trabalho de matemática do ensino fundamental e médio

TRABALHO
DE
MATEMÁTICA DO ENSINO FUNDAMENTAL E
MÉDIO
NÚMEROS
Profª: Rita de Cássia Pavani Lamas
Aluno: Jefferson Pereira Velasco
São José do Rio Preto/SP
2009
Este trabalho consiste em analisar um livro do Ensino Médio, neste caso, o livro
de José Ruy Giovanni & José Roberto Bonjorno, elaborar uma aula sobre números e
verificar se: As definições e conceitos estão bem apresentados no texto, os exemplos
esclarecem o conteúdo apresentado, se são utilizados materiais didáticos para
esclarecer ou introduzir os conteúdos, se os exercícios envolvem aplicações no
cotidiano, leitura de tabelas, leitura de gráficos e resoluções de problemas.
Aula
Conjunto Numérico:
São conjuntos cujos elementos são números que têm alguma característica
comum. São eles: conjunto dos números naturais, dos inteiros, dos racionais, dos
irracionais e, por fim, o dos números reais.
O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade de se contarem
objetos, ou outros conjuntos foram surgindo como ampliações daqueles anteriormente
conhecidos.
O conjunto dos Números Naturais (N):
Este conjunto é representado por: N = {0,1,2,3,4,...}
O conjunto N pode ser representado geometricamente por meio de reta
numerada, escolhemos o ponto de origem ao número zero, uma medida unitária e
uma orientação geralmente para a direita.
-------l----------l------------->
O
1
Marcamos sobre a reta outros números naturais, respeitando a medida da
unidade:
-----l----------l----------l----------l----------l---------------->
O
1
2
3
4
Subconjuntos importantes:

Conjuntos dos números naturais não nulos:
N* = {1,2,3,4,...} ; N* = N – {0}

Conjunto dos números naturais pares:
Np = {0,2,4,6,...}

Conjunto dos números naturais ímpares:
Ni = {1,3,5,7,...}

Conjunto dos números primos:
P = {2,3,5,7,11,13,...}
No conjunto dos números naturais estão definidas duas operações: adição e
multiplicação. Note que, adicionando (multiplicando) dois elementos quaisquer
de N, a soma (o produto) pertence igualmente a N. Em símbolos, temos:
Vm, n Є N, m + n Є N e
m.nЄN
Portanto, podemos dizer que N é fechado em relação à adição e a
multiplicação.
O mesmo não ocorre com a subtração: embora, por exemplo, 5 – 2 = 3 Є N,
não existe número natural x tal que x = 2 – 5; em outras palavras, o conjunto N não é
fechado para a subtração. Por esse motivo, fez-se uma ampliação do conjunto N e
surgiu o conjunto dos números inteiros.
Conjuntos dos Números Inteiros (Z):
Este conjunto é representado por:
Z = {...,-2,-1,0,1,2,3,...}
Todo elemento de N pertencem também a Z, podemos dizer que N é
subconjunto de Z: N C Z.
A representação geométrica do conjunto Z é feita a partir da representação de
N acrescentado os pontos correspondentes aos números negativos:
------l----------l----------l---------l---------l---------l---------l---->
-3
-2
-1
0
1
2
Subconjuntos importantes:

Conjunto dos números inteiros não nulos:
Z* = {...,-3,-2,-1,1,2,3,...} ; Z* = Z – {0}

