UnB Escoamento em torno de um cilindro infinito 1

UnB
Universidade de Brasília
Faculdade de Tecnologia
Departamento de Engenharia Mecânica
Laboratório de Mecânica dos Fluidos
Professor: Francisco Ricardo da Cunha e Gustavo Abade
Monitores: Adriano Possebon e Nuno Dias Jorge
Escoamento em torno de um cilindro infinito
1-OBJETIVOS
i) Encontrar a distribuição do coeficiente de pressão em torno do cilindro, para vários
números de Reynolds, medindo-se a diferença entre a pressão estática na superfície do
cilindro e a pressão estática do escoamento não perturbado. Deve-se medir também a
pressão dinâmica do escoamento não perturbado e determinar o coeficiente de arrasto de
forma ou inercial do cilindro devido às tensões normais de compressão(distribuição de
pressão na superfície do cilindro).
ii) Medir a força de arrasto num cilindro infinito por meio da balança do túnel de vento e
calcular o valor do coeficiente de arrasto usando o valor da força medida com a balança
instalada no túnel.
iii) Comparar a distribuição dos coeficientes de pressão teórico e experimental na superfície
do cilindro.
iv) Comparar os valores dos coeficientes de arrasto obtidos por meio da distribuição de
pressão na superfície do cilindro e da força de arrasto medida na balança (para se
determinar o arrasto devido às tensões cisalhantes).
2-TEORIA ENVOLVIDA
O escoamento em torno de um cilindro infinito, é em outras palavras, o escoamento
bidimensional em torno de um cilindro. Isso é conseguido na prática, colocando-se o
cilindro encostado nas duas laterais do túnel de vento, evitando assim a formação dos
vórtices de ponta.
O coeficiente de arrasto em torno de corpos rombudos é definido como:
CD =
FD
1 ρU 2 A
2 ∞
em que:
C D ⇒ coeficiente de arrasto
A ⇒ área projetada na direção normal ao escoamento
U ∞ ⇒ velocidade do escoamento não perturbado(no infinito)
ρ ⇒ massa específica do fluido que escoa
FD ⇒ força de arrasto
O coeficiente de pressão em um ponto do escoamento ou da superfície nas vizinhanças
do cilindro é definido como:
p − p∞
& u #
Cp =
= 1 − $$ !!
2
1 ⋅ ρ ⋅U ∞
%U∞ "
2
p⇒
2
em que:
pressão estática do ponto em questão
pressão estática do escoamento não perturbado
velocidade local do ponto em questão
p∞ ⇒
u⇒
Deve-se lembrar que num ponto de estagnação o C p sempre será igual a 1.
A teoria potencial prevê que o coeficiente de pressão em torno de um cilindro é dado pela
seguinte equação:
C p = 1− 4 sen 2 θ
E pela geometria do cilindro podemos concluir que o coeficiente de arrasto do mesmo é
dado por:
π
C D = ∫ C p ⋅ cosθ ⋅ dθ
0
A força é medida na balança do túnel de vento através da deformação de uma célula de
carga. Foi colocada nessa célula um extensômetro elétrico de resistência que associa as
deformações em micro-deformações com a força de arrasto em gramas. Levantou-se uma
curva de calibração desse extensômetro que é representada pela seguinte equação:
F = 2,39ε
F⇒
ε⇒
em que:
força na direção do escoamento aplicada na balança em gramas
deformação medida no equipamento vishay em micro-deformações
Mais detalhes da teoria pode ser visto no apêndice deste roteiro.
3-PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS
Para vários números de Reynolds, seguir o seguinte procedimento:
•
•
•
•
Conectar o manômetro digital à tomada de pressão estática do cilindro e à tomada
de pressão estática do escoamento não perturbado à montante do cilindro.
Conectar outro manômetro ao tubo de pitot para medir a pressão dinâmica do
escoamento.
Ligar o túnel de vento e posicionar o furo de tomada de pressão estática de tal
maneira que se tenha o máximo valor indicado no manômetro. Então regula-se o
transferidor da balança de tal forma que indique que o furo esteja a zero graus. A
partir daí, fixa-se o transferidor e então anota-se o valor indicado no manômetro a
cada incremento de ângulo até chegar a 180° (adota-se um incremento de 5° ).
