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Raízes de Polinômios
Polinômio é um caso particular de equação não-linear, portanto o que foi visto
para raízes de equações não-lineares pode ser estendido para polinômios. Será visto
algumas características específicas de polinômios. Como viu-se, para a solução de raízes
procura-se dividir o processo em duas fases: localização de raízes e determinação de raízes.
Localização de Raízes
Teorema Fundamental da Algebra
Se p (x ) for um polinômio de grau n  1 ou seja a o , a1 , ... , a n , reais ou
complexos, com a n  0 , então p (x ) tem pelo menos um zero, ou seja  um   C tal que
p( )  0 .
Regras de Sinal de Descartes
a) Raízes Reais Positivas: O número de zeros reais positivos (pos) de um p (x ) , com
coeficientes reais, não excede o número (v) de variações de sinal dos coeficientes e (vpos) é inteiro, par e não negativo.
Exemplo:
p ( x)  2 x 5  3 x 4  4 x 3  x  1
v2
se v  pos  0  pos  2

se v  pos  2  pos  0
b) Raízes Reais Negativas: Toma-se p ( x) e utiliza-se a regra para raízes positívas.
Exemplo:
p ( x)  2 x 5  3 x 4  4 x 3  x  1
p( x)  2 x 5  3x 4  4 x 3  x  1
v3
se v  neg  0  neg  3

se v  neg  2  neg  1
Teorema de Bolzano
Seja p (x ) um polinômio com coeficientes reais x  [a, b] .
Se p(a)  p(b)  0   um número impar de raízes reais em [a, b] .
Se p(a)  p(b)  0   um número par ou não existe raízes reais em [a, b] .
Determinação de Raízes
Como polinômios são casos particulares de equações não-lineares, todos os
métodos da Bissecção, MIL, N-R e Secante já estudados também podem ser utilizados na
determinação de raízes.
Método de Birge-Vieta
O método de Birge-Vieta é uma variante do método de Newton-Raphson e
utilizado associado ao Método de Horner para o cálculo de valores de polinômios se torna
computacionalmente mais eficiente. Se p (x ) for um polinômio, o processo iterativo do
Método de Newton-Raphson passa a ser:
x k 1  x k 
R
R
Onde:
R é o resta da divisão
p ( x)
(x  xk )
R é o resta da divisão
p ' ( x)
(x  xk )
Como viu-se os valores de R e R podem ser calculados de forma eficiente através do
Método de Horner.
Exemplo
Obter utilizando o Método de Birge-Vieta uma raíz de x 3  2 x  1 , com x o  0 e três
iterações, utilizando o Método de Horner.
p( x)  (( x  0) x  2) x  1
Primeira Iteração
b3  a 3  1
b  a  b x  0  11  1
 2
2
3 o
p( x o )
R2
b1  a1  b2 x o  2  11  3
bo  a o  b1 x o  1  3 1  2
c 3  b3  1

p ' ( x o )c 2  b2  c 3 x o  1  11  2 R  5
c  b  c x  3  2 1  5
1
2 o
 1
x1  x o 
R
2
 1   0,6
5
R
Segunda Iteração
b3  a 3  1
b  a  b x  0  1 0,6  0,6
 2
2
3 1
p( x1 )
R  0,416
b1  a1  b2 x1  2  0,6  0,6  2,36
bo  a o  b1 x1  1  2,36  0,6  0,416
c 3  b3  1

