V t∆ - Ufba

INSTITUTO DE FÍSICA DA UFBA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO
DISCIPLINA: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL IV (FIS 124)
FLUXO E DIVERGENTE DE UM CAMPO VETORIAL
Os conceitos de divergente e rotacional estão relacionados aos de fluxo e de circulação
respectivamente. Nesta e na próxima secção, faremos uma definição precisa destes conceitos e os
associaremos com alguns fenômenos físicos conhecidos.
1. FLUXO
a. Fluxo através de uma superfície aberta plana
r
Suponha inicialmente uma superfície plana de área A dentro de um campo de velocidades v .
Este campo pode ser, por exemplo, um rio, um fluxo de gás dentro de uma tubulação, etc. De qualquer
r
forma, haverá nesse campo um fluido onde a cada ponto associaremos um vetor velocidade v . Neste
primeiro enfoque vamos supor que o campo é uniforme (ou seja, a velocidade é a mesma para todos os
pontos desse espaço e a direção e sentido se mantem constante) e que a superfície esteja perpendicular
ao campo. Definimos então
[ Quantidade de fluido que atravessa a superfície A no tempo Δ t ]
[ FLUXO ] =
Φ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
[ unidade de tempo]
(sup. aberta)
Podemos expressar esta definição em termos de v e de A
A
com a seguinte consideração: num tempo Δt, cada partícula do
fluido percorre uma distância
V
V Δt
v Δt. Assim,
se construirmos um
paralelepípedo de base A e comprimento v Δt, notaremos que
toda a partícula que estiver dentro desta "caixa" atravessa a
superfície A no tempo Δt. As partículas que estiverem fora não
A
θ
θ
conseguirão, neste tempo, atravessar a superfície. Assim, a
quantidade de fluido que atravessa a superfície A no tempo Δ t
será simplesmente o volume dessa "caixa" e vale v Δt A. O fluxo
será então
Φ=
v Δt A
Δt
=v A
1
Suponha agora que a superfície A esteja inclinada de um ângulo θ, como mostra a figura.
Observe que a quantidade de fluido que atravessa A no tempo Δt é a mesma que atravessa A' (que é a
projeção de A em um plano perpendicular às linhas de campo) . Assim Φ A = Φ A ' = v A' .
Como A' = A cos θ ,
logo
Φ A = v A cos θ
r
Podemos simplificar esta relação, usando o vetor área A , que é definido como:
⎧
módulo : área A
r ⎪⎪
A = ⎨ direção : perpendicular `a superfície A
⎪
⎪⎩ sentido : é tal que θ ≤ 90 o
(1)
r
Desta forma, podemos escrever o fluxo de um campo vetorial uniforme v para uma superfície
plana como sendo:
r r
Φ = v⋅A
(2)
b. Fluxo através de uma superfície fechada Σ
r
Seja Σ uma superfície fechada dentro de um campo vetorial v . Definimos:
[ Quantidade de fluido que sai
]
de Σ no tempo Δ t
[ FLUXO ] = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (sup. fechada)
[ unidade de tempo]
[ Quantidade de fluido que entra ]
em Σ no tempo Δ t
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
[ unidade de tempo]
(3)
Apliquemos esta definição para o caso de uma superficie fechada, constituida pela junção de
r
várias superfícies planas, dentro de um campo vetorial v uniforme (veja figura):
V
r
Para calcularmos o fluxo, definiremos um vetor A j tal que:
⎧
⎪ módulo : área A
r
⎪
A j = ⎨ direção : perpendicular `a superfície A
⎪
⎪⎩ sentido : aponta sempre para fora da superficie
(4)
De acordo com o exemplo da figura acima, notamos que o fluido sai através de A1 e A2 e entra por
A3, A4 e A5. Usando a relação (2) e a definição de fluxo (3), teremos:
2
5 r
r r
r r
r r
r r
r r
r
Φ Σ = v.A1 + v.A 2 + v.A 3 + v.A 4 + v.A 5 =
v.A j
∑
(5)
j=1
r
r
Observe que nas superfícies A3, A4 e A5 o vetor A j forma com v um ângulo θ , tal que 90o< θ
r r
o
<270 , de sorte que v.A j = v Aj cos θj é negativo neste caso.
