FUVEST/2002 – 2 Fase

Seu pé direito nas melhores faculdades.
FUVEST/2002 – 2a Fase
MATEMÁTICA
01. Carlos, Luís e Sílvio tinham, juntos, 100 mil reais para investir por um ano. Carlos escolheu uma aplicação que rendia 15% ao ano.
Luís, uma que rendia 20% ao ano. Sílvio aplicou metade de seu dinheiro em um fundo que rendia 20% ao ano, investindo a outra
metade numa aplicação de risco, com rendimento anual pós-fixado. Depois de um ano, Carlos e Luís tinham juntos 59 mil reais;
Carlos e Sílvio, 93 mil reais; Luís e Sílvio, 106 mil reais.
a) Quantos reais cada um tinha inicialmente?
b) Qual o rendimento da aplicação de risco?
Resolução:
a) Indicando os montantes finais possuídos por Carlos, Luís e Sílvio por C, L e S, respectivamente, temos:
 C + L = 59 000

 C + S = 93 000
 L + S = 106 000

De onde obtemos:
 C = 23 000

 L = 36 000
 S = 70 000

Indicando os capitais iniciais possuídos por C0, L0 e S0, temos:
 C0 x 1,15 = 23 000

 L0 x 1,2 = 36 000
 C + L + S = 100 000
0
0
 0
⇒ C0 = 20 000
⇒ L0 = 30 000
⇒ S0 = 50 000
Portanto, Carlos tinha 20 mil reais, Luís tinha 30 mil reais e Sílvio tinha 50 mil reais.
b) Sendo i a taxa anual de rendimento pós-fixado, temos, para Sílvio:
R$ 25 000 (x 0,2) → R$ 5 000
R$ 50 000
R$ 25 000 (x i)
→ R$ 25 000 . i
Como seu rendimento total foi de:
(rendimento do fundo pré-fixado)
(rendimento da aplicação de risco)
70 000 – 50 000 = 20 000 ⇒ 5 000 + 25 000
x
i = 20 000
De onde: i = 60%
02. Maria quer cobrir o piso de sua sala com lajotas quadradas, todas com lado de mesma medida inteira, em centímetros. A sala é
retangular, de lados 2m e 5m. Os lados das lajotas devem ser paralelos aos lados da sala, devendo ser utilizadas somente lajotas
inteiras. Quais são os possíveis valores do lado das lajotas?
Resolução:
Como se desejam lajotas quadradas, devemos calcular os divisores comuns entre 200 e 500 (em centímetros).
D (200) = { 1, 2, 4 , 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200 }
D (500) = { 1, 2, 4 , 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250, 500 }
Os possíveis valores dos lados das lajotas são os divisores comuns de 200 e 500, que são: { 1, 2, 4 , 5, 10, 20, 25, 50, 100 }
(em centímetros)
FUV20021E2F
1
2
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03. Um tabuleiro tem 4 linhas e 4 colunas. O objetivo de um jogo é levar uma peça da casa inferior
esquerda (casa (1, 1)) para a casa superior direita (casa (4, 4)), sendo que esta peça deve mover-se,
de cada vez, para a casa imediatamente acima ou imediatamente à direita. Se apenas uma destas
casas existir, a peça irá mover-se necessariamente para ela. Por exemplo, dois caminhos possíveis
para completar o trajeto são (1, 1) → (1, 2) → (2, 2) → (2, 3) → (3, 3) → (3, 4) → (4, 4) e (1, 1) →
(2, 1) → (2, 2) → (3, 2) → (4, 2) → (4, 3) → (4, 4).
4
3
2
1
a) Por quantos caminhos distintos pode-se completar esse trajeto?
b) Suponha que o caminho a ser percorrido seja escolhido da seguinte forma: sempre que houver
2
4
1
3
duas opções de movimento, lança-se uma moeda não viciada; se der cara, a peça move-se para
a casa à direita e se der coroa, ela se move para a casa acima. Desta forma, cada caminho contado no item a) terá uma certa
probabilidade de ser percorrido. Descreva os caminhos que têm maior probabilidade de serem percorridos e calcule essa
probabilidade.
Resolução:
a) De acordo com as restrições do problema, para chegar à casa (4, 4) partindo da casa (1, 1), a peça deve realizar seis
movimentos (3 para a direita e 3 para cima, independentemente da ordem).
Por exemplo: CCCDDD, CDCDCD e DDCDCC são caminhos possíveis.
Assim, aplicando a expressão de permutação com repetição de elementos, temos P63,3 =
6!
= 20 caminhos distintos.
3! 3!
b) Inicialmente, calculando as probabilidades associadas a alguns caminhos, temos:
I.
III.
1 1 1
1
P= . . .1.1.1=
2 2 2
8
P=
1 1 1 1
1
. . . .1.1=
2 2 2 2
16
P=
1 1 1 1 1
1
. . . . .1=
2 2 2 2 2
32
IV.
Para os três primeiros passos, a chance de ir para
cima é 1/2 e para os três passos finais é 1 (não há
outra opção que não “direita” a partir do 4o passo).
II.
1 1 1
1
. . .1.1.1=
2 2 2
8
Da mesma forma, não há outra opção que não “cima”
a partir do 4o passo.
P=
FUV20021E2F
Ou seja, quanto mais “torto” (menos “direito”) o
caminho, menor a probabilidade associada a ele.
Finalmente, os caminhos de maior probabilidade são:
(1, 1) → (1, 2) → (1, 3) → (1, 4) → (2, 4) → (3, 4) → (4, 4)
e (1, 1) → (2, 1) → (3, 1) → (4, 1) → (4, 2) → (4, 3) → (4, 4),
1
cada um com uma chance de P =
de acontecer.
8
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3
04. Sejam A = (0, 0), B = (8, 0) e C = (–1, 3) os vértices de um triângulo e D = (u, v) um ponto do segmento BC . Sejam E o ponto
de intersecção de AB com a reta que passa por D e é paralela ao eixo dos y e F o ponto de intersecção de AC com a reta que
passa por D e é paralela ao eixo dos x.
a) Determine, em função de u, a área do quadrilátero AEDF.
b) Determine o valor de u para o qual a área do quadrilátero AEDF é máxima.
Resolução:
C (–1, 3)
3
0<u<8
B
D (u, v)
F (a, v)
A (0, 0)
–1
a
E (u, 0)
B (8, 0)
b
r
–1 < a < 0
S
x
a) ( r )
y 1
−1 3 1 = 0 ⇒ 3x + 8y – 24 + y = 0 → x + 3y – 8 = 0
8
0 1
8–u
D ∈ ( r ) ⇒ u + 3v – 8 = 0 ⇒ v =
3
x
(s)
b
= −
u = xV = –
2a
128
64
54
= +
17
 17 
2 . − 
54


