Aula 01 - Limites

FUV – Introdução aos limites
Interpretação geométrica, definição
Rodrigo Hausen
v. 2015-2-9
1/21
Introdução
Problema 1 (problema da velocidade instantânea)
Seja s(t) a posição, dependendo da variável tempo t, de um
corpo móvel sobre um eixo.
v. 2015-2-9
2/21
Introdução
Problema 1 (problema da velocidade instantânea)
Seja s(t) a posição, dependendo da variável tempo t, de um
corpo móvel sobre um eixo.
A velocidade média de um móvel entre dois instantes t0 e t1 é
variação na posição
variação no tempo
v. 2015-2-9
2/21
Introdução
Problema 1 (problema da velocidade instantânea)
Seja s(t) a posição, dependendo da variável tempo t, de um
corpo móvel sobre um eixo.
A velocidade média de um móvel entre dois instantes t0 e t1 é
variação na posição ∆s
=
variação no tempo ∆t
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2/21
Introdução
Problema 1 (problema da velocidade instantânea)
Seja s(t) a posição, dependendo da variável tempo t, de um
corpo móvel sobre um eixo.
A velocidade média de um móvel entre dois instantes t0 e t1 é
variação na posição ∆s s(t1 ) − s(t0 )
=
=
t1 − t0
variação no tempo ∆t
Interpretação geométrica na lousa.
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Introdução
Problema 1 (problema da velocidade instantânea)
Seja s(t) a posição, dependendo da variável tempo t, de um
corpo móvel sobre um eixo.
A velocidade média de um móvel entre dois instantes t0 e t1 é
variação na posição ∆s s(t1 ) − s(t0 )
=
=
t1 − t0
variação no tempo ∆t
Interpretação geométrica na lousa.
Podemos calcular a velocidade instantânea em t0 ? (ela existe?
como calculá-la?)
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Introdução
Problema 2 (paradoxo da flecha)
“Uma flecha em voo percorre, a cada intervalo
de tempo, uma fração da distância entre o arco
e o alvo.
Zenão de Elea
490–430 AC
v. 2015-2-9
3/21
Introdução
Problema 2 (paradoxo da flecha)
“Uma flecha em voo percorre, a cada intervalo
de tempo, uma fração da distância entre o arco
e o alvo. Quanto menor o intervalo, menor a
distância percorrida.
Zenão de Elea
490–430 AC
v. 2015-2-9
3/21
Introdução
Problema 2 (paradoxo da flecha)
“Uma flecha em voo percorre, a cada intervalo
de tempo, uma fração da distância entre o arco
e o alvo. Quanto menor o intervalo, menor a
distância percorrida. Conforme o intervalo de
tempo se torna desprezível, a distância percorrida também se torna desprezível.
Zenão de Elea
490–430 AC
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3/21
Introdução
Problema 2 (paradoxo da flecha)
Zenão de Elea
490–430 AC
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“Uma flecha em voo percorre, a cada intervalo
de tempo, uma fração da distância entre o arco
e o alvo. Quanto menor o intervalo, menor a
distância percorrida. Conforme o intervalo de
tempo se torna desprezível, a distância percorrida também se torna desprezível. Ou seja, a
cada instante a flecha está parada. Logo, nenhuma flecha nunca atingirá um alvo.”
3/21
Introdução
Problema 2 (paradoxo da flecha)
Zenão de Elea
490–430 AC
“Uma flecha em voo percorre, a cada intervalo
de tempo, uma fração da distância entre o arco
e o alvo. Quanto menor o intervalo, menor a
distância percorrida. Conforme o intervalo de
tempo se torna desprezível, a distância percorrida também se torna desprezível. Ou seja, a
cada instante a flecha está parada. Logo, nenhuma flecha nunca atingirá um alvo.”
A conclusão é claramente errada, portanto há algum erro em
algum passo do raciocínio. Onde? Como corrigir o erro?
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Introdução
Problema 2 (paradoxo da flecha)
Zenão de Elea
490–430 AC
“Uma flecha em voo percorre, a cada intervalo
de tempo, uma fração da distância entre o arco
e o alvo. Quanto menor o intervalo, menor a
distância percorrida. Conforme o intervalo de
tempo se torna desprezível, a distância percorrida também se torna desprezível. Ou seja, a
cada instante a flecha está parada. Logo, nenhuma flecha nunca atingirá um alvo.”
A conclusão é claramente errada, portanto há algum erro em
algum passo do raciocínio. Onde? Como corrigir o erro?
Resposta: a variação do deslocamento em um intervalo de tempo
desprezível (ou seja, que tende a zero), é a velocidade
instantânea. Ela nem sempre é nula (só é nula se a flecha estiver,
de fato, parada.)
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Introdução
Questões:
como definir a velocidade instantânea, essa relação entre a
variação no deslocamento e a variação no tempo quando o
tempo tende a zero?
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Introdução
Questões:
como definir a velocidade instantânea, essa relação entre a
variação no deslocamento e a variação no tempo quando o
tempo tende a zero?
dada uma função posição s(t) e um instante de tempo t0 ,
como calcular a velocidade v (t0 )?
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4/21
Introdução
Questões:
como definir a velocidade instantânea, essa relação entre a
variação no deslocamento e a variação no tempo quando o
tempo tende a zero?
dada uma função posição s(t) e um instante de tempo t0 ,
como calcular a velocidade v (t0 )?
problema inverso: dada uma função velocidade v (t) qualquer
(não necessariamente constante), podemos determinar a
distância percorrida entre dois instantes t0 e t1 ?
