espaço vetorial real - Milton Procópio de Borba

ESPAÇO VETORIAL REAL
EXERCÍCIOS
Seja R2 = {(a, b)/ a, b  R}, verificar se R2 é espaço vetorial em relação às operações assim definidas:
1) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e k(a, b) = (ka, b)
2) (a, b) + (c, d) = (a, b) e k(a, b) = (ka, kb)
3) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e k(a, b) = (k2a, k2b)
SUBESPAÇOS VETORIAIS REAIS
Verifique se é ou não um subespaço vetorial:
4) Sejam V = R2 e S = {(x, y)  R2/ y = 2x} ou S = {(x, 2x); x  R}.
5) Sejam V = R4 e S = {(a, b, 0, 0); a, b  R}.
6) Sejam U = {(x, y, z, t)  R4; 2x + y – t = 0 e z = 0} .
a
7) W = 
 c
a
8) W= 
 c

b
com a,b,c,d  R e b  c 

d


b
com a,b,c,d  R e b  c  1

d

COMBINAÇÃO LINEAR
Verificar se é possível escrever v como combinação linear, justifique:
9) No espaço vetorial P2 dos polinômios de grau  2, o polinômio v = 7x2 + 11x – 26, pode ser escrito
como combinação linear de v1 = 5x2 - 3x + 2 e v2 = -2x2 + 5x – 8 ?
10) Sendo v = (4, 3, -6) é possível escrever v como combinação linear de
v1 = (1, -3, 2) e v2 = ( 2, 4, -1) ?
11) Determinar k para que o vetor u = (-1, k, -7) seja combinação linear de
v1 = (1, -3, 2) e v2 = ( 2, 4, -1).
12) Escreva v = (1, -2, 5) como combinação linear dos vetores
e1 = ( 1, 1, 1), e2 = (1, 2, 3) e e3 = (2, -1, 1).
3 1 
13) Escreva a matriz E = 
 como combinação linear das matrizes
 1 1 
1 1
0 0 
0 2 
A= 
, B = 
 e C 
.
1 0 
 1 1
 0 1 
DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR (LI E LD)
14) Verifique se são LD ou LI
a) u = (1, -1, -2), v = ( 2, 1, 1) e w = (-1, 0, 3) (LI)
b) u = (0, 1, 0, -1) , v = (1, 1, 1, 1), w = (1, 2, 0, 1), z = (1, 2, 1, 0) (LD)
c) 1 + 3x + x2, 2 – x – x2, 1 - 2x – 3x2, -2 + x + 3x2 (LD)
d) v1 = (2, -1, 3), v2 = (-1, 0, -2) e v3 = ( 2, -3, 1) (LD)
e) v1 = (2, 2, 3, 4), v2 = (0, 5, -3, 1) e v3 = ( 0, 0, 4, -2) (LI)
6
1 2
 3
f) A = 
, B

 (LD)
 4 3
 12 9 
 1 2 1 
 0 1 2 
 1 0 5 
g) A = 
(LI)
,B  
e C



 3 2 4 
 2 1 0 
 1 0 3 
15) Determine
o
valor
{ (-1, 0, 2), (1, 1, 1), (k, -2, 0)} k  -3)
de
k
para
que
1 0  1 1  2 1 
16) Determine k para que 
, 
, 
  seja LD
1 0  0 0   k 0  
seja
LI
o
conjunto
(k = 3)
BASE DE UM ESPAÇO VEORIAL
17) Verificar quais dos vetores formam uma base:
a) {(1, 2), (-1, 3)}
b) {(0, 0), (2, 3)}
c) {(3, -1), (2, 3)}
(a, c)
18) Para que valores de k o conjunto  = {(1, k), (k, 4)} é base de R2 ?
(k  2)
19) Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do R3:
a) (1, 1, -1), (2, -1, 0), (3, 2, 0)
b) ( 1, 0, 1), (0, -1, 2), (-2, 1, -4)
(a)
20) Quais dos conjuntos de vetores formam uma base de P2 ?
a) 2t2 + t – 4, t2 – 3t + 1
b) 2, 1- x, 1 + x2
c) 1 + x + x2, x + x2, x2
(b, c)
 2 3 1 1 3 2   3 7  
21) Mostrar que o conjunto 
, 
, 
, 
  é uma base de M(2, 2).
1 0  0 2  1 1  2 5  
22) Mostrar que o conjunto {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 3), (0, 0, 0, 5)} é base de R4.
COMPONENTES DE UM VETOR
23) Encontre o vetor coordenada de v = (4, -3, 2) em relação à base: {(1, 1, 1),
(1, 1, 0), ( 1, 0, 0)} do R3.
24) Seja o espaço vetorial das matrizes 2 x 2 sobre R. Encontre o vetor coordenada da matriz A  V em
relação à base , nos casos:
 1 1   0 1   1 1   1 0  
2 3 
a)  = 
, 
, 
, 
  , onde A  

 4 7 
 1 1   1 0   0 0   0 1  
 1 2   2 1   4 1  
 4 11 
b)  = 
, 
, 
  , onde A  

 11 7 
 2 1   1 3   1 5  
25) Calcular o vetor coordenada de p = -2 - 9x – 13x2 na base  = {p1, p2, p3} , sendo p1 = 1+ 2x – 3x2,
p2 = 1- 3x + 2x2 e p3 = 2 - x + 5x2
26) Determine o vetor coordenada de v = (6, 2) em relação às bases:
a)  = {(3, 0), (0, 2)}
b)  = {(1, 2), (2, 1)}
c)  ={(1, 0), (0, 1)}
27) No espaço vetorial R3, consideremos a base B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, -1, 1)}. Determine o vetor
coordenada de v  R3 em relação à base B se:
a) v = (2, -3, 4)
b) v = (1, -1, 1)
MUDANÇA DE BASE
28) Sejam B= {(1, 0), ( 0, 1)}, B1 = {( 1, 1), ( - 1, 0)}, B2 = {(-1, 1), ( 2, -3)}, bases do R2.
Determine as matrizes mudança de base:
1 1
 3 2 
B
a)  I B1 , b ) [ I ]BB2
a) 
, b )


1 0 
 1 1
29) Considerando as seguintes bases do R3
A = {( 1, 0, 0), ( 0, 1, 0), (0, 0, 1)} e B = {( 1, 0, -1), ( 0, 1, -1), ( -1, 1, 1)}, determine:
a) A matriz mudança de base de A para B;
b) o vetor vB, sendo vA = ( 1, 2, 3).
vB = ( 7, -4, 6)
1 1 0 
30) Se  I   0 1 1  , ache:


1 0 1
 1
v
 onde  v  =  2 
a)

 
 3 


v 
1
  1 
 4 
b)
v  
onde  v 
 1
  2 
 3 
 v 
2
  3 
 1
 1 4 
A
31) Sabendo que:  I B  
 e B = {( 3, 5), ( 1, 2)}, determine a base A.
 4 11
A= {(1, 3), ( 1, -2)}
 7 6 
A
32) Sabendo que:  I B  
 e A = {( 1, 3), ( 2, -4)}, determine a base B.
 11 8 
B = {( 3, -2), ( -2, 1)}
33) Mostrar que para qualquer base A de um espaço vetorial, a matriz mudança de base
identidade.
I AA
é a matriz