1. Matrizes

UNIVERSIDADE DO ALGARVE
0
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
CURSOS DE ENGENHARIA CIVIL/TOPOGRÁFICA – 1º Ciclo
REGIMES DIURNO/NOCTURNO
DISCIPLINA DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
Ficha de exercícios nº1
Matrizes
−2 1
1 0
−1 0
1. Considere as seguintes matrizes A =
, B=
e C = 0 3 . Caso seja possível
2 3
−2 3
5 −4
(porquê?) determine:
1.1) A + B e B + A , compare os resultados.
1.2) O produto de C pelo escalar a = −3 .
1.3) A − B e B − A , compare os resultados.
2.
Dadas as matrizes A( m×n ) , B( n× p ) e C( r ×q ) , que condições devem satisfazer as constantes
p, q, r ∈
, de modo permitir calcular:
2.1) ABC .
2.2) ACB .
2.3) A( B + C ) .
−2 1 0
3. Em que condições se pode efectuar o produto entre as matrizes A = 0 3 0
5 −4 0
B=
e
1 2 −3
? Calcule-o.
3 4 0
4. Considere as matrizes A =
1 2
−2 1
e B=
. Calcule, caso seja possível (porquê?), A × B e
3 4
0 3
B × A . Compare as matrizes obtidas na alínea anterior. Comente.
−2 1
1 2 −3
5. Considere as matrizes A = 0 3 e B =
. Calcule, caso seja possível (porquê?),
3 4 0
5 −4
A × B e B × A . Compare as matrizes obtidas na alínea anterior. Comente.
1 1 0
6. Considere a matriz A = 0 1 1 . Determine:
0 0 1
6.1) A2 e A3 .
6.2) A n , por recorrência.
1/6
ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL
Matrizes
7. Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de matéria prima, A e B. Para a
produção de cada kg de X são utilizados 1 grama de A e 2 gramas de B; para cada kg de Y, 1 grama
de A e 1 grama de B; e para cada kg de Z, 1 grama de A e 4 gramas de B. Determine quantas gramas
de A e B são necessários na produção de x kg do produto X, y kg do produto Y e z kg do produto Z?
8. Sejam A e B matrizes n × n . Verifique se ( A + B )( A − B) = A2 − B 2 .
9. Considere as matrizes A =
1 2
e B=
3 4
1
2
3
2
1
.
2
9.1 Calcule, caso seja possível (porquê?) A × B e B × A .
9.2 Compare as matrizes obtidas na alínea anterior. Comente.
9.3 Encontre uma fórmula que permita fazer com que A × C = C × A , sendo C(2×2) não nula;
9.4. Verifique a fórmula encontrada na alínea anterior utilizando a matriz B.
10. Mostre que se A e B são matrizes que permutam com a matriz M =
0 1
então AB = BA .
−1 0
11. Determine todas as matrizes A(2×2) diagonais que permutam com toda a matriz B(2×2) , ou seja,
tais que AB = BA .
12. Determine todas as matrizes A(2×2) que permutam com toda a matriz B(2×2) , ou seja, tais que
AB = BA .
13. Determine a transposta das matrizes A =
14.
Considere
as
seguintes
matrizes
1 2
1 3 0
eC=
.
3 4
2 4 −2
A=
2 0
,
6 7
B=
0 4
,
2 −8
C=
−6 9 −7
,
7 −3 −2
−6 4 0
6 9 −9
D = 1 1 4 e E = −1 0 −4 . Se for possível calcule:
−6 0 6
−6 0 −1
14.1) AB − BA .
14.2) 2C − D .
14.3) (2 DT − 3E T )T .
14.4) D 2 − DE .
15. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC , como podemos calcular A( B + C ) , BT AT ,
C T AT e ( ABA)C .
2/6
Ficha nº1 de Álgebra linear e geometria analítica
ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL
16. Considere as seguintes matrizes
d1
D= 0
0
0
d2
0
A=
−3 2 1
,
1 2 −1
Matrizes
2 −1
−2 1 −1
B= 2 0 , C= 0 1 1 ,
0 3
−1 0 1
0
1
0
0
0 , E1 = 0 , E2 = 1 e E3 = 0 . Verifique que:
d3
0
0
1
16.1) AE j é a j-ésima coluna de A, para j = 1, 2,3 e EiT B é a i-ésima linha de B, para i = 1, 2,3 .
