MN08 - ABCM

ILHA SOLTEIRA
XII Congresso Nacional de Estudantes de Engenharia Mecânica - 22 a 26 de agosto de 2005 - Ilha Solteira - SP
Paper CRE05-MN08
MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO MOVIMENTO DE CORPOS
EM QUEDA LIVRE
Diego Alves de Moro Martins e Aristeu da Silveira Neto
Universidade Federal de Uberlândia - UFU, Faculdade de Engenharia Mecânica
Laboratório de Transferência de Calor e Massa e Dinâmica dos Fluidos - LTCM
Av. João Naves de Ávila, 2160, Bairro Santa Mônica, CEP 38400-009, Uberlândia, MG
E-mail para correspondência: [email protected] ou [email protected]
Introdução
Neste trabalho estuda-se o comportamento dinâmico de uma esfera e um cilindro em queda livre, sem
rotação, unidirecional somente na direção vertical, em meio infinito, em fluido Newtoniano, em duas
dimensões. Desenvolveu-se soluções analíticas numéricas de uma EDO, utilizando-se de uma correlação
para o coeficiente de arrasto. Os resultados são com uma solução numérica das equações de Navier-Stokes.
Objetivo
O principal objetivo deste trabalho é analisar e comparar o comportamento de diferentes métodos
numéricos e computacionais, utilizados para verificar o comportamento de corpos em queda livre.
Metodologia
Para realizar análise numérica de um corpo em queda livre em meio fluido, foi utilizada a 2a lei de
Newton (Halliday et al., 1981), para derivar a EDO a qual foi resolvida numericamente e analiticamente. A
Eq. (1) representa a somatória das forças resultantes em um corpo em queda livre.
⎛ dV p ⎞
⎟
(Pp − Fd − Fe ) = m p ⎜⎜
⎟
⎝ dt ⎠
(1)
A força peso Pp usada da Eq. (1) é representada pelo produto da massa mp do corpo pela gravidade local
g, a Eq. (2) e a Eq. (3) representam respectivamente as equações da força de arrasto Fd (Fox et al., 1988) e da
força de empuxo Fe (Fox et al., 1988), onde Cd é o coeficiente de arrasto do corpo, Ap representa a área
transversal do corpo, ρf é a densidade do fluido, Vp representa a velocidade do corpo e Vp representa o
volume do corpo.
Fd =
C d ρ f V p2 A p
(2)
2
Fe = V p ρ f g
(3)
O coeficiente de arrasto citado é especifico para o cilindro e para a esfera (White, 1991), e são
representados respectivamente pela Eq. (4), e Eq. (5), onde o numero de Reynolds Re é representado pelo
produto da velocidade do corpo com o seu diâmetro D dividido pela viscosidade cinemática do fluido νf.
10
Cd = 1 +
(4)
2
Re 3
Cd =
24ν f
VpDp
+
6
1 + Re
+ 0 ,4
(5)
A Eq. (6) representa a equação geral da velocidade de um corpo em queda livre, que é formada pelas
equações Eq. (1), Eq. (2) e Eq. (3).
dV p
dt
=g−
Vp ρ f g
mp
−
C d ρ f V p2 A p
2m p
.
(6)
A equação (6) foi descretizada utilizando-se oito métodos (Ruggiero et al., 1988) para o caso da esfera:
método explícito, implícito, de Crank-Nicolson, de Adams-Bashfort, de Runge-Kutta de 2ª, 3ª e de 4ª ordem
e pelo método dos trapézios, e em três métodos para o caso do cilindro: método explicito, método de RungeKutta de 4ª ordem e o método dos trapézios.
Resultados
A Figura 1 representa a comparação gráfica da velocidade em função do tempo entre a solução analítica
(método explícito) e a solução numérica (Vilaça, 2005) quando um cilindro está em queda livre em meio
fluido. Os dados utilizados foram os da Tab. 1.
Tabela 1 – Características do corpo e do fluido.
Especificações
Diâmetro do cilindro
0,01 m
Profundidade do cilindro
Unitária
Densidade do cilindro
3 kg/m3
Densidade do fluido
1 kg/m3
Viscosidade do fluido
0,0001 kg/ms
Variação de tempo
0,01 s
Figura 1 – Comparação entre o método analítico e o método numérico
Conclusões
Após varias comparações utilizando diversos métodos e diversas variações de espaços de tempo, foi
observado que cada método tem certas características e um certo custo, levando em conta o tempo de
processamento, a complexidade das equações, e a precisão nos resultados. Também se pode observar que a
solução numérica produz resultados mais reais, tendo em vista que esta solução considera efeitos que não
descritos na solução analítica.
Referências bibliográficas
Fox, R.W., McDonald, A.T., “Introdução à mecânica dos fluidos”, 1988.
Halliday, D., Resnick, R., “Física”, Vol.1, pp.81-82, 1981.
Ruggiero, M.A.G., Lopes, V.L.R., “Calculo numérico aspectos teóricos e computacionais”, 1988.
White, F.M., “Viscous fluid flow”, 1991.
Vilaça, A.C., “Simulação numérica de interação fluido estrutura”, notas pessoais-LTCM/FEMEC/UFU, 21p.,
2005.