sentenças abertas-revisão

LÓGICA SENTENCIAL
No estudo das operações com conjuntos e das soluções de problemas envolvendo conjuntos, os diagramas
ajudam a visualizar e contribuem para a compreensão de vários assuntos em Lógica.
Um tipo especial de proposição são as proposições categóricas. Podemos identificá-Ias facilmente porque
são precedidas pelos quantificadores lógicos: “Todo (  )”, “Nenhum (¬  )”, “Algum (  )”. Na lógica clássica (também
chamada de lógica aristotélica) o estudo da dedução era desenvolvido usando-se as proposições categóricas.
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE, (RETIRADA DE UMA PROVA):
Na linguagem falada ou escrita, o elemento primitivo é a sentença, ou proposição simples, formada
basicamente por um sujeito e um predicado. Nessas considerações, estão incluídas apenas as proposições
afirmativas ou negativas, excluindo, portanto, as proposições interrogativas, exclamativas etc. Só são consideradas
proposições aquelas sentenças bem definidas, isto é, aquelas sobre as quais pode decidir serem verdadeiras (V) ou
falsas (F).
Toda proposição tem um valor lógico, ou uma valoração, V ou F, excluindo-se qualquer outro.
As proposições serão designadas por letras maiúsculas A, B, C etc.
Há expressões às quais não se pode atribuir um valor lógico V ou F, por exemplo: “Ele é juiz do TRT da 5.ª
Região”, ou “x + 3 = 9”. O sujeito é uma variável que pode ser substituído por um elemento arbitrário, transformando a
expressão em uma proposição que pode ser valorada como V ou F. Expressões dessa forma são denominadas
sentenças abertas, ou funções proposicionais.
Pode-se passar de uma sentença aberta a uma proposição por meio dos quantificadores “qualquer que seja”,
ou “para todo”, indicado por  , e “existe”, indicado por  . Por exemplo: a proposição  (x)(x  R)(x + 3 = 9) é
valorada como F, enquanto a proposição  (x)(x  R)(x + 3 = 9) é valorada como V.
Exemplos:
"Todos os homens são mortais" se torna "Para todo x, se x é homem, então x é mortal.", o que pode
ser escrito simbolicamente como: x( H ( x)  M ( x))
"Alguns homens são vegetarianos" se torna "Existe algum (ao menos um) x tal que x é homem e x é
vegetariano", o que pode ser escrito simbolicamente como: x( H ( x)  V ( x))
.
As proposições categóricas podem ser universais ou particulares, cada uma destas subdividindo-se em
afirmativa ou negativa. Temos, portanto, quatro proposições categóricas possíveis.
As quatro proposições categóricas possíveis, em suas formas típicas, são dadas no quadro seguinte:
Proposições Afirmativas
Proposições Negativas
Proposições Universais
(A) Todo “A” é “B“
(E) Nenhum “A” é “B”
Todo A não é B
Proposições Particulares
(I) Algum “A” é “B”
(O) Algum “A” não é “B”
Entre parênteses estão as vogais que as representam quantificação
Podemos observar no quadro acima que cada uma das proposições categóricas na forma típica começa por
“Todo” ou “Nenhum” (chamados de quantificadores universais) ou por “Algum” (chamado de quantificador
particular ).
Sujeito e predicado de uma proposição categórica
Dada uma proposição categórica em sua forma típica chamamos:
- Sujeito: Elemento da sentença relacionado ao quantificador da proposição
- Predicado: Elemento que se segue ao verbo
Exemplo:
PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS
Todo estudante dedicado é bem sucedido
Nenhum animal é imortal
SUJEITO
PREDICADO
Estudante
Animal
Bem sucedido
Imortal
Algum atleta é artista
Algum policial não é idôneo
Atleta
Policial
Artista
Idôneo
Exemplos:
Todo pássaro voa.
Alguns computadores travam.
Nenhuma mulher é feia.
01- Particular afirmativo: Algum A é B
Alguns termos que podem substituir a palavra “algum” nas provas de concursos
- Ao menos um
- Pelo menos um
- Existe
INTERSEÇÃO (A  B)
- Alguém
públicos:
= {u}
Conjunto unitário
Relação de qualidade
Algum
A
é
B
Relação de quantidade
O conjunto interseção é formado pelos elementos que pertencem aos conjuntos A e B simultaneamente.
(A  B) = {x / x  A e x  B}
Simbologicamente:  x (A(x) ^B(x))   x (B(x) ^A(x))
02- Universal Negativo: Nenhum A é B
CONJUNTOS DISJUNTOS
O termo “nenhum” pode ser substituído pela a palavra “não existe” nas provas de concursos públicos:
Relação de qualidade
Nenhum
A
é
B
A e B são disjuntos se A  B = Ø.
Conjunto vazio
Relação de quantidade
Simbologicamente: ¬  x (A(x) ^B(x))  ¬  x (B(x)^A(x))
03- Particular negativo: Algum A não é B
Alguns termos que podem substituir a palavra “algum” nas provas de concursos públicos:
- Ao menos um
- Pelo menos um
Relação de qualidade
Algum
A não é B
- Existe
- Alguém
C A = A - B = {x / x  A e x
COMPLEMENTAR
B
 B}
Simbologicamente:  X (A(X)^¬B(X))
04- Universal Afirmativo: Todo A é B
AUB=B
A∩B=A
INCLUSÃO DE CONJUNTOS (A C B)
Alguns termos que podem substituir a palavra “todo” nas provas de concursos públicos:
- Para todo;
- Qualquer que seja.
Relação de qualidade
Todo
A é B
Relação de quantidade
U
A
B
AeB
B-A
~A e ~B
Simbologicamente:
OBS.: x( A( x)  B ( x))  x( B ( x)  A( x)) NÃO POSSUI A PROPRIEDADE COMUTATIVA.