16.2) CD = [ d1C1
d 2 C2
−2
1
−1
d 3C3 ] , onde C1 = 0 , C2 = 0 e C3 = 1 são as colunas de C.
−1
1
1
d1C1
16.3) DC = d 2 C2 , com C1 = [ −2 1 −1] , C2 = [ 0 1 1] e C3 = [ −1 0 1] as linhas de C.
d3C3
16.4) Escrevendo B em termos das suas colunas, B = [ B1
o produto AB pode ser escrito como AB = A [ B1
2
−1
B2 ] , em que B1 = 2 e B2 = 0 ,
0
3
B2 ] = [ AB1
AB2 ] .
16.5) Escrevendo A em termos das suas linhas A1 = [ −3 2 1] e A2 = [1 2 −1] , o produto
AB pode ser escrito como AB =
A1
B=
A2
A1 B
A2 B
.
x
1 −3 0
17. Sejam A =
e X = y . Verifique que xA1 + yA2 + zA3 = AX , onde Aj é a j-ésima
0 4 −2
z
coluna de A, para j = 1, 2,3 .
18. Encontre um valor de x tal que ABT = 0 , sendo A = [ x 4 −2] e B = [ 2 −3 5] .
19. Verifique se as matrizes A =
1
1
y
y 1
, em que y ∈
1
20. Considere a seguinte matriz onde k ∈
\ {0} , verificam a equação X 2 = 2 X .
0 k2
, A= k 1
k2 k
k
2
2
0 .
1
20.1) Estude, em função do parâmetro k, a dependência linear das suas linhas e colunas.
20.2) Determine, em função dos valores reais do parâmetro k, a característica da matriz A.
20.3) Diga, justificando, se é possível determinar a inversa de A .
3/6
Ficha nº1 de Álgebra linear e geometria analítica
ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL
Matrizes
1 1 −b
21. Considere a seguinte matriz, onde b ∈ , M = 1 b 2 1 .
1
b2 1
21.1) Estude, em função do parâmetro b, a dependência linear das suas linhas e colunas.
21.2) Determine, em função do parâmetro b, a característica da matriz M.
21.3) Determine a inversa da matriz M, pelo método da matriz ampliada, para b = 2 .
21.4) Diga justificando, se para b = 0 a matriz M é regular?
1 1 0
1 2 0
22. Considere as seguinte matrizes A = 0 1 1 e B = 0 0 1 .
0 0 1
1 1 2
22.1) Estude a dependência linear das colunas das duas matrizes.
22.2) Determine a característica de cada uma das matrizes?
22.3) Resolva em ordem à matriz X , a equação matricial: B T = ( BA)
−1
+ ( B −1 X ) .
T
22.4) Calcule a matriz X .
1 0 0 0
1 −1 2 1
, com β ∈
23. Considere a matriz A =
−2 0 1 β
0
1 2 0
.
23.1) Estude a dependência linear das colunas da matriz.
23.2) Discuta, segundo os valores do parâmetro real β , a característica da matriz A.
23.3) Diga, justificando, para que valores de β a matriz é invertível.
23.4) Determine inversa de A para β = 0 .
24. Prove que as matrizes A =
−2 1
0 3
e B=
−1/ 2 1/ 6
são inversas.
0
1/ 3
25. Seja A, uma matriz n × n tal que A3 = 0 (A pode não ser a matriz nula). Mostre que
( I n − A) −1 = I n + A + A2 .
26. Se possível encontre as inversas das seguintes matrizes:
−1 1
1 1 1
1 2 3
1 2 3
26.1) A = 2 3 . 26.2) B = 2 1 4 . 26.3) C = 1 1 2 . 26.4) D = 1 1 2 .
