200,00 . 1,20
M2 = 1.440,00
O montante após 3 anos é igual ao montante após 2 anos
multiplicando por 1,20:
M3 = M2 . 1,20
M3 = 1.440,00 . 1,20
M3 = 1.728,00
Juros Compostos e Progressões
Geométricas
Com isso, temos:
M(t)
= C . (1 + i )t
Interpolação
Geométrica
Interpolação Geométrica
É possível supor que a quantidade de pessoas
presentes a um evento público corresponde, a
cada hora, ao termos de uma progressão
geométrica em um determinado período do dia.
Inicialmente, existiam 8 pessoas, mas, após 5
horas, o número total era igual a 25 000.
Como evolui o número total de pessoas por
hora?
Interpolação Geométrica
Esse problema pode ser representado do seguinte modo:
(8,___,___,___,___,25 000)
Utilizando os conceitos estudados de PG, podemos escrever:
a1 = 8

an = a6 = 25000
n = 4+2 = 6 

q=?

an = a1.q n −1

6 −1
a
=
a
.
q
 6
1
25000 = 8.q 5
→ 5
q = 3125

q = 5 3125

q = 5
Logo, a cada hora, o número de pessoas presentes ao evento quintuplicava, ou seja,
era multiplicado por 5.
Interpolação Geométrica
Na situação anterior, fizemos o uso de uma
interpolação geométrica.
Nesse caso, a palavra interpolação significa
inserção de elementos na sequência.
Os termos inseridos são chamados de meios
geométricos.
Fique atento à definição de interpolação
geométrica:
Interpolação Geométrica - Conceito
Interpolar ou inserir k meios geométricos entre os
números a e b significa construir uma PG com k + 2
termos, onde a é o primeiro termo e b é o último.
(a,___,___,...,___,___,b) → PG onde n = k + 2 termos
↓
k meios
↓
a1
geométricos b1
Soma dos termos
de um PG: infinito
ou finita
Expressão
da soma de PG;
Expressão da soma dos n primeiros
termos;
Soma infinitos termos;
Soma dos termos de um PG:
infinito ou finita
Considere a PG finita cuja a razão q =5 , formada pelos seis seguintes
números: (8, 40, 200, 1000,5000, 25 000)
S 6 = = 8 + 40 + 200 + 1000 + 5000 + 25000 = 31248 (1)
Agora outra forma de somar essa sequência:
Multiplique a equação (1) pela razão, membro a membro;
S 6 = = 8 + 40 + 200 + 1000 + 5000 + 25000 = 31248 (1)
5.S 6 = 5 . 8 + 5 . 40 + 5 . 200 + 5 . 1000 + 5 . 5000 + 5 . 25000
5S 6 = 40 + 200 + 1000 + 5000 + 25000 + 125000 (2)
Soma dos termos de um PG:
infinito ou finita
Subtraia uma equação da outra: (2) – (1)
5.S6 − S 6 = (40 + 200 + 1000 + 5000 + 25000 + 125000) − (8 + 40 + 200 + 1000 + 5000 + 25000)
4.S 6 = 125000 − 8
125000 − 8
4
124992
S6 =
4
S 6 = 31248
S6 =
S6 = S n
Generalizando:

125000 → (25000.5) = a 6 . q; onde a6 = an 
125000 − 8
S6 =
4 = 5 −1 → q −1
4


8 = a1
temos : Sn =
an .q − a1
→ soma de PG
q −1
Soma de PG x termo geral
an .q − a1
Dada a fórmula Sn =
, podemos substituir a n por a n = a1.q n −1 ;
q −1
n −1+1
n −1 1
a
.
q
− a1
a
.
q
.
q
−
a
1
an .q − a1
1
1
→
→ Sn =
Sn =
→ Sn =
q −1
q −1
q −1
a1.q n − a1
a1.(q n − 1)
(
a1.q n − a1 ) ÷ a1
Sn =
→ Sn =
→ Sn =
q −1
q −1
q −1
a1.(q n − 1)
8.(56 − 1)
Exemplo : Sn =
→ S6 =
→ S6 = 31248
q −1
5 −1
PG na geometria
2
1
5
1
S 2 = 5.  → S 2 = 5. → S 2 = m 2
9
9
3
PG na geometria
2
2
1
1
S 2 = 25.  → S 2 = 52.  →
9
9
2
2
  1 
5
S 2 =  5.   → S 2 =   m 2
9
  9 
2
 1 
3 1 
S 2 = 125 .
 → S 2 = 5 .
→
 27 
 729 
3
3
 1 
1
5
S 2 = 53. 3  → S 2 =   5.   → S 2 =   m 2
9 
9
 9 
PG na geometria
Escreva a sequência formada pelas áreas dos
quadrados: 2
3
 5 5
 1, ,  
 9 9

5
, 
9

 , L cuja a razão é igual a q = 5

9

Você deve ter observado que, á medida que a
sequência avança, os termos tornam-se cada vez
menores, ou seja, os valores dos termos tendem a zero.
Isso ocorre porque lql < 1.
Nesses casos, é possível calcular um valor limite para a
soma das áreas.
Soma dos Infinitos termos
Expressão do valor limite da soma
dos termos de qualquer PG.
a n .q − a1
0 .q − a1
Sn =
; an = 0 → Sn =
q −1
q −1
− a1 [.( − 1) ]
a1
Sn =
→ Sn =
; q <1
q − 1[.( − 1) ]
q −1
Restrições
Resolução de atividades
Página 24
Trabalho para Nota Livre: página 25