Corrente Alternada - sistemas polifásicos

Man u el V az Gu ed es
C o rre n te A lte rn ad a
SIST EMA S
POLIFÁ SICOS
Núc l e o de E s tudos de M á qui na s E l é c tr i c a s
F a cu ld a d e d e E n g e n h a r i a d a U n i v e r s i d a d e d o P o r t o
1993
Núcleo de Estudos de
MÁQUINAS ELÉCTRICAS
C o r r e n te A lte r n a d a
SIST EM A S P O L IF Á SIC O S
M a nue l V a z G ue de s
(Prof.
N úc l e o de
Associado com Agregação)
E s tu d o s
de
M á qui na s
E l é c tr i c a s
FACULDADE de ENGENHARIA da UNIVERSIDADE do PORTO
Í nd i c e
1.
G r a n de z as P e r i ó di c a s
2.
G r a n de z as E l é c t r i c a s Al t e r n ad as S i n u s o i d ai s
2.1
Representação das Grandezas Alternadas Sinusoidais
2.1.1
Representação Matemática
2.1.2
Representação Fasorial
2.1.3
Representação Simbólica
2.1.4
O Método Simbólico
2.2
Grandezas Alternadas Sinusoidais com a Mesma Frequência
2.3
Grandezas Eléctricas Alternadas Sinusoidais
2.4
Exemplo de Aplicação
3.
S i st ema s P ol i fá si c os
3.1
Grandezas Alternadas Sinusoidais Polifásicas
3.2
Sistema Trifásico Simétrico
3.3
Sistema Difásico
3.4
Sistema Hexafásico
B i b l i o g r af i a
A
Representação das Grandezas Alternadas Sinusoidais (resumo )
B
Símbolos para Grandezas e Unidades
pp. 2÷35
≈
Texto de apoio para as disciplinas de Máquinas Eléctricas
≈
Núcleo de Estudos de
MÁQUINAS ELÉCTRICAS
Co rre nt e A l t e rnada
SIST EMA S POLIFÁ SICOS
Ma nue l Va z G ue de s
(Prof.
Núc le o
de
Associado com Agregação)
E s t udos
de
Má quina s
E lé c t ric a s
FACULDADE de ENGENHARIA da UNIVERSIDADE do PORTO
Na distribuição de energia eléctrica utiliza-se preferencialmente a corrente alternada
sinusoidal. A principal razão para essa preferência deve-se à possibilidade de facilmente se
alterar o valor da tensão alternada, elevando-o ou baixando-o, através de transformadores.
Existem outras vantagens na utilização da corrente alternada mas a possibilidade de
ser transportada a longas distâncias, de uma forma eficiente e económica, faz com que os
diversos sistemas produtores de energia eléctrica sejam dotados com máquinas eléctricas
geradoras de corrente alternada (alternadores ). Nos casos em que é aconselhável utilizar
geradores de corrente contínua (dínamos), podem usar-se aparelhos electrónicos de potência
para conversão da corrente contínua em corrente alternada (inversores), antes de promover o
transporte ou a utilização da energia eléctrica.
g1
g
0
g2
g3
T
2T
3T
t
Mas, para algumas aplicações da corrente alternada existe a necessidade de utilizar
≈
Texto de apoio para as disciplinas de Máquinas Eléctricas
≈
C o r r e n te
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~ 3 ~
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sistemas polifásicos de corrente alternada. Isso sucede quando se pretende fornecer a uma
carga uma potência constante, ou quando se pretende obter um campo girante de forças
magnetomotrizes, ou, ainda, quando se pretende obter uma forma de onda rectificada com
uma pequena ondulação (“ ripple” ). Se todas estas vantagens justificam a utilização de sistemas
polifásicos de corrente alternada, já a preferência dada ao sistema trifásico é justificada pela
possibilidade de se efectuar o transporte de energia eléctrica com apenas 3/4 do peso de cobre
que o transporte da mesma energia, à mesma distância, com a mesma tensão, e com o mesmas
perdas requereria, se fosse efectuada em corrente alternada monofásica; além de ser
vantajoso para a criação de uma campo de força magnetomotriz girante, necessário ao
funcionamento do motor de indução.
1.
Gr and e z as P e r i ó d i c as
Nos sistemas eléctricos existem grandezas físicas que mantêm o mesmo valor apesar
da variação do tempo — são as grandezas constantes; e existem grandezas com um valor que
varia ao longo do tempo — são as grandezas variáveis.
De entre as grandezas variáveis, existem algumas que retomam as mesmas
características ao fim de um intervalo de tempo constante — são as grandezas periódicas.
T
2T
3T
4T
5T
t
Fig. 1 - Grandeza periódica
O intervalo de tempo T, ao fim do qual uma grandeza física retoma as mesmas
características, chama-se período. Assim, g(t) = g(t + T) = …= g(t + nT). A unidade em que se
exprime o período é o segundo, [s].
Ao número de vezes em que a grandeza eléctrica retoma as mesmas características
durante um segundo chama-se frequência. Trata-se de um valor que traduz o número de
períodos que ocorrem durante um segundo. Para determinar esse valor divide-se a unidade
pela duração de um período, f =1/T . A unidade em que a frequência se exprime é o hertz, [Hz].
Uma das características de uma grandeza periódica é o seu valor médio, que se define,
T
no domínio do tempo, como: Ga = (1/T)·⌠
⌡ g(t) dt .
0
É através do valor médio que se pode caracterizar uma grandeza periódica.
Gr a ndeza per i ódi ca a l t er na da pur a — é uma grandeza periódica com valor
médio nulo, Ga = 0.
Gr a ndeza per i ódi ca pul sa t ór i a — é uma grandeza periódica com valor médio
diferente de zero, Ga ≠ 0.
Entre as grandezas periódicas pulsatórias salientam-se, também, as grandezas
© Manuel Vaz Guedes, 1993
N EM E
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periódicas onduladas.
Gr a ndeza per i ódi ca ondul a da — é uma grandeza pulsatória que tem sempre o
mesmo sinal.
Entre as diversas grandezas físicas periódicas têm grande importância as grandezas
eléctricas alternadas puras. Trata-se de grandezas que assumem o mesmo valor, mas com o
sinal contrário, ao fim de cada semi-período (T/2 ), g(t) + g(t + T/2) = 0.
g
0
t
Fig. 2 - Grandeza periódica alternada pura
Devido ao princípio de funcionamento dos geradores de corrente alternada as
grandezas eléctricas são sinusoidais, isto é, essas grandezas têm uma variação no tempo dada
pela expressão,
g(t) = Gm ·sen(ωt + ϕ)
2.
Gr and e z as E l é c t r i c as Al t e r nad as Si nuso i d ai s
Devido às suas características, a forma de onda das grandezas eléctricas alternadas
que melhor resultados apresentou, ao longo da história da energia eléctrica, foi a sinusoide.
Essa forma de onda exprime-se, sobre uma forma analítica, como
g = Gm·sen(ωt + ϕ)
(1)
Nesta expressão há a considerar os seguintes valores:
g—
valor instantâneo - valor assumido pela grandeza em cada momento.
(Representa–se por uma letra minúscula).
Gm —
valor máximo ou amplitude - ou valor de pico – é o maior valor assumido pela
função durante um semi-período. (Representa-se por uma letra maiúscula com o
índice m ou por uma letra maiúscula acentuada com um til, Ñ).
ωt + ϕ —
ângulo de fase - costuma dizer-se simplesmente fase. É um ângulo e
exprime-se em radianos, [rad]
ω—
pulsação - é uma velocidade angular, que se exprime em radianos por segundo,
[rad/s]. Verifica-se que ω = 2π f .
ϕ — esfasamento - é o valor do ângulo de fase na origem do tempo. Pode tomar um
valor positivo (avanço de fase ) ou negativo (atraso de fase ). Também se exprime
em radianos, [rad]
Note-se que a função y = Ym ·cos(ωt + ϕ) tem, evidentemente, a forma sinusoidal,
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porque: y = Ym ·cos(ωt + ϕ) = Ym ·sen(ωt + ϕ + π/2 ).
Para as grandezas alternadas sinusoidais ainda há que salientar os seguintes
aspectos, representados na figura 3.
Alternância — conjunto de valores assumidos pela grandeza eléctrica num mesmo
sentido.
Ciclo — conjunto de uma alternância positiva e de uma alternância negativa.
0
T/2
T
t
0
T/2
Alternância
T
t
Ciclo
Fig. 3 - Alternância e ciclo de uma grandeza sinusoidal
No estudo das grandezas alternadas
importantes.
sinusoidais
definem-se
alguns
valores
T
Valor Médio — Ga = (1/T)·⌠
⌡0 g(t) dt — é um valor nulo para um número inteiro de
períodos, porque as duas alternâncias da grandeza sinusoidal são iguais.
T
Valor Eficaz (ou valor médio quadrático ) — G = Gef =
(1/T)·⌠
⌡ g2 (t) dt — é um valor que,
0
no caso da corrente eléctrica, é igual à intensidade da corrente contínua que no
mesmo intervalo de tempo, e na mesmas condições, liberta, por efeito Joule, a mesma
quantidade de calor, numa mesma resistência eléctrica. Para uma corrente alternada
sinusoidal determina-se
G = Gef = (1/ 2 )·Gm. Assim, as grandezas alternadas
sinusoidais podem ser escritas na forma da expressão (2) .
g=
2 G·sen(ωt + ϕ)
(2)
T
Valor Médio Absoluto (ou valor médio rectificado) — Gr = (1/T)·⌠
⌡ |g(t)| dt — verifica-se
0
que para uma grandeza alternada sinusoidal é: Gr = (2/π)·Gm .
Quando não se caracteriza o valor de uma grandeza alternada sinusoidal, deve-se considerar
que é um valor eficaz. Este é o valor lido nos aparelhos de medida usuais, que são utilizados na
prática corrente.
Como valores característicos de uma grandeza alternada sinusoidal, ainda se
determinam os seguintes factores:
F a ct or d e F or ma (F F )— é a razão entre o valor eficaz (ou valor médio quadrático) e o
valor médio absoluto da grandeza.
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T
FF =
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T
1 · g2(t) dt
T 0
1·
g(t) dt
T 0
Para uma grandeza alternada sinusoidal tem o valor: FF = 1,11.
F a ct or d e Pi co (ou factor de vértice) — é a razão entre o valor máximo da grandeza e o
seu valor eficaz (ou valor médio quadrático).
Factor de Pico =
Gmax
T
1 · g2(t) dt
T 0
Para uma grandeza alternada sinusoidal tem o valor: factor de pico =
2 = 1,41.
2 .1 . R e p r e se nt aç ão d as Gr and e z as Al t e r nad as Si nuso i d ai s
No estudo das grandezas alternadas sinusoidais torna-se importante representar
essas grandezas. Existem vários métodos de representação das grandezas sinusoidais, e a sua
utilização depende, fundamentalmente, do tipo de estudo que se está a efectuar, e dos meios de
cálculo disponíveis. Por isso, o método fasorial de representação de grandezas sinusoidais
teve já uma época de grande utilização e hoje apenas serve de auxiliar à aplicação de outros
métodos, enquanto que o método simbólico é o que melhor se adapta à utilização dos
modernos meios digitais de cálculo numérico.