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Introdução
Questões:
como definir a velocidade instantânea, essa relação entre a
variação no deslocamento e a variação no tempo quando o
tempo tende a zero?
dada uma função posição s(t) e um instante de tempo t0 ,
como calcular a velocidade v (t0 )?
problema inverso: dada uma função velocidade v (t) qualquer
(não necessariamente constante), podemos determinar a
distância percorrida entre dois instantes t0 e t1 ?
A busca pela resposta a estas questões nos dará uma ferramenta
de 1001 utilidades (não só para contas envolvendo velocidades),
chamada cálculo infinitesimal ou cálculo diferencial e integral.
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Esboço de definição da velocidade instantânea
Seja s(t) uma função posição, t0 um instante de tempo e h um
intervalo de tempo positivo.
Aproximaremos a velocidade instantânea v (t0 ) por
v (t0 ) ≈
s(t0 + h) − s(t0 )
h
para valores tão pequenos de h quanto se queira. O valor exato
de v (t0 ) será o valor para o qual a fração tende a medida que h
tende a zero.
Ou seja, definiremos,
s(t0 + h) − s(t0 )
h→0
h
v (t0 ) = lim
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Esboço de definição da velocidade instantânea
Seja s(t) uma função posição, t0 um instante de tempo e h um
intervalo de tempo positivo.
Aproximaremos a velocidade instantânea v (t0 ) por
v (t0 ) ≈
s(t0 + h) − s(t0 )
h
para valores tão pequenos de h quanto se queira. O valor exato
de v (t0 ) será o valor para o qual a fração tende a medida que h
tende a zero.
Ou seja, definiremos,
s(t0 + h) − s(t0 )
= lim f (h)
h→0
h→0
h
v (t0 ) = lim
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5/21
Esboço de definição da velocidade instantânea
Seja s(t) uma função posição, t0 um instante de tempo e h um
intervalo de tempo positivo.
Aproximaremos a velocidade instantânea v (t0 ) por
v (t0 ) ≈
s(t0 + h) − s(t0 )
h
para valores tão pequenos de h quanto se queira. O valor exato
de v (t0 ) será o valor para o qual a fração tende a medida que h
tende a zero.
Ou seja, definiremos,
s(t0 + h) − s(t0 )
= lim f (h)
h→0
h→0
h
v (t0 ) = lim
(lê-se v (t0 ) é o limite de f (h) quando h tende a zero, para
s(t +h)−s(t )
f (h) = 0 h 0 )
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Definição de limite
Dados uma função real f ∶ R → R e números reais a e L, dizemos
que
lim f (x ) = L
x →a
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Definição de limite
Dados uma função real f ∶ R → R e números reais a e L, dizemos
que
lim f (x ) = L,
x →a
se podemos fazer “f (x ) tão próximo de L quanto se queira”
sempre que “x está próximo de a (mas não igual).”
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6/21
Definição de limite
Dados uma função real f ∶ R → R e números reais a e L, dizemos
que
lim f (x ) = L,
x →a
se podemos fazer “f (x ) tão próximo de L quanto se queira”
sempre que “x está próximo de a (mas não igual).”
Para medir “proximidade” entre dois valores reais a e b, precisamos
medir a distância entre dois pontos a e b na reta real:
d(a, b) = ∣a − b∣
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Definição de limite
Dados uma função real f ∶ R → R e números reais a e L, dizemos
que
lim f (x ) = L,
x →a
se podemos fazer “f (x ) tão próximo de L quanto se queira”
sempre que “x está próximo de a (mas não igual).”
Para medir “proximidade” entre dois valores reais a e b, precisamos
medir a distância entre dois pontos a e b na reta real:
d(a, b) = ∣a − b∣
Escolhido um número real, diga que a e b estão próximos se ∣a − b∣
for menor que esse número real.
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6/21
Definição de limite
Dados uma função real f ∶ R → R e números reais a e L, dizemos
que
lim f (x ) = L,
x →a
se podemos fazer “f (x ) tão próximo de L quanto se queira”
sempre que “x está próximo de a (mas não igual).”
Para medir “proximidade” entre dois valores reais a e b, precisamos
medir a distância entre dois pontos a e b na reta real:
d(a, b) = ∣a − b∣
Escolhido um número real, diga que a e b estão próximos se ∣a − b∣
for menor que esse número real.
Para nossa definição de limite, precisaremos de dois números reais,
que chamaremos de e δ
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Definição de limite
Dados uma função real f ∶ R → R e números reais a e L, dizemos
que
lim f (x ) = L,
x →a
se. . .
. . . podemos fazer “f (x ) tão próximo de L quanto se queira”
sempre que “x está próximo de a (mas não igual).”
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Definição de limite
Dados uma função real f ∶ R → R e números reais a e L, dizemos
que
lim f (x ) = L,
x →a
se. . .
. . . podemos fazer “f (x ) tão próximo de L quanto se queira”
sempre que “x está próximo de a (mas não igual).”
. . . “∣f (x ) − L∣ < ” sempre que “0 < ∣x − a∣ < δ.”
v. 2015-2-9
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Definição de limite
Dados uma função real f ∶ R → R e números reais a e L, dizemos
que
lim f (x ) = L,
x →a
se. . .
. . . “∣f (x ) − L∣ < ” sempre que “0 < ∣x − a∣ < δ.”
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7/21
Definição de limite
Dados uma função real f ∶ R → R e números reais a e L, dizemos
que
lim f (x ) = L,
x →a
se. . .
