Msc. Merhy Heli Rodrigues Sistemas Lineares b xa xaxa + + +

Universidade Federal de Pelotas
Vetores e Álgebra Linear
Profa: Msc. Merhy Heli Rodrigues
Sistemas Lineares
1. Equação linear
É Toda equação da forma: a1 x1  a2 x2    an xn  b
onde a1 , a2 ,, an são números reais que recebem o nome de coeficientes das incógnitas x1 , x2 , xn e b é
um número real chamado termo independente.
OBS: Quando b = 0, a equação recebe o nome de linear homogênea.
Exemplos:
Equações Lineares
Equações Não-Lineares
1) 3x – 2y + 4z = 7
1) xy 3z + t = 8
2) x + y –3z - 7 t = 0 (homogênea)
2) x 2 - 4y = 3t - 4
3) –2x + 4z = 3t – y + 4
3)
x -y+z=7
2. Sistema Linear
Definição: Um conjunto de equações lineares da forma:
a11 x1  a12 x 2  a13 x3    a1n x n  b1
a x  a x  a x    a x  b
 21 1
22 2
23 3
2n n
2


a m1 x1  a m 2 x 2  a m3 x3    a mn x n  bm
é um sistema linear de m equações e n incógnitas.
2.1 Solução do Sistema Linear
Chamamos de solução do sistema a n-upla de números reais ordenados
simplesmente, solução de todas equações do sistema.
3. Matrizes associadas a um Sistema Linear
3.1 Matriz incompleta
É a matriz A, formada pelos coeficientes da incógnitas do sistema.
Exemplos:
Seja o sistema:
Matriz incompleta:
2 x  3 y  z  0

4 x  y  z  7
 2 x  y  z  4

 2 3  1

1 
A= 4 1

 2 1 1 
r1 , r2 ,, rn  que
é,
3.2 Matriz Completa
É a matriz B, que obtemos ao acrescentarmos à matriz incompleta uma última coluna formada pelos
termos independentes das equações do sistema. Assim a matriz completa referente ao sistema anterior é:
 2 3 - 1 0


B= 4 1 1 7


- 2 1 1 4
4. Sistemas Homogêneos
Um sistema é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos.
Exemplo:
3x  2 y  z  0

 x  4 y  3 z  0

 2 x  3y  4
4.1 Soluções de um Sistema Homogêneo
A n-upla (0, 0, 0, ..., 0) é sempre solução de um sistema linear homogêneo com n incógnitas e recebe o
nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais.
5. Sistemas equivalentes
Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.
Exemplo: Sendo
 x y 3
x  y  3
e S2  
S1  
2 x  3 y  8
x  2 y  5
o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S1 e S 2 são equivalentes: S1 ~ S 2 .
6. Classificação de um sistema linear quanto ao número de soluções
determinad o (solução única)
indetermin ado (infinitas soluções)

possível 

impossível (não tem solução)
7. Sistemas escalonados
Associar o sistema a uma matriz completa, em seguida aplicar o Método de Gauss ou Método de
Gauss Jordan e descobrir a solução do sistema.
Exemplo: Resolver os sistemas de equações lineares pelo método de eliminação de Gauss.
a)
b)
c)
d)
7.1 Discussão de Sistemas
Sejam pa o posto da matriz ampliada, p c o posto da matriz dos coeficientes e n número de colunas da
matriz dos coeficientes ou o número de variáveis, então podemos estudar os tipos de sistemas lineares
analisando o posto da matiz conforme segue:

Sistema Possível: pa=pc
Sistema Possível Determinado: pa=pc=n
Sistema Possível Indeterminado: pa=pc< n

Sistema Impossível: pa pc
1) Encontrar condições para “a” tal que o sistema seja: SPD, SPI e SI
a)
b)
c)