Vão ser estudados, seguidamente, os diferentes métodos de representação das
grandezas sinusoidais, que se encontram apresentados, resumidamente, no apêndice A.
2.1.1 Repr esen t a çã o M a t em á t i ca
Uma grandeza com variação sinusoidal no
tempo pode ser representada pela respectiva função
matemática — seno ou cosseno. É este o tipo de
representação que habitualmente se utiliza para
caracterizar o valor instantâneo de uma grandeza
alternada sinusoidal:
g = 2 ·G·cos(ωt + ϕ)
,
Acompanhando esta representação da grandeza pode
estar um oscilograma da função.
g
0
t
0
T/2
T
3T/2
Exemplo_2.1.1–1 — Num circuito eléctrico monofásico a
tensão eléctrica de alimentação tem por expressão u =
2 ·220·cos(ωt) V, enquanto que a corrente
eléctrica absorvida pelo circuito tem por expressão i = 2 ·50·cos(ωt + ϕ) A. Pode-se determinar a
expressão da potência eléctrica instantânea p = u·i, recorrendo às regras da Álgebra e da Trigonometria
{cosα·cosß = (1/2)·(cos (α–ß) + cos(α+ß))}.
p = u·i = ( 2 ·220·cos(ωt))·( 2 ·50·cos(ωt + ϕ)) = 22 000·(cos(ωt)·cos(ωt + ϕ)) =
= 22 000·((1/2)·(cos(ϕ) + cos(2ωt + ϕ)) = 11 000(cos(ϕ) + cos(2ωt + ϕ)) W
A potência instantânea fornecida ao circuito é pulsatória, com uma frequência dupla da frequência da
rede de alimentação 11 0 00·cos(2·(2πf)t + ϕ), em torno de um valor constante 11 000·cos( ϕ).
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2.2.2 Repr esen t a çã o F a so r i a l
Nos estudos dos sistemas eléctricos de corrente alternada sinusoidal utiliza-se,
frequentemente, como um auxiliar de cálculo ou para melhorar a compreensão dos
fenómenos em estudo, um método gráfico de representação de uma grandeza sinusoidal.
ro
ta
çã
o
g = G·sen(θ)
Se num sistema de eixos ortogonais se considerar um
segmento orientado de recta que tem uma extremidade no centro
do referencial, tem um comprimento constante G, e forma um
determinado ângulo θ com o eixo das abcissas, colocado em
posição horizontal, e se considerar que esse segmento de recta roda
com uma velocidade angular tal que θ = ωt + ϕ, então a projecção
desse segmento sobre o eixo das ordenadas, quando multiplicada por
instantâneo de uma grandeza sinusoidal: g =
2 ·G·sen(θ) =
G
θ = ωt + ϕ
2 , é igual ao valor
2 ·G·sen(ωt + ϕ).
Outra qualquer grandeza alternada sinusoidal, com a mesma frequência f, e,
portanto, com a mesma pulsação ω, poderia ser representada por outro segmento de recta,
esfasado do primeiro de um ângulo igual à diferença dos ângulos de fase entre os dois
segmentos de recta e rodando, também, com a velocidade angular ω.
Desta forma, as duas grandezas, e a sua interrelação,
poderia ser representada apenas pelos dois segmentos de recta, nas
posições correspondentes a t = 0. E, sem a representação dos eixos de
referência. Surge, assim, uma forma geométrica de representar
grandezas alternadas sinusoidais com a mesma frequência: a
representação fasorial.
G2
ψ = ωt + φ
G1
θ = ωt + ϕ
A representação fasorial, a cada grandeza alternada sinusoidal, faz corresponder um
fasor, representação geométrica polar caracterizada por um módulo igual ao valor eficaz da
grandeza |G| = G, a uma dada escala, e uma direcção relativamente a um eixo, ou um
argumento (arg), igual ao ângulo de fase /G = arg( G) = θ = ωt + ϕ, medido no sentido
trigonométrico.
Conforme o tipo de grandeza alternada sinusoidal, assim o valor instantâneo da
grandeza obtém-se multiplicando por 2 a projecção do fasor sobre o eixo da origem dos
ângulos, para uma variação em cosseno g = 2 ·G·cos( θ), ou sobre o outro eixo, se a variação for
em seno g = 2 ·G·sen(θ), atendendo sempre à escala de desenho dos segmentos de recta.
Estando as grandezas representadas graficamente por fasores, as diferentes
operações aritméticas sobre as grandezas alternadas sinusoidais traduzem-se por operações
geométricas sobre os fasores representativos das diferentes grandezas.
Exemplo_2.1.2–1 — Uma máquina eléctrica monofásica está alimentada por uma tensão alternada
sinusoidal de 220 V, e absorve uma corrente eléctrica de 30 A com um esfasamento em atraso
relativamente à tensão de π/6 rad. A representação desta situação pode ser feita por fasores, desde
que: a marcação dos ângulos obedeça ao critério trigonométrico quanto ao sentido; se considere que o
fasor da tensão coincide com a representação do eixo da origem das fases; e se estabeleça uma escala
adequada de representação: 110 V ÷ 5 cm; 30 A ÷ 3 cm.
u(t) =
© Manuel Vaz Guedes, 1993
2 ·220·cos(ωt) V
i(t) =
2 ·30·sen(ωt–(π/6)) A
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U
π/6
I
Esta representação fasorial, para além de uma possível determinação do valor instantâneo da tensão ou
do valor instantâneo da corrente eléctrica, teria pouca utilidade!…
É de notar que, no mesmo diagrama fasorial, só estão representadas grandezas
alternadas sinusoidais com a mesma frequência, e que não é necessário dar aos fasores uma
origem comum; basta que conservem os seus elementos característicos: o módulo e o
argumento.
Como a representação geométrica de um número complexo G = a + j b, também pode
ser feita por um segmento de recta com uma determinada amplitude |G| = a2 + b2 , e com um
determinado argumento arg( G) = / G = arctg(b/a ), no estudo das grandezas alternadas
sinusoidais aparece, frequentemente, a associação da representação fasorial e da
representação simbólica.
2.1.3 Repr esen t a çã o S i m bó l i ca
Na representação simbólica as grandezas alternadas sinusoidais são representadas
por números complexos. Um numero complexo G é formado por uma parte real a, e por uma
parte imaginária b, que é afectada pelo operador j =
G* = a – jb.
–1 , assim: G = a + j b, e o seu conjugado é
O operador j = –1 é caracterizado por promover uma rotação de π/2 rad no sentido
directo, ou trigonométrico, ou em avanço, quando é aplicado a um fasor, j b ≡ b / 90°.
Verifica-se que o operador j tem as seguintes propriedades: j2 = –1, j3 = –j, j4 = 1.
Baseado no teorema de Euler, ejß = exp(jß) = cos ß + j sen ß, que é uma propriedade da
função exponencial no domínio complexo, é possível representar uma grandeza alternada
sinusoidal por um número complexo.
G = G·ej θ = G·exp(jθ) = G·cos θ + j G· sen θ = a + j b
Atendendo à correspondência expressa na equação anterior,
verifica-se que:
a = G ·cos θ
e
G = a + jb
Im
b
G
b = G ·sen θ
θ = ωt + ϕ
Atendendo à figura, também se verifica que:
θ = arctg (b/a)
e
|G| =
a
Re
( a2 + b2 )
Assim, o valor instantâneo de uma grandeza alternada sinusoidal obtém-se,
tomando o produto por 2 da parte real (Re) do fasor alternado, G·exp(j(ωt + ϕ)), quando a
variação da grandeza é em cosseno.
g(t) = 2 ·G·cos(ωt + ϕ) =
=
=
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2 ·Re(G·exp(j(ωt + ϕ)) =
2 ·Re(G·exp(j(ωt))·exp(j ϕ)) =
2 ·Re(G·exp(j ϕ)·exp(j(ωt))) =
2 ·Re[ G·exp(j(ωt))]
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Desta forma, a grandeza com variação sinusoidal no tempo g(t) é expressa pelo f aso r G,
definido como G = G·exp(j ϕ), que é uma grandeza escalar constante (e é representado por uma
letra maiúscula sublinhada).
A representação geométrica do fasor exp(j(ω t)), é um fasor de amplitude unitária,
|exp(j( ωt))| = 1 , que gira com uma velocidade angular igual à pulsação ω: é um f aso r gi r an t e.
Quando é multiplicado por um fasor, G = G·exp(j ϕ), provoca-lhe um acréscimo uniforme, com o
tempo, do ângulo de fase.
O lugar geométrico dos pontos ocupados pelo extremo do
fasor unitário girante exp(j(ωt)), ao longo do tempo t, está
sobre uma circunferência.
Im
t)
(jw
p
ex
Re
O fasor alternado G ·exp(j(ωt)) é um fasor girante,
com o sentido de rotação definido pelo sinal do argumento
da função exponencial. Um sinal positivo, (+ ωt), implica
uma rotação com velocidade angular ω (rad/s), no sentido
directo, ou trigonométrico. O ângulo de esfasamento ϕ,
traduz o valor do argumento (arg) do fasor, G = |G| / ϕ , no
instante inicial, t = 0.
Como os fasores representativos de todas as grandezas sinusoidais com a mesma
frequência, que entram na caracterização de um circuito eléctrico, estão multiplicados por
exp(j(ωt)), pode-se simplificar a notação representando a grandeza alternada sinusoidal pelo
fasor G = G·exp(j ϕ), que corresponde ao instante inicial t = 0; é o fasor inicial da grandeza.
Exemplo_2.1.3–1 — Um circuito eléctrico linear é percorrido por uma corrente sinusoidal com a
intensidade de 25 A (valor eficaz), esfasada de π/7 rad sobre uma tensão sinusoidal com um valor (eficaz)
de 380 V; ambas as grandezas têm a frequência de 50 Hz.
Os fasores representativos destas grandezas são:
O fasor da tensão (≡ origem das fases) — U = 380·exp(0) = 380 + j 0 V.
O fasor da corrente eléctrica — I = 25·exp(j (π/7)) = 22,524 + j 10,847 A
O valor instantâneo destas grandezas é dado por:
u(t) =
2 ·Re(U·exp(jωt)) =
i(t) =
2 ·Re(I·exp(jωt)) =
2 ·Re((380·exp(j0))·exp(j314 t)) V
2 ·Re((25·exp(jπ/7))·exp(j314 t)) A
2.1.4 O M ét o do S i m bó l i co
A representação por um número complexo de uma grandeza com variação sinusoidal
no tempo pode ser estendida a grandezas que têm uma variação sinusoidal no espaço; como é o
caso da distribuição da força magnetomotriz no espaço do entreferro de uma máquina
eléctrica.
Quando a posição de um ponto no espaço é dada pelo ângulo (eléctrico) α, é:
f(α) = F·cos(α – αo ) =
= Re[F·cos(α – αo ) + j sen(α – αo )] = Re[F·exp(j(α – αo ))] =
= Re[F·exp(j(α)·exp(– j α o ))] = Re[ f ·r *(α)]
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Assim, a grandeza f(α) é expressa pelo fasor espacial f , definido como f = F·exp(j α o ). É uma
grandeza com medida F e ângulo de direcção, ou simplesmente direcção, α o . O fasor unitário
r (α), multiplicado pelo fasor espacial f , promove uma rotação de um ângulo α, a somar ao
ângulo de direcção αo do fasor espacial.