. . . “∣f (x ) − L∣ < ” sempre que “0 < ∣x − a∣ < δ.”
. . . 0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣f (x ) − L∣ < v. 2015-2-9
7/21
Definição de limite
Dados uma função real f ∶ R → R e números reais a e L, dizemos
que
lim f (x ) = L,
x →a
se. . .
. . . 0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣f (x ) − L∣ < v. 2015-2-9
7/21
Definição de limite
Dados uma função real f ∶ R → R e números reais a e L, dizemos
que
lim f (x ) = L,
x →a
se para todo número real > 0, existe algum número real δ > 0 tal
que a implicação abaixo é válida
0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣f (x ) − L∣ < v. 2015-2-9
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Definição de limite
Dados uma função real f ∶ R → R e números reais a e L, dizemos
que
lim f (x ) = L,
x →a
se para todo número real > 0, existe algum número real δ > 0 tal
que a implicação abaixo é válida
0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣f (x ) − L∣ < ATENÇÃO: cuidado com a interpretação das expressões “para
todo” e “existe algum.” Se ajudar, lembre dos símbolos usados em
lógica (vistos em bases matemáticas):
“para todo” = ∀
“existe algum” = ∃
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Exemplo
Exercício. Seja f (x ) =
1
x +1 .
Demonstre que lim f (x ) =
x →1
1
2
Primeiro, vamos explorar o valor de f (x ) para x próximo de 1. (na
lousa)
v. 2015-2-9
9/21
Exemplo
Exercício. Seja f (x ) =
1
x +1 .
Demonstre que lim f (x ) =
x →1
1
2
Primeiro, vamos explorar o valor de f (x ) para x próximo de 1. (na
lousa)
Depois, vamos usar a definição para demonstrar formalmente.
Ir para solução.
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9/21
Exemplo
Exercício. Seja f (x ) =
1
x +1 .
Demonstre que lim f (x ) =
x →1
1
2
Primeiro, vamos explorar o valor de f (x ) para x próximo de 1. (na
lousa)
Depois, vamos usar a definição para demonstrar formalmente.
Ir para solução.
Observações:
a parte exploratória inicial não é necessária, mas às vezes
ajuda com a solução (e às vezes não).
a formalização da demonstração é obrigatória (neste caso,
usando apenas a definição, mas veremos outras técnicas
formais para demonstrar o valor de um limite)
v. 2015-2-9
9/21
Exemplo
Exercício. Seja f (x ) =
1
x +1 .
Demonstre que lim f (x ) não existe.
x →−1
Na lousa.
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10/21
Exemplo
Exercício. Seja f (x ) =
1
x +1 .
Demonstre que lim f (x ) não existe.
x →−1
Na lousa.
Neste exercício, como no anterior, a parte exploratória é apenas
para nos dar um pouco de intuição, mas a parte da formalização é
indispensável.
v. 2015-2-9
10/21
Limite e o domínio de uma função
Note que não necessariamente há relação entre o valor de lim f (x )
x →a
(se estiver definido) e o valor de f (a).
v. 2015-2-9
11/21
Limite e o domínio de uma função
Note que não necessariamente há relação entre o valor de lim f (x )
x →a
(se estiver definido) e o valor de f (a).
para f (x ) =
v. 2015-2-9
1
x +1 ,
temos lim f (x ) = 1/2 e f (1) = 1/2
x →1
11/21
Limite e o domínio de uma função
Note que não necessariamente há relação entre o valor de lim f (x )
x →a
(se estiver definido) e o valor de f (a).
para f (x ) =
1
x +1 ,
temos lim f (x ) = 1/2 e f (1) = 1/2
para f (x ) =
1
x +1 ,
temos lim f (x ) é indefinido e f (−1) é
x →1
x →−1
indefinido
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11/21
Limite e o domínio de uma função
Note que não necessariamente há relação entre o valor de lim f (x )
x →a
(se estiver definido) e o valor de f (a).
para f (x ) =
1
x +1 ,
temos lim f (x ) = 1/2 e f (1) = 1/2
para f (x ) =
1
x +1 ,
temos lim f (x ) é indefinido e f (−1) é
x →1
x →−1
indefinido
sen (x ) se x ≠ 0
, lim f (x ) = 0 mas f (0) = 1
1 se x = 0
x →0
(demonstre em casa)
para f (x ) = {
v. 2015-2-9
11/21
Limite e o domínio de uma função
Note que não necessariamente há relação entre o valor de lim f (x )
x →a
(se estiver definido) e o valor de f (a).
para f (x ) =
1
x +1 ,
temos lim f (x ) = 1/2 e f (1) = 1/2
para f (x ) =
1
x +1 ,
temos lim f (x ) é indefinido e f (−1) é
x →1
x →−1
indefinido
sen (x ) se x ≠ 0
, lim f (x ) = 0 mas f (0) = 1
1 se x = 0
x →0
(demonstre em casa)
sen (x )
para f (x ) =
, temos lim f (x ) = 1 mas f (0) é indefinido
x →0
x
para f (x ) = {
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11/21
Limite e o domínio de uma função
Note que não necessariamente há relação entre o valor de lim f (x )
x →a
(se estiver definido) e o valor de f (a).
