Lista_4_Teoria da Medida_2_Trim_2013

Tópicos em Matemática:
Teoria da Medida
UFABC
Professor Cristian F. Coletti
Primeiro Trimestre de 2013
Lista 4 - Medida Produto
(1) Seja Ω1 = Ω2 = N e F = P(N), e seja µ1 = µ2 a medida de contagem. Dê uma
interpretação do Teorema de Fubini em este caso.
(2) Seja Ω1 = Ω2 = N e F = P(N), e seja µ1 = µ2 a medida de contagem. Seja

se ω1 = ω2
 2 − 2−ω1
−2 + 2−ω1 se ω1 = ω2 + 1
f (ω1 , ω2 ) =

0
se, ω1 ∈
/ {ω2 , ω2 + 1}.
Mostre que
Z Z
Z Z
f (ω1 , ω2 )dµ1 dµ2 6=
f (ω1 , ω2 )dµ2 dµ1 .
Ω1
Ω2
Ω2
Ω1
e explique porque isto não contradiz o Teorema de Fubini.
(3) Seja Ω = (−1, 1)2 e seja f : Ω → R definida por:
ω1 ω2
e f (0, 0) = 0.
+ ω22 )2
(i) Verifique que f é mensurável e que as duas integrais abaixo existem e calcule seus
valores.
(∀(ω1 , ω2 ) ∈ Ω − {(0, 0)})f (ω1 , ω2 ) =
Z
Z
(ω12
Z
I=
Z
f (ω1 , ω2 )dλdλ e J =
[−1,1]
[−1,1]
f (ω1 , ω2 )dλdλ.
[−1,1]
[−1,1]
(ii) f é λ2 integrável?
(4) Seja Ω1 = Ω2 = [0, 1], e seja µ1 a medida de Lebesgue em [0, 1] e seja µ2 a medida de
contagem em [0, 1]. Seja
1 se ω1 = ω2
f (ω1 , ω2 ) =
0 se, ω1 6= ω2 .
Mostre que
Z Z
Z Z
f (ω1 , ω2 )dµ2 dµ1 .
f (ω1 , ω2 )dµ1 dµ2 6=
Ω2
Ω1
Ω2
Ω1
e explique porque isto não contradiz o Teorema de Fubini.
(5) Use o Teorema de Fubini para verificar que
Z r
Z ∞ Z r
sin(x)
dx =
(
e−xy sin(x)dx)dy,
x
0
é satisfeita para cada 0 < < r. Fazendo → 0+ e r → ∞ (e justificando suas passagens)
dê uma outra prova de que
Z ∞
sin(x)
π
dx = .
x
2
0
(6) Verifique que
Z ∞ Z r
Z r Z ∞
2
2
(
e−xy sin(x)dx)dy =
(
e−xy sin(x)dy)dx.
0
0
0
0
é satisfeita para cada r > 0. Fazendo r → ∞ verifique que
1
2
Z
0
∞
sin(x)
√ dx =
x
√
2π
.
2