−3 2
2 3 5
0 1 1
0 1 2
4/6
Ficha nº1 de Álgebra linear e geometria analítica
ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL
1 1
1 2 3
1 2 2
1 2 3
1 2
26.5) E = 0 2 3 . 26.6) F = 1 3 1 . 26.7) G = 1 1 2 . 26.8) H =
1 −1
1 2 4
1 3 2
0 1 1
1 3
1 1 1 1
1 3 1 2
26.9) I =
.
1 2 −1 1
5 9 1 6
Matrizes
1 1
−1 2
.
2 1
3 2
27. Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de matéria prima, A e B. Para
a produção de cada kg de X são utilizados 1 grama de A e 2 gramas de B; para cada kg de Y, 1
grama de A e 1 grama de B; e para cada kg de Z, 1 grama de A e 4 gramas de B. O preço de venda
do kg de cada um dos produtos X, Y e Z é 2, 3 e 5 euros, respectivamente.
27.1) Se num período com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufacturada com 1 kg de A
e 2 kg de B, essa indústria arrecadou 2500 euros, determine quantos kg de cada um dos produtos
X, Y e Z foram vendidos.
27.2) Se num outro período com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufacturada com 1
kg de A e 2,1 kg de B, essa indústria arrecadou 2900 euros, determine quantos kg de cada
produto X, Y e Z forma vendidos.
1 1 0
28. Encontre todos os valores de a para os quais a matriz A = 1 0 0 tem inversa.
1 2 a
29. Se A−1 =
3 2
2 5
e B −1 =
, encontre ( AB) −1 .
1 3
3 −2
1
30. Considere as matrizes: A = 5
3
2
3
4
5 eB
5
6
−1
1
3
1
= 2
1
1 .
2
0
1
31.1) Resolva em ordem a X a seguinte equação matricial AXB T = I .
31.2) Calcule a matriz X .
31. Considere a seguinte equação matricial:
( AX
T
− B ) = C − BT . Em que A, B, C e X são
T
matrizes quadradas de ordem 3 e em que A é uma matriz regular.
31.1) Resolva em ordem a X a equação matricial indicada.;
5/6
Ficha nº1 de Álgebra linear e geometria analítica
ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL
Matrizes
4 2 0
1 −1 0
31.2) Sendo B = 0 1 1 , A = 0 1 1 e C = I . Determine a matriz X .
−1 −3 2
1 2 1
32. Sendo A uma matriz quadrada regular que verifica a relação A2 − 2 A + I = 0 , (em que O é a
matriz nula e I é a matriz identidade). Determine a sua inversa A−1 , em função de A e de I.
33. Sejam A, B, C, e X matrizes regulares da mesma ordem. Resolva, aplicando as propriedades
das matrizes, a equação matricial em ordem à matriz X , AX 2 C = AXBC .
34. Considere as matrizes:
1
0 −2
A = 2 −3
1 ,
1
2
5
1 0 −1
C = −1 2
3
0 1 2
1 2
1
B = − 2 −1
2 e
1 −1 − 3
34.1) Resolva, em ordem à matriz X , a equação:
( A − 2 X )T
= 2(BC ) − 3BI .
T
34.2) Determine a matriz X .
35. Sendo I = [( AX )T + DF ]−1 com A =
1
1 2
,
, D=
1
0 1
F = [ 2 3] e I 2 a matriz identidade.
35.1) Determine, justificando, a matriz X que torna verdadeira a equação.
35.2) Indique, sem efectuar cálculos, o valor do determinante de X T AT + DF .
36. Considere a seguinte equação matricial, ( AX T B) −1 = BA + 2 A , com A e B matrizes quadradas
regulares.
36.1) Resolva a equação em ordem à matriz X .
1 −1 0
36.2) Para A = 2 1 − 1
1 2 1
1 0 0
e B = − 1 1 2 , determine X .
3 0 1
1
0 −1
1 2 −2
37. Considere as matrizes A = 1 − 1 0 e B = 3 1 4 .
−1 0 1
−1 0 2
37.1) Verifique que a matriz A é invertível e calcule a sua inversa.
37.2) Determine a matriz X tal que: AX = B .
6/6
Ficha nº1 de Álgebra linear e geometria analítica