para f (x ) =
1
x +1 ,
temos lim f (x ) = 1/2 e f (1) = 1/2
para f (x ) =
1
x +1 ,
temos lim f (x ) é indefinido e f (−1) é
x →1
x →−1
indefinido
sen (x ) se x ≠ 0
, lim f (x ) = 0 mas f (0) = 1
1 se x = 0
x →0
(demonstre em casa)
sen (x )
para f (x ) =
, temos lim f (x ) = 1 mas f (0) é indefinido
x →0
x
para f (x ) = ⌊x ⌋, temos lim f (x ) indefinido mas f (3) = 3
para f (x ) = {
x →3
definido
v. 2015-2-9
11/21
Limite e o domínio de uma função
Note que não necessariamente há relação entre o valor de lim f (x )
x →a
(se estiver definido) e o valor de f (a).
para f (x ) =
1
x +1 ,
temos lim f (x ) = 1/2 e f (1) = 1/2
para f (x ) =
1
x +1 ,
temos lim f (x ) é indefinido e f (−1) é
x →1
x →−1
indefinido
sen (x ) se x ≠ 0
, lim f (x ) = 0 mas f (0) = 1
1 se x = 0
x →0
(demonstre em casa)
sen (x )
para f (x ) =
, temos lim f (x ) = 1 mas f (0) é indefinido
x →0
x
para f (x ) = ⌊x ⌋, temos lim f (x ) indefinido mas f (3) = 3
para f (x ) = {
x →3
definido
v. 2015-2-9
11/21
Limite e o domínio de uma função
Note que não necessariamente há relação entre o valor de lim f (x )
x →a
(se estiver definido) e o valor de f (a).
para f (x ) =
1
x +1 ,
temos lim f (x ) = 1/2 e f (1) = 1/2
para f (x ) =
1
x +1 ,
temos lim f (x ) é indefinido e f (−1) é
x →1
x →−1
indefinido
sen (x ) se x ≠ 0
, lim f (x ) = 0 mas f (0) = 1
1 se x = 0
x →0
(demonstre em casa)
sen (x )
para f (x ) =
, temos lim f (x ) = 1 mas f (0) é indefinido
x →0
x
para f (x ) = ⌊x ⌋, temos lim f (x ) indefinido mas f (3) = 3
para f (x ) = {
x →3
definido
Funções onde há relação entre limite e valor da função no mesmo
ponto serão estudadas em mais detalhes adiante.
v. 2015-2-9
11/21
Limite e o domínio de uma função
Em princípio, as cinco possibilidades abaixo são válidas:
lim f (x )
f (a)
indefinido
indefinido
L
L
L
indefinido
L
indefinido
M ≠L
L
x →a
É preciso analisar formalmente o limite e o valor da função para
cada a dado, de maneira a determinar em qual situação nos
encaixamos para aquele valor de a.
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12/21
Primeira Propriedade
Teorema. (Unicidade do limite) Se o limite lim f (x ) existir, ele é
x →a
único.
v. 2015-2-9
13/21
Primeira Propriedade
Teorema. (Unicidade do limite) Se o limite lim f (x ) existir, ele é
x →a
único.
Demonstração. (Por redução ao absurdo) Sejam L1 ≠ L2 números
reais tais que limx →a f (x ) = L1 e limx →a f (x ) = L2 .
v. 2015-2-9
13/21
Primeira Propriedade
Teorema. (Unicidade do limite) Se o limite lim f (x ) existir, ele é
x →a
único.
Demonstração. (Por redução ao absurdo) Sejam L1 ≠ L2 números
reais tais que limx →a f (x ) = L1 e limx →a f (x ) = L2 . Isto quer dizer
que, para todo > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que:
0 < ∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣f (x ) − L1 ∣ < 0 < ∣x − a∣ < δ2 ⇒ ∣f (x ) − L2 ∣ < v. 2015-2-9
13/21
Primeira Propriedade
Teorema. (Unicidade do limite) Se o limite lim f (x ) existir, ele é
x →a
único.
Demonstração. (Por redução ao absurdo) Sejam L1 ≠ L2 números
reais tais que limx →a f (x ) = L1 e limx →a f (x ) = L2 . Isto quer dizer
que, para todo > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que:
0 < ∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣f (x ) − L1 ∣ < 0 < ∣x − a∣ < δ2 ⇒ ∣f (x ) − L2 ∣ < Seja δ = min{δ1 , δ2 }, logo para todo > 0 existe δ > 0 tal que,
quando 0 < ∣x − a∣ < δ, então ∣f (x ) − L1 ∣ < e ∣f (x ) − L2 ∣ < .
v. 2015-2-9
13/21
Primeira Propriedade
Teorema. (Unicidade do limite) Se o limite lim f (x ) existir, ele é
x →a
único.
Demonstração. (Por redução ao absurdo) Sejam L1 ≠ L2 números
reais tais que limx →a f (x ) = L1 e limx →a f (x ) = L2 . Isto quer dizer
que, para todo > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que:
0 < ∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣f (x ) − L1 ∣ < 0 < ∣x − a∣ < δ2 ⇒ ∣f (x ) − L2 ∣ < Seja δ = min{δ1 , δ2 }, logo para todo > 0 existe δ > 0 tal que,
quando 0 < ∣x − a∣ < δ, então ∣f (x ) − L1 ∣ < e ∣f (x ) − L2 ∣ < . Veja
que:
∣L1 − f (x )∣ + ∣f (x ) − L2 ∣ < 2
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13/21
Primeira Propriedade
Teorema. (Unicidade do limite) Se o limite lim f (x ) existir, ele é
x →a
único.