p ' ( x1 )c 2  b2  c 3 x1  0,6  1 0,6  1,2
R  3,08
c  b  c x  2,36  1,2  0,6  3,08
1
2 1
 1
R
0,416
x 2  x1   0,6 
 0,465
3,08
R
Terceira Iteração
x3  0,454
Exemplo:
O preço à vista (PV) de uma mercadoria é R$ 300,00, que pode ser financiado com uma
entrada (E) de R$ 100,00 e mais 04 prestações mensais (PM) de R$ 80,00. Qual a taxa de
juros.
Raízes de Polinômios
Polinômio é um caso particular de equação não-linear, portanto o que foi visto
para raízes de equações não-lineares pode ser estendido para polinômios. Será visto
algumas características específicas de polinômios. Como viu-se, para a solução de raízes
procura-se dividir o processo em duas fases: localização de raízes e determinação de raízes.
Localização de Raízes
Teorema Fundamental da Algebra
Se p (x ) for um polinômio de grau n  1 ou seja a o , a1 , ... , a n , reais ou
complexos, com a n  0 , então p (x ) tem pelo menos um zero, ou seja  um   C tal que
p( )  0 .
Regras de Sinal de Descartes
c) Raízes Reais Positivas: O número de zeros reais positivos (pos) de um p (x ) , com
coeficientes reais, não excede o número (v) de variações de sinal dos coeficientes e (vpos) é inteiro, par e não negativo.
Exemplo:
p ( x)  2 x 5  3 x 4  4 x 3  x  1
v2
se v  pos  0  pos  2

se v  pos  2  pos  0
d) Raízes Reais Negativas: Toma-se p ( x) e utiliza-se a regra para raízes positívas.
Exemplo:
p ( x)  2 x 5  3 x 4  4 x 3  x  1
p( x)  2 x 5  3x 4  4 x 3  x  1
v3
se v  neg  0  neg  3

se v  neg  2  neg  1
Teorema de Bolzano
Seja p (x ) um polinômio com coeficientes reais x  [a, b] .
Se p(a)  p(b)  0   um número impar de raízes reais em [a, b] .
Se p(a)  p(b)  0   um número par ou não existe raízes reais em [a, b] .
Determinação de Raízes
Como polinômios são casos particulares de equações não-lineares, todos os
métodos da Bissecção, MIL, N-R e Secante já estudados também podem ser utilizados na
determinação de raízes.
Método de Birge-Vieta
O método de Birge-Vieta é uma variante do método de Newton-Raphson e
utilizado associado ao Método de Horner para o cálculo de valores de polinômios se torna
computacionalmente mais eficiente. Se p (x ) for um polinômio, o processo iterativo do
Método de Newton-Raphson passa a ser:
x k 1  x k 
R
R
Onde:
R é o resta da divisão
p ( x)
(x  xk )
R é o resta da divisão
p ' ( x)
(x  xk )
Como viu-se os valores de R e R podem ser calculados de forma eficiente através do
Método de Horner.
Exemplo
Obter utilizando o Método de Birge-Vieta uma raíz de x 3  2 x  1 , com x o  0 e três
iterações, utilizando o Método de Horner.
p( x)  (( x  0) x  2) x  1
Primeira Iteração
b3  a 3  1
b  a  b x  0  11  1
 2
2
3 o
p( x o )
R2
b1  a1  b2 x o  2  11  3
bo  a o  b1 x o  1  3 1  2
c 3  b3  1

p ( x o )c 2  b2  c 3 x o  1  11  2 R  5
c  b  c x  3  2 1  5
1
2 o
 1
'
x1  x o 
R
2
 1   0,6
5
R
Segunda Iteração
b3  a 3  1
b  a  b x  0  1 0,6  0,6
 2
2
3 1
p( x1 )
R  0,416
b