Im
Im
α
f
αo
Re
f( α )
0
α
r
Re
O estudo de sistemas electromecânicos, com fenómenos físicos dependentes do
próprio movimento do sistema, pode ser feito através dos bicomplexos, que servem para
representar grandezas com variação sinusoidal no tempo e no espaço; essas grandezas são
representadas pelo bi f aso r , b = B·exp(j (ωt + ϕ))·exp(j (α – αo )), 1.
Existe, também, uma outra representação complexa para as grandezas que são
solução de problemas, em regime permanente e em regime transitório, dos circuitos eléctricos.
Nesse tipo de representação, considera-se que as grandezas eléctricas associadas a um
circuito, em qualquer regime, têm uma forma geral correspondente a uma variação sinusoidal
amortecida,
a(t) =
2 ·A·exp(– λt)·cos(ωt + ϕ) =
=
2 ·Re(A·exp(– λt)·exp(j (ωt + ϕ))) =
=
2 ·Re(A·exp(j ϕ)·exp(j ωt – λt))) =
=
2 ·Re(A ·exp(δ t))
com
2 ·Re(A·exp(j (ωt + ϕ) – λt))) =
δ= j ω – λ
Desta forma, uma grandeza sinusoidal amortecida, que é a expressão geral do
comportamento, em regime permanente e em regime transitório, duma grandeza física
característica, é representada por um f aso r espi r al a = A ·exp(δt),
com δ = j ω – λ, e
A = A·exp(j ϕ).
Para λ = 0 o fasor espiral a transforma-se num fasor temporal alternado, A ·exp(j ωt).
Para t = 0 o fasor espiral a representa o fasor A = A·exp(j ϕ).
Para ω = 0 o fasor espiral a representa uma grandeza contínua amortecida,
Para λ = 0 e ω = 0 o fasor espiral a representa uma grandeza contínua
2 ·A·exp(–λt).
2 ·A.
Por isso, o fasor espiral pode representar todo o tipo de variação da grandeza física
característica a(t).
1
Manuel Corrêa de Barros; “Método Simbólico para Estudo das Máquinas de Corrente
Alternada”, Porto, 1947
© Manuel Vaz Guedes, 1993
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A representação gráfica, no plano de Gauss,
do lugar geométrico dos pontos ocupados pela
extremidade do fasor a com a variação do tempo é
uma espiral.
Im
t=0
Quando λ = 0 o lugar geométrico é uma
circunferência correspondente ao fasor girante,
A ·exp(j ωt).
Re
A necessidade de estudar o comportamento
dos circuitos eléctricos por meios analíticos levou ao
desenvolvimento do método simbólico. Através dos
tempos tem vindo a aumentar a sua aplicação, e,
actualmente, devido à facilidade da sua programação computacional, tem uma grande
utilização na modelização e na análise do funcionamento das máquinas eléctricas.
2.2
Gr a n dez a s A l t er n a da s S i n uso i da i s co m a M esm a F r eq uên ci a
Em regime permanente, e numa rede alimentada por uma tensão sinusoidal de
frequência f, quase sempre, todas as tensões e todas as correntes têm a mesma frequência.
Também a pulsação, ω = 2π f , é a mesma para todas essas grandezas; o que sucede sempre que
se admite que o circuito eléctrico é linear.
Como a soma de duas grandezas alternadas sinusoidais com a mesma frequência é
uma grandeza alternada sinusoidal com a mesma frequência, podem efectuar-se operações
algébricas com essas grandezas. O método de representação das grandezas será aquele que
melhor se adapte ao estudo a efectuar.
Num estudo envolvendo duas grandezas alternadas sinusoidais é muito importante o
esfasamento entre elas. Considera-se que duas grandezas estão esfasadas quando os
respectivos máximos, ou outro qualquer ponto característico, não ocorrem simultaneamente.
i1
i
i2
0
ϕ
θ
Fig. 4- Duas correntes alternadas sinusoidais esfasadas de ϕ: i1 = 2 I cos ωt e i 2 = 2 I cos ( ωt + ϕ)
Existem situações típicas de esfasamento entre duas grandezas alternadas
sinusoidais que recebem nomes próprios, e que também podem ser caracterizadas na
representação simbólica das grandezas, através do respectivo argumento. Assim diz-se que
duas grandezas estão
em fase — o que corresponde a um ângulo de esfasamento de 0 rad; nesta situação,
G1 = G1/ ϕ , e G2 = G2/ ϕ ;
© Manuel Vaz Guedes, 1993
N EM E
C o r r e n te
A lt e rn a d a —
em
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quadratura — o que corresponde a um ângulo de esfasamento de π/2 rad
podendo ser em avanço, +π/2, ou em atraso, –π/2; nesta situação, G1 = G1/ ϕ , e
G2 = G2/ ϕ ± π/2 = ±j (G2/ ϕ ), e
em oposição — o que corresponde a um ângulo de esfasamento de π rad; nesta
situação, G1 = G1/ ϕ , e G2 = G2/ ϕ ± π = j 2 (G2/ ϕ ) = – (G2/ ϕ ).
g
g1
g
g1
g2
0
0
g2
θ
θ
em fase
em quadratura
Fig. 5 - Situações de esfasamento típicas
Na situação de oposição de fase uma das grandezas alternadas sinusoidais toma um
valor máximo positivo no instante em que a outra grandeza toma um valor mínimo negativo.
A determinação da derivada, em ordem ao tempo, d /dt, de uma grandeza sinusoidal
g(t) =
2 G·co s(ωt + α) pode ser feita com o auxílio da notação simbólica,
dg(t )/dt = d[ 2 G·co s(ωt + α)]/dt = – ω
= ω
2 G·sen (ωt + α) =
2 G·co s(ωt + α + π/2)
A respectiva representação simbólica é
dg(t )/dt = ω exp(j(π/2))· 2 G·ex p(j (ω t +α )) =
j ω G·exp(j (ω t ))
A derivação em cálculo simbólico traduzir-se-á na multiplicação do fasor
representativo da grandeza por jω, ou seja, em multiplicar a grandeza por ω e esfasá-la de
π/2 no sentido trigonométrico, avanço. (≡ quadratura avanço).
A integração em cálculo simbólico traduzir-se-á na divisão do fasor representativo
da grandeza por jω, ou seja em dividir a grandeza por ω e esfasá-la de π/2, no sentido
anti-trigonométrico, atraso. (≡ quadratura atraso)
Nos cálculos envolvendo grandezas sinusoidais com a mesma frequência, recorre-se
frequentemente, ao acompanhamento desse cálculo com a construção de um diagrama
fasorial, (na realidade faz-se apenas um esboço), representativo das relações entre as
grandezas. Surge, assim, a possibilidade de estabelecer relações entre as diferentes grandezas,
quer através da regra de adição de fasores (regra do paralelogramo), quer através da relação
entre as projecções desses fasores nos respectivos eixos de referência.
Exemplo_2.2–1 — Duas grandezas sinusoidais, com a mesma frequência, têm por expressão:
g1(t) =
2 ·6·cos(ωt + π/4) e g2(t) =
2 ·4·cos(ωt – π/6)
Pretende-se conhecer a expressão da grandeza sinusoidal resultante da adição das duas grandezas.
Utilizando a representação simbólica:
G1 = 6 / π/4 = 4,243 + j 4,243
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G2 = 4 / – π/6 = 3,464 – j 2
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G1 + G2 = (4,243 + j 4,243) + (3,464 – j 2) = 7,707 + j 2,243 = 8,027 / 0,283
assim, g(t) = g1(t) + g2(t) =
2 ·8,027·cos(ωt + 0,283)
Utilizando a representação fasorial, (acompanhada da figura que é esboçada com uma escala aproxima da {±})
0g1x = 6·cos(π/4) 0g1y = 6·sen(π/4)
0g2x = 4·cos(–π/6)
0g2y = 4·sen(–π/6)
g1y
0gx = 0g1x + 0g2x
π/4
6
as projecções segundo os eixos ortogonais são
0gy = 0g1y + 0g2y
0
0gx = (6·cos(π/4) + 4·cos(–π/6)) = (4,243 + 3,464) =
= (7,707)
origem dos
g2x
–π/6
g1x
ângulos
g2y
0gy = (6·sen(π/4) + 4·sen(–π/6)) = (4,243 – 2) =
= (2,243)
|g| =
7,7072 + 2,2432 = (8,027)
/ g = arctg(0gy/0gx) = arctg(2,243/7,707) = 0,283 rad
Também, o fasor G = |g| / g , ou g(t) =
2 ·(8,027)· cos (wt + 0,283)
Note-se que o problema, ainda poderia ser resolvido por construção gráfica; o que implicaria a definição
de uma escala para as grandezas, e a aplicação da regra do paralelogramo aos fasores de g1 e g2.
2.3
Gr a n dez a s El éct r i ca s A l t er n a da s S i n uso i da i s
Na maioria dos sistemas eléctricos de energia utiliza-se corrente eléctrica alternada
sinusoidal.
Nos circuitos eléctricos é possível isolar porções de circuito compreendidas entre dois
terminais ou nós — são os dipolos. Assim, um dipolo é a representação de um qualquer
aparelho eléctrico com dois terminais: resistência, bobina, condensador, gerador, motor, etc…
Neste estudo apenas se consideram os dipolos que são atravessados por uma corrente eléctrica
sinusoidal quando lhes é aplicada um tensão sinusoidal. Trata-se, pois, dos dipolos lineares.
O estudo das grandezas originadas por dipolos não lineares pode ser feito através do texto
“Grandezas Periódicas Não Sinusoidais”.
Para um dipolo podem ser consideradas duas funções: gerador ou produtor, e receptor
ou consumidor. A estas duas formas correspondem diferentes orientações das grandezas
características: tensão e corrente eléctrica, conforme a figura 6.
i
i
u
Gerador ou Produtor
u
Receptor ou Consumidor
Fig. 6 - Dipolo gerador e dipolo receptor
No dipolo gerador é positiva a potência eléctrica instantânea, p = u i, fornecida ao
consumidor. No dipolo receptor é positiva a potência eléctrica recebida pelo consumidor.
Os dipolos eléctricos são formados por associação de dipolos elementares: uma
resistência, ou uma bobina, ou um condensador. No caso de ser aplicada uma tensão
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sinusoidal a um dipolo passivo interessa verificar o que sucede às outras grandezas eléctricas.
r esi st ên ci a
Z = R
Uma resistência eléctrica é formado por um condutor eléctrico que oferece uma certa
oposição à passagem da corrente eléctrica. Quando é aplicada uma tensão alternada
sinusoidal aos terminais de uma resistência eléctrica verifica-se a relação entre os valores
eficazes I = U/R (Lei de Ohm), sem que a corrente eléctrica fique esfasada em relação à tensão.
