aprofundamento em exatas 2

Matemática
Prof. Daniel – 05/05/2009 – 15h30
Soma dos Ângulos Internos (Si)
n=5
n=3
Si = 180°
Si = 3.180°
n=4
n=6
Si = 2.180°
Si = (n – 2).180°
Si = 4.180°
Número de Diagonais (D)
D
n(n 3)
2
Diagonais de um polígono convexo
B
n = 4 lados
De cada vértice “parte” uma
diagonal
C
Vértices
A
D
D=
4
Cada diagonal é contada duas vezes
1
2
Quantidade
de diagonais
por vértice
Diagonais de um polígono convexo
n = 5 lados
De cada vértice “partem”
duas diagonais
Vértices
D=
5
Cada diagonal é contada duas vezes
2
2
Quantidade
de diagonais
por vértice
Diagonais de um polígono convexo
n lados
CadaDe
vértice
não pode
ser unido a
cada vértice
“partem”
ele mesmo nem aos dois vértices
(n – 3 ) diagonais
vizinhos (consecutivos)
Vértices
D=
n
Cada diagonal é contada duas vezes
(n – 3)
2
Quantidade
de diagonais
por vértice
(ITA – 1977) O número de diagonais de um
polígono regular de 2n lados, que não passam pelo
centro da circunferência circunscrita a este polígono
é dado por:
a) 2n(n 2)
b) 2n(n 1)
c) 2n(n 3)
d)
n( n 5 )
2
e) n.d.a.
n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
d 0 2 5 9 14 20 27 35 44 54 65 77
(ITA – 1998) Considere as afirmações sobre
polígonos convexos:
•Existe apenas um polígono cujo número de diagonais
coincide com o número de lados.
•Não existe polígono cujo número de diagonais seja o
quádruplo do número de lados.
•Se a razão entre o número de diagonais e o de lados
de um polígono é um número natural, então o número
de lados do polígono é ímpar.
a) Todas as afirmações são verdadeiras
b) Apenas (I) e (III) são verdadeiras
c) Apenas (I) é verdadeira
d) Apenas (III) é verdadeira
e) Apenas (II) e (III) são verdadeiras
(ITA – 2001) De dois polígonos convexos, um tem
a mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então a soma
total dos números de vértices e de diagonais dos dois
polígonos é igual a:
a) 63
b) 65
c) 66
d) 70
e) 77
(ITA – 2003) Considere três polígonos regulares
tais que os números que expressam a quantidade de
lados de cada um constituam uma progressão aritmética.
Sabe-se que o produto destes três números é igual a 585
e que a soma de todos os ângulos internos dos três
polígonos é igual a 3780°. O número total das diagonais
nestes três polígonos é igual a:
a) 63
b) 69
c) 90
d) 97
e) 106
(ITA – 2004) Considere um polígono convexo de
nove lados, em que as medidas de seus ângulos
internos constituem uma progressão aritmética de razão
igual a 5°. Então, seu maior ângulo mede, em graus,
a) 120
b) 130
c) 140
d) 150
e) 160
Em um hexágono equiângulo, as medidas de 4 lados
consecutivos são, nesta ordem, 5, 3, 6 e 7. Determine
o perímetro do hexágono.
7
6
3
5
7
6
3
5
Ângulo Central
x
x
Ângulo Inscrito
a
a
xb
2a
2a
2b
b
2x
2b
Quadrilátero Inscritível
2a
b
2a + 2b = 360°
a + b = 180°
a
2b
(ITA – 1994) Numa circunferência inscreve-se um
quadrilátero convexo ABCD tal que AB̂C 70o . Se
x AĈB BD̂C , então:
a) x = 120°
b) x =110°
c) x = 100°
d) x = 90°
e) x = 80°
A
D
B 70º
C
Sejam V1,V2 ,...,V2n os vértices de um polígono regular de
2n lados inscrito num círculo unitário . Sendo P um
ponto arbitrário de
prove que PV1
V1
2
, diferente de algum vértice
PV2
2
V2
V7
V6
V5
PV2 n
PV1
V3
P
V4
V8
...
PV2
PV3
PV4
2
2
4n
PV5
2
2
2
PV6
PV7
PV8
2
22
2
22
2
22
2
22
V1
PV1
V2
V3
V2n
PV2
PV3
V4
P
V5
PVN
2
PVA
2
2
2
PVB
PVC
PV2 N
VB VA
PV1
2
PV2
2
...
PV2 n
2
2
4n
22
2
22
2
22
2
22
^
Dado o quadrilátero ABCD tal que
CÂD
25º , AC D
^
e BÂC
BC A
^
20º , qual o valor do ângulo D B C ?
a) 40º
220º
b) 45º
c) 50º
B
d) 55º
x
140º
e) 60º
A
20º
25º
20º
45º
C
110º
D
140º
45º
No quadrilátero convexo ABCD
são dados
os
ângulos
^
^
BÂC = 30º , CÂD = 20º , A B D 50º e D B C 30º . Sendo
P o ponto de intersecção das diagonais AC e BD, prove
que PC = PD.
D
A
20º
30º
P
C
50º 30º
B
D
60º
A
20º
30º
P
C
20º
50º 30º 30º
60º
B
E
Um polígono com 20 lados é chamado icoságono.
Unindo-se três dos vértices de um icoságono regular
obtemos triângulos. Quantos são triângulos retângulos?
(ITA – 2005) Seja n o número de lados de um
polígono convexo. Se a soma de n – 1 ângulos(internos)
do polígono é 2004°, determine o número n de lados
do polígono.
Seja ABC um triângulo acutângulo e H o seu ortocentro.
Sejam M, N e R os pontos médios de AB, BC e AH, ^
MNR
respectivamente.
Determine
a
medida
do
ângulo
^
se o ângulo A B C mede 70º.
A
R
M
H
B
N
C