Propriedades dos Determinantes
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Propriedades dos Determinantes Abaixamento de ordem 1. Complemento algébrico ou cofator: Cofator do elemento aij de uma matriz quadrada A é o número Δij = (─1)i+j∙det Aij, onde Aij é matriz quadrada que se obtém de A, eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna. Propriedades dos Determinantes 2 1 −2 Exemplo: Considere a matriz A= 6 3 2 7 4 . 5 Determine o cofator dos elementos a13 e a32. Propriedades dos Determinantes Abaixamento de ordem 2. Teorema de Laplace: O determinante de qualquer matriz quadrada A de ordem n é igual à soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) pelos respectivos cofatores. Propriedades dos Determinantes Abaixamento de ordem 2. Teorema de Laplace: a11 a12 ⋯ a1n a a ⋯ a 21 22 2n Se A = , então: ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ an1 an2 ⋯ ann det A = a11 ∆11 + a12 ∆12 + ⋯ + a1n ∆1n = a21 ∆21 + a22 ∆22 + ⋯ + a2n ∆2n = a31 ∆ 31 + a32 ∆ 32 + ⋯ + a3n ∆ 3n = ⋯ = an1 ∆ n1 + an2 ∆ n2 + ⋯ + ann ∆ nn ou det A = a11 ∆11 + a21 ∆21 + ⋯ + an1 ∆ n1 = a12 ∆12 + a22 ∆22 + ⋯ + an2 ∆ n2 = a13 ∆13 + a23 ∆23 + ⋯ + an3 ∆ n3 = ⋯ = a1n ∆1n + a2n ∆2n + ⋯ + ann ∆ nn Propriedades dos Determinantes Exemplo 1: Calcule o determinante da matriz 2 1 −2 A= 6 3 4 2 7 5 Propriedades dos Determinantes Exemplo 2: Calcule o determinante da matriz 1 2 − 3 4 −4 2 1 3 B = 0 0 −3 3 2 0 − 2 3 Propriedades dos Determinantes Exemplo 3: Calcule o valor de 1 1 3 1 1 3 3 2 2 5 3 3 1 1 1 1 . Propriedades dos Determinantes Abaixamento de ordem 3. Regra de Chió: A regra de Chió consiste em: a) Suprimir da matriz A a linha e a coluna que contém um elemento a11 = 1. b) subtrair de cada elemento de A o produto dos elementos que se encontram nas extremidades das perpendiculares traçadas desse elemento à linha e à coluna eliminadas. Propriedades dos Determinantes Exemplo 4: Calcule o valor de usando a Regra de Chió. 1 1 3 1 1 3 3 2 2 5 3 3 1 1 1 1 . Propriedades dos Determinantes 2 −3 3 Exemplo 5: Calcule o valor de usando a Regra de Chió. 5 4 6 9 −2 7 5 3 3 9 8 4 5 . Matriz Adjunta Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A matriz adjunta de A é a matriz transposta da matriz formada pelos cofatores de A e, escrevemos: ∆11 ∆ 12 adj A = ⋮ ∆1 n i+ j onde ∆ ij = (−1) det Aij ∆21 ⋯ ∆ n1 ∆22 ⋯ ∆ n2 ⋮ ⋱ ⋮ ∆2n ⋯ ∆ nn Matriz Adjunta 3 −2 1 Exemplo 6: Seja A= 5 6 2 . 1 0 −3 a) Determine adj A. b) Verifique que A∙(adj A) = (adj A)∙A = (det A)∙I3 Matriz Adjunta Teorema 1: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então : A∙(adj A) = (adj A)∙A = (det A)∙In Corolário: Se A é uma matriz quadrada de ordem n e det A ≠ 0, então : 1 A = ⋅ adj A det A −1 Matriz Inversa Teorema 2: Uma matriz A de ordem n é invertível se, e somente se, det A ≠ 0. Teorema 3: Se A e B são matrizes invertíveis, então A∙B é invertível e (A∙B) ─1 = B─1∙A ─1. Matriz Inversa 3 −2 1 Exemplo 7: Determine a inversa de A= 5 6 2 . 