A representação simbólica das grandezas eléctricas intervenientes num circuito
puramente óhmico, é: U = R·I . O fasor da tensão U está em fase com o fasor da corrente
eléctrica I .
i n dut â n ci a
Z = jωL
Uma bobina eléctrica é formada por um condutor eléctrico enrolado em torno de uma
superfície cilíndrica oca. Aplicando uma tensão alternada sinusoidal nos terminais da
bobina, resulta que a corrente eléctrica ainda tem um comportamento sinusoidal no tempo,
mas fica esfasada π/2 em atraso (quadratura atraso) e o seu valor eficaz é dado pela relação
I = U/X. Em que X é a reactância da bobina que é igual ao produto da pulsação pelo valor da
indutância da bobina: X = ωL. Com [L] em henry, [ω] em rad/s, e [X] em ohm
A representação simbólica das grandezas eléctricas intervenientes num circuito
puramente indutivo, é: U= j(X·I ) = j X·I . O fasor da tensão U está esfasado de π/2 rad em avanço
(j ) sobre o fasor da corrente eléctrica I , conforme está representado na figura 7.
No estudo das máquinas eléctricas é muito importante o conhecimento do
comportamento das grandezas eléctricas numa bobina com núcleo de material
ferromagnético, que é um dipolo não linear.
co n den sa do r
Z = – j /ω C
Um condensador é um dipolo formado por duas placas condutoras a potenciais
eléctricos diferentes, separadas por um meio dieléctrico. Neste caso, quando se aplica uma
tensão alternada sinusoidal nos terminais do condensador, a corrente eléctrica no circuito
vem esfasada de π/2 em avanço (quadratura avanço) e o seu valor eficaz é dado pela relação
I = U/X, em que X é a reactância do condensador que é igual a X = 1/ωC. Com [C] em farad, [ω]
em rad/s, e [X] em ohm.
A representação simbólica das grandezas eléctricas intervenientes num circuito
puramente capacitivo, é: U= (1/jX)·I = –j ((1/X)·I ). O fasor da tensão U está esfasado de π/2 rad
em atraso (– j ) sobre o fasor da corrente eléctrica I , conforme está representado na figura 7.
R
C
L
U
I
I
U
I
Resistência
Indutância
U
Condensador
Fig. 7 - Dipolos passivos em corrente alternada sinusoidal
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Nos circuitos eléctricos não existem normalmente dipolos isolados, mas os dipolos
elementares podem estar associados, em série ou em paralelo, de forma a obter-se um novo
dipolo, com características próprias. Para este tipo de dipolo convém conhecer também as
respectivas grandezas eléctricas: tensão, corrente eléctrica e impedância, o que pode ser
determinado através das leis dos circuitos eléctricos, e recorrendo a uma representação
apropriada das grandezas sinusoidais.
Note-se que os dipolos elementares dificilmente têm existência real. O que
normalmente sucede é que uma resistência eléctrica tem sempre um coeficiente de auto-indução, embora muito pequeno, e uma bobina tem sempre resistência eléctrica, embora
muito pequena.
No caso de uma associação complexa de dipolos verificam-se as leis dos circuitos
eléctricos:
lei dos nós — a soma das correntes eléctricas que convergem num nó é igual à soma
das correntes eléctricas que divergem do nó, ∑ i c = ∑ i d;
lei das malhas — a soma algébrica das forças electromotrizes é igual à soma algébrica
das quedas de tensão numa malha de um circuito eléctrico.
No caso de todas as resistências de um dipolo de grande complexidade estarem
reduzidas a uma resistência equivalente R, e de todas as reactâncias, indutivas ou capacitivas,
estarem reduzidas a uma reactância equivalente X, que, normalmente, é indutiva, e estes dois
elementos se encontrarem ligados em série, a relação entre a tensão e a corrente é dada pela
Lei de Ohm em corrente alternada.:
U = Z· I
Atendendo a que as grandezas alternadas sinusoidais são representadas por fasores, é
necessário observar que as relações entre grandezas são sempre relações entre fasores, e
traduzi–lo nas respectivas operações, que terão de ser fasoriais, ou que terão de envolver
grandezas simbólicas.
UR = R·I
UX = j X·I
R2 + X2 = |Z |
e
e
U = UR + UX = R·I + j X·I = Z ·I
Z·I
arctg(X/R) = arg(Z ) = / Z .
arg(Z)
em que Z é a impedância complexa do circuito.
jX·I
R·I
Num dipolo receptor que se encontra alimentado por uma
tensão instantânea u, e que é percorrido por uma corrente eléctrica instantânea i, o valor da
potência instantânea consumida pelo dipolo é, p = u i.
i
u
Fig. 8 - Dipolo receptor
Se u = 2 ·U cos ωt, e i = 2 ·I cos(ωt–ϕ), verifica-se, como no exemplo 2.1.1–1 , que p =
= ui = UI·cos ϕ + UI·cos(2ωt–ϕ). A potência instantânea é pulsatória e formada pela soma de um
termo constante, P = UI cos ϕ , e de um termo alternado sinusoidal, UI cos(2ωt–ϕ), com uma
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frequência dupla da frequência da tensão de alimentação.
Ao valor P = U I cos ϕ chama-se po t ên c i a ac t i v a
unidade em que se exprime é o watt, W.
absorvida pelo circuito. A
Ao valor S = U I chama-se po t ên c i a apar en t e do circuito. A unidade em que se
exprime é o volt–ampere, VA. A potência aparente dá sempre uma indicação da capacidade de
um sistema eléctrico produzir uma dada transformação de energia.
À relação entre a potência activa e a potência aparente, λ = P/S, chama-se factor de
potência. No caso da tensão e da corrente eléctrica serem grandezas alternadas sinusoidais o
valor do factor de potência é dado pelo cosseno do ângulo de esfasamento entre aquelas
grandezas, λ = P/S = cos ϕ = (UI cos ϕ)/UI.
Exemplo_2.3–1 — Um circuito eléctrico é formado por uma associação em série de uma resistência, de
uma indutância e de um condensador. A tensão de alimentação é de 100 V, 50 Hz, e o valor dos
parâmetros do circuito é: resistência R = 12 Ω; indutância L = 15,9 mH; capacidade C = 318 µF.
A pulsação das grandezas alternadas é ω = 2π f, ω = 314 rad/s
A reactância indutiva é XL = ωL, XL = 314*15,9x10–3 = 5 Ω
A reactância capacitiva é XC = –1/ωC, XC = –1/(314*318x10–6 ) = –10 Ω
A reactância total da série dos dois elementos é X = XL + XC, X = 5 – 10 = –5 Ω, (o efeito do condensador
ultrapassa o efeito da indutância ).
A impedância total do circuito é Z =
R2 + X2 , Z =
122+ 52 = 13 Ω
A corrente eléctrica que percorre o circuito é I = U/Z, I = 100/13 = 7,692 A
O factor de potência do circuito é λ = cos ϕ = R/Z, λ = cos ϕ = 12/13 = 0,92 (cap. )
A utilização da notação simbólica, e de meios de cálculo compatíveis, permite resolver o problema
de uma forma mais expedita.
A impedância complexa do circuito é Z = R + jX, Z = 12 – j5 Ω
Considerando a tensão, como o origem das fases, é U = 100 + j0 = 100 / 0 V
A corrente eléctrica é I = U/ Z, I = (100+j0)/(12 – j5) = 7,101 + j2,959 = 7,692 /0,395 A
(a corrente eléctrica está avançada de +0,395 rad sobre a tensão)
O factor de potência é λ = cos ϕ = cos(0,395) = 0,92 (capacitivo )
O factor de potência de um circuito ou de uma instalação eléctrica é um valor
importante porque dá uma informação sobre o ângulo de esfasamento entre a tensão e a
corrente eléctrica, nos terminais da instalação.
Para medir o factor de potência, no caso de grandezas alternadas sinusoidais, pode-se
recorrer à definição, ou utilizar fasímetros. Recorrendo à definição utiliza-se uma montagem
de medida, como a da figura. 9 a), em que se lê o valor da potência activa absorvida no
wattímetro de corrente alternada, o valor eficaz da tensão no voltímetro e o valor eficaz da
intensidade da corrente eléctrica no amperímetro.
Quando o valor eficaz das grandezas eléctricas for elevado, utilizam-se
transformadores de medida: transformador de tensão TT, e transformador de intensidade TI.
O esquema de medida é o apresentado na figura 9 b), sendo necessário considerar o valor da
razão de transformação dos transformadores de medida na determinação do valor das
grandezas.
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TI
W
A
TT
W
V
A
V
a)
b)
Fig. 9 - Montagem de medida para determinação do factor de potência do dipolo
Quando no circuito receptor está a passar uma corrente
eléctrica esfasada, em atraso, de um ângulo ϕ, sobre a tensão
aplicada ao circuito, essa corrente pode-se considerar resultante
da composição fasorial de uma componente activa de corrente
eléctrica Ia = I·cos ϕ e de uma componente reactiva Ir = I·sen ϕ.
Ia
o
≡ U
ϕ
I
Ir
A corrente eléctrica reactiva não produz trabalho útil, apenas serve para criar e manter o
campo magnético, nos dipolos indutivos, que constituem o receptor. Atendendo a que são
Ia2 + Ir2 . Assim,
num circuito indutivo em que a componente reactiva tenha um valor significativo, o valor da
corrente, realmente, absorvida pelo circuito (I ), é superior ao valor da corrente activa (I a ). Este
grandezas fasoriais entre as três correntes eléctricas existe a relação I =
aumento do consumo real de corrente eléctrica costuma ser onerado pelos serviços
fornecedores de energia eléctrica, que, necessariamente, terão de a produzir…
Define-se p o t ên c i a r eac t i v a — Q = U I sen ϕ — como o produto do valor eficaz da
tensão pela corrente eléctrica reactiva. A unidade de potência reactiva é o volt–ampere
reactivo, var.
A potência reactiva tem o sinal de ϕ, isto é, do ângulo de esfasamento. Assim para um
receptor,
Ci r cui t o
esfasamento
ϕ
Potência
reactiva
Q
ÓHMICO
=0
=0
INDUTIVO
>0
>0
CAPACITIVO
<0
<0
Verifica-se (aplicando o critério do con sumidor) que apenas os dipolos indutivos
consomem potência reactiva, enquanto que os dipolos capacitivos a fornecem. Desta forma,
pode-se efectuar uma compensação do factor de potência através de uma instalação de um
produtor de energia reactiva, como um banco de condensadores, no circuito receptor. Assim, a
rede eléctrica passará a fornecer menos energia reactiva …
Exemplo_2.3–2 — Na exploração de uma rede eléctrica existe um valor do factor de potência λ$ a partir
do qual é obrigatória a instalação de um sistema de compensação do factor de potência. Por isso,
quando o factor de potência da instalação λι é inferior ao valor limite há que produzir a sua correcção.
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Analisando o diagrama fasorial verifica-se que é necessário fornecer uma corrente eléctrica reactiva IC,
com um valor que resulta da composição fasorial das
correntes eléctricas: I$ = I + IC. Assim, IC = I – I$ ; ou
o
Ia
ϕ
≡ U
recorrendo às projecções dos fasores, resulta que:
IC = | I·senϕ – I$ ·sen (ϕ$ )|.
ϕ$
I$
A corrente eléctrica IC poderia ser fornecida, por uma
banco de condensadores, ou por uma máquina síncrona
funcionado como compensador, ou por um sistema
electrónico de potência para correcção do factor de
potência, (static VAR system ).
IC
I
As três formas de potência eléctrica — potência aparente S, potência activa P, e
potência reactiva Q — estão ligadas pela relação: S2 = P2 + Q2.