y 1
−1 3 1
0
b) A área é máxima no vértice da parábola, onde:
= 0 ⇒ 3x + y = 0
0 1
F ∈ ( s ) ⇒ 3a + v = 0 ⇒ a = –
u−8
v
=
9
3
O quadrilátero é um trapézio de área:
AQ =
(B + b) . h
8u + 8
8–u
, onde: b = u, B = u – a =
e h=v=
2
9
3
 8u + 8
 8–u
2
 9 + u . 3
– 17 u + 128u + 64


=
∴ AQ =
2
54
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05. As raízes do polinômio p(x) = x3 – 3x2 + m, onde m é um número real, estão em progressão aritmética. Determine:
a) o valor de m;
b) as raízes desse polinômio.
Resolução:
a) As raízes de p (x) = x3 – 3x2 + m são da forma α – r, α e α + r .
Portanto: α – r + α + α + r = 3 ∴ α = 1
P (1) = 0 ⇔ 1 – 3 + m = 0 ∴ m = 2
b) 1
1
–3
0
1
–2
–2
2
0 ⇒ P (x) = (x – 1) (x2 – 2x – 2) = 0
x2 – 2x – 2 = 0, onde x = 1 ±
Para as demais raízes, temos:
{
S = 1; 1 +
3; 1 –
3
3.
}
06. O triângulo retângulo ABC, cujos catetos AC e AB medem 1 e
3 , respectivamente, é
C
dobrado de tal forma que o vértice C coincida com o ponto D do lado AB . Seja MN o
ˆ é reto, determine
segmento ao longo do qual ocorreu a dobra. Sabendo que NDB
N
M
a) o comprimento dos segmentos CN e CM ;
b) a área do triângulo CMN.
A
D
B
Resolução:
∆MCN ≡ ∆MDN
tg Ĉ =
sen 30º =
O comprimento dos segmentos CM = CN é
x
60º
2
N
y
1
2
.
3
M
1–y
A
2–x
x
y
60º
30º(
(
x
1
2
= ∴ x=
2−x 2
3
1− y 1
2
No triângulo ADM sen 30º =
= ∴ y=
2
y
3
a) No triângulo DBN:
C
3
∴ Ĉ = 60º e B̂ = 30º
1
)
No triângulo ABC:
30º(
D
B
3
2
2
3 . 3
3
2
 