Podemos generalizar estas considerações, supondo agora uma superfície fechada constituida
por N superfícies planas. Mais ainda: podemos supor que o campo não seja mais uniforme, mas que
r
possa variar de região para região, com a condição de que assuma um valor constante v j na superfície
Aj. O fluxo será portanto:
ΦΣ
(fechada) =
N r r
v j .A j
j
∑
(6)
2. INTEGRAL DE SUPERFÍCIE
Suponha agora que uma superfície fechada Σ, de formato qualquer, seja
r
inserida em um campo vetorial G não uniforme. Para definirmos o fluxo,
ΔSj
tomaremos o seguinte procedimento :
a. Dividimos a superfície em pequenas superfícies de área ΔAj de forma que:
Σ
G
- ΔAj seja aproximadamente plana
- O campo Gj nessa superfície seja aproximamente constante
r
b. Definimos o vetor ΔA j de acordo com a definição (4)
r
r
c. O fluxo no elemento de área ΔAj será ΔΦ j ≅ G j .ΔA j
d. O fluxo total através de Σ será aproximadamente Φ ≅
N r
∑
r
G j . ΔA j
j
e. Para encontrarmos o valor exato do fluxo, fazemos ΔA j → 0 . Definimos então integral de superfície
ao limite :
r r
Φ = G.dA =
∫
f.
lim
ΔA j → 0
N r
r
∑ G j .ΔA j
j
Naturalmente podemos definir a integral de superfície para uma superfície aberta também. O
procedimento é o mesmo, com duas pequenas modificações. A primeira delas se refere à definição do vetor
r
elemento de área ΔA j . Neste caso, este vetor é definido de acordo com a definição (1) ao invés de (4). Em
segundo lugar, há uma modificação na notação, de forma que:
3
ΦΣ
(aberta)
r r
= G.dA =
∫
N r
r
∑ G j . ΔA j
lim
ΔA j → 0
j
r
g. O fluxo de um campo vetorial G através de uma superfície fechada Σ tem o seguinte significado físico:
[ Quantidade de (...) que entra ]
[ Quantidade de (...) que sai
de Σ no tempo Δ t
]
em Σ no tempo Δ t
[ FLUXO ] = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
(sup. fechada)
[ unidade de tempo]
[ unidade de tempo]
r
onde (...) é uma palavra que depende de qual seja o campo G considerado. Assim, se
r
r
G = v (campo de velocidades), (...) = fluido
r
r
G = J (densidade de corrente), (...) = carga
r
r
G = S (vetor de Poynting), (...) = energia eletromagnética
r
r
r
r
No caso de G = E (campo elétrico) ou G = B (campo magnético), o fluxo será uma quantidade tal
que:
Φ α [ número de linhas de campo que saem de Σ] - [ número de linhas de campo que entram em Σ]
2. O DIVERGENTE
Do estudo precedente é
(divergência
negativa)
fácil
do
verificar
campo
que
em relação
se
Φ ≠ 0, haverá divergência ou convergência
à superfície fechada Σ. Mas agora, ao invés de
concentrarmos no fluxo em uma região do espaço, desejamos fazer este estudo em relação a um ponto e
em suas vizinhanças. A idéia central, portanto, é fazer a superfície tender a zero e calcular o fluxo nesse
limite. Contudo, se diminuirmos a superfície, o fluxo também irá diminuir, até se anular no limite Aj → 0.
Porém, se calcularmos a razão entre o fluxo através de ΔAj pelo volume ΔVj, observaremos que ela
ΔVj → 0. É justamente esta propriedade que estamos buscando.
tenderá a um valor limite quando
r
Definimos então, o divergente de uma função vetorial G à grandeza:
r
div G = lim
ΔV j → 0
r
r
∫ G.dA j
ΔV j
a. Teorema de Gauss
r
Seja uma superfície fechada Σ dentro de um campo vetorial G . Ao
dividirmos a superfície em duas superfícies fechadas Σ1 e Σ2,
veremos que a soma dos fluxos através
dA2
G
Σ
dA1
Σ1
destas duas superfícies
r
r
reproduzirá o fluxo original, uma vez que os vetores dA1 e dA 2 , que
descrevem a interface entre Σ1 e Σ2, têm mesmo módulo e direção,
mas sentidos opostos. Assim, devemos ter
Φ = Φ1 + Φ 2
4
Se dividirmos a superfície Σ em N superfícies fechadas, a soma dos fluxos através de todas essas
superfícies reproduzirá o fluxo original, isto é:
r r N r r
G.dA =
G.dA j
∑∫
∫
j
Observe que podemos reescrever esta expressão na forma:
r r
r r N ⎡ G.dA j ⎤
⎢
⎥.ΔV j
G.dA =
⎢ ΔV j ⎥
j ⎣
⎦
∑
∫
∫
r
Ao passarmos ao limite de ΔVj → 0, a quantidade entre os parênteses é o próprio divergente de G e
a somatória, por definição, é a integral de volume. Assim
∫
r r
r
G.dA = (div G) dV
∫
b. O divergente em coordenadas cartesianas
z
Seja um vetor
r
G , expresso em termos das
coordenadas cartesianas :
r
r
r
r
G = Gx(x,y,z) i + Gy(x,y,z) j + Gz(x,y,z) k
Seja também um volume ΔV constituído por uma
caixa retangular de lados Δx, Δy e Δz. Vamos calcular o
y
x
fluxo através desta caixa: ΔΦ =
∫
r r
G.dA , dividi-lo pelo
volume ΔV e fazer o limite ΔV → 0.