Para medição da força de arrasto na balança, deve-se balancear a ponte de
wheadstone e depois então regular o mostrador de maneira que ele marque o mesmo
valor que o vishay. Zera-se o mostrador e então o equipamento fica pronto para ser
utilizado.
4-APARATO EXPERIMENTAL
•
•
•
•
•
Túnel de vento Plint&Partners LTD Engineers com seção de testes de 460mm x
460mm, ventilador centrífugo e motor elétrico com potência de 22KW equipado
com inversor de freqüência.
Manômetro digital Validyne
Balança de três componentes da marca Plint&Partners LTD Engineers
Equipamento Vishay com mostrador
Um cilindro liso de 0,075m de diâmetro e 460mm de comprimento
5-RESULTADOS
•
•
•
•
Para cada número de Reynolds, plotar as curvas do Cp (teórico) versus o ângulo θ
e Cp (experimental) versus o ângulo θ .
Para cada número de Reynolds, determinar o coeficiente de arrasto pela integração
numérica do Cp.
Para cada número de Reynolds, determinar o coeficiente de arrasto por meio da
força de arrasto medida na balança. Plotar o gráfico Cd versus Reynolds e comparar
os valores de Cd medidos por meio das duas metodologias.
Para cada número de Reynolds, determinar o arrasto de fricção do cilindro
utilizando os resultados do dois últimos itens.
6-ANÁLISES E CONCLUSÕES
Cada relatório deverá comentar os seguintes assuntos:
i)
Explicar porque ocorre diferença entre as curvas teórica e experimental do
coeficiente de pressão versus o ângulo de ataque.
ii)
Analisar as diferenças entre o valor do coeficiente de arrasto calculado por meio
da integração numérica do Cp e o valor do coeficiente de arrasto calculado
através da força medida na balança, para um mesmo número de Reynolds.
Estimar o ponto de descolamento da camada limite (a,θ ) para os diferentes
números de Reynolds e explicar porque o ponto de descolamento desloca-se
para trás do cilindro a medida que o número de Reynolds aumenta.
Explicar o que aconteceria com o coeficiente de arrasto, caso o cilindro do
experimento tivesse a superfície rugosa.
Descrever outra maneira, além das duas vistas, de se obter a força de arrasto do
cilindro em um túnel de vento (para escoamentos bidimensionais como nesse
experimento).
Concluir sobre a validade do experimento.
iii)
iv)
v)
vi)
7-APÊNDICE
ANÁLISE DAS ESCALAS NAS VIZINHANÇAS DO CILINDRO:
Temos que a equação de Bernoulli é dada por:
P∞
ρ
=
P
ρ
+
U2
2
e fazendo as escalas temos:
u ~ U∞
x ~ a
usando as escalas da equação de Bernoulli:
P∞ − P
ρ
~
ΔPA ~ ρ
U2
2
ou
U2
A
2
FD = C D ρ
ΔP ~ ρ
FD ~ ρ
ou
U ∞2
A
2
U2
2
ou
e multiplicando os dois lados por A, temos:
U2
A
2
CD =
e colocando um coeficiente:
FD
1 ρU 2 A
2 ∞
Definição do coeficiente de pressão:
Seja um escoamento em torno de um cilindro. Aplicando a equação de Bernoulli entre o
infinito e um ponto na superfície do cilindro temos que:
U ∞2
P u2
+
= +
ρ
2
ρ 2
P∞
P − P∞
ρ
U 2 u2
= ∞ −
2
2
(P − P∞ ) = 1 − &$
1 ρU 2
2 ∞
P − P∞
ou
ρ
2
U ∞2 & , u ) #
' !
$1 − *
=
2 $ *+ U ∞ '( !
%
"
2
u #
$ U !! = C p
% ∞"
C p é o parâmetro físico do escoamento que relaciona as forças de pressão na superfície do
cilindro e as forças de inércia.