Demonstração. (Por redução ao absurdo) Sejam L1 ≠ L2 números
reais tais que limx →a f (x ) = L1 e limx →a f (x ) = L2 . Isto quer dizer
que, para todo > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que:
0 < ∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣f (x ) − L1 ∣ < 0 < ∣x − a∣ < δ2 ⇒ ∣f (x ) − L2 ∣ < Seja δ = min{δ1 , δ2 }, logo para todo > 0 existe δ > 0 tal que,
quando 0 < ∣x − a∣ < δ, então ∣f (x ) − L1 ∣ < e ∣f (x ) − L2 ∣ < . Veja
que:
∣L1 − f (x ) + f (x ) − L2 ∣ ≤ ∣L1 − f (x )∣ + ∣f (x ) − L2 ∣ < 2
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13/21
Primeira Propriedade
Teorema. (Unicidade do limite) Se o limite lim f (x ) existir, ele é
x →a
único.
Demonstração. (Por redução ao absurdo) Sejam L1 ≠ L2 números
reais tais que limx →a f (x ) = L1 e limx →a f (x ) = L2 . Isto quer dizer
que, para todo > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que:
0 < ∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣f (x ) − L1 ∣ < 0 < ∣x − a∣ < δ2 ⇒ ∣f (x ) − L2 ∣ < Seja δ = min{δ1 , δ2 }, logo para todo > 0 existe δ > 0 tal que,
quando 0 < ∣x − a∣ < δ, então ∣f (x ) − L1 ∣ < e ∣f (x ) − L2 ∣ < . Veja
que:
∣L1 − L2 ∣ ≤ ∣L1 − f (x ) + f (x ) − L2 ∣ ≤ ∣L1 − f (x )∣ + ∣f (x ) − L2 ∣ < 2
v. 2015-2-9
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Primeira Propriedade
Teorema. (Unicidade do limite) Se o limite lim f (x ) existir, ele é
x →a
único.
Demonstração. (Por redução ao absurdo) Sejam L1 ≠ L2 números
reais tais que limx →a f (x ) = L1 e limx →a f (x ) = L2 . Isto quer dizer
que, para todo > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que:
0 < ∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣f (x ) − L1 ∣ < 0 < ∣x − a∣ < δ2 ⇒ ∣f (x ) − L2 ∣ < Seja δ = min{δ1 , δ2 }, logo para todo > 0 existe δ > 0 tal que,
quando 0 < ∣x − a∣ < δ, então ∣f (x ) − L1 ∣ < e ∣f (x ) − L2 ∣ < . Veja
que:
∣L1 − L2 ∣ ≤ ∣L1 − f (x ) + f (x ) − L2 ∣ ≤ ∣L1 − f (x )∣ + ∣f (x ) − L2 ∣ < 2
Ou seja, ∣L1 − L2 ∣ < 2 para todo > 0.
v. 2015-2-9
13/21
Primeira Propriedade
Teorema. (Unicidade do limite) Se o limite lim f (x ) existir, ele é
x →a
único.
Demonstração. (Por redução ao absurdo) Sejam L1 ≠ L2 números
reais tais que limx →a f (x ) = L1 e limx →a f (x ) = L2 . Isto quer dizer
que, para todo > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que:
0 < ∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣f (x ) − L1 ∣ < 0 < ∣x − a∣ < δ2 ⇒ ∣f (x ) − L2 ∣ < Seja δ = min{δ1 , δ2 }, logo para todo > 0 existe δ > 0 tal que,
quando 0 < ∣x − a∣ < δ, então ∣f (x ) − L1 ∣ < e ∣f (x ) − L2 ∣ < . Veja
que:
∣L1 − L2 ∣ ≤ ∣L1 − f (x ) + f (x ) − L2 ∣ ≤ ∣L1 − f (x )∣ + ∣f (x ) − L2 ∣ < 2
Ou seja, ∣L1 − L2 ∣ < 2 para todo > 0. Como L1 ≠ L2 , a diferença
entre eles não pode ser menor do que qualquer número real
positivo, uma contradição!
v. 2015-2-9
13/21
Primeira Propriedade
Teorema. (Unicidade do limite) Se o limite lim f (x ) existir, ele é
x →a
único.
Demonstração. (Por redução ao absurdo) Sejam L1 ≠ L2 números
reais tais que limx →a f (x ) = L1 e limx →a f (x ) = L2 . Isto quer dizer
que, para todo > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que:
0 < ∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣f (x ) − L1 ∣ < 0 < ∣x − a∣ < δ2 ⇒ ∣f (x ) − L2 ∣ < Seja δ = min{δ1 , δ2 }, logo para todo > 0 existe δ > 0 tal que,
quando 0 < ∣x − a∣ < δ, então ∣f (x ) − L1 ∣ < e ∣f (x ) − L2 ∣ < . Veja
que:
∣L1 − L2 ∣ ≤ ∣L1 − f (x ) + f (x ) − L2 ∣ ≤ ∣L1 − f (x )∣ + ∣f (x ) − L2 ∣ < 2
Ou seja, ∣L1 − L2 ∣ < 2 para todo > 0. Como L1 ≠ L2 , a diferença
entre eles não pode ser menor do que qualquer número real
positivo, uma contradição! Isto quer dizer que L1 = L2 .
