Problemas Resolvidos de Física

Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 3
CAPÍTULO 31 – CAPACITORES E DIELÉTRICOS
01. Um eletrômetro é um aparelho usado para medir cargas estáticas. Uma carga desconhecida é
colocada nas armaduras de um capacitor e após isto medimos a diferença de potencial entre
elas. Qual é a menor carga que pode ser medida por um eletrômetro cuja capacitância vale 50
pF e tem sensibilidade à voltagem de 0,15 V?
(Pág. 92)
Solução.
A carga a ser medida pelo eletrômetro é acumulada num capacitor, de capacitância C, do
instrumento e deve satisfazer à relação fundamental de capacitância:
q  CV   50 109 F  0,15 V   7,5 109 C
q  7,5 pC
04. Um capacitor de armaduras paralelas é construído com placas circulares de raio 8,22 cm e 1,31
mm de separação entre elas. (a) Calcule a capacitância. (b) Qual a carga que aparecerá nas
armaduras, se aplicarmos uma diferença de potencial de 116 V entre elas?
(Pág. 92)
Solução.
r
q q
d
(a) A capacitância de um capacitor de placas paralelas, não importando a forma geométrica de suas
placas, é dada por:
C
 0 A  0 r 2
d

d

 8,85 1012 F/m   0,0822 m 
1,3110
3
m
2
 1, 4340
1010 F
C  143 pF
(b) A carga q vale:
q  CV  1, 4340
1010 F 120 V   1,7208 108 C
q  17, 2 nC
10. Um capacitor é projetado para operar, mantendo a capacitância constante, em um ambiente com
flutuações de temperatura. Como mostra a Fig. 23, ele é do tipo de armaduras paralelas com
“espaçadores” plásticos que mantêm as armaduras alinhadas. (a) Mostra que a taxa de variação
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Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos
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da capacitância C com a temperatura T é dada por
dC
 1 dA 1 dx 
C

,
dT
 A dT x dT 
onde A é a área das armaduras e x, a distância entre elas. (b) Se as armaduras forem de alumínio,
qual deve ser o coeficiente de dilatação térmica dos espaçadores para que a capacitância não
varie com a temperatura?
(Pág. 92)
Solução.
(a) A capacitância de um capacitor de placas paralelas de área A, cuja distância de separação é d, é
dada por:
 A
C 0
(1)
d
Sendo A e d funções da temperatura, ou seja, A(T) e d(T), podemos derivar C em relação a T:
dx 
dx 
 dA
 dA
 x  A
 x  A




dC
A dx 
dT
dT   0 A  dT
dT   0 A  dA x

 0






2
dT
x
x
xA
x  dT xA xA dT 
Substituindo-se (1) na equação acima, teremos:
dC
 dA 1 1 dx 
C
  

dT
 dT A x dT 
(2)
(b) A variação do comprimento (x) dos espaçadores é dada por:
x  esp xT
onde αesp é o coeficiente de expansão térmica dos espaçadores. Em termos de notação diferencial,
teremos:
dx   esp xdT
(3)
De forma similar, a variação da área das placas do capacitor é dada por:
dA  2 Al AdT
(4)
Na Eq. (4), o termo 2αAl é o coeficiente de expansão superficial do alumínio das placas (lembre-se
que o coeficiente de expansão superficial é aproximadamente duas vezes o coeficiente de expansão
linear). O enunciado exige que a capacitância não varie com a temperatura, o que implica em dC/dT
= 0. Logo (veja Eq. 2):
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dA 1 1 dx
  
dT A x dT
Substituindo-se (3) e (4) em (5), teremos:
1  esp xdT 2 Al AdT 1



x
dT
dT
A
(5)
 esp  2 Al  2  23 106 C1 
esp  46 106 C1
13. Ache a capacitância equivalente à combinação na Fig. 25. Suponha que C1 = 10,3 F, C2 = 4,80
F e C3 = 3,90 F.
(Pág. 93)
Solução.
Em primeiro lugar, vamos resolver a associação em série de C1