ESCOAMENTO EM TORNO DE UM CILINDRO:
Considere o caso onde um escoamento uniforme é superposto a um dipolo cuja direção do
eixo seja paralela à direção do escoamento uniforme. Somando-se as funções potenciais do
dipolo e do escoamento uniforme e sabendo que V = ∇φ , chega-se ao seguinte resultado:
1 ∂φ
vθ = r ∂θ = −U
e
vr =
∞
sinθ −
B
r
2
sinθ
∂φ
B
= U ∞ cos θ − 2 cos θ
∂r
r
Observando as equações acima, podemos notar que
v
r
=0
para todos os pontos onde
r = B U ∞ = cons tan te . Como a velocidade é sempre tangente à linha de corrente, então
o fato da componente da velocidade
v
r
, que é perpendicular à circunferência de raio
r = R = B U ∞ , ser igual a zero implica que essa circunferência pode ser considerada
como uma linha de corrente do escoamento. Substituindo B por
que:
2
&
#
R
$
vθ = −U ∞ sinθ $1 + 2 !!
% r "
e
2
RU
∞
, encontra-se
2
&
#
R
$
vr = U ∞ cosθ $1 − 2 !!
% r "
Percebe-se que as equações acima satisfazem a condição de que em pontos distantes do
cilindro a velocidade tende para o valor da velocidade do escoamento não perturbado (do
escoamento uniforme). Na superfície do cilindro a velocidade é igual a:
vθ = −2U
∞
sinθ
e
v
r
=0
Nota-se também que quando θ = 0 ou θ = π , a velocidade é igual a zero e os pontos onde
isso ocorre são chamados de pontos de estagnação.
Já que a velocidade na superfície de um cilindro é função do ângulo θ , então a pressão
estática também será função de θ . Usando a equação de Bernoulli, obtemos a expressão
para o campo de pressão na superfície do cilindro:
p=
p
∞
+
1
2
2
2
− 2 ρ U ∞ sin θ
ρ
U
∞
∞
2 ∞
e expressando a distribuição de pressão através da definição de coeficiente de pressão,
temos:
C
2
p
= 1− 4 sin θ
COMO CALCULAR O COEFICIENTE DE ARRASTO DE FORMA OU INERCIAL EM
FUNÇÃO DO Cp MEDIDO NO EXPERIMENTO:
F =
∫ pnˆds
ou
π
0
π
F ⋅ iˆ = FD = ∫ p cosθrLdθ
0
π
FD
= ∫ ap cosθdθ
0
L
mas como C p =
(
)
F = ∫ p cos θ ⋅ iˆ + senθ ⋅ ˆj rLdθ
na superfície do cilindro
r = a:
(1)
2( p − p∞ )
ρU ∞2
ou
Substituindo (2) em (1), temos que:
U ∞2
p=ρ
C p + p∞
2
(2)
π ( Cp
π
%
FD
U2 π
= ∫ &&
U ∞2 ρ + p∞ ##a cosθdθ = ρ ∞ a ∫ C p cosθdθ + ap ∞ ∫ cosθdθ
0
0
L
2 0
' 2
$
2
π
U
FD = '% ∫ C p cosθdθ $" ρ ∞ aL
& 0
# 2
CD =
π
∫
0
mas como FD = C D ρ
U ∞2
A
2
então:
C p cosθdθ
E a integral acima deve ser resolvida numericamente. Abaixo está proposto um
procedimento para resolução numérica da integral acima pela regra dos trapézios ( que tem
3
um erro da ordem de h como veremos adiante).
A regra dos trapézios nos diz que uma integral pode ser aproximada por:
xm
∫
x0
f ( x)dx =
h
{ f ( x0 ) + 2[ f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xm−1 )] + f ( xm )}
2
3
com um erro da ordem de h .
Aplicando essa regra para o caso da integral que queremos resolver, temos que:
π
∫
0
C p cos θdθ =
h
{1 + 2 C p (h) cos(h) + C p (2h) cos(2h) + ... + C p (π − h) cos(π − h) − C p (π )}
2
[
π
onde h = N
N → número de intervalos desejado
n = N +1
n → número de pontos
π
∫
0
C p cos θdθ =
N −1
h(
%
1
−
C
(
π
)
+
2
C p (i ) cos(i ⋅ h)#
∑
p
&
2'
i =1
$
]