Capítulo 5 - DBD PUC-Rio

99
5
Códigos e cálculos complementares
5.1
Aproximação dipolar quase estática
Solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas:
Devido ao fato de estarmos modelando o problema para uma esfera metálica
isolada, o uso das coordenadas esféricas se torna necessário. Desta forma, para se
obter o Laplaciano em coordenadas esféricas, é preciso converter o Laplaciano em
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coordenadas cartesianas se utilizando das seguintes relações que podem ser
visualizadas na figura 57:
x  rsen cos 
r  ( x 2  y 2  z 2 )1 / 2
y  rsensen
z
r
  cos 1 ( )
Figura 56: Sistema de coordenadas esféricas.
z  r cos 
y
x
  tan 1 ( )
100
Após a substituição das relações acima no Laplaciano em coordenadas
cartesianas obteremos o Laplaciano em coordenadas esféricas:
 2 (r , ,  ) 
1  r 2
1


1
2
(
)

(
sen

)


r 2 r r
r 2 sen 
r 2 sen 2  2
(2.82)
Com isto estamos interessados em resolver  2 (r , ,  )V (r , ,  )  0
 2 (r , ,  )V (r , ,  ) 
1  r 2 V
1

V
1
 2V
(
)

(
sen

)


r 2 r r
r 2 sen 
r 2 sen 2  2
Vamos assumir que o problema possui simetria azimutal de modo que o
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Laplaciano de V em coordenadas esféricas se resuma em:
 r 2 V
1 
V
(
)
( sen
)0
r r
sen 

(2.83)
Para resolver esta EDP (Equação Diferencial Parcial) de segunda ordem
vamos utilizar o método das variáveis separadas. Desta forma, estamos
interessados em uma função V contínua de classe C2 (diferenciável duas vezes)
que seja o produto de duas funções também contínuas de classe C2, com uma
dependendo de r e a outra de θ.
V (r, )  R(r )( )
(2.84)
Substituindo a equação (2.84) em (2.83) e dividindo tudo por V, obteremos:
1  r 2 R
1 1 

(
)
( sen
)0
R r r
 sen d

(2.85)
Que é uma EDP de segunda ordem nas variáveis r e θ. Desde que o primeiro
termo dependa somente de r e o segundo termo somente de θ, então cada um vai
ser igual a uma constante e obteremos duas EDO’s (Equação Diferencial
ordinária) de 2° ordem:
101
1 d r 2 dR
(
)  l (l  1)
R dr dr
1 1 

( sen
)  l (l  1)
 sen d

A equação
(2.86)
(2.87)
d r 2 dR
(
)  l (l  1) R possui a solução geral:
dr dr
R(r )  Ar l 
B
(2.88)
r l 1
onde A e B são constantes arbitrárias a serem determinadas a partir das condições
de contorno do problema.


( sen
)  l (l  1) sen . é não
d

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A obtenção da solução da equação
trivial e requer argumentos matemáticos que não serão tratados nesta dedução. As
soluções são os polinômios de Legendre na variável cosθ.
( )  Pl (cos  )
(2.89)
Onde Pl (x) é definido pela fórmula de Rodrigues:
Pl ( x) 
1 d l 2
( ) ( x  1) l
l
2 l! dx
com l  Z  .
(2.90)
A solução geral para o potencial é dado pelo produto das duas soluções:
V (r , )  ( Ar l 
B
r l 1
) Pl (cos  )
(2.91)
102
Aplicando as condições de contorno na solução geral:
Em geral o campo elétrico E dentro da esfera metálica é diferente do campo
elétrico fora da esfera. Sabemos também que o campo elétrico incidente não será
afetado pela esfera para distâncias muito afastadas da esfera (r → ∞). Além disso,
o campo no centro da esfera poderá ter valor finito21,22,Erro! Indicador não definido. (o
campo será diferente de zero). É a quarta e última condição que garante a
continuidade das funções E e V na interface partícula meio (r = R). Estas quatro
condições podem ser expressas da Tabela 1:
Resumo das condições de contorno para o campo elétrico
Dentro vs fora da esfera
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Condição E1A:
^

Eext ( x, y, z )  Eo z se r → ∞
Condição E1B:

Eint ( x, y, z )  Finito se r → 0
Superfície da esfera (r = R)
Condição E2A:


 Np Er ,int   m Er ,ext (Condição radial)
Condição E2B:


E e E são contínuas
(Condição tangencial)
Tabela 6: Resumo das condições de contorno para o campo elétrico E. Do lado
esquerdo a condição associada às partes interna e externa à esfera metálica
(nanopartícula) enquanto do lado direito as condições associadas à superfície da esfera
(r = R).
Devido ao fato da dedução ter sido realizada para a obtenção do potencial
dentro e fora da esfera, devemos reescrever as condições de contorno para o
potencial V (Tabela 2).
103
Resumo das condições de contorno para o potencial
Dentro vs fora da esfera
Superfície da esfera (r = R)
Condição V1A:
Condição V2A:
lim Vext (r , )   Eo z   Eo r cos 
 Np
r 
se r → ∞
Vint
V
  m ext para r = R
r
r
(Condição radial)
Condição V1B:
Condição V2B:
Vint (r , )  0 se r → 0
V ,int  V ,ext V ,int  V ,ext
Vint ( R, )  Vext ( R, ) para r = R
(Condição tangencial)
Tabela 7: Resumo das condições de contorno para o potencial. Do lado esquerdo a
condição associada às partes interna e externa a esfera metálica (nanopartícula)
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enquanto do lado direito as condições associadas à superfície da esfera (r = R).
Vamos agora examinar a equação do potencial (2.91) para valores
específicos de l.
Para l = 0:
Vamos aplicar inicialmente as condições dentro e fora da esfera
metálica. Inicialmente será aplicada à equação (2.91) a condição V1A:
lim Vext (r , )  lim ( A0,ext r o 
r 
r 
B0,ext
r
) Po (cos  )  lim ( A0,ext 
r 
B0,ext
r
)  A0,ext   Eo r cos 
Lembrando que o polinômio de Lengendre de ordem zero é sempre 1
para qualquer valor de x, isto é, Po ( x)  1 x  R ou  C . Com isto a
condição V1A nos forneceu:
A0,ext   Eo r cos 
Para determinar B0,int temos que aplicar a condição V1B, isto é:
(2.92)
104
lim Vint (r ,  )  lim ( A0,int r o 
r o
r 0
B0,int
) Po (cos  )  lim ( A0,int 0 0 
B0,int
r o
r
r
)
com isto deveremos ter que B0,int = 0 para que o potencial se aproxime
de zero no centro.
B0,int  0
(2.93)
Agora vamos determinar os coeficientes A0,int e B0,ext a partir das condições
de superfície (interface NP e meio dielétrico), isto é, aplicaremos as condições
V2A e V2B. Aplicando primeiramente a condição V2B, teremos que:
Vint ( R, )  Vext ( R, )  A0,int 
B0,int
R
 A0,ext 
B0,ext
R
com
isto,
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substituindo B0,int e A0,ext dados pelas equações (2.92) e (2.93) na
expressão acima obteremos que:
A0,int   Eo r cos  
B0,ext
R
(2.94)
E por último aplicaremos a condição V2A que nos fornecerá os
coeficientes finais:
 Np
A0,int
Vint
  Np
0
r
r
m
B0,ext
B0,ext
Vext