Conjunto dos números inteiros não negativos:
Z+ = {0,1,2,3,...} ; Z+ = N

Conjunto dos números inteiros positivos:
Z*+ = {1,2,3,4,...}

Conjunto dos números inteiros não positivos:
Z- = {...,-3,-2,-1,0}

Conjunto dos números inteiros negativos:
3
Z*- = {...,-5,-4,-3,-2,-1}
Números opostos:
Dois números são opostos quando apresentam soma zero, ou seja são
equidistantes da origem, por exemplo:
-------------l--------l--------l------------->
-2
0
2
2 + (-2) = 0
Em particular zero é oposto de zero.
Módulo de um número inteiro:
É a distância do número à origem. Dizemos por exemplo, que o módulo de -2 é
2 e de 2 também é 2 e representamos por I -2 l = 2 e l 2 l = 2.
Exercícios:
1- Quais das proposições abaixo são verdadeiras:
a) 0 Є N
c) -10 Є Z
e) (2 – 3) Є Z
b) 0 Є Z
d) N C Z
f) N C Z
2- A) Quantas unidades devemos diminuir de 7 para chegarmos a -4?
B) Quantas unidades devemos diminuir de -3 para chegarmos a -9?
C) Quantas unidades devemos diminuir de 11 para chegarmos a 13?
3- Calcule o valor da expressão 3 – l 3 + l-3l + l3l l.
Respostas:
1) a, d,e,f.
2) A) 11 B) 6
C) -2
3) -6
Concluímos a partir destes dois tópicos estudados que o livro que estamos
analisando o autor aborda o conceito de forma muito resumida, apenas apresenta o
conjunto dos números naturais como sendo N = {0,1,2,3,4,...}. Não faz menção a todos
os subconjuntos de N e das operações que são definidas. Em relação aos números
inteiros o autor também traz a definição resumida, não aborda o conceito de número
oposto e módulo de um número. Os exercícios são formais não explorando o cotidiano
dos alunos.
Conjunto dos Números Racionais (Q):
O conjunto Z é fechado em relação às operações de adição, multiplicação e
subtração, mas o mesmo não acontece em relação à divisão, por exemplo (-12) : 4 = 3 Є Z, mas não existe um número x para o qual se tenha x = 4 : (-12). Por esse
motivo, foi necessário a ampliação do conjunto Z, da qual surgiu o conjunto dos
números racionais.
O conjunto dos números racionais é representado por:
Q = { 0, ±1, ±1/2, ±1/3,..., ±2, ±2/3, ±2/5,...,p/q,...}, com p e q inteiros e q ≠ 0.
Quando q = 1, temos p/q = p/1 = p Є Z, concluímos então que Z é subconjunto
de Q.
Q
zss
Z
ddd
N
Pelo diagrama temos: N C Z C Q. O conjunto Q é fechado para as operações
de adição, multiplicação, subtração e divisão.
Representação decimal:
Tomemos um número racional p\q, tal que p não é múltiplo de q. Para escrevêlo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador.
Ex: 2/5 = 0,4
1/3 = 0,333....
O primeiros exemplo e chamado de decimal exato e o segundo de dízima
periódica.
Para acharmos a fração de uma dízima periódica procedemos da seguinte
maneira:
Ex: 0,555...
x = 0,555... , multiplicando os dois lados da igualdade por 10, temos:
10.x = 5,555..., subtraindo a primeira igualdade da segunda, temos: 10.x – x = 5,555...
– 0,555... => 9.x = 5 => x = 5/9.
Portanto: 0,555... = 5/9.
Representação geométrica:
-------l-----l-----l-----l-----l------l-----l---->
-4/3 -1 -1/2 0 1/2
3/4 1
Exercícios:
1- Assinale V ou F:
a) 3/4 Є Q
c) 17/9 Є Q – Z
b) 1 – 5/6 Є Q d) 62 Є Q
2- Encontre a fração geratriz de:
e) 62/31 Є Q - Z
f) 1,57329... Є Q
0,666...
Respostas:
1) a) V b) F c) V d) V e) F f) F
2) 2/3
O livro analisado traz o conceito de números racionais também resumido não