1 0 −3 Operações elementares de matrizes Denominam-se operações elementares sobre as linhas de uma matriz as seguintes: a) Permutação de duas linhas; b) Multiplicação de todos os elementos de uma linha por um número real diferente de zero; c) Substituição dos elementos de uma linha pela soma deles com os elementos correspondentes de outra linha previamente multiplicados por um número real diferente de zero. Equivalência de matrizes Dadas as matrizes A e B, de mesma ordem, diz-se que a matriz B é equivalente à matriz A se, for possível transformar A em B por meio de uma sucessão finita de operações elementares e denotamos por A ∼ B. Equivalência de matrizes Se A é uma matriz de ordem m×n, cujas linhas são L1, L2, L3,…,Lm, indicaremos as operações acima com os seguintes símbolos: a) Li ↔ Lj , significa permutar as linhas i e j. b) Li ↔ kLi , significa que a i -ésima foi substituida por ela própria multiplicada pela constante não-nula k. c) Li ↔ Li + kLj , significa que a i -ésima foi substituida por ela mais k vezes a j-ésima linha. Equivalência de matrizes Exemplo 8: Aplique as operações elementares na 2 4 6 matriz A= 3 5 6 de modo a obter uma matriz 4 2 1 identidade. Forma Escada Uma matriz A de ordem m×n, é dita linha reduzida escalonada ou reduzida à forma escada se A = 0 ou satisfaz todas as seguintes condições: 1º) Primeiro elemento não-nulo de cada linha não nulo deve ser igual a 1. 2º) Cada coluna que contém o primeiro elemento não-nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero. Forma Escada Uma matriz A de ordem m×n, é dita linha reduzida escalonada ou reduzida à forma escada se A = 0 ou satisfaz todas as seguintes condições: 3ª) Toda linha nula (se houver) ocorre abaixo de todas as linhas não-nulas. 4ª) O número de zeros que vem antes do primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta a cada linha, até que sobrem somente linhas nulas, se houver. Forma Escada Exemplo 9: 1 0 0 0 a) 0 1 −1 0 0 0 1 0 0 2 1 b) 1 0 −3 0 0 0 não está na forma escada, pois a 2ª condição não está satisfeita não está na forma escada, pois a 1ª e a 4ª condição não estão satisfeitas. Forma Escada 0 1 −3 c) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 não satisfaz a 1ª e nem a 3ª condição −1 2 0 1 −3 0 2 d) 0 0 0 0 0 0 1 2 está na forma escada. 0 0 Forma Escada Teorema: Toda matriz Am×n é linha equivalente a uma única matriz reduzida à forma escada. Definição 1: Dada uma matriz Am×n, seja Bm×n a matriz linha reduzida à forma escada equivalente a A. Chama-se posto de A o número de linhas não nulas da matriz B, que será denotado por p. Definição 2: Chamamos de nulidade (ou graus de liberdade) ao número nA = n ─ p. Forma Escada Exemplo 10: Encontre o posto e a nulidade da matriz 1 0 − 1 1 A= 0 1 0 0 2 0 2. 0 Sistemas Lineares Definição 1: Dados os números reais a11, a12, a13, … ,a1n, b1, chamamos de equação linear nas incógnitas x1, x2, x3, … , xn toda equação do tipo: a11x1 + a12x2 + a13x3 + ∙∙∙ + a1nxn = b1 Exemplo 1: São lineares as equações: a) 13x1 + 4x2 ─ 5x3 ─ 2x4 = 0 b) 0x1 + 0x2 ─ 0x4 = 5 c) 0x1 + 0x2 ─ 0x3 ─ 0x4 = 0 Sistemas Lineares Exemplo 2: Não são lineares as equações: a) 13x2 + 4y ─ 5z = 0 b) 10xy ─ y + z = 5 Definição 2: Dizemos que n-upla ordenada de números reais (α1, α2, α3, … , αn) é uma solução da equação linear a11x1 + a12x2 + a13x3 + ∙∙∙ + a1nxn = b1 Se a11α1 + a12α2 + a13α3 + ∙∙∙ + a1nαn = b1 for uma sentença verdadeira. Sistemas Lineares Exemplo 3: Considere a equação linear 2x1 + 3x2 ─ x3 + x4 = 0. Então: (1, 2, 3, ─ 5) é solução, porém (1, 1, 2, 1) não é solução. Exemplo 4: Considere a equação linear 0x1 + 0x2 ─ 0x3 + 0 x4 = 0. Então qualquer quadra ordenada (α1, α2, α3, α4) é solução. Sistemas Lineares Definição : Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações do tipo: a11 x1 + a12 x2 a x + a x 21 1 22 2 ⋮ ⋮ am1 x1 + am2 x2 + ⋯ + a1n xn = b1 + ⋯ + a2n xn = b2 ⋮ ⋮ + ⋯ + amn xn = bm onde aij são números reais ou (complexos), com 1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n . Sistemas Lineares Definição 3: Uma solução do sistema acima é uma n-upla ordenada de números reais (x1, x2, x3, … , xn) que satisfaça simultaneamente todas as m equações. Definição 4: Dois sistemas de equações de equações lineares são equivalentes se, e somente se, toda solução de qualquer um dos sistemas também for solução do outro. Sistemas Lineares Exemplo 5: Os sistemas abaixo são equivalentes. 3x + 6y = 42 2 x − 4 y = 12 ∼ x + 2y = 14 x − 2y = 6 Ambos admitem a solução x = 10 e y = 2. Definição 5: Um sistema linear é dito homogêneo se, e somente se, b1 = b2 = b3 = ∙∙∙ = bn = 0. Sistemas Lineares Exemplo 6: Os sistemas abaixo são homogêneos. 3 x + 6 y = 0 2 x − 4 y = 0 3 x + 2y + z + t = 0 x − 2y − 3z − 2t = 0 2 x + 4 y − 7z + 3t = 0 4 x − 2z + t = 0 Note que, todo sistema homogêneo tem pelo menos uma solução, chamada solução trivial. (0, 0, 0, 0, … , 0) Sistemas Lineares Considere o sistema linear: a11 x1 + a12 x2 a x + a x 21 1 22 2 ⋮ ⋮ am1 x1 + am2 x2 + ⋯ + + ⋯ + ⋮ a1n xn = b1 a2n xn = b2 ⋮ + ⋯ + amn xn = bm Sejam as matrizes a11 a 21 A= ⋮ am1 a12 a22 ⋮ am2 ⋯ a1n x1 x ⋯ a2n 2 , X= ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ amn xn b1 b 2 e B= ⋮ bm Sistemas Lineares Logo, o sistema linear pode ser escrito na forma matricial: A⋅ X = B onde A é a matriz dos coeficientes, X é a matriz das incógnitas e B é a matriz dos termos independentes. Sistemas Lineares 3x + 6y = 4 Exemplo 6: O sistema linear pode ser 2 x − 4 y = 2 Escrito na forma matricial por: 3 6 x 4 2 −4 ⋅ y = 2 Sistemas Lineares Uma outra matriz que podemos associar ao sistema é: a11 a 21 A= ⋮ am1 a12 a22 ⋮ am2 ⋯ a1n b1 ⋯ a2n b2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ amn bm que é denominada matriz ampliada do sistema. Sistemas Lineares Obtenção de sistemas equivalentes Um sistema de equações lineares se transforma num sistema equivalente quando se efetuam as seguintes operações elementares: a) permutação de duas equações. b) multiplicação de uma equação por um número real diferente de zero. c) substituição de uma equação por uma soma com outra equação previamente multiplicada por um número real diferente de zero. Sistemas Lineares Exemplo 7: Resolva o sistema transformando-o em outro equivalente. 2 x + 4 y − 6 z = 10 4 x + 2y + 2z = 16 2 x + 8y − 4 z = 24 abaixo Sistemas Lineares Considere o sistema linear: a11 x1 + a12 x2 a x + a x 21 1 22 2 ⋮ ⋮ am1 x1 + am2 x2 + ⋯ + + ⋯ + ⋮ a1n xn = b1 a2n xn = b2 ⋮ + ⋯ + amn xn = bm Esse sistema poderá ter: a) uma única solução.(sistema possível e determinado) b) infinitas soluções. (sistema possível e indeterminado) c) Nenhuma solução. (sistema impossível) Sistemas Lineares Teorema: a) Um sistema linear de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se, o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes. (pa = pc) b) Se as duas matrizes tem o mesmo posto p e p=n, a solução será única. (pa = pc = n) c) Se as duas matrizes tem o mesmo posto p e p<n, o sistema possui infinitas soluções e podemos escolher n ─ p incógnitas, e as outras p incógnitas serão dadas em função destas. (pa = pc < n)