  m ( E0 r cos  
)   m ( E0 cos   2 )
r
r
r
r
Com isto:
 m E0 cos    m
B0,ext
r
2
 E0 cos   
B0,ext
r
2
 B0,ext  r 2 Eo cos 
B0,ext  r 2 Eo cos 
Voltando agora na equação (2.94) veremos que:
A0,int  rEo cos  
r 2 Eo cos 
R
(2.95)
105
r 2 Eo cos 
R
Com isto Vint  rEo cos  
Vext  rEo cos  
e
r 2 Eo cos 
= 0! (que viola uma das quatro condições
r
da Tabela 2). Com isto, concluímos que para l = 0 não existe nenhuma
solução para o problema de contorno. Vamos examinar a solução para:
l = 1:
Seguindo os mesmos passos acima, veremos que:
lim Vext (r ,  )  lim ( A1,ext r 
r 
 lim ( A1,ext z 
r 
B1,ext cos 
r2
r 
B1,ext
r
2
) P1 (cos  )  lim ( A1,ext r cos  
B1,ext cos 
r 
r2
)
)  A1,ext z   Eo z
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Desta forma teremos que:
A1,ext   Eo
(2.96)
Agora, se utilizando da condição V1B, teremos pelo mesmo motivo
observado acima que:
lim Vint (r ,  )  lim ( A1,int r 
r o
r o
B1,int
r
2
) P1 (cos  )  lim (
r o
B1,int cos 
r2
)   com isto
B1,int = 0 para que o potencial se aproxime de zero no centro:
B1,int  0
(2.97)
E finalmente aplicando a condição V2B e V2A teremos respectivamente
que:
Vint ( R, )  Vext ( R, )
B1,int cos 
B1,ext cos 
 A1,int R cos  
 A1,ext R cos  
2
R
R2
com
isto,
substituindo B1,int e A1,ext dados pelas equações (2.96) e (2.97) na
expressão acima e dividindo ambos os lados por cosθ e depois por R
obteremos que:
106
A1,int   Eo 
B1,ext
(2.98)
R3
Sabemos que:
Vint  A1,int r cos  e Vext   Eo r cos  
B1,ext cos 
r2
E suas derivadas são dadas por:
Vint
 A1,int cos 
r
2 B1,ext cos 
Vext
para r = R.
  Eo cos  
r
R3
e
Aplicando a relação que define a condição V2A, veremos que:
2 B1,ext cos 
 Np A1,int cos    m ( Eo cos  
 Np ( Eo 
B1,ext
R
3
) cos    m ( Eo cos  
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  Np Eo cos    Np
 Np B1,ext
R
3
B1,ext (
cos  
 Np cos 
R
3
R3
B1,ext
R
3
2 B1,ext cos 
R3
cos    m Eo cos  
2 m B1,ext cos 

)
R3
2 m B1,ext cos 
R3
  Np Eo cos    m Eo cos 
2 m cos 
)  Eo cos  ( Np   m )
R3
B1,ext 
)
e finalmente:
Eo R 3 ( Np   m )
 Np  2 m
(2.99)
Substituindo a equação (2.99) na equação (2.98) obteremos o coeficiente
A1,int :
A1,int   Eo 
Eo ( Np   m )
 Np  2 m
(3.00)
Com isto a expressão final para o potencial dentro da esfera metálica é:
Vint (r , )  A1,int r cos  
B1,int
r2
Vint (r , ) 
cos    Eo r cos  
 3 m
E r cos 
 Np  2 m 0
Eo r cos  ( Np   m )
 Np  2 m
(3.01)
107
Analogamente obteremos a expressão final para o potencial fora da
esfera metálica:
Vext (r , )  A1,ext r cos  
B1,ext
r2
Eo R 3 ( Np   m )
1
cos    Eo r cos   2 cos  (
)
 Np  2 m
r
 Np   m Eo R 3 cos 
Vext (r , )   Eo r cos   (
)
 Np  2 m
r2
(3.02)

Porém sabemos que E  V (Laplaciano em coordenadas esféricas).
Desta forma, o campo elétrico no interior da esfera metálica é dado por:
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
Eint (r ,  ) 
^
^
3 m
3 m
Eo cos  r 
E0 sen 
2 m   Np
2 m   Np
(3.03)
Vamos agora utilizar as seguintes relações na equação (3.03) com o objetivo
de obter a expressão final para o campo elétrico no interior da esfera metálica:
^
^
^
r  cos  z  sen y
^
^
^
  sen z  cos  y
Com isto o campo elétrico Eint é dado por:

Eint 
^
3 m
Eo z
2 m   Np
(3.04)
Analogamente, fazendo o mesmo para o campo externo, obteremos a
expressão final para o campo elétrico no exterior da esfera metálica.
^

2 R 3 ( Np   m ) Eo cos  ^ R 3 ( Np   m ) Eo sen ^
Eext  Eo z 
r

2 m   Np
2 m   Np
r3
r3
(3.05)
Podemos reescrever a equação (3.05) em função do módulo do momento de
dipolo, isto é:
108
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p
( Np   m )
2 m   Np
R 3 Eo