LINGUAGEM (SIMBOLOGIA) DAS PROPROSIÇÕES CATEGÓRICAS
Nesses últimos concursos as bancas têm cobrado dos candidatos um conhecimento mais amplo referente à
simbologia e a escrita das proposições categóricas. Sendo assim torna-se importante verificarmos algumas
questões de concursos.
APLICAÇÃO: QUESTÃO DE CONCURSO COMENTADA
1) (INSS – 2008 – CESPE)
Algumas sentenças são chamadas abertas porque são passíveis de interpretação para que possam ser julgadas
como verdadeiras (V) ou falsas (F). Se a sentença aberta for uma expressão da forma  x P(x), lida como “para todo
x, P(x)”, em que x é um elemento qualquer de um conjunto U, e P(x) é uma propriedade a respeito dos elementos de
U, então é preciso explicitar U e P para que seja possível fazer o julgamento como V ou como F.
A partir das definições acima, julgue os itens a seguir.
1( ) Considere-se que U seja o conjunto dos funcionários do INSS, P(x) seja a propriedade “x é funcionário do INSS”
e Q(x) seja a propriedade “x tem mais de 35 anos de idade”. Desse modo, é correto afirmar que duas das formas
apresentadas na lista abaixo simbolizam a proposição “Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade.”
(i)
(se Q(x) então P(x))
(ii)
(P(x) ou Q(x))
(iii)
(se P(x) então Q(x))
2( ) Se U for o conjunto de todos os funcionários públicos e P(x) for a propriedade “x é funcionário do
INSS”, então é falsa a sentença
P(x).Comentário:
Item 1 – A proposição: “Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade” é um quantificador
Universal Afirmativo, em que temos a seguinte simbologia:
((P(x)  Q(x)) ou pode ser escrita
(se
P(x) então Q(x)).
Sendo assim analisaremos os seguintes itens:
(i)
(se Q(x) então P(x)) : Esta forma não simboliza corretamente a
proposição pois o quantificador universal afirmativo não permite a
propriedade comutativa.
(ii)
(P(x) ou Q(x)): Esta forma não simboliza corretamente a proposição, pois
o quantificador universal afirmativo não se trata de uma união de conjuntos,
mas sim de uma inclusão de conjuntos.
(iii)
(se P(x) então Q(x)): Esta forma está correto.
Logo o item 1 está errado pois não temos duas formas que representam o proposição encontrada no
enunciado.
Item 2 - Construindo um diagrama para representar sentença
P(x), temos:
U (Conjunto de todos os funcionários públicos)
P (conjunto dos funcionários do INSS)
x
x
O elemento x pode pertencer ao conjunto P, o que pertence também ao conjunto U, mas temos a
possibilidade do elemento x pertencer somente ao conjunto U, o que torna a sentença falsa, uma vez que
ser funcionário público não garante ser funcionário do INSS.
Logo o item 2 está correto.
Momento de Treinamento
1) ( BB – 2008 – CESPE) Julgue os itens :
01 Suponha-se que U seja o conjunto de todas as pessoas, que M(x) seja a propriedade “x é mulher” e que D(x) seja
a propriedade “x é desempregada”. Nesse caso, a proposição “Nenhuma mulher é desempregada” fica corretamente
simbolizada por ¬  (M(x)^D(x)).
02 A proposição “Não existem mulheres que ganham menos que os homens” pode ser corretamente simbolizada na
forma  x (M(x)  G(x)).
03- ( TRT 5ª RG 2008) Se R é o conjunto dos números reais, então a proposição (
)(x  R)(  y)(y  R)(x + y = x)
é valorada como V.
GABARITO 1 – C 2- E 3- C
NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES CATEGORICAS
Duas proposições categóricas distintas que tenham o mesmo sujeito e o mesmo predicado ou não poderão ser ambas
verdadeiras ou não poderão ser ambas falsas, ou as duas coisas.
Dizemos que estarão sempre em oposição.
CONTRÁRIAS
Todo A é B
Nenhum A é B
Nega quantidade, mas não qualidade.
SUBCONTRÁRIAS
Algum A é B
Algum A não
CONTRADITÓRIAS
Nega qualidade, mas não quantidade.
Todo A é B
Algum A não é B
Algum A é B ↔ Nenhum A é B
Nega quantidade e qualidade
APLICAÇÃO: QUESTÃO DE CONCURSO COMENTADA
01-(UnB/CESPE –2008 –SEBRAE -ANALISTA
Considere a seguinte proposição: “Ninguém será considerado culpado ou condenado sem julgamento.” Julgue os
itens que se seguem, acerca dessa proposição.
1 ( ) A proposição “Existe alguém que será considerado culpado ou condenado sem julgamento” é uma proposição
logicamente equivalente à negação da proposição acima.
2 ( ) “Todos serão considerados culpados e condenados sem julgamento” não é uma proposição logicamente
equivalente à negação da proposição acima.
Comentário:
Item 1 – A negação da proposição: “Ninguém será considerado culpado ou condenado sem julgamento.”
será pela negação contraditória: “Existe alguém que será considerado culpado ou condenado sem
julgamento”, uma vez que nega quantidade e qualidade. Logo o item está correto.
Item 2 – Tomando como base o item anterior podemos concluir que “Todos serão considerados culpados e
condenados sem julgamento” não é a negação da proposição proposta pela questão. Logo item está
correto.
02-(UnB/CESPE –2008 –SEBRAE -ANALISTA Com relação à lógica formal, julgue o item subseqüente.
( ) A negação da proposição “Ninguém aqui é brasiliense” é a proposição “Todos aqui são brasilienses”
Comentário
A proposição: “Ninguém aqui é brasiliense” trata-se de quantificador universal negativo. Se quisermos a negação
torna-se viável negarmos pela contraditória, uma vez que termos a certeza que será por quantidade e qualidade. Logo
a negação será: “Alguém aqui é brasiliense”. O item está errado.