A representação simbólica da potência de um circuito que é alimentado por uma
tensão representada pelo fasor U = U·exp(j φ), e é percorrido por uma corrente eléctrica
representada por I = I·exp(j θ), é dada por:
S = U ·I * =
= U·I * = U·I·exp(j (φ-θ)) = U·I·exp(j ϕ) = U·I·cos(ϕ) + j U·I·sen(ϕ) = P + j Q
2.4
Ex em pl o de A pl i ca çã o
O estudo das máquinas eléctricas de corrente alternada faz-se com utilização dos
diversos métodos de representação das grandezas alternadas sinusoidais. Baseado num estudo
clássico de uma máquina eléctrica 2 com auxílio do método simbólico, apresenta-se um
exemplo de aplicação.
Exemplo_2.4 — Um motor série monofásico de colector de lâminas, que é uma máquina assíncrona, tem
o seu funcionamento regido por uma equação simbólica,
U = (1 – s )·K e · Φ + jω ·N i · Φ + R · I + jX’ · I
em que, R é a resistência equivalente do circuito do motor (indutor mais induzido mais compensação) , X’ é
uma reactância que inclui a reactância de fugas do enrolamento indutor e do enrolamento induzido e do
enrolamento de compensação, Φ o fluxo magnético por polo produzido pela corrente eléctrica I,
Ke = (p/a)·Z·ns é uma constante característica da máquina na rede eléctrica de alimentação, Ni é o
número total de espiras do enrolamento indutor, e s é o deslizamento, com s = (ns – n)/ns .
Diagrama Fasorial —
U
j ωNi·Φ
ϕ
R·I
E = (1–s)·Ke· Φ
j X'I
0
αο
Φ
I
O diagrama fasorial característico deste tipo de
motor eléctrico pode ser construído, atendendo a
que existe um esfasamento entre o fluxo magnético
Φ e a corrente eléctrica que o cria I, dado pelo
ângulo de perdas αo do material ferromagnético.
1) definem-se as escalas, e a origem das fases Φ
2) traça-se o fasor representativo do fluxo
magnético Φ , e esfasada, em avanço, de um ângulo αo a direcção da corrente eléctrica I.
2
Carlos Castro Carvalho; “Motores Monofásicos Série de Colector”, Porto, 1960
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3) determina-se, e traça-se o fasor R·I, a partir da sua extremidade o fasor X’·I que está esfasado e m
avanço de π/2 rad ( j X’·I).
4) adiciona-se o fasor E = (1 – s)·Ke·Φ , que tem a mesma direcção de Φ .
5) pela extremidade do fasor E , traça-se o fasor jω·Ni·Φ , que se encontra esfasado em avanço de π/2
rad sobre o fasor Φ .
6) o fasor que une a origem 0 com a extremidade do fasor jω·Ni·Φ é o fasor representativo da tensão U,
que está esfasado em avanço sobre o fasor da corrente eléctrica de um ângulo ϕ.
Esquema Eléctrico Equivalente — Considerando que não existe saturação do circuito magnético da
máquina, e que, portanto, o fluxo magnético é proporcional à corrente eléctrica que o cria, Φ = k·I, é
possível escrever E = (1 – s)·Ke·Φ = (1 – s)·R´·I . Também jω·Ni·Φ = jXe·I. A equação da tensão para o motor
monofásico série compensado com colector de lâminas, passa a ser
U = (1 – s )·R ´· I + jX e · I + R · I + jX’ · I = (1 – s )·R ´· I + R · I + jX· I
Nestas condições, o motor pode ser representado pela
impedância complexa Z = ((1 –s )·R ´ + R ) + jX.
A queda de tensão na resistência variável (1–s)·R´ representa a
força electromotriz que se desenvolve no circuito eléctrico do
induzido.
I
R
U
X
(1–s)·R´
Grandezas Características — considerando o circuito eléctrico
representativo do motor pode determinar-se o valor de algumas grandezas características:
Intensidade de corrente eléctrica I = U /
[R + (1–s)R´ ]2+ X2
Factor de potência λ = cos ϕ = [R+(1–s)R´] /
[R + (1–s)R´ ]2+ X2
Potência activa absorvida P = [R+(1–s)R´]·I2 = ([R+(1–s)R´ ]·U2) / ([R + (1–s)R´ ]2+ X2)
Potência transformada Pelectromecânica = (1–s)R´·I2 = ((1–s)R´·U2) / ([R + (1–s)R´ ]2+ X2)
3
Si st e m as P o l i fási c o s
Nos sistemas eléctricos de energia utilizam-se sistemas polifásicos de grandezas
alternadas sinusoidais, porque se verifica que tais sistemas possuem vantagens sobre o
sistema monofásico.
Uma das vantagens consiste na possibilidade de fornecimento de uma potência
constante, enquanto que o sistema monofásico apenas permite o fornecimento de uma
potência pulsatória, em torno de um valor médio. Outra vantagem é a possibilidade de se
promover a rectificação da forma de onda, que no caso de um rectificador polifásico terá uma
ondulação (“ ripple” ) menor, e portanto fornecerá uma onda rectificada com menor riqueza de
harmónicos, do que no caso de um rectificador monofásico.
Como se demonstrará adiante, com um sistema polifásico é possível construir uma
onda girante de força magnetomotriz, o que é muito importante para assegurar o
funcionamento de certo tipo de máquinas eléctricas.
Apesar da possibilidade de utilização de vários sistemas polifásicos — difásicos,
trifásicos, hexafásicos, ou dodecafásicos — é o sistema trifásico o que maior importância tem,
devido a vantagens que levaram à sua vasta aplicação.
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Gr a n dez a s A l t er n a da s S i n uso i da i s P o l i f á si ca s
Considera-se um sistema polifásico um conjunto de circuitos monofásicos, com a
mesma frequência, ligados entre si ou não, que apresentam certas características comuns.
Quando os diferentes sistemas monofásicos não estão ligados constituem um sistema
separado. Mas, quando os diferentes sistemas estão ligados, constituem um sistema
combinado. Neste caso, todas as fases poderão estar ligadas a um único condutor o neutro, que
constitui o circuito de retorno de todos os circuitos das diferentes fases. Num sistema
simétrico, o ponto neutro está ao potencial zero, e frequentemente está ligado à terra.
i1
u1 2
i2
i3
u31
u23
u1
u2
u3
Fig.10 - Sistema polifásico (m = 3) combinado
Assim, um sistema polifásico simétrico é um conjunto de m grandezas sinusoidais,
com a mesma frequência, com o mesmo valor eficaz, em que duas grandezas consecutivas
estão esfasadas, entre si, de um ângulo múltiplo de 2·π/m.
g1 = 2 ·G·cos(ωt + ϕ)
g2 = 2 ·G·cos(ωt + ϕ – 2·π/m)
…
gm =
…
…
2 ·G cos[ωt + ϕ – (m-1)·2·π/m]
Verifica-se que a condição suficiente para que um sistema polifásico seja simétrico é
que seja nula a corrente eléctrica no condutor neutro; io = –(i1 + i2 + … + im), porque pela lei de
Kirchoff dos nós é i1 + i2 + … + im + io = 0.
Como I 1 = Im exp(jϕ), I 2 = Im exp(j(ϕ – 2π/m)), … ,I m = Im exp(j(ϕ – (m–1)·2π/m)))
resulta que I 1 + I 2 + …+ I m = Im [exp(j(ϕ)) + exp(j(ϕ – 2π/m)) + … + exp(j(ϕ – ((m–1)·2π/m)))].
Verifica-se que a soma dos m fasores unitários, esfasados, entre si, de 2·π/m, é nula;
graficamente formam um polígono regular inscrito numa circunferência, formam um
polígono fechado. Assim, io = 0.
I3
…
I2
Im
I1
2·π/m
Fig. 11 - Soma de m fasores esfasados entre si de 2·π/m
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Um resultado prático desta demonstração é que no caso de um sistema polifásico
simétrico o neutro, condutor que está ligado ao ponto de convergência dos ramos de uma
estrela, pode ser suprimido. Na realidade, as instalações eléctricas raramente formam um
sistema simétrico de grandezas !…
Uma das vantagens dos sistemas polifásicos é a possibilidade de obter tensões
eléctricas com diferentes valores. Existe tensão simples entre uma fase e o neutro, e tensão
composta entre os condutores de duas fases diferentes.
m=6
4
Tensão simples
3
5
un1
un 2
un3
un4
un5 u n6
Tensão composta diametral
u 1 4 u2 5 u 3 6 u 4 1 u 5 2 u 6 3
n
2
6
1
Tensão composta poligonal
u 1 2 u2 3 u 3 4 u 4 5 u 5 6 u 6 1
Fig. 12 - Tensões poligonais e diametrais (m = 2·n)
As tensões compostas, no caso dos sistemas polifásicos com um número de fases par,
podem ter valores diferentes conforme as fases que se consideram. Nessa situação distinguem-se a tensão diametral, que é a que tem maior valor eficaz, e a tensão poligonal, que é a que tem
um menor valor eficaz.
Num circuito eléctrico polifásico os diferentes dipolos de cada uma das fases podem
estar ligados: em estrela, em poligonal e em zigue-zague.
em estrela –
os diferentes dipolos estão ligados a um ponto comum. O
outro terminal está ligado ao condutor correspondente
da rede eléctrica.
em poligonal – é uma ligação em série dos diferentes dipolos de forma
a efectuar um circuito eléctrico fechado.
em zigue-zague – é uma ligação em estrela de enrolamentos polifásicos (activos) em que cada ra
Num sistema polifásico a potência instantânea é igual à soma das
potências instantâneas de cada uma das fases: p = ∑k uk·ik, com k = 1, … , m .
Quando num sistema polifásico com m fases, as tensões e as correntes eléctricas constituem
um sistema polifásico simétrico, a potência instantânea do sistema é constante, e é igual à
potência média. Este tipo de sistema diz-se de cargas equilibradas.
Num sistema polifásico também se define a potência activa do sistema como
P = ∑k Pk. A potência reactiva do sistema é Q = ∑k Qk, assim como a potência aparente
S = ∑k Sk. Para cada fase verifica-se que Sk2 = Pk2 + Qk2. No entanto só se verifica, para o
sistema, que S2 = P2 + Q2, quando for constante o ângulo de esfasamento entre as diferentes
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fases do sistema.
3.2
S i st em a T r i f á si co S i m ét r i co
Nas redes eléctricas de energia utiliza-se um sistema trifásico porque apresenta
algumas vantagens sobre a utilização de um sistema monofásico. Para o mesmo volume e
preço da máquina, um alternador trifásico tem uma potência superior a um alternador
monofásico. A secção total dos condutores utilizados no transporte de uma dada quantidade
de energia é menor do que no caso de um sistema monofásico que, no mesmo tempo, tivesse de
transmitir a mesma energia. No sistema trifásico dispõe-se de dois valores de tensão. O
sistema trifásico permite utilizar o motor de indução trifásico, que é um motor robusto, de
construção simples e muito fiável.
Os sistemas trifásicos são sistemas formados por três grandezas alternadas
sinusoidais, de igual amplitude e esfasadas de 2π/3 radianos. (f = 50 Hz; T = 20 ms; intervalo entre
os zeros de duas fases consecutivas ∆t = 20/3 ≅ 6,7 ms ).
g
g1
g2
g3
0
t
Fig. 13 - Sistema trifásico de grandezas
A forma de onda das grandezas de um sistema trifásico simétrico encontra-se na fig.