Note que ΔΦ pode ser calculado somando-se os fluxos através de cada face da caixa.
No entanto, como estamos supondo que a caixa tem
z
ΔA5
(x,y,z)
ΔA4
face, o campo é aproximadamente constante e igual ao
valor calculado em seu centro. Assim, o valor do fluxo
Δz
ΔA 1
Δx
ΔA2
dimensões pequenas é razoável supor que, em cada
Δy
r
Δ A3
r
na figura que os vetores ΔA em cada face são:
ΔA6
y
x
r
para cada face i , será : ΔΦ i = G i ⋅ ΔA i . Podemos ver
r
r
Δ A 1 = − Δx Δz j
r
r
Δ A 3 = Δ x Δz j
r
r
Δ A 5 = Δ x Δy k
r
r
ΔA 2 = Δy Δz i
r
r
ΔA 4 = − Δy Δz i
r
r
ΔA 6 = − Δx Δy k
5
r
r
O fluxo na face 1 deverá ser então ΔΦ 1 = G(1) ⋅ ΔA1 = −G y (1)ΔxΔz . Note que Gy(1) é a
componente y do campo no centro da face 1. Qual é a relação entre Gy(1) e a componente y do campo no
centro da caixa Gy(x,y,z) ? Escrevendo Gy(1) como:
G y (1) = G y ( x, y −
Δy
, z)
2
obtemos do cálculo diferencial: G y ( x, y, z) − G y ( x, y −
onde ε1 = ε1 ( Δx, Δy, Δz)
∂G y Δy
Δy
, z) =
+ ε1Δy
2
∂y 2
lim ε1 = 0
e
Δx →0
Δy→0
Δz→0
Logo:
ΔΦ 1 = −(G y −
∂G y Δy
− ε1Δy)ΔxΔy
∂y 2
Escrevendo G x = G x ( x, y, z)
onde G y = G y ( x, y, z)
e G z = G z ( x, y, z) , chegamos ao fluxo das demais faces da caixa:
ΔΦ 2 = G x (2)ΔyΔz = (G x +
∂G x Δx
+ ε 2 Δx )ΔyΔz
∂x 2
ΔΦ 3 = G y (3)ΔxΔz = (G y +
∂G y Δy
+ ε1Δy)ΔxΔz
∂y 2
ΔΦ 4 = −G x (4)ΔyΔz = −(G x −
ΔΦ 5 = G z (5)ΔxΔy = (G z +
∂G x Δx
+ ε 2 Δx )ΔyΔz
∂x 2
∂G z Δz
+ ε 3 Δz)ΔxΔy
∂z 2
ΔΦ 6 = −G z (6)ΔxΔy = −(G z −
∂G z Δz
+ ε 3 Δ z) Δ x Δ y
∂z 2
O fluxo através da caixa será portanto:
6
ΔΦ =
⎡ ∂G
∑ ΔΦ i = ⎢⎣ ∂xx +
∂G y
i =1
Como ΔV = Δx Δy Δz e
r
div G =
r
∂y
+
⎤
∂G z
+ 2 (ε1 + ε 2 + ε 3 )⎥ Δx Δy Δz
∂z
⎦
ΔΦ
, então:
ΔV → 0 ΔV
div G = lim
∂G x ∂G y ∂G z
+
+
∂x
∂y
∂z
Se introduzimos o operador vetorial diferencial nabla
r
∂ r ∂ r ∂ r
∇=
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
teremos:
6
r r r ∂G
∂Gy ∂Gz
x
+
+
div G = ∇.G =
∂x
∂y
∂z
BIBLIOGRAFIA
1. Purcell E.M., Curso de Física de Berkeley - vol.2, Ed. Edgard Blucher, 1973, São Paulo.
2. Feynmam R., Lectures on Physics - vol. 2, Fondo Educativo Interamericano, 1972, Bogotá
3. Hsu, H.P., Análise vetorial, Livros Técnicos e Científicos, 1972, Rio de Janeiro.
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