Questões de concursos Públicos
1) (CESPE –2007) Na lógica de primeira ordem, uma proposição é funcional quando é expressa por um predicado que contém um
número finito de variáveis e é interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F) quando são atribuídos valores às variáveis e um
significado ao predicado. Por exemplo, a proposição “Para qualquer x, tem-se que x - 2 > 0” possui interpretação V quando x é um
número real maior do que 2 e possui interpretação F quando x pertence, por exemplo, ao conjunto {-4, -3, -2, -1, 0}.
Com base nessas informações, julgue os próximos itens.
1 A proposição funcional “Para qualquer x, tem-se que x 2 > x” é verdadeira para todos os valores de x que estão no conjunto
2 A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” é verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10,
15, 16}.
2) (CESPE-2008) Julgue o item.
1 Se R é o conjunto dos números reais, então a proposição (x)(x  R)(y)(y  R)(x + y = x) é valorada como V.
3) (CESPE-2008) Julgue o item.
1 Se Q é o conjunto dos números racionais, então a proposição (x)(x  Q e x > 0)(x 2 > x) é valorada como F.
2 Se Q é o conjunto dos números racionais, então a proposição (x)(x  Q)(x2 = 2) é valorada como V.
4) (CESPE-2008) Proposição é uma frase que pode ser julgada como verdadeira —V — ou falsa — F —, não cabendo a ela ambos
os julgamentos. Um argumento correto é uma seqüência de proposições na qual algumas são premissas, e consideradas V, e as
demais são conclusões, que, por conseqüência da veracidade das premissas, também são V. Proposições simples podem ser
representadas simbolicamente pelas letras A, B, C etc. Conexões entre proposições podem ser feitas por meio de símbolos
especiais. Uma proposição da forma AB, lida como “A ou B”, tem valor lógico F quando A e B são F; caso contrário, é V. Uma
proposição da forma AB, lida como “A e B”, tem valor lógico V quando A e B são V; caso contrário, é F. Uma proposição da
forma ¬A, a negação de A, é F quando A é V, e é V quando A é F. Uma expressão da forma P(x), proposição da lógica de primeira
ordem, em que P denota uma propriedade a respeito dos elementos x de um conjunto U, tem a sua veracidade ou falsidade
dependente de U e do significado dado a P. Se a proposição for da forma  xP(x), lida como “Existe x tal que P(x)”, tem a sua
valoração V ou F dependente de existir ou não um elemento em U que satisfaça a P. De acordo com as definições apresentadas
acima e a veracidade de todas as informações apresentadas no texto precedente, julgue os itens
1 Suponha-se que U seja o conjunto de todas as pessoas, que M(x) seja a propriedade “x é mulher” e que D(x) seja a propriedade
“x é desempregada”. Nesse caso, a proposição Nenhuma mulher é desempregada” fica corretamente Simbolizada por ¬  x(M(x)
 D(x)).
2 A proposição “Não existem mulheres que ganham menos que os homens” pode ser corretamente simbolizada na forma
x(M(x)  G(x)).

5) (CESPE-2008) Algumas sentenças são chamadas abertas porque são passíveis de interpretação para que possam ser julgadas
como verdadeiras (V) ou falsas (F). Se a sentença aberta for uma expressão da forma xP(x), lida como “para todo x, P(x)”, em
que x é um elemento qualquer de um conjunto U, e P(x) é uma propriedade a respeito dos elementos de U, então é preciso
explicitar U e P para que seja possível fazer o julgamento como V ou como F.
A partir das definições acima, julgue os itens a seguir.
1 Considere-se que U seja o conjunto dos funcionários do INSS, P(x) seja a propriedade “x é funcionário do INSS” e Q(x) seja a
propriedade “x tem mais de 35 anos de idade”. Desse modo, é correto afirmar que duas das formas apresentadas na lista abaixo
simbolizam a proposição Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade.
(i)  x(se Q(x) então P(x))
(ii)  x(P(x) ou Q(x))
(iii)  x(se P(x) então Q(x))
2 Se U for o conjunto de todos os funcionários públicos e P(x) for a propriedade “x é funcionário do INSS”, então é falsa a
sentença  xP(x).
6) (CESPE-2006) Proposições também são definidas por predicados que dependem de variáveis e, nesse caso, avaliar uma
proposição como V ou F vai depender do conjunto onde essas variáveis assumem valores. Por exemplo, a proposição “Todos os
advogados são homens”, que pode ser simbolizada por (x)(A(x)  H(x)), em que A(x) representa “x é advogado” e H(x)
representa “x é homem”, será V se x pertencer a um conjunto de pessoas que torne a implicação V; caso contrário, será F. Para
expressar simbolicamente a proposição “Algum advogado é homem”, escreve-se (x)(A(x)  H(x)). Nesse caso, considerando que
x pertença ao conjunto de todas as pessoas do mundo, essa proposição é V. Na tabela abaixo, em que A e B simbolizam
predicados, estão simbolizadas algumas formas de proposições.
A partir das informações dos textos I e II, julgue os itens subseqüentes.
1 A proposição “Nenhum pavão é misterioso” está corretamente simbolizada por ¬(x)(P(x)M(x)), se P(x) representa “x é um
pavão” e M(x) representa “x é misterioso”.
2 Considerando que (x)A(x) e (x)A(x) são proposições, é correto afirmar que a proposição (x)A(x)  (x)A(x) é avaliada como
V em qualquer conjunto em que x assuma valores.
7) (CESPE-2006) Julgue o item
1A proposição (x) ((x > 0)  (x + 2) é par) é V se x é um número inteiro.