13, enquanto que a sua representação fasorial se encontra na figura 14.
G3
g 1 = √2 G cos ω t
2·π/3
G1
2·π/3
2·π/3
g 2 = √2 G cos( ω t – 2·π/3)
g 3 = √2 G cos( ω t – 4·π/3)
G2
Fig. 14 - Sistema trifásico de grandezas (directo) — representação fasorial
As três grandezas trifásicas,
g1 g2 g3 , podem suceder-se segundo duas sequências
distintas, formando um sistema de grandezas directo, ou um sistema de grandezas inverso,
(tomando como positivo o sentido trigonométrico, ou contrário ao movimento dos ponteiros de um
relógio).
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Sistema directo
Sistema inverso
g1 = 2 G cos(ωt + ϕ)
g1 = 2 G cos(ωt + ϕ)
g2 = 2 G cos(ωt + ϕ – 2·π/3)
g2 = 2 G cos(ωt + ϕ + 2·π/3)
g3 =
g3 =
2 G cos(ωt + ϕ – 4·π/3)
2 G cos(ωt + ϕ + 4·π/3)
No caso de um sistema trifásico de tensões existe um ponto, acessível ou não, em que a
tensão é nula — trata-se do ponto neutro.
Num sistema trifásico de tensões pode-se ter disponível o valor da tensão entre fase e
neutro, que na figura 15 está representada pelo fasor U1, ou pelo fasor U2, ou pelo fasor U3:
trata-se da t en são si m pl es.
Num sistema trifásico de tensões tem-se acessível a tensão entre duas fases, por
exemplo U12 = U1 - U2 , que é a t en são c o m po st a.
Verifica-se, através da construção geométrica, que
e que
Uc = 3 Us,
U 12 + U 23 + U 31 = 0.
Note-se que na, figura 15, como |U1 | = |– U2 | a parte do desenho a ponteado é um
losango, em que |U12| é uma diagonal e M o seu ponto médio. Assim, como |U12| = 2·nM =
= 2·(|U1 |·sen 60°) =
3 ·|U1 |, ou Uc =
3 ·Us.
3
U3
M
n
- U2
U3 1
U2 3
1
U1
U1 2
U1 2
2
Fig. 15 - Tensões simples e tensões compostas
Na rede eléctrica nacional de distribuição, em baixa tensão, o valor eficaz da tensão
simples é 220 V, e o valor eficaz da tensão composta é 380 V.
Os circuitos receptores trifásicos são formados por três elementos que podem ser
ligados de três formas.
❇ Estrela com o neutro acessível
Os elementos estão derivados entre fase e neutro. Portanto, é-lhes aplicada a tensão
simples. A lei dos nós aplicada à estrela permite escrever io = i1 + i2 + i3, ou em notação
simbólica I o = I 1 + I 2 + I 3.
A cada elemento da carga está aplicada a tensão simples, assim
= U2/Z2, I3 = U3/Z3.
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I1 = U1/Z1, I2 =
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2
i1
yo
i2
N
i3
1
io
3
Fig. 16 - Ligação de receptores em estrela com o neutro acessível
Se os três elementos da carga forem iguais, as correntes eléctricas são grandezas
iguais, esfasadas de 2π/3 radianos e a sua soma fasorial é nula; não circula corrente eléctrica
no condutor neutro.
❋ Estrela sem o neutro acessível
2
y
i1
i2
i3
1
3
Fig. 17 - Ligação de receptores em estrela sem neutro acessível
No caso da ligação dos receptores em estrela sem neutro acessível, aplicando a lei dos
nós, verifica-se a relação entre as diferentes correntes eléctricas i1 + i2 + i3 = 0, ou utilizando a
representação simbólica, I 1 + I 2 + I 3 = 0.
▲ Triângulo
Nesta situação a cada elemento da carga está aplicada a tensão composta Uc = 3 ·Us,
e a corrente eléctrica em cada linha é a diferença das correntes eléctricas em cada ramo que
converge nessa linha, I 1 = I 12 – I 31, I 2 = I 32 – I 12, I 3 = I 31 – I 23.
1
D
i3
i2
i
2
3
Fig. 18 - Ligação dos elementos do receptor em triângulo
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No caso do triângulo ser equilibrado, isto é quando as impedâncias dos elementos são
iguais, demonstra-se, por uma construção geométrica análoga à utilizada para a relação entre
tensão composta e simples, que a corrente eléctrica na linha é igual a
eléctrica em cada ramo do triângulo (corrente na malha);
▲
Ilinh a =
3 ·(IA – IB ) =
3 vezes a corrente
3 ·Imalha
Exemplo_3.2–1 — No estudo de um transformador trifásico supõe-se que ele constitui um sistema de
cargas equilibradas, em que todos os enrolamentos de um dos lados (primário ou secundário) são iguais.
Por isso, só é necessário estudar uma fase do transformador e converter os resultados do estudo
desse transformador monofásico para as grandezas trifásicas, atendendo às ligações das fases.
Um transformador trifásico Dyo, triângulo–estrela com neutro acessível,
tem os valores de tensão nominal U1n = 30 kV, U2n = 400 V e os valores de
intensidade da corrente eléctrica I1n = 20 A, I2n = 1 500 A, pode ser
P
S
estudado através da análise do funcionamento de um transformador
monofásico:
T e n s ão p r im ár ia, U m 1 , — a cada fase do triângulo do primário está aplicada a tensão composta
que é o valor da tensão nominal do enrolamento, Um1 = 30 KV.
In t e n s idade da c o r r e n t e p r im ár ia, I m 1
— a corrente eléctrica que percorre o enrolamento
primário é a corrente na malha do triângulo, enquanto que o valor nominal fornecido é a intensidade de
corrente eléctrica na linha, Im1 = Ilinha / 3 , Im1 = 20/ 3 = 11,54 A.
T e n s ão s e c u n dár ia, U m 2 — a cada um dos ramos da estrela está aplicada a tensão simples , mas
a informação é sobre a tensão nominal, que é um valor composto, Um2 = 400/ 3 = 230,9 V
In t e n s idade da c o r r e n t e s e c u n dár ia, I m 2
— a corrente que percorre uma fase do
enrolamento secundário é a corrente que circula nas linhas a jusante, Im2 = 1 500 A.
Os receptores em corrente alternada trifásica podem ser ligados em estrela ou em
triângulo. Existe um teorema, o teorema de Kenelly, ou da transfiguração, que permite passar
de uma configuração para outra que lhe é equivalente.
Uma malha triangular de impedâncias ZAB, ZBC, ZCA, pode ser substituída por três
impedâncias, ZA, ZB, ZC, dispostas em estrela tendo por valor:
ZA =
ZAB·ZCA
ZAB + ZBC + ZCA
ZB =
ZBC·ZAB
ZAB + ZBC + ZCA
B
ZC =
ZCA·ZBC
ZAB + ZBC + ZCA
B
Z AB
ZB
ZBC
A
A
ZC
Z CA
C
ZA
C
Fig. 19 - Aplicação do teorema de Kenelly
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Note-se que:
Z em A = (produto dos Z que convergem em A)/(soma dos Z da malha)
As fórmulas para a passagem inversa, estrela–triângulo, são:
ZAB = ZAZB + ZBZC + ZCZA
ZC
ZBC = ZAZB + ZBZC + ZCZA
ZA
ZCA = ZAZB + ZBZC + ZCZA
ZB
Note-se que:
Z em AB = (somatório de todos os produtos de dois Z da estrela)/(Z do
triângulo em C)
Exemplo_3.2–2 — No estudo do motor de indução trifásico costuma considerar-se que as três fases do
enrolamento estatórico são iguais; portanto, têm a mesma impedância: ZUV = ZVW = ZWU = ZD
Quando o enrolamento trifásico estatórico está ligado em triângulo e se conhece a respectiva
impedância ZD , pode interessar o estudo da estrela equivalente,
ZY = (ZD )2/ 3·ZD = ZD / 3
Quando a informação é relativa a uma estrela ZY e se pretende estudar o triângulo equivalente é:
ZD = 3·(ZY)2/ ZY = 3·ZY
Num sistema trifásico a potência activa absorvida por um agrupamento de cargas em
estrela ou em triângulo é a soma da potência activa absorvida por cada elemento: P = P1 + P2 +
+ P3 . A potência reactiva absorvida pelo agrupamento é a soma da potência reactiva
absorvida por cada elemento: Q = Q1 + Q2 + Q3.
A potência aparente absorvida pelo conjunto é dada por S = P2 + Q2 , porque é
constante (2·π/3) o esfasamento entre as gradezas de duas fases consecutivas. O factor de
potência do conjunto é dado pela razão entre o valor da potência activa e o valor da potência
aparente do conjunto, factor de potência λ = P/S.
Conforme o tipo de montagem equilibrada utilizada podem obter-se diferentes
relações.
❋ Ligação em estrela equilibrada
Potência activa —
os três receptores estão submetidos à tensão simples U, e são
atravessados pelas correntes eléctricas na linha, que têm o
mesmo valor eficaz, I.
P1 = P2 = P3 = U I cos ϕ
como Us = U = Uc/ 3 , resulta que P =
P = P1 + P2 + P3 = 3 U I cos ϕ
3 · Uc I cos ϕ.
Potência reactiva —
Também é Q1 = Q2 = Q3 = U I sen ϕ
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e
Q=
3 Uc I sen ϕ
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▲ Ligação em triângulo equilibrado
Potência activa —
os três receptores estão submetidos à tensão composta Uc, e são
atravessados pelas correntes eléctricas na malha, que têm um
mesmo valor eficaz, Ima.
P1 = P2 = P3 = Uc Ima cos ϕ
P = P1 + P2 + P3 = 3 Uc Ima cos ϕ
como Imalha = Ilinha / 3 = I/ 3 resulta que P =
3 · Uc I cos ϕ.
Potência reactiva —
Também é Q1 = Q2 = Q3 = Uc·Ima·sen ϕ
e
Q=
3 · Uc·I·sen ϕ
Desde que os sistema seja trifásico e esteja equilibrado, as expressões para a potência
em corrente alternada, considerando a tensão composta Uc e a corrente eléctrica na linha I,
são:
P=
3 ·Uc·I cos ϕ;
Q=
3 ·Uc·I sen ϕ; S = 3 ·Uc·I; e λ = P/S = cos ϕ
Exemplo_3.2–3 — Os valores nominais das grandezas de uma máquina eléctrica são sempre valores
máximos. Um motor de indução trifásico tem os seguintes valores nominais de catálogo:
Pmec = 4 kW,
Uc = 380 V,
n = 1 420 rot/min,
η = 79 %, λ = cos ϕ = 0,89
Com estes valores é possível determinar:
a potência eléctrica absorvida — Pel = Ptotal = Pútil /η = Pmec/η, Pel = 4x103 /0,79 = 5,06 kW
como a potência eléctrica absorvida é uma potência activa P =
3 ·Uc ·In ·cosϕ, pode-se determinar
a intensidade da corrente eléctrica nominal — In = Pel/( 3 ·Uc ·cos ϕ), In = 5,06x103 /585,8 = 8,6
A
Para medir a potência activa utilizam-se wattímetros numa montagem de medida
que depende das características do sistema.