a

b
x

2

0
,
6

0
,
6

2
,
36
1
1
2
1

bo  a o  b1 x1  1  2,36  0,6  0,416
c 3  b3  1

'
p ( x1 )c 2  b2  c 3 x1  0,6  1 0,6  1,2
R  3,08
c  b  c x  2,36  1,2  0,6  3,08
1
2 1
 1
R
0,416
x 2  x1   0,6 
 0,465
3,08
R
Terceira Iteração
x3  0,454
Exemplo:
O preço à vista (PV) de uma mercadoria é R$ 300,00, que pode ser financiado com uma
entrada (E) de R$ 100,00 e mais 04 prestações mensais (PM) de R$ 80,00. Qual a taxa de
juros.
Exemplo – Determine a raiz do polinômio com x o  0 e utilizando o Método
de Birge-Viete e o Método de Horner.
p( x)  2,5x 5  3,5x 4  0 x 3  0 x 2  0 x  1  0
(((( 2,5 x  3,5) x  0) x  0) x  0) x  1  0
b5  2,5
b4  3,5  2,5 x
b3  0  b 4 x
b 2  0  b3 x
b1  0  b2 x
bo  1  b1 x  R
c 5  b5
c 4  b4  c 5 x
c 3  b3  c 4 x
c 2  b2  c 3 x
c1  b1  c 2 x  R
Determinação de Raízes Complexas
Teorema
Se os coeficientes de p(x) são reais, então as raízes complexas deste
polinômio são complexas conjugadas aos pares, isto é, se 1  a1  jb1 é um
zero de p(x) com multiplicidade m, então  2  a1  jb1 também e uma raiz com
multiplicidade m.
A partir do teorema, pode-se perceber que uma maneira de encontrar-se raízes
complexas é determinar o polinômio do segundo grau que é formado pelo
produto das raízes complexas conjugadas.
Define-se então:
d ( x)  [ x  (a  jb)]  [ x  (a  jb)]  x 2  px  q
sendo d (x ) um fator quadrático de p (x ) e p e q números reais.
Assim, o polinômio genérico p( x)  a n x n  a n 1 x n 1  ......  a1 x  a o , pode ser
escrito da forma:2
p( x)  ( x 2  px  q)(bn  2 x n  2  ........  b1 x  bo )  R( x)
d ( x)
Q( x)
Se p (x ) não for divisível por d (x ) , tem-se um resto r1 x  r2 .
Se p (x ) for divisível por d (x ) , tem-se r1  r2  0 e as duas raízes de d (x ) são
raízes de p (x ) .
Repetindo-se o processo em Q (x) , obtém-se mais duas raízes de
p (x ) . Assim sucessivamente até que Q (x ) seja um polinômio de grau  2 .
Método de Lin
A idéia do Método de Lin é obter-se iterativamente os coeficientes
p e q do polinômio do segundo grau d (x ) e, assim, obter as raízes complexas
conjugadas utilizando a fórmula de Báskara.
Algoritmo
1. Tomar valores iniciais p k e q k .
2. Procedimento Iterativo
a) Dividir p( x)  a n x n  a n 1 x n 1  ......  a1 x  a o por d ( x)  x 2  p k x  q k ,
através do método de Briot-Ruffini
bn  a n
bn 1  a n 1  p k bn
bn  2  a n  2  p k bn 1  q k bn

b1  a1  p k b2  q k b3
bo  a o  p k b1  q k b2
b) Efetuar:
q k 1 
ao
b2
p k 1 
a1  q k 1b3
b2
c) Calcular o desvio pk 1  pk  qk 1  qk . Se desvio<  , então
x 2  p k 1 x  q k 1 é o fator quadrático procurado e passe ao passo 3. Em
caso contrário volte ao passo 2.
3. Aplique a fórmula de Báskara e obtenha duas raízes.
4. Dividir p (x ) por x 2  p k 1 x  q k 1 e volte ao passo 1 com n  n  2 .
5. Repetir o procedimento até que n  2 .
O método de Newton-Raphson pode também ser utilizado no
cálculo de raízes complexas. Basta mudar o algoritmo para aritmética
complexa e iniciar com uma solução inicial complexa.
Exemplo:
f ( x)  x 2  2 x  2
f ' ( x)  2 x  2
f (x )
x k 1  x k  ' k
f (xk )
Para um valor inicial x o  0  j , tem-se:
x1  0,75  0,75 j
x 2  1,075  0,975 j
x 3  0,9983  0,9973 j
x 4  1,0  1,0 j