b) O ∆CMN é eqüilátero de lado . Logo, A =
=
9
4
3
A área do triângulo CMN é A =
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3
.
9
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07. Determine as soluções da equação (2 cos2 x + 3 sen x) (cos2 x – sen2 x) = 0 que estão no intervalo [0, 2π].
Resolução:
Se (2 cos2 x + 3 sen x) . (cos2 x – sen2 x) = 0
Então: 2 cos2 x + 3 sen x = 0
(I) ou
cos2 x – sen2 x = 0
(II)
Equação (I): 2 cos2 x + 3 sen x = 0
Como cos2 x = 1 – sen2x, vem: 2 (1 – sen2 x) + 3 sen x = 0 ou 2 sen2 x – 3 sen x – 2 = 0
Daí: sen x = 2 (não convém) ou sen x = −
1
2
Com soluções no intervalo [0; 2π], temos:
x=
7π
6
x=
11π
6
Equação (II): cos2 x – sen2 x = 0
⇒
cos2 x = sen2 x
ou tg2 x = 1 ∴ tg x = ±1
Com soluções no intervalo [0; 2π], temos:
x=
π
4
x=
3π
4
x=
5π
4
x=
7π
4
 π 3π 5π 7π 7π 11π 
;
;
;
;
Logo, o conjunto-solução da equação dada é: S =  ;
4
4
6
6 
4 4
08. Na figura abaixo, as circunferências C1 e C2, de centros O1 e O2, respectivamente, se interceptam nos pontos P e Q. A reta r é
tangente a C1 e C2; a reta s passa por O1 e O2 e β é o ângulo agudo entre r e s. Sabendo que o raio de C1 é 4, o de C2 é 3 e que
sen β =
1
, calcule:
5
C1
s
P
a) a área do quadrilátero O1QO2P;
b) sen α , onde α = QÔ2P.
Resolução:
α O2
O1
β
Q
r
C1
C2
P
O2
O1
4
3
Q
T1
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C2
β
T2
A
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6
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a) Temos que o sen β =
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1
1
3
. Então no ∆O2T2A: sen β =
=
⇒ O2A = 15
5
O2A 5
1
4
no ∆O1T1A: sen β =
=
⇒ O1A = 20
O1A 5


 ∴ O1O 2 = 20 – 15 = 5


Como ∆PO1O2 é retângulo em P, (Teorema de Pitágoras: 32 + 42 = 52),
3.4
∴ S = 12
a área do quadrilátero O1PO2Q é S = 2
2
b) Redesenhando apenas o quadrilátero em estudo, temos:
P
4
sen
Portanto:
sen α = 2 sen
3
O1
5
α /2
α /2
4
α 4
α 3
=
e cos
=
2 5
2 5
Temos que
O2
3
α
α
cos
2
2
⇒
sen α = 2 .
4 3
.
5 5
⇒
sen α =
24
25
Q
09. Um bloco retangular (isto é, um paralelepípedo reto-retângulo) de base quadrada de lado 4cm e
2
altura 20 3 cm , com de seu volume cheio de água, está inclinado sobre uma das arestas da
3
base, formando um ângulo de 30º com o solo (ver seção lateral ao lado). Determine a altura h do
4
20 3
nível da água em relação ao solo.
h
Resolução:
30º
x
Calculando o volume do bloco retangular temos,
20 3
4
30º
x
h
20
3−
x
V = 20 3 . 4 . 4 ⇒ V = 320 3 . cm3
4
y
60º
30º
V
 [ x + (x + y) ] . 4 
O volume sem água do bloco  3  , é igual ao volume do prisma trapezoidal: 
 .4
2
 


Como tg 30º =
y
4 3
⇒ y=
4
3

4 3
 2x +
.4

3 
320 3


=
.4
3
2
⇒
x = 6 3 cm.
14 3
3
h
h
h
Portanto, sen 60º =
=
=
−
x
=
−
6
3
2
14 3
20 3
20 3
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⇒
h
h = 21 cm
)60º
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10. São dados os pontos A e M e a reta s. Sabe-se que o ponto A é vértice de um paralelogramo ABCD; o lado AB está na reta s;
M é o ponto médio do lado BC e o ângulo CÂB tem medida 30º. Usando régua e compasso, construa esse paralelogramo.
Descreva e justifique sua construção.
M
Resolução:
s
A
I. Traça-se a reta t passando por A e formando 30º com a reta s.
t
M
A
30º
s
II. Traça-se a reta r//s por M, obtendo-se antes R e R’, pois MR ≡ AR ' e AR ≡ MR ' .
t
C
R’
O
r//s
M
A
s
R
III. Sendo O o encontro de r e t, determina-se o ponto C tal que O é o ponto médio de AC .
C
t
O
r//s
M
A
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s
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IV. Sendo M o ponto médio de BC , e B pertencente a s, temos:
t
C
O
r
M
A
s
B
V. Determina-se o ponto D tal que O é ponto médio de BD .
t
D
C
O
r
M
s
B
A
Justificativa: as diagonais do paralelogramo se encontram no ponto médio.
C
D
O
r
M
A
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B
s
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COMENTÁRIO
Os professores de Matemática consideraram a prova de excelente nível quanto à dificuldade das questões, quanto à clareza dos
enunciados e quanto à cobertura do programa estabelecido. Sem dúvida, tratou-se de uma prova que contemplou os alunos bem
preparados.
DISTRIBUIÇÃO
Polinômios e
Equações Algébricas
10%
Construção
Geométrica
10%
Análise
Combinatória
5%
Probabilidades
5%
Geometria Métrica
10%
Geometria Plana
15%
Geometria Analítica
5%
Funções de 2 o Grau
5%
Trigomometria
15%
Aritmética
10%
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Porcentagem
5%
Sistemas
5%
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