∎
v. 2015-2-9
13/21
Limites fundamentais
Teorema. Seja f (x ) = c uma função constante. Então
lim f (x ) = c.
x →a
v. 2015-2-9
14/21
Limites fundamentais
Teorema. Seja f (x ) = c uma função constante. Então
lim f (x ) = c.
x →a
Demonstração. Dado > 0, escolha δ = 1 (qualquer número real
positivo serve).
v. 2015-2-9
14/21
Limites fundamentais
Teorema. Seja f (x ) = c uma função constante. Então
lim f (x ) = c.
x →a
Demonstração. Dado > 0, escolha δ = 1 (qualquer número real
positivo serve).Veja que ∣f (x ) − c∣ = 0
v. 2015-2-9
14/21
Limites fundamentais
Teorema. Seja f (x ) = c uma função constante. Então
lim f (x ) = c.
x →a
Demonstração. Dado > 0, escolha δ = 1 (qualquer número real
positivo serve).Veja que ∣f (x ) − c∣ = 0 < v. 2015-2-9
14/21
Limites fundamentais
Teorema. Seja f (x ) = c uma função constante. Então
lim f (x ) = c.
x →a
Demonstração. Dado > 0, escolha δ = 1 (qualquer número real
positivo serve).Veja que ∣f (x ) − c∣ = 0 < , logo vale a implicação
0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣f (x ) − c∣ < .
∎
v. 2015-2-9
14/21
Limites fundamentais
Teorema. Seja f (x ) = c uma função constante. Então
lim f (x ) = c.
x →a
Demonstração. Dado > 0, escolha δ = 1 (qualquer número real
positivo serve).Veja que ∣f (x ) − c∣ = 0 < , logo vale a implicação
0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣f (x ) − c∣ < .
∎
Teorema. Seja f (x ) = x a função identidade. Então lim f (x ) = a.
x →a
v. 2015-2-9
14/21
Limites fundamentais
Teorema. Seja f (x ) = c uma função constante. Então
lim f (x ) = c.
x →a
Demonstração. Dado > 0, escolha δ = 1 (qualquer número real
positivo serve).Veja que ∣f (x ) − c∣ = 0 < , logo vale a implicação
0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣f (x ) − c∣ < .
∎
Teorema. Seja f (x ) = x a função identidade. Então lim f (x ) = a.
x →a
Demonstração. Dado > 0, escolha δ = . Sendo
0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣f (x ) − a∣ < .
v. 2015-2-9
14/21
Regras algébricas dos limites
Teorema. Sejam f , g funções tais que lim f (x ) = L e
x →a
lim f (x ) = M. Então:
x →a
● lim (f (x ) + g(x )) = L + M
x →a
v. 2015-2-9
15/21
Regras algébricas dos limites
Teorema. Sejam f , g funções tais que lim f (x ) = L e
x →a
lim f (x ) = M. Então:
x →a
● lim (f (x ) + g(x )) = L + M
x →a
● lim (f (x ) ⋅ g(x )) = L ⋅ M
x →a
v. 2015-2-9
15/21
Regras algébricas dos limites
Teorema. Sejam f , g funções tais que lim f (x ) = L e
x →a
lim f (x ) = M. Então:
x →a
● lim (f (x ) + g(x )) = L + M
x →a
● lim (f (x ) ⋅ g(x )) = L ⋅ M
x →a
L
f (x )
=
x →a g(x )
M
● Se M ≠ 0, lim
v. 2015-2-9
15/21
Regras algébricas dos limites
Teorema. Sejam f , g funções tais que lim f (x ) = L e
x →a
lim f (x ) = M. Então:
x →a
● lim (f (x ) + g(x )) = L + M
x →a
● lim (f (x ) ⋅ g(x )) = L ⋅ M
x →a
L
f (x )
=
x →a g(x )
M
n
n
● lim (f (x )) = L
● Se M ≠ 0, lim
x →a
v. 2015-2-9
15/21
Regras algébricas dos limites
Teorema. Sejam f , g funções tais que lim f (x ) = L e
x →a
lim f (x ) = M. Então:
x →a
● lim (f (x ) + g(x )) = L + M
x →a
● lim (f (x ) ⋅ g(x )) = L ⋅ M
x →a
L
f (x )
=
x →a g(x )
M
n
n
● lim (f (x )) = L
x →a
√
√
n
● Se n é ímpar, lim n f (x ) = L
● Se M ≠ 0, lim
x →a
v. 2015-2-9
15/21
Regras algébricas dos limites
Teorema. Sejam f , g funções tais que lim f (x ) = L e
x →a
lim f (x ) = M. Então:
x →a
● lim (f (x ) + g(x )) = L + M
x →a
● lim (f (x ) ⋅ g(x )) = L ⋅ M
x →a
L
f (x )
=
x →a g(x )
M
n
n
● lim (f (x )) = L
x →a
√
√
n
● Se n é ímpar, lim n f (x ) = L
x →a
√
√
n
● Se n é par e L ≥ 0, lim n f (x ) = L
● Se M ≠ 0, lim
x →a
v. 2015-2-9
15/21
Regras algébricas dos limites
Teorema. Sejam f , g funções tais que lim f (x ) = L e
x →a
lim f (x ) = M. Então:
x →a
● lim (f (x ) + g(x )) = L + M
x →a
● lim (f (x ) ⋅ g(x )) = L ⋅ M
x →a
L
f (x )
=
x →a g(x )
M
n
n
● lim (f (x )) = L
x →a
√
√
n
● Se n é ímpar, lim n f (x ) = L
x →a
√
√
n
● Se n é par e L ≥ 0, lim n f (x ) = L
● Se M ≠ 0, lim
x →a
ATENÇÃO! Cuidado com as condições! Ambos os limites tem
que estar definidos no ponto a! Algumas regras precisam de
condições adicionais!
v. 2015-2-9
15/21
Usando as regras algébricas
x2 + 1
= 2.
x →1
x
Exercício. Demonstre que lim
Solução na lousa.
v. 2015-2-9
16/21
Usando as regras algébricas
x2 + 1
= 2.
x →1
x
Exercício. Demonstre que lim
Solução na lousa.