8) (ANPAD-2009) Sejam as definições de categorias Ax: x é administrador, Px x é bom profissional e Sx: x tem bom salário. Uma
simbolização para “Todo administrador que é bom profissional, tem bom salário” é
A) x((Ax Px) Sx)
B) x((Ax  Px) Sx)
C) x(Ax  (Px Sx))
D) x((Ax Px)  Sx)
E) x((Ax  Px)  Sx)
9) (CESPE-2008) Julgue os itens
1 Se Q é o conjunto dos números racionais, então a proposição (x)(x  Q)(x2 + x - 1 = 0) é julgada como V.
2 Se N é o conjunto dos números inteiros, então a proposição (x)(x  N)[(x - 1)x(x + 1) é divisível por 3 é julgada como V.
Gabarito
Questões de concursos públicos
01
02
03
04
05
EE
C
CE
CE
EC
06
07
08
09
10
CC
E
B
EC
DIAGRAMAS LÓGICOS
Fixação de Aprendizagem
01) Todo A é B, e todo C não é B, portanto:
a) Algum A é C
b) Nenhum A é C
c) Nenhum A é B
d) Algum B é C
e) Nenhum B é A
02) Todos os artistas são belos.
Alguns artistas são indigentes.
a) Alguns indigentes são belos
b) Alguns indigentes não são belos
c) Todos os indigentes são belos
d) Todos os indigentes não são belos
e) Nenhum indigente é belo.
03)Todos os que conhecem João e Maria admiram Maria. Alguns que conhecem Maria não a admiram. Logo:
a) Todos os que conhecem Maria a admiram.
b) Ninguém admira Maria.
c) Alguns que conhecem Maria não conhecem João.
d) Quem conhece João admira Maria.
e) Só quem conhece João e Maria conhece Maria.
05) Todo cristão é monoteísta. Algum cristão é luterano logo:
a) Todo monoteísta é luterano.
b) Algum luterano é monoteísta
c) Algum luterano não é cristão
d) Nenhum monoteísta é cristão
e) Nenhum luterano é monoteísta.
Questões de concursos Públicos
07) (ESAF) Nenhum M é K. Alguns R são K, logo:
a)
b)
c)
d)
e)
Nenhum R é M
Todo R é M
Algum R não é M
Algum R é M
Todo R não é M.
08) (TTN) Se é verdade que “Alguns A são R” e que “nenhum G é R”, então é necessariamente verdadeiro que:
a) Algum A não é G
b) Algum A é G
c) Nenhum A é G
d) Algum G é A
e) Nenhum G é A
09) (TCU) Se é verdade que “alguns escritores são poetas” e que “nenhum músico é poeta”, então, também é necessariamente
verdade que:
a) Nenhum músico é escritor
b) Algum escritor é músico
c) Algum músico é escritor
d) Algum escritor não é músico
e) Nenhum escritor é músico
10) (ESAF) Uma escola de arte oferece aulas de canto, dança, teatro, violão e piano. Todos os professores de canto são, também,
professores de dança, mas nenhum professor de dança é professor de teatro. Todos os professores de violão são, também,
professores de piano, e alguns professores de piano são, também, professores de teatro. Sabe-se que nenhum professor de piano
é professor de dança, e como as aulas de piano, violão e teatro não têm nenhum professor em comum, então:
a) nenhum professor de violão é professor de canto
b) pelo menos um professor de violão é professor de teatro
c) pelo menos um professor de canto é professor de teatro
d) todos os professores de piano são professores de canto
e) todos os professores de piano são professores de violão
11) (ESAF) Em um grupo de amigas, todas as meninas loiras são, também, altas e magras, mas nenhuma menina alta e magra tem
olhos azuis. Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos, e algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis.
Como nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra, e como neste grupo de amigas não existe nenhuma menina que tenha
cabelos crespos, olhos azuis e seja alegre, então:
a) pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis.
b) pelo menos uma menina loira tem olhos azuis.
c) todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras.
d) todas as meninas de cabelos crespos são alegres.
e) nenhuma menina alegre é loira.
12) (ESAF) Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de história. Todos
os alunos de português são também alunos de informática, e alguns alunos de informática são também alunos de história. Como
nenhum aluno de informática é aluno de inglês, e como nenhum aluno de português é aluno de história, então:
a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês.
b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de história.
c) nenhum aluno de português é aluno de matemática.
d) todos os alunos de informática são alunos de matemática.
e) todos os alunos de informática são alunos de português.
13) (ESAF) Todas as amigas de Aninha que foram à sua festa de aniversário estiveram, antes, na festa de aniversário de Betinha.
Como nem todas amigas de Aninha estiveram na festa de aniversário de Betinha, conclui-se que, das amigas de Aninha,
a) todas foram à festa de Aninha e algumas não foram à festa de Betinha.
b) pelo menos uma não foi à festa de Aninha.
c) todas foram à festa de Aninha e nenhuma foi à festa de Betinha.
d) algumas foram à festa de Aninha mas não foram à festa de Betinha.
e) algumas foram à festa de Aninha e nenhuma foi à festa de Betinha.
14) (FCC/TRF-2006) Algum X é Y. Todo X é Z. Logo,
a) algum Z é Y.
b) algum X é Z.
c) todo Z é X.
d) todo Z é Y.
e) algum X é Y.
15 (CESPE/PF-2004) Pedro candidato ao cargo de Escrivão de Polícia Federal, necessitando adquirir livros para se preparar para o
concurso, utilizou um site de busca da Internet e pesquisou em uma livraria virtual, especializada nas áreas de direito,
administração e economia, que vende livros nacionais e importados. Nessa livraria, alguns livros de direito e todos os de
administração fazem parte dos produtos nacionais. Além disso, não há livro nacional disponível de capa dura. Com base nas
informações acima, é possível que Pedro, em sua pesquisa, tenha
1 encontrado um livro de administração de capa dura.
2 adquirido dessa livraria um livro de economia de capa flexível.
3 selecionado para compra um livro nacional de direito de capa dura.
4 comprado um livro importado de direito de capa flexível
16) (CESPE-2008) Com relação à lógica formal, julgue o item subseqüente.
