Matemática - Educacional

Números Complexos I
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Por Paulo Marques€
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Um pouco de história
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No século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns
progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois,
estes estudos foram ampliados por Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são
considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números
Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.
Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como
sendo a raiz quadrada
de -1. Pode-se escrever então: i = Ö-1 .
Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com
números reais , a exemplo das raízes quadradas de números negativos .
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Ex: Ö-16 = Ö16 . Ö-1 = 4.i = 4i
Potências de i :
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2 . i = -i
i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1
i5 = i4 . i = 1.i = i
i6 = i5 . i = i . i = i2 = -1
i7 = i6 . i = -i , etc.
Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo
1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir do expoente zero.
Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta eleva-lo ao resto da
divisão do expoente por 4. Assim , podemos resumir:
i4n = ir onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4).
Exemplo: Calcule i2001
Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i2001 = i1 = i .
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Definição: Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como
sendo:
z = a + bi , onde i = Ö-1 é a unidade imaginária .
Exs: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3)
w = -3 -5i (a = -3 e b = -5)
u = 100i ( a = 0 e b = 100)
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NOTAS:
a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z .
b) dado o número complexo z = a + bi , a é denominada parte real e b parte
imaginária.
Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) .
c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um
imaginário puro . Ex: z = 3i .
d)se em z = a + bi tivermos b = 0 , dizemos que z é um número real .
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Ex: z = 5 = 5 + 0i .
e)do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja,
o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos.
f) um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par
ordenado z = (a,b) .
Exercícios Resolvidos:
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1) Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1) i , determine m de modo que z seja um
imaginário puro.
Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula
ou seja, devemos ter
m2 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3.
2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)12 .
Solução: Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condições, vamos desenvolver o
produto notável
(1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)2 = 2i (isto é uma propriedade importante,
que vale a pena ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
(1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64.
Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é
igual a -64.
3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)200 .
Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo o
produto notável
(1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade
importante, que merece ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100.
Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos
que a sua parte imaginária é zero.
CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Dado um número complexo z = a + bi , chama-se conjugado de z e representa-se por
, a um outro número complexo que possui a mesma parte real de z e a parte
imaginária o simétrico aditivo da parte imaginária de z .
= a - bi
z = a + bi ®
Ex: z = 3 + 5i ;
= 3 - 5i
Obs : Sabemos que os números complexos podem também ser representados na forma
de pares ordenados . Assim é que z = a + bi = (a,b).
Portanto , por analogia com o sistema de coordenadas cartesianas , pode-se
representar graficamente qualquer número complexo z num sistema de coordenadas
cartesianas , bastando marcar a parte real a no eixo horizontal e a parte imaginária b
no eixo vertical . Neste caso , o eixo horizontal é chamado eixo real e o eixo vertical
é chamado eixo imaginário. O plano cartesiano, neste caso , denomina-se plano de
Argand-Gauss.
O ponto que representa o número complexo z , denomina-se afixo de z.
DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA BINÔMIA
Regra : Para dividir um número complexo z por outro w ¹ 0 , basta multiplicar
numerador e denominador pelo complexo conjugado do denominador .
Ex:
=
=
= 0,8 + 0,1 i
Agora que você estudou a teoria, tente resolver os seguintes exercícios:
1 - Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180
2 - Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15 ,
calcule Im(z).w + Im(w).z .
3 - UCMG - O número complexo 2z, tal que 5z +
= 12 + 6i é:
4 - UCSal - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real, a deve ser:
5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é:
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6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é:
7) Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.
Resp: 3
Clique aqui para ver a solução.
8) Calcule [(1+i)80 + (1+i)82] : i96.240
Resp: 1+2i
9) Se os números complexos z e w são tais que z = 2-5i e w = a+bi , sabendo-se que
z+w é um número real e z.w .é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b2 2a.
Resp: 50
10) Se o número complexo z = 1-i é uma das raízes da equação x10 + a = 0 , então
calcule o valor de a.
Resp: 32i
11) Determine o número complexo z tal que iz + 2 .
-1
+ 1 - i = 0.
2
12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x + x , para x = 1 - i , é:
a)-3i
b)1-i
c) 5/2 + (5/2)i
d) 5/2 - (3/2)i
e) ½ - (3/2)i
13 -UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se:
a) -1+2i
b) 1+2i
c) 1 - 2i
d) 3 - 4i
e) 3 + 4i
14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3+i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10
b) 5 e 10
c) 7 e 9
d) 5 e 9
e) 0 e -9
15 - UEFS-94.1 - A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é
igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a) Ö 13
b) Ö 7
c) 13
d) 7
e) 5
16 - FESP/UPE - Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8
é igual a:
a) 16
b) 161
c) 32
d) 32i
e) 32+16i
17 - UCSal - Sabendo que (1+i)22 = 2i, então o valor da expressão
y = (1+i)48 - (1+i)49 é:
a) 1 + i
b) -1 + i
c) 224 . i
d) 248 . i
e) -224 . i
GABARITO:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
-3 - i€€€
-3 + 18i€€
4 + 3i€€
3/2€€
-2 + 18i€€
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3€€
1 + 2i€€
50€€
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