^
(3.06)  Eext  Eo z 
2 p cos  ^ psen ^
r

r3
r3
(3.07)
109
5.2
Parte real e imaginária do índice de refração
O índice de refração pode ser escrito em função da constante dielétrica
através da seguinte equação:
n     R  i Im  nR  inIm
(3.08)
Será mostrado que a parte real e imaginária do índice de refração é dada por:
2
 R2   Im
R
nR 
2
2
 R2   Im
R
e nIm 
(3.09)
2
De (3.08) temos que:
   R  i Im  (nR  inIm ) 2  nR 2  2nR inIm  nIm 2  (nR 2  nIm 2 )  2nR nIm i
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Que gera um sistema linear envolvendo a parte real e imaginária de ε e n.
 R  nR 2  nIm 2
(3.10)
 Im  2nR nIm
(3.11)
 Im
De (3.11) temos que n R 
R 
 Im 2
4nIm
2
2nIm
4nIm   Im
4
 nIm 
2
4nIm
que substituindo em (3.10) teremos que
2
Vamos primeiramente encontrar as soluções
2
para nIm : Reescrevendo a equação acima, obteremos um polinômio de quarto grau
em nIm .
4nIm  4nIm  R   Im  0  nIm  nIm  R 
4
2
4
2
2
 Im 2
4
 0     R 2   Im 2
Com isto teremos duas soluções quadradas para nIm , isto é:
nIm 1 
2
 R   R 2   Im 2
2
(3.12) e nIm 2 
2
 R   R 2   Im 2
(3.13)
2
Agora vamos utilizar o mesmo recurso para determinar n R :
De (3.11) temos que nIm 
 Im
2n R
, então (3.10) fica  R  n R 2 
 Im 2
4n R
2
4n R   Im
4

4n R
Com isto teremos um polinômio de quarto grau em n R , isto é:
4nR  4nR  R   Im  0  nR  nR  R 
4
2
2
4
2
 Im 2
4
 0     R 2   Im 2
2
2
.
110
Desta forma, teremos duas soluções quadradas para n R , isto é:
n R1 
2
 R   R 2   Im 2
2
(3.14) e n R 2 
2
 R   R 2   Im 2
2
(3.15)
Resumo das soluções quadradas:
nIm 1 
2
n R1 
2
 R   R 2   Im 2
; nIm 2 
2
2
 R   R 2   Im 2
;
2
nR 2 
2
 R   R 2   Im 2
2
 R   R 2   Im 2
2
Um teste rápido mostra que as soluções que satisfazem o sistema são:
n R1 
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2
 R   R 2   Im 2
demonstrar.
2
e
nIm 2 
2
 R   R 2   Im 2
2
como queríamos
111
5.3
Código do KS400
# Abertura do Arquivo
#--------------------------------------------------------------------------------------------------imgdelete "*.*"
Gclear 0
imgsetpath "Z:\AlunosIPDI\2009\EricPaula\Trabalho"
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# Segmentação
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# Eliminando fronteiras
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#Aplicando dvalleys
#
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MSsetprop
MSsetprop
MSsetprop
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113
5.4
Código de simulação do Maple 14
:
Carga do elétron:
>
massa efetiva do elétron:
>
Densidade dos elétrons livres:
>
Permissividade do Vácuo:
>
Tempo de colisão associada com a exitação coletiva dos
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0912567/CA
elétrons:
>
Damping parameter:
>
Velocidade da Luz:
>
Constante dielétrica do meio hospedeiro:
>
Filling Factor Definitions:
>
>
>
>
>
>
Lambda de ressonância:
>
>
114
Frequência do plasma de elétrons livres:
>
Função
>
>
Parte real e imaginária da constantre dielétrica do metal vinda
do modelo de Lorentz:
>
>
>
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>
Constante dielétrica do metal:
>
>
>
Constante dielétrica efetiva de Maxwell-Garnet:
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
Parte Real da CDF:
>
115
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Parte Imaginária da CDF:
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PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0912567/CA
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Plot da parte real da CDF:
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Plot da parte real da CDF:
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116
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Plot da parte imaginária da CDF:
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Plot da parte imaginária para 5 fill factors diferentes da CDF:
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0912567/CA
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