Se o sistema está equilibrado basta medir a potência consumida por uma fase e
multiplicá-la por três. É por isso necessário só um wattímetro numa montagem de medida
análoga à da figura 9.
Se o sistema trifásico está desequilibrado, é necessário medir a potência consumida
por cada circuito e adicionar as três potências. A montagem de medida será constituída por
três wattímetros, um por cada fase.
Quer o circuito esteja equilibrado, ou não,
mas desde que não possua o condutor neutro, a
potência total pode ser medida com o auxílio de dois
wattímetros, segundo uma montagem de medida
como a da figura 20, tendo o devido cuidado na
interpretação do sentido do desvio dos ponteiros dos
aparelhos.
1
W1
C
A
2
W2
R
G
A
3
Também neste tipo de montagem pode
existir a necessidade de utilizar transformadores de Fig. 20 - Montagem com dois wattímetros
medida: transformador de tensão TT, e transformador de intensidade TI.
Numa máquina eléctrica, através da Técnica dos Enrolamentos para máquinas de
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corrente alternada, é possível distribuir um conjunto de condutores pelas ranhuras de um
estator, ou de um rotor, de tal forma que a distribuição do enrolamento no espaço,
caracterizado pelo ângulo eléctrico α, seja, praticamente, igual à de um bobina com N espiras
efectivas com uma distribuição sinusoidal: N(α) = N·cos α. (Note-se que αelect. = p ·θgeomet. , em
que p é o número de pares de pólos da máquina).
Essa bobina quando é percorrida por uma corrente eléctrica sinusoidal monofásica,
i = 2 ·I cos ωt, só pode criar um campo de força magnetomotriz: F = Ni = 2 ·NI cos α cos ωt.
Este campo é alternado sinusoidal, e pode-se considerar com a soma de dois campos girantes,
com igual amplitude, mas que giram em sentido contrário (Teorema de Leblanc):
F (α,t) = Ni =
2 ·NI cos α cos ωt = (1/ 2 )NI[cos (ωt + α) + cos (ωt – α)]
8
9
Com este campo alternado, ou com os dois campos girantes, de igual amplitude mas
girando em sentidos contrários, não se consegue produzir um efeito útil numa máquina
eléctrica. Uma das formas mais simples para obter um único campo de força magnetomotriz
girante num só sentido é com a utilização de um sistema trifásico simétrico de correntes
eléctricas. Esta técnica está aplicada no motor de indução trifásico, que é um motor com uma
vasta utilização.
b'
c
a
c'
a'
b
Fig. 21 - Criação de um campo de forças magnetomotrizes girante
Para criar o campo de forças magnetomotrizes girantes a partir de um sistema
trifásico de correntes eléctricas, utilizam-se três bobinas distribuídas com o mesmo número
de espiras efectivas N, mas esfasadas no espaço do entreferro de 2π/3 radianos eléctricos, a b c
Cada uma dará origem a uma força magnetomotriz alternada, e as três adicionar-se-ão no
entreferro da máquina, formando um campo girante (Teorema de Ferraris ).
N·ia = 2·N·I·cos ωt ·cos α
N·ib = 2·N·I·cos (ωt – 2π/3) ·cos (α – 2π/3)
F(α,t) = Ni = Nia + Nib + Nic =
N·ic = 2·N·I·cos (ωt – 4π/3) ·cos (α – 4π/3)
3·N·I
2
·cos(ωt – α)
O campo girante obtido é uma onda de força magnetomotriz caracterizada por ser
função do espaço e do tempo; num dado ponto dos espaço, α fixo, a variação do campo com o
tempo é sinusoidal; num dado instante, t fixo, o campo varia sinusoidalmente ao longo da
periferia do entreferro. Note-se que o campo de força magnetomotriz girante tem uma
velocidade angular ωs com um valor que coincide com o valor da pulsação da corrente
alternada sinusoidal que o cria, porque ω = 2·π·f.
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Uma das vantagens do sistema trifásico é que promove uma economia no metal dos
condutores utilizados, face ao sistema monofásico, quando se pretende transportar a mesma
quantidade de energia, com a mesma tensão, com as mesmas perdas, e a uma mesma
distância. Demonstra-se que é maior a secção da linha monofásica necessária para o
transporte da quantidade de energia: Smono = (4/3) Strif .
Quando o sistema de grandezas é trifásico mas assimétrico, o seu estudo pode ser feito
através do Método das Componentes Simétricas. Com o auxílio deste método, faz-se a
decomposição de um sistema de grandezas trifásicas assimétricas numa soma de sistemas
trifásicos simétricos: um directo, um inverso e um homopolar. Devido à sua importância na
Teoria das Máquinas Eléctricas, este método será tratado numa publicação específica.
3.3
S i st em a di f á si co
Um sistema difásico de grandezas sinusoidais é um sistema formado por duas
grandezas com variação sinusoidal no tempo, com igual valor eficaz e esfasadas entre si de
π/2 rad. (f = 50 Hz; T= 20 ms; intervalo entre os zeros das duas fases ∆t = 20/2 = 10 ms )
g1 = 2 ·G cos(ωt + ϕ)
g2 = 2 ·G cos(ωt + ϕ – π/2)
Verifica-se assim que um sistema difásico é constituído por duas fases sucessivas de
um sistema tetrafásico (m = 4 ): trata-se de um sistema hemi-tetrafásico. Note-se que um
sistema polifásico com m = 2 teria as grandezas em oposição de fase, estariam esfasadas de π
rad, e, portanto, com esse sistema de grandezas alternadas não seria possível obter um campo
girante, nem se conseguiria fornecer uma potência instantânea constante.
Exemplo_3.3–1 — A determinação do valor da potência instantânea num sistema difásico “puro”
(m = 2 ⇒ 2π/m = π), com
u1 =
2 Ucos(ωt) e i1 =
2 Icos(ωt – ϕ); u2 =
2 Ucos(ωt – π) e i2 =
2 Icos(ωt – ϕ – π),
p = u1·i1 + u2·i2 = 2·U·I·cos(ωt)·cos(ωt – ϕ) + 2·U·I·cos(ωt – π)·cos(ωt – ϕ – π) =
= 2·U·I cosϕ – 2·U·I·cos(2ωt – ϕ – π)
A potência instantânea não é constante, mas depende do tempo t.
A determinação do valor da potência instantânea num sistema hemi–tetrafásico (m = 4 ⇒ 2π/m = π/2),
com
u1 =
2 Ucos(ωt) e i1 =
2 Icos(ωt – ϕ); u2 =
2 Ucos(ωt – π/2) e i2 =
2 Icos(ωt – ϕ – π/2),
p = u1·i1 + u2·i2 = 2·U·I·cos(ωt)·cos(ωt – ϕ) + 2·U·I·cos(ωt – π/2)·cos(ωt – ϕ – π/2) =
= 2·U·I cosϕ + U·I·(2cos(2ωt – ϕ – π)·cos(π/2)) = 2·U·I cosϕ
A potência instantânea não depende do tempo t; é constante e igual à potência média.
u2(t)
I1
U1
I2
0
u1(t)
Uc
0
T/2
U2
T
Fig. 22 - Sistema difásico de tensões
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Atendendo à relação entre os lados de um triângulo rectângulo, verifica-se que a
relação entre a tensão simples e a tensão composta é dada por U c = 2 ·Us; porque a tensão
composta é Uc = U1 – U2 Num sistema difásico com cargas equilibradas, no condutor neutro,
condutor que está ligado ao ponto de convergência dos ramos de uma estrela, circula uma
corrente eléctrica dada por I o = –(I 1 + I 2 ), ou |I o | =
2 ·I.
Considerando que o sistema de cargas está equilibrado, a potência média de um
sistema difásico é:
P = P1 + P2 = 2 Us I cos ϕ
ou
Portanto,
u1(t) = 2 ·U·cos(ωt)
P=
2 Uc I cos ϕ
i1(t) = 2 ·I·cos(ωt – ϕ)
Uc = 2 · Us
u2(t) = 2 ·U·cos(ωt – π/2)
i2(t) = 2 ·I·cos(ωt – ϕ – π/2)
P = 2·U·I·cos(ϕ) = 2 ·Uc·I·cos(ϕ)
Um sistema difásico (hemi-tetrafásico) de tensões pode ser obtido mediante uma
ligação Scott de transformadores monofásicos.
Na
ligação
Scott,
os
dois
transformadores
monofásicos
estão
dimensionados com a mesma indução
magnética, de que resulta a mesma tensão
por espira. O transformador base tem o
ponto médio do enrolamento primário
acessível e o transformador altura tem um
dos terminais do primário ligado ao ponto
médio do transformador base, o outro
terminal está ligado à rede trifásica.
T
S
R
M
base
altura
U1
U2
Ligação Scott de Transformadores Monofásicos
Com um sistema difásico de tensões também é possível obter, numa máquina
eléctrica, um campo girante de forças magnetomotrizes. Para isso constrói-se um sistema de
bobinas, com Nk espiras efectivas cada uma, esfasadas no espaço do entreferro de π/2 radianos
eléctricos. Cada uma das bobinas é percorrida pela corrente eléctrica de uma fase de um
sistema difásico. Cada bobina dá origem a uma força magnetomotriz,
Fp=
2 ·NpI cos ωt cos α
Fa = 2 ·Na I cos (ωt + π/2) cos (α – π/2)
adicionando os efeitos das duas forças magnetomotrizes,
F = Fp + Fa =
=
2 ·NpI cos ωt cos α +
2 ·Na I cos (ωt + π/2) cos (α – π/2)
2 ·(Np– Na ) I cos ωt cos α +
2 ·Na I cos (ωt + α)
Trata-se de um campo de força magnetomotriz formado pela sobreposição de um
campo alternado sinusoidal com um campo girante — é um campo elíptico.
Com hoje já não existem, salvo em obsoletas instalações eléctricas, sistemas de
distribuição de energia eléctrica difásicos simétricos, o campo elíptico só é utilizado em
máquinas eléctricas próprias para sistemas de controlo. No entanto, existe um caso em que o
campo é utilizado mediante a criação de um sistema difásico, (aproximadamente difásico !…),
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na própria máquina: é no m o t o r de i n duç ão m o n o f ási c o .
No motor de indução monofásico, mediante a utilização de um condensador, usado
permanentemente ou só no momento do arranque, cria-se um sistema difásico (assimétrico)
de correntes eléctricas. Como existem duas bobinas no estator da máquina, uma auxiliar e a
outra principal, esfasadas de π/2 radianos eléctricos, cria-se um campo elíptico.
F = 2 ·(NpIp – Na Ia ) cos ωt cos α +
2 ·Na Ia cos (ωt + α)
= {( 2 /2)·(NpIp – Na Ia )·[cos (ωt + α) + cos (ωt – α)]} +
= [(1/ 2 )·(NpIp + Na Ia )] cos (ωt + α)
campo girante directo
8
2 ·Na Ia cos (ωt + α)
+ [(1/ 2 )·(NpIp – Na Ia )] cos (ωt – α)
9
campo girante inverso
Desta forma consegue-se criar um campo girante directo, com uma amplitude maior
do que a do campo girante inverso, o que garante que, no momento de arranque, a máquina
possua um campo girante dominante, que o circuito rotórico tenderá a acompanhar. O que
não sucede com uma máquina alimentada exclusivamente em tensão alternada sinusoidal
monofásica, porque nela existem dois campos girantes de igual amplitude, mas girando em
sentidos contrários (Teorema de Leblanc). Neste caso o circuito rotórico não os acompanha
porque se anulam os seus efeitos.