Exercício. Demonstre que, se lim f (x ) = L, então lim ∣f (x )∣ = ∣L∣.
x →a
v. 2015-2-9
x →a
16/21
Usando as regras algébricas
x2 + 1
= 2.
x →1
x
Exercício. Demonstre que lim
Solução na lousa.
Exercício. Demonstre que, se lim f (x ) = L, então lim ∣f (x )∣ = ∣L∣.
x →a
x →a
√
Solução. Note que ∣f (x )∣ = (f (x ))2 e use regras algébricas.
v. 2015-2-9
16/21
Usando as regras algébricas
x2 + 1
= 2.
x →1
x
Exercício. Demonstre que lim
Solução na lousa.
Exercício. Demonstre que, se lim f (x ) = L, então lim ∣f (x )∣ = ∣L∣.
x →a
x →a
√
Solução. Note que ∣f (x )∣ = (f (x ))2 e use regras algébricas.
Exercício. Tente usar apenas as regras algébricas para
x2 − 9
demonstrar que lim
= 3.
x →3 2x − 6
v. 2015-2-9
16/21
Usando as regras algébricas
x2 + 1
= 2.
x →1
x
Exercício. Demonstre que lim
Solução na lousa.
Exercício. Demonstre que, se lim f (x ) = L, então lim ∣f (x )∣ = ∣L∣.
x →a
x →a
√
Solução. Note que ∣f (x )∣ = (f (x ))2 e use regras algébricas.
Exercício. Tente usar apenas as regras algébricas para
x2 − 9
demonstrar que lim
= 3.
x →3 2x − 6
Aqui esbarramos num problema: o limite do denominador é nulo,
logo não podemos aplicar a regra do quociente. Felizmente, uma
nova regra pode nos ajudar.
v. 2015-2-9
16/21
Mais uma regra
Teorema. Sejam f , g funções reais tais que f (x ) = g(x ) para
todo x ≠ a. Se lim f (x ) = L, então lim g(x ) = L.
x →a
x →a
Demonstração. trivial.
v. 2015-2-9
17/21
Mais uma regra
Teorema. Sejam f , g funções reais tais que f (x ) = g(x ) para
todo x ≠ a. Se lim f (x ) = L, então lim g(x ) = L.
x →a
x →a
Demonstração. trivial.
x2 − 9
= 3.
x →3 x − 3
Exercício. Demonstre que lim
Solução. seja g(x ) =
v. 2015-2-9
x 2 − 9 (x − 3)(x + 3)
=
.
2x − 6
2(x − 3)
17/21
Mais uma regra
Teorema. Sejam f , g funções reais tais que f (x ) = g(x ) para
todo x ≠ a. Se lim f (x ) = L, então lim g(x ) = L.
x →a
x →a
Demonstração. trivial.
x2 − 9
= 3.
x →3 x − 3
Exercício. Demonstre que lim
Solução. seja g(x ) =
x 2 − 9 (x − 3)(x + 3)
=
.Note que g(x ) é
2x − 6
2(x − 3)
x +3
a menos que x = 3 (neste ponto, f (3) = 3,
2
mas g(3) é indefinido pois há divisão por zero).
igual a f (x ) =
v. 2015-2-9
17/21
Mais uma regra
Teorema. Sejam f , g funções reais tais que f (x ) = g(x ) para
todo x ≠ a. Se lim f (x ) = L, então lim g(x ) = L.
x →a
x →a
Demonstração. trivial.
x2 − 9
= 3.
x →3 x − 3
Exercício. Demonstre que lim
Solução. seja g(x ) =
x 2 − 9 (x − 3)(x + 3)
=
.Note que g(x ) é
2x − 6
2(x − 3)
x +3
a menos que x = 3 (neste ponto, f (3) = 3,
2
mas g(3) é indefinido pois há divisão por zero).
igual a f (x ) =
Podemos demonstrar lim f (x ) = 3 por regras algébricas, e usar o
x →3
teorema anterior para concluir que lim g(x ) = 3.
x →3
v. 2015-2-9
∎
17/21
Mais um Exemplo
√
Exercício. Calcule lim
x →1
v. 2015-2-9
x −1
.
x −1
18/21
Mais um Exemplo
√
Exercício. Calcule lim
x →1
x −1
.
x −1
Dica: multiplique e divida pelo conjugado.
√ √
√ √
a− b é
a + b, e vice-versa.
O conjugado de
v. 2015-2-9
18/21
Mais um Exemplo
√
Exercício. Calcule lim
x →1
x −1
.
x −1
Dica: multiplique e divida pelo conjugado.
√ √
√ √
a− b é
a + b, e vice-versa.
O conjugado de
A resposta tem que ser 12 .
v. 2015-2-9
18/21
Para casa
Stewart: Capítulo 1 (revisão conceitos fundamentais e
funções) e Seções 2.1, 2.2, 2.3, 2.4. (limites)
Ver vídeos: Funções - parte 1, Funções - Parte 2, Criando
Funções - parte 1, Criando Funções - parte 2, Limite - parte
1, Limite - parte 2 (Unicamp) e “Um limite que envolve uma
fatoração,” “Alguns limites com indeterminações” (UNB)
Fazer Lista 0 (revisão) e exercícios de 1 a 5 da Lista 1.
v. 2015-2-9
19/21
Voltar
v. 2015-2-9
Solução. Seja f (x ) =
1
x +1 .