explicando ao aluno a necessidade de inserir este conjunto, não ensina transformar
dízima periódica em fração. Não faz uma relação entre os números naturais, inteiros e
racionais. Traz poucos exercícios sobre o assunto.
Conjunto dos Números Irracionais (I):
Há alguns números que não existe representação, são os números decimais
não exatos que possuem representação infinita não periódica. Por exemplo:
0,212112111..., não é dízima periódica pois os algarismos após a vírgula não se
repetem.
Outros exemplos: √2 = 1,4142136... e π = 3,141592...
Um número cuja representação decimal infinita não é periódica é chamado
número irracional.
Conjunto dos Números Reais (R):
O conjunto formado pelos números racionais e pelos números irracionais é
chamado conjunto dos números reais.
R=QUI
Q
I
√3
1\2
-0,76
-3
√2
R
π
Lembrando que N C Z C Q, construímos o seguinte diagrama:
Q
I
Z
Z
N
|
R
Subconjuntos importantes:
1- Conjuntos dos números reais não nulos:
R* = {x Є R / x ≠ 0 }
2- Conjuntos dos números reais não negativos:
R+ = { x Є R / x ≥ 0 }
3- Conjuntos dos números reais positivos:
R*+ = { x Є R / x > 0 }
4- Conjuntos dos números reais não positivos:
R- = { x Є R / x ≤ 0 }
5- Conjuntos dos números reais negativos:
R*- = { x Є R / x < 0 }
Representação geométrica:
----l------l-------l------l-------l-------l-------l-------->
-π
-3
-9/4
-2
-√3
-√2
-4/3
Também usamos os conceitos de número oposto e módulo de um número para os
números reais.
Relacionando os conjuntos temos: N C Z C Q C R.
Exercícios:
1- Qual das proposições abaixo são falsas:
a) N C Z C Q
c) Q C Z
e) Q*+ ∩ Z = N
b) Z ∩ I = ǿ
d) {0} C Q
f) Q ∩ R = Q
2- Represente sobre uma reta orientada os números -1, -10/3, 1/10, -3/10, 5/2,
2/5, √6 e -0,333...
Respostas:
1) c,e
2) ----l—-------l----------l---l---l-----—l—-----l----l------>
-10/3
-1
-0,3.0 1/10 2/5
√6 5/2
No livro analisado o autor traz de forma clara e objetiva o conceito de
números reais, mostra a relação entre os conjuntos através de diagramas, porém traz
poucos exercícios.
Conclusão
Concluímos neste trabalho que o livro analisado, bem como a maioria dos
livros adotados no Ensino Médio, possui falhas e conceitos mal elaborados, cabe ao
professor adequar os conceitos do autor com os conceitos dele para garantir uma aula
de boa qualidade.
Exercícios Propostos:
1- Considere os conjuntos A = { x Є N / x é primo e x < 20 } e B = { x . y / x Є A, y
Є A e x ≠ y }. O número de elementos de B é:
a) 14 b) 28
c) 36
d) 56
e) 72
2- O valor de 2/0,666... é:
a) 0,333... b) 1,333... c) 3,333...
d) 3
e) 12
3- O número 5120,555... é:
a) 32 b) 16√2 c) 2
d) √2
e) 5√2
4- Classifique em verdadeiro ou falso e justifique:
a) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
b) O produto de dois números irracionais pode ser racional.
5- Determine A ∩ B e A U B, sendo A = { x Є N / 3 ≤ x ≤ 7 } e B = { x Є N / x ≤ 6 }.
Respostas:
1- B
2- D
3- A
4- a) F, basta tomar dos números irracionais opostos
b) V; √3 Є I e √12 Є I, mas √3 . √12 = √3 . 12 = √36 = 6 Є Q
5- A ∩ B = { x Є N / 3 ≤ x ≤ 6 } e A U B = { x Є N / x ≤ 7 }
Referência Bibliográficas:

Iezzi, G.; Dolce, O.; Degenszajn, D. M. e Périgo, R. Matemática. Volume
único. Editora Atual.

Lima, E. L.; Carvalho, P. C. P.; Wagner, E. e Morgado, A. C. A Matemática
do Ensino Médio. Volume 1. Quinta edição. 2001.

Giovanni, J. R. e Bonjorno, J. R. Matemática.