1 A negação da proposição “Ninguém aqui é brasiliense” é a
proposição “Todos aqui são brasilienses”.
17) (CESPE-2008) Considere a seguinte proposição: “Ninguém será considerado culpado ou condenado sem julgamento.” Julgue
os itens que se seguem, acerca dessa proposição.
1 A proposição “Existe alguém que será considerado culpado ou condenado sem julgamento” é uma proposição logicamente
equivalente à negação da proposição acima.
2 “Todos serão considerados culpados e condenados sem julgamento” não é uma proposição logicamente equivalente à negação
da proposição acima.
18) (CESPE-2008) Considere as seguintes proposições:
I Todos os cidadãos brasileiros têm garantido o direito de herança.
II Joaquina não tem garantido o direito de herança.
III Todos aqueles que têm direito de herança são cidadãos de muita sorte.
Supondo que todas essas proposições sejam verdadeiras, é correto concluir logicamente que
1 Joaquina não é cidadã brasileira.
2 todos os que têm direito de herança são cidadãos brasileiros.
3 se Joaquina não é cidadã brasileira, então Joaquina não é de
muita sorte.
19) (CESPE-2006) Considere que os diagramas abaixo representam conjuntos nomeados pelos seus tipos de elementos. Um
elemento específico é marcado com um ponto.
.
O diagrama da esquerda representa a inclusão descrita pela sentença “Todos os seres humanos são bípedes”. O diagrama da
direita representa a inclusão descrita pela sentença “Miosótis é bípede”. Nessas condições, é correto concluir que “Miosótis é um
ser humano”.
20) (TCU) Em uma pequena comunidade sabe-se que: “nenhum filosofo é rico” e que “alguns professores são ricos”. Assim podese afirmar, corretamente, que nesta comunidade:
A)Alguns filósofos são professores
B)Alguns professores são filósofos
C)Nenhum filosofo é professor
D)Alguns professores não são filósofos
E)Nenhum professor é filosofo
21) (ANPAD) Considere as seguintes proposições:
I
Todo artista é simpático.
II
Todo político não é simpático. Pode-se afirmar que:
A)Alguns artistas são políticos.
B)Algumas pessoas simpáticas são políticos.
C)Nenhum artista é simpático
D)Nenhum artista é político
E)Nenhuma pessoa simpática é artista.
22) (FNDE-2007) Considere a afirmação: "Todo corintiano é feliz." A partir dessa afirmação, pode-se concluir que:
(A) todo homem feliz é corintiano.
(B) todo palmeirense é infeliz.
(C) toda pessoa que não é corintiano não é feliz.
(D)um infeliz certamente não é corintiano.
(E) existem infelizes que são corintianos
23) (M.AGR) Em uma prova, nem todos os alunos obtiveram aprovação. Sabemos que todos os alunos aprovados fizeram a lista
de exercícios proposta pelo professor do curso. Podemos concluir, com absoluta certeza, que:
A)Existem alunos que não fizeram a lista de exercícios.
B) Se algum aluno não fez a lista de exercícios, ele foi reprovado.
C)Existem alunos que não fizeram a lista de exercícios e foram aprovados.
D)Todos os alunos que fizeram a lista de exercícios foram aprovados.
E)Todos os alunos fizeram a lista de exercícios.
24) (ESAF) Nenhum matemático é aluno. Algum administrador é aluno, logo:
A)Algum administrador é matemático
B)Todo administrador é matemático
C)Nenhum administrador é matemático
D)Algum administrador não é matemático.
E)Todo administrador não é matemático.
25) (FCC) Considere que S seja a sentença: “todo político é filiado a algum partido”. A sentença equivalente á negação da
sentença S acima é:
a) Nenhum político é filiado a algum partido.
b) Nenhum político não é filiado a qualquer partido.
c) Pelo menos um político é filiado a algum partido.
d) Pelo menos um político não é filiado a qualquer partido.
26) (TRT) A correta negação da proposição “Todos os cargos deste concurso são de analista judiciário” é:
a) Alguns cargos deste concurso são de analista judiciário.
b) Existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário.
c) Existem cargos deste concurso que são de analista judiciário.
d) Nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário.
e) Os cargos deste concurso são ou de analista, ou de judiciário.
27) (ANPAD/02) A negação da proposição “Todos os homens são bons motoristas”é:
a) Todas as mulheres são boas motoristas.
b) Algumas mulheres são boas motoristas.
c) Nenhum homem é bom motorista.
d) Todos os homens são maus motoristas.
e) Ao menos um homem é mau motorista.
28) (CVM/00) Dizer que a afirmação “Todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a
seguinte afirmação é verdadeira:
a) Pelo menos um economista não é médico.
b) Nenhum economista é médico.
c) Nenhum médico é economista.
d) Pelo menos um médico não é economista.
e) Todos os não médicos são não economistas.
29) (M. AGR) A negação da afirmativa “Todo tricolor é fanático” é:
a) Existem tricolores não fanáticos
b) Nenhum tricolor é fanático
c) Nem todo fanático é tricolor
d) Nenhum fanático é tricolor
e) Existe pelo menos um fanático que é tricolor
30) (Medicina – ABC) A negação de “Todos os gatos são pardos” é:
a) Nenhum gato é pardo
b) Existe gato pardo
c) Existe gato não pardo
d) Existe um e só um gato pardo
e) Nenhum gato é não pardo.
31) (ESAF) Fábio, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a
sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Fábio seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte
proposição:
a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.
b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.
c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.
d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.
e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.
32) (ANPAD/02) negação da sentença “Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola” é:
a) Todas as pessoas lentas em aprender freqüentam esta escola.
b) Todas as pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escola.
c) Algumas pessoas lentas em aprender freqüentam esta escola.
d) Algumas pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escola.
e) Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola.