C
p
a´
p
a
p´
a
M
1 ~
Fig. 23- Motor de Indução Monofásico
Os sistemas difásicos de grandezas alternadas apenas são utilizados para alimentar
duas redes monofásicas; caso da sua utilização em Tracção Eléctrica. Isto, porque é possível
efectuar a transformação trifásico-difásico com uma simples montagem de transformadores
monofásicos: a ligação Scott. Esta montagem de transformadores apresenta virtualidades nas
situações de regime de cargas difásicas equilibradas que aconselham a sua aplicação em
certas redes de distribuição de energia.
3.4
S i st em a h ex a f á si co
O sistema hexafásico é um sistema formado por seis
grandezas sinusoidais com o mesmo valor eficaz e esfasadas
entre si de π/6 rad. (f = 50 Hz; T = 20 ms; intervalo entre os zeros de
duas fases consecutivas
∆t = 20/6 ≅ 3,3 ms ). As respectivas
grandezas obedecem à formula geral:
gk =
2 ·G cos[ωt + ϕ – (k-1)·2·π/6]
3
5
n
com k = 1, 2, …, 6
Este sistema admite uma ligação das cargas em estrela
ou em hexágono. Com uma ligação em estrela, a qual pode ter o
neutro acessível, podem-se aplicar diversos tipo de tensão:
© Manuel Vaz Guedes, 1993
4
6
2
1
Fig. 24 - Sistema hexafásico
N EM E
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tensão simples (entre fase e neutro ) — u1, u2, u3, u4, u5, u6
tensão composta diametral — u14, u25, u36, u41, u52, u63
tensão composta — u13, u24, u35, u46, u51, u62
tensão composta poligonal — u12, u23, u34, u45, u56, u61
Quando existe simetria de cargas a expressão para a potência é: P = 6 Us I cos ϕ.
Os sistemas alternados hexafásicos que podem ser obtidos directamente a partir de
máquinas síncronas hexafásicas, ou através de uma transformação do número de fases com
um transformador trifásico-hexafásico, têm utilização na alimentação de rectificadores. Nos
últimos anos têm sido apresentados alguns trabalhos de investigação envolvendo a utilização
de máquinas síncronas e de motores de indução hexafásicos.
N
C
e5
B
c3
f6
A
a1
d4
b2
Bi bl i o g r afi a
André Angot; “Compléments de Mathématiques”, Masson et Cie., 1972
Carlos Araújo Sá; “Aspectos Gerais de Máquinas Eléctricas”, FEUP ,1991
Carlos Castro Carvalho; “Motores Monofásicos Série de Colector”, Porto, 1960
Carlos Castro Carvalho; “Apontamentos para a Disciplina de Máquinas Eléctricas II”, AEFEUP, 1983
Carlos Castro Carvalho; “Transformadores”, AEFEUP, 1983
CEI–05; “Vocabulaire Electrotechnique Internationale – Définitions Fondamentales”, Comissão
Electrotécnica Internacional, 1954
CEI–50.31–A; “Vocabulaire Electrotechnique Internationale – Circuits et Composantes Polyphséss”,
Comissão Electrotécnica Internacional, 1982
CEI–Handbook; “Letter Symbols and Conventions”, Comissão Electrotécnica Internacional, 1983
E. A. Guillemin; “The Matematics of Circuit Analysis”, M IT Press, 1949
Manuel Corrêa de Barros; “Método Simbólico para Estudo das Máquinas de Corrente Alternada”,
Porto,
1947
Manuel Corrêa de Barros; “Apontamentos para a Disciplina de Electrotecnia Teórica”, AEFEUP, 1971
Manuel Vaz Guedes; “Grandezas Periódicas Não Sinusoidais”, AEFEUP, 1992
MIT E.E. Staff; “Electrical Circuits”, MIT Press, 1940
© Manuel Vaz Guedes, 1993
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Apêndice A – Representação das Grandezas Alternadas Sinusoidais
As grandezas alternadas sinusoidais podem ser representadas de diversas formas,
conforme a conveniência do estudo que está a ser feito e dos meios de cálculo disponíveis.
Representação matemática
Neste tipo de representação utiliza-se uma função matemática para expressar o
comportamento da grandeza eléctrica. É o tipo de representação utilizado para caracterizar o
valor instantâneo de uma grandeza → g =
2 ·G cos(ωt + ϕ).
Representação fasorial
No estudo dos sistemas eléctricos de corrente alternada utiliza-se frequentemente a
representação fasorial das grandezas eléctricas. Trata-se de uma representação geométrica,
na forma polar, que a cada grandeza faz corresponder um fasor caracterizado por um módulo,
igual ao valor eficaz da grandeza, | G | = G, a uma dada escala, e uma direcção relativamente a
um eixo origem, igual ao ângulo de fase, / G = θ = ωt + ϕ.
G
|G|
θ =ω t +
h
Fig. A.1 - Representação fasorial
Note-se que o valor instantâneo da grandeza alternada sinusoidal g =
obtém-se multiplicando por
2 ·G·cos(θ)
2 a projecção do fasor sobre o eixo da origem dos ângulos.
Neste tipo de representação as diferentes operações aritméticas sobre as grandezas
alternadas sinusoidais traduzem-se por operações geométricas sobre os fasores
representativos das diferentes grandezas.
No trabalho com grandezas alternadas sinusoidais ocorre frequentemente a
associação das duas representações, fasorial e simbólica, sobre o nome de fasor.
Representação simbólica
É um tipo de representação das grandezas alternadas sinusoidais em que se utilizam
números complexos. Uma grandeza é representada por um número complexo G formado por
uma parte real, a, e por uma parte imaginária, b, afectada pelo operador j =
G = a + j b.
–1 ; assim
Im
G
b
G = a + jb
θ =ω t +
h
a
Re
Fig. A.2 - Representação simbólica
© Manuel Vaz Guedes, 1993
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S I S T E M A S P O LI F Á S I C O S
O operador j = –1 é caracterizado por promover uma rotação de π/2 rad no sentido
directo, ou trigonométrico, quando é aplicado a um fasor.
Verifica-se que j2 = –1, j3 = –j, j4 = 1.
Baseado no teorema de Euler, e j ß = exp(j ß) = cos ß + j sen ß, que é uma propriedade da
função exponencial no domínio complexo, é possível representar uma grandeza alternada
sinusoidal com números complexos.
G = G e j θ = G exp(jθ) = G (cos θ + j sen θ) = G ·cos θ + j G ·sen θ = a + j b
(a.1)
Atendendo à correspondência expressa em (a.1), verifica-se que:
a = G ·cos θ
e
b = G ·sen θ
Atendendo à figura A.2, também se verifica que:
θ = arctg (b/a)
e
( a2 + b2 )
G=
Para evitar a escrita frequente da função exponencial pode utilizar-se para a
representação simbólica das grandezas alternadas sinusoidais uma notação devida a
Arthur E. Kenelly (1894) : G = G / θ .
O valor instantâneo
produto por
de uma grandeza alternada sinusoidal obtém-se, tomando o
2 da parte real do fasor alternado
G·exp(j (ωt + ϕ)), quando a variação da
grandeza é em cosseno g(t) = 2 ·Re(G·exp(j (ωt + ϕ)) =
representada pelo f aso r G = G·exp(j ϕ) = G / ϕ .
2 ·G·cos(ωt + ϕ). A grandeza sinusoidal é
Na aplicação da notação simbólica aos circuitos eléctricos resulta, para a lei de Ohm
em corrente alternada, a expressão U = Z I . Se U = U / 0 e I = I / − φ , o cociente U/I é igual a
(U/I)/ φ = Z / φ . Atendendo à figura A.2 pode-se escrever U/I = R + j X = Z .
A determinação da derivada, em ordem ao tempo, de uma grandeza sinusoidal pode
ser feita com o auxílio da notação simbólica,
dg(t )/dt = d[ 2 G co s(ωt + α)]/dt = – ω
= ω
2 G·sen (ωt + α) =
2 G·co s(ωt + α + π/2)
em notação simbólica é
dg(t )/dt = ω⟨exp(j(π/2))· 2 G·ex p(j (ω t +α )) = j ω·G·exp(j (ω t ))
A derivação em cálculo simbólico traduzir-se-á na multiplicação do fasor
representativo da grandeza por jω, ou seja, em multiplicar a grandeza por ω e esfasá-la de
π/2 no sentido trigonométrico, avanço.
A integração em cálculo simbólico traduzir-se-á na divisão do fasor representativo
da grandeza por jω, ou seja em dividir a grandeza por ω e esfasá-la de π/2, no sentido
anti-trigonométrico, atraso.
As grandezas alternadas sinusoidais, em estudo, podem ser uma função do tempo
através do ângulo de fase (ωt + ϕ); b(t) = 2 ·B cos(ωt + ϕ). Nesse caso diz-se que as grandezas
são representadas pelo fasor temporal, ou simplesmente pelo fasor B = Bm exp(j ϕ). Mas as
grandezas alternadas sinusoidais, também, podem ser apenas função de uma ângulo espacial
(α – α o ); f(α) = Fm cos(α – α o ). Então, diz-se que as grandezas são representadas pelo fasor
espacial, f = Fm exp(jα o ). A representação simbólica destas grandezas será: b = B exp(jωt),
e f = f exp(– j α).
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Apêndice B – Símbolos para Grandezas e Unidades
G RA ND EZA
U N I DA D E
comprimento
l
metro
m
massa
m
quilograma
kg
tempo
t
segundo
s
ângulo (plano)
α, β, γ
radiano
rad
ângulo de rotação
θ
radiano
rad
velocidade angular
radiano por segundo
rad/s
força
ω, Ω
F
newton
N
binário
T
newton metro
N·m
energia
E, W
joule
J
potência
P
watt
W
campo eléctrico
E
volt por metro
V/m
potencial (eléctrico)
V
volt
V
tensão
u, U
volt
V
força electromotriz
e, E
volt
V
capacidade
C
farad
F
intensidade da corrente eléctrica
i, I
ampere
A
campo magnético
ampere por metro
A/m
força magnetomotriz
H
F, Fm
ampere
A
indução magnética
B
tesla
T
fluxo magnético
weber
Wb
potencial vector magnético
ψ, φ; Ψ, Φ
A
weber por metro
Wb/m
coef. auto-indução
L
henry
H
coef. indução mútua
M
henry
H
resistência
ohm
Ω
relutância
R
R, Rm
1 por henry
H–1
potência aparente
S
volt–ampere
VA
potência activa
P
watt
W
potência reactiva
Q
volt–ampere reactivo
v ar
factor de potência
-
-
frequência
λ
f
hertz
Hz
pulsação
ω
radianos por segundo
rad/s
diferença de fase
radiano
rad
deslizamento
ϕ, φ
s
-
-
número de espiras
N
-
-
número de fases
m
-
-
número de pares de pólos
p
-
-
número de rotações por
unidade de tempo
n
rotações por segundo
rot/s
temperatura absoluta
T
kelvin
K
temperatura Celsius
t
grau Celsius
ºC
– M VG.93 –
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