Demonstre que lim f (x ) =
x →1
1
2
20/21
Voltar
Solução. Seja f (x ) =
1
x +1 .
Demonstre que lim f (x ) =
x →1
1
2
Queremos demonstrar: dado > 0, existe δ > 0 tal que
0 < ∣x − 1∣ < δ ⇒ ∣
v. 2015-2-9
1
1
− ∣<
x +1 2
20/21
Voltar
Solução. Seja f (x ) =
1
x +1 .
Demonstre que lim f (x ) =
x →1
1
2
Queremos demonstrar: dado > 0, existe δ > 0 tal que
0 < ∣x − 1∣ < δ ⇒ ∣
Quando é verdade que ∣
v. 2015-2-9
1
1
− ∣<
x +1 2
1
1
− ∣ < ?
x +1 2
20/21
Voltar
Solução. Seja f (x ) =
1
x +1 .
Demonstre que lim f (x ) =
x →1
1
2
Queremos demonstrar: dado > 0, existe δ > 0 tal que
0 < ∣x − 1∣ < δ ⇒ ∣
Quando é verdade que ∣
1
1
− ∣<
x +1 2
1
1
− ∣ < ?
x +1 2
Em casa, divida nos casos: i) 0 < < 1/2; ii) = 1/2; e iii) > 1/2.
Soluções: i)
v. 2015-2-9
1 − 2
1 + 2
<x <
;
2 + 1
1 − 2
ii) x > 0; e
iii) x >
1 − 2
2 + 1
20/21
Voltar
Solução. Seja f (x ) =
1
x +1 .
Demonstre que lim f (x ) =
x →1
1
2
Queremos demonstrar: dado > 0, existe δ > 0 tal que
0 < ∣x − 1∣ < δ ⇒ ∣
Quando é verdade que ∣
1
1
− ∣<
x +1 2
1
1
− ∣ < ?
x +1 2
Em casa, divida nos casos: i) 0 < < 1/2; ii) = 1/2; e iii) > 1/2.
Soluções: i)
1 − 2
1 + 2
<x <
;
2 + 1
1 − 2
ii) x > 0; e
iii) x >
1 − 2
2 + 1
Note que queremos falar algo sobre x − 1, então:
−4
4
−3
i)
<x −1<
;
ii) x − 1 > −1; e
iii) x >
1 + 2
1 − 2
2 + 1
Para os três casos, será verdade que ∣f (x ) − 1/2∣ < v. 2015-2-9
20/21
Para os casos 1) 0 < < 1/2; 2) = 1/2; e 3) > 1/2; as
desigualdades
i)
4
−4
<x −1<
;
1 + 2
1 − 2
ii) x − 1 > −1; e
iii) x >
−3
2 + 1
equivalem a ∣f (x ) − 1/2∣ < v. 2015-2-9
21/21
Para os casos 1) 0 < < 1/2; 2) = 1/2; e 3) > 1/2; as
desigualdades
i)
4
−4
<x −1<
;
1 + 2
1 − 2
ii) x − 1 > −1; e
iii) x >
−3
2 + 1
equivalem a ∣f (x ) − 1/2∣ < Precisamos determinar δ > 0 tal que
0 < ∣x − 1∣ < δ ⇒ ∣f (x ) − 1/2∣ < .
Note que, dos números
−4
.
zero é 1+2
v. 2015-2-9
4
−4
1+2 , 1−2 ,
−1 e
−3
2+1 ,
o mais próximo de
21/21
Para os casos 1) 0 < < 1/2; 2) = 1/2; e 3) > 1/2; as
desigualdades
i)
4
−4
<x −1<
;
1 + 2
1 − 2
ii) x − 1 > −1; e
iii) x >
−3
2 + 1
equivalem a ∣f (x ) − 1/2∣ < Precisamos determinar δ > 0 tal que
0 < ∣x − 1∣ < δ ⇒ ∣f (x ) − 1/2∣ < .
Note que, dos números
−4
.
zero é 1+2
4
−4
1+2 , 1−2 ,
−1 e
−3
2+1 ,
o mais próximo de
4
Dado > 0, tome δ = 1+2
e observe que 0 < ∣x − 1∣ < δ implica que
(i), (ii) e (iii) são verdade,
v. 2015-2-9
21/21
Para os casos 1) 0 < < 1/2; 2) = 1/2; e 3) > 1/2; as
desigualdades
i)
4
−4
<x −1<
;
1 + 2
1 − 2
ii) x − 1 > −1; e
iii) x >
−3
2 + 1
equivalem a ∣f (x ) − 1/2∣ < Precisamos determinar δ > 0 tal que
0 < ∣x − 1∣ < δ ⇒ ∣f (x ) − 1/2∣ < .
Note que, dos números
−4
.
zero é 1+2
4
−4
1+2 , 1−2 ,
−1 e
−3
2+1 ,
o mais próximo de
4
Dado > 0, tome δ = 1+2
e observe que 0 < ∣x − 1∣ < δ implica que
(i), (ii) e (iii) são verdade, logo 0 < ∣x − 1∣ < δ ⇒ ∣f (x ) − 1/2∣ < e
o limite está provado.
∎
Voltar
v. 2015-2-9
21/21