33) (ESAF) Se não é verdade que “alguma professora universitária não dá aulas interessantes”, portanto é verdade que:
a) Todas as professoras universitárias dão aulas interessantes.
b) Nenhuma professora universitária dá aulas interessantes.
c) Nenhuma aula interessante é dada por alguma professora universitária.
d) Nem todas as professoras universitárias dão aulas interessantes.
e) Todas as aulas não interessantes são dadas por professoras universitárias.
34) (OF.CHANC./02) Se a professora de matemática foi à reunião, nem a professora de Inglês nem a professora de Francês deram
aula. Se a professora de francês não deu aula, a professora de português foi à reunião. Se a professora de português foi à
reunião, todos os problemas foram resolvidos. Ora, pelo menos um problema não foi resolvido. Logo,
b) A professora de matemática não foi à reunião e a professora de francês não deu aula.
c) A professora de matemática e a professora de português não foram à reunião.
d) A professora de francês não deu aula e a professora de português não foi à reunião.
e) A professora de francês não deu aula ou a professora de português foi à reunião.
f) A professora de inglês e a de francês não deram aula.
35) (CESPE-2008) Uma proposição é uma frase que pode ser julgada como verdadeira — V — ou falsa — F —, mas não como V e F
simultaneamente. Um raciocínio lógico é uma seqüência de proposições, e é denominado raciocínio lógico correto quando,
considerando como V algumas das proposições da seqüência — denominadas premissas —, e por conseqüência dessa
veracidade, as demais proposições da seqüência — denominadas conclusões —, também são V. Proposições são freqüentemente
simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto: A, B, C etc. Uma proposição da forma “se A, então B” é simbolizada por A  B e
tem valor lógico F quando A é V e B é F, e nos demais casos é V. Uma proposição da forma “A ou B” é simbolizada por A  B e tem
valor lógico F quando A e B são F, nos demais casos é V. Considere como premissas as proposições abaixo, que foram construídas
a partir de alguns artigos do Código Municipal de Posturas da Prefeitura Municipal de Teresina:
A: Todos os estabelecimentos comerciais devem dispor de lixeira para uso público.
B: Todo proprietário de estabelecimento comercial é responsável pela manutenção da ordem no estabelecimento.
C: Se Mário é o proprietário do terreno, então Mário é o responsável pelo escoamento das águas pluviais que atingirem o
terreno.
D: João tem mais de 18 anos ou João não pode comprar bebidas alcoólicas.
1 A negação da proposição A é “Existem estabelecimentos comerciais que não dispõem de lixeira para uso público”.
36) (CESPE-2008) Julgue o item que segue
1 A negação da proposição “Existe banco brasileiro que fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos” pode ser
assim redigida: “Nenhum banco brasileiro fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos.”
37) (CESPE-2008) Julgue o item que se segue.
1 A negação da proposição “As palavras mascaram-se” pode ser corretamente expressa pela proposição “Nenhuma palavra se
mascara”.
38) (FCC/MPU-2007) Considere que as seguintes afirmações são verdadeiras:
-Todo motorista que não obedece às leis de trânsito é multado.
-Existem pessoas idôneas que são multadas.
Com base nessas afirmações é verdade que
a) se um motorista é idôneo e não obedece às leis de trânsito, então ele é multado.
b) se um motorista não respeita as leis de trânsito, então ele é idôneo.
c) todo motorista é uma pessoa idônea.
d) toda pessoa idônea obedece às leis de trânsito.
e) toda pessoa idônea não é multada
39) (CESPE-2008) Considerando como V as proposições “Os países de economias emergentes têm grandes reservas
internacionais” e “O Brasil tem grandes reservas internacionais”, é correto concluir que a proposição “O Brasil é um país de
economia emergente” é V.
40) (FUNIVERSA-2006) Quem parte leva
Saudade de alguém
Que fica chorando de dor
Considere que os famosos versos acima sejam verdadeiros.
Sendo assim, é correto inferir que:
(A) todos os que partem choram de dor.
(B) todos partem, um dia.
(C) todos os que partem têm saudade.
(D) todos ficam, um dia.
(E) todos os que ficam choram de dor.
41) (CESPE-2008) Se a afirmativa “todos os beija-flores voam rapidamente” for considerada falsa, então a afirmativa “algum
beija-flor não voa rapidamente” tem de ser considerada verdadeira.
42) (FUNIVERSA/PCDF-2008) Considere que as seguintes afirmativas sejam verdadeiras:
I – Toda servidora da repartição pública X tem dois cursos superiores.
II – Nem todos os servidores com mais de 1,75 m de altura da repartição pública X têm dois cursos superiores.
Sendo assim, assinale a alternativa que apresenta uma conclusão correta em relação à repartição pública X.
a) Nenhum servidor com menos de 1,75 m de altura possui dois cursos superiores.
b) Há pelo menos, um servidor com mais de 1,75 m de altura que não possui dois cursos superiores
c) Quem tem dois cursos superiores é mulher.
d) Quem tem menos de 1,75 m de altura tem dois cursos superiores.
e) Nenhum servidor com mais de 1,75 m de altura tem dois cursos superiores.
43) (CESPE-2008) Considere as seguintes frases.
I Todos os empregados da PETROBRAS são ricos.
II Os cariocas são alegres.
III Marcelo é empregado da PETROBRAS.
IV Nenhum indivíduo alegre é rico.
Admitindo que as quatro frases acima sejam verdadeiras e considerando suas implicações, julgue os itens que se seguem.
1 Nenhum indivíduo rico é alegre, mas os cariocas, apesar de não serem ricos, são alegres.
2 Marcelo não é carioca, mas é um indivíduo rico.
3 Existe pelo menos um empregado da PETROBRAS que é carioca.
4 Alguns cariocas são ricos, são empregados da PETROBRAS e são alegres.
44) (CESPE-2008) Julgue o item
1 Considerando que P seja a proposição “ Todo jogador de futebol será craque algum dia”, então a proposição p é
corretamente enunciada como “Nenhum jogador de futebol será craque sempre”.
2 Se a proposição Alguns administradores são especialistas em recursos humanos for considerada V, então a proposição Alguns
especialistas em recursos humanos são administradores também será V.
45) ( FUNIVERSA)
Os dois retângulos M e P acima representam, respectivamente, o conjunto dos alunos de uma escola que têm notas altas em
matemática e o conjunto dos alunos desta escola que têm notas altas em português. Sabendo que o retângulo listrado
representa um conjunto que não possui nenhum elemento, é correto concluir que:
(A) todo aluno que tem nota alta em matemática tem nota alta em português.
(B) todo aluno que tem nota baixa em matemática tem nota baixa em português.
(C) todo aluno que tem nota alta em português tem nota alta em matemática.
(D) nenhum aluno que tem nota alta em matemática tem nota alta em português.
(E) nenhum aluno que tem nota baixa em matemática tem nota baixa em português.
46) .( FUNIVERSA/PCDF-2008) Em um grupo de 200 profissionais da área de saúde de determinado estado brasileiro, apenas 50
têm olhos verdes, apenas 100 são servidores públicos e apenas 83 residem na capital desse estado. Assinale a alternativa que
apresenta o número máximo desses profissionais que podem simultaneamente, ter olhos verdes, ser servidores públicos e residir
na capital do estado.
A)16 B)17 C)33 D)50 E)83
47) (CESPE-2008) Os jogadores do Estrela Futebol Clube são craques. Assinale a opção correspondente à negação da frase acima.
A) Nenhum jogador do Estrela Futebol Clube é craque.
B) Quase todos os jogadores do Estrela Futebol Clube não são craques.
C) Existe algum jogador do Estrela Futebol Clube que não é craque.
D) Apenas alguns jogadores do Estrela Futebol Clube são craques.
48) (CESPE-2008) Tendo como base o texto, julgue os itens seguintes, a respeito de lógica.
1 Considere que as proposições “Alguns flamenguistas são vascaínos” e “Nenhum botafoguense é vascaíno” sejam valoradas
como V. Nesse caso, também será valorada como V a seguinte proposição: “Algum flamenguista não é botafoguense”.
49 (FCC) Considerando “todo livro é instrutivo” como uma proposição verdadeira, é correto inferir que:
a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.
b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.
c) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.
d) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.
e) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.
50) (ESAF) Em uma comunidade, todo trabalhador é responsável. Todo artista, se não for filósofo, ou é trabalhador ou é poeta.
Ora, não há filósofo e não há poeta que não seja responsável. Portanto, tem-se que, necessariamente,
a) todo responsável é artista
b) todo responsável é filósofo ou poeta
c)) todo artista é responsável
d) algum filósofo é poeta
e) algum trabalhador é filósofo
51) (ESAF) Na formatura de Hélcio, todos os que foram à solenidade de colação de grau estiveram, antes, no casamento de Hélio.
Como nem todos os amigos de Hélcio estiveram no casamento de Hélio, conclui-se que, dos amigos de Hélcio:
a) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e alguns não foram ao casamento de Hélio.
b) pelo menos um não foi à solenidade de colação de grau de Hélcio.
c) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio, mas não foram ao casamento de Hélio.
d) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.
e) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.
52) (CESPE-2008) Proposição é uma frase que pode ser julgada como verdadeira —V — ou falsa — F —, não cabendo a ela ambos
os julgamentos. Um argumento correto é uma seqüência de proposições na qual algumas são premissas, e consideradas V, e as
demais são conclusões, que, por conseqüência da veracidade das premissas, também são V. Proposições simples podem ser
representadas simbolicamente pelas letras A, B, C etc. Conexões entre proposições podem ser feitas por meio de símbolos
especiais. Uma proposição da forma AB, lida como “A ou B”, tem valor lógico F quando A e B são F; caso contrário, é V. Uma
proposição da forma AB, lida como “A e B”, tem valor lógico V quando A e B são V; caso contrário, é F. Uma proposição da
forma ¬A, a negação de A, é F quando A é V, e é V quando A é F. Uma expressão da forma P(x), proposição da lógica de primeira
ordem, em que P denota uma propriedade a respeito dos elementos x de um conjunto U, tem a sua veracidade ou falsidade
dependente de U e do significado dado a P. Se a proposição for da forma  xP(x), lida como “Existe x tal que P(x)”, tem a sua
valoração V ou F dependente de existir ou não um elemento em U que satisfaça a P. De acordo com as definições apresentadas
acima e a veracidade de todas as informações apresentadas no texto precedente, julgue os itens
1 Suponha-se que U seja o conjunto de todas as pessoas, que M(x) seja a propriedade “x é mulher” e que D(x) seja a propriedade
“x é desempregada”. Nesse caso, a proposição Nenhuma mulher é desempregada” fica corretamente Simbolizada por ¬  x(M(x)
 D(x)).
2 A proposição “Não existem mulheres que ganham menos que os homens” pode ser corretamente simbolizada na forma
x(M(x)  G(x)).

53) (CESPE-2008) Algumas sentenças são chamadas abertas porque são passíveis de interpretação para que possam ser julgadas
como verdadeiras (V) ou falsas (F). Se a sentença aberta for uma expressão da forma xP(x), lida como “para todo x, P(x)”, em
que x é um elemento qualquer de um conjunto U, e P(x) é uma propriedade a respeito dos elementos de U, então é preciso
explicitar U e P para que seja possível fazer o julgamento como V ou como F.
A partir das definições acima, julgue os itens a seguir.
1 Considere-se que U seja o conjunto dos funcionários do INSS, P(x) seja a propriedade “x é funcionário do INSS” e Q(x) seja a
propriedade “x tem mais de 35 anos de idade”. Desse modo, é correto afirmar que duas das formas apresentadas na lista abaixo
simbolizam a proposição Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade.
(i)  x(se Q(x) então P(x))
(ii)  x(P(x) ou Q(x))
(iii)  x(se P(x) então Q(x))
2 Se U for o conjunto de todos os funcionários públicos e P(x) for a propriedade “x é funcionário do INSS”, então é falsa a
sentença  xP(x).
54) (CESPE-2006) Proposições também são definidas por predicados que dependem de variáveis e, nesse caso, avaliar uma
proposição como V ou F vai depender do conjunto onde essas variáveis assumem valores. Por exemplo, a proposição “Todos os
advogados são homens”, que pode ser simbolizada por (x)(A(x)  H(x)), em que A(x) representa “x é advogado” e H(x)
representa “x é homem”, será V se x pertencer a um conjunto de pessoas que torne a implicação V; caso contrário, será F. Para
expressar simbolicamente a proposição “Algum advogado é homem”, escreve-se (x)(A(x)  H(x)). Nesse caso, considerando que
x pertença ao conjunto de todas as pessoas do mundo, essa proposição é V. Na tabela abaixo, em que A e B simbolizam
predicados, estão simbolizadas algumas formas de proposições.
A partir das informações dos textos I e II, julgue os itens subseqüentes.
1 A proposição “Nenhum pavão é misterioso” está corretamente simbolizada por ¬(x)(P(x)M(x)), se P(x) representa “x é um
pavão” e M(x) representa “x é misterioso”.
2 Considerando que (x)A(x) e (x)A(x) são proposições, é correto afirmar que a proposição (x)A(x)  (x)A(x) é avaliada como
V em qualquer conjunto em que x assuma valores.
55) (ANPAD-2009) Sejam as definições de categorias Ax: x é administrador, Px x é bom profissional e Sx: x tem bom salário. Uma
simbolização para “Todo administrador que é bom profissional, tem bom salário” é
A) x((Ax Px) Sx)
B) x((Ax  Px) Sx)
C) x(Ax  (Px Sx))
D) x((Ax Px)  Sx)
E) x((Ax  Px)  Sx)
56) (FCC/TRT-2004) Denota-se respectivamente por A e B os conjuntos de todos os atletas da delegação olímpica argentina e
brasileira em Atenas, e por M o conjunto de todos os atletas que irão ganhar medalhas nessas Olimpíadas. O diagrama mais
adequado para representar possibilidades de intersecção entre os três conjuntos é
57) (FCC-2005) No diagrama abaixo, o retângulo maior representa o conjunto de todos os alunos do 1º ano de Engenharia de
uma faculdade e as outras três figuras representam os conjuntos desses alunos que foram aprovados nas disciplinas de Cálculo 1,
Cálculo 2 e Álgebra Linear.
Cálculo 1 é pré-requisito para Cálculo 2, ou seja, um aluno só pode cursar Cálculo 2 se tiver sido aprovado em Cálculo 1. Além
disso, sabe-se que nenhum aluno do 1º ano conseguiu ser aprovado ao mesmo tempo em Cálculo 2 e Álgebra Linear. A tabela
abaixo mostra a situação de três alunos nessas três disciplinas:
Associando cada um desses alunos à região do diagrama mais apropriada para representá-los, temos
a)Paulo−V, Marcos−III, Jorge−I.
b)Paulo−V, Marcos−II, Jorge−V.
c)Paulo−IV, Marcos−V, Jorge−I.
d)Paulo−IV, Marcos−II, Jorge−III.
e)Paulo−IV, Marcos−V, Jorge−III.
58) (ESAF) Os dois círculos abaixo representam, respectivamente, o conjunto S dos amigos de Sara e o conjunto P dos amigos de
Paula.
P
S
Sabendo que a parte sombreada do diagrama não possui elemento algum, então:
a)Todo amigo de Paula é também amigo de Sara.
b)Todo amigo de Sara é também amigo de Paula.
c)Algum amigo de Paula não é amigo de Sara.
d)Nenhuma amiga de Sara é amigo de Paula.
e)Nenhum amigo de Paula é amigo de Sara.
59. Se A é o conjunto das mulheres com mais de 30 anos e B ´r o conjunto das mulheres que pintam seus cabelos, a região cinza
no diagrama abaixo representa:
a)O conjunto das mulheres com mais de trinta anos que pintam seus cabelos;
b)O conjunto das mulheres com mais de trinta anos que não pintam seus cabelos;
c)O conjunto das mulheres que não pintam os cabelos e não têm mais do que trinta anos.
d)O conjunto das mulheres que pintam seus cabelos e não têm mais do que trinta anos;
e)O conjunto das mulheres que ou pintam seus cabelos ou têm mais de 30 anos.
60. Seja A o conjunto dos alunos da Escola da Luz, B o conjunto dos moradores do município de Vila Feliz e C o conjunto de
usuários dos ônibus da Companhia Feliz Viagem. A Escola da Luz, localizada no município de Vila Feliz, atende desde crianças que
moram na vizinhança e não necessitam de transporte para ir à escola, até crianças que moram em municípios vizinhos. Sabemos
que todos os alunos que estudam na escola da Luz e que não são moradores do município de Vila Feliz utilizam ônibus da
Companhia Feliz Viagem. O diagrama que melhor representa a situação descrita é:
GABARITO
01
B
02
A
03
C
04
C
05
B
06
A
07
C
08
A
09
D
18
19
20
21
22
23
24
25
26
CEE
E
D
D
D
B
D
D
B
35
36
37
38
39
40
41
42
43
C
C
E
A
E
C
C
B
CCEE
52
53
54
55
56
57
CE
EC
CC
B
E
D
10
11
12
13
14
15
16
17
A
E
C
B
A
ECEC
E
CC
27
28
29
30
31
32
33
34
D
A
A
C
C
C
A
B
44
45
46
47
48
49
50
51
EC
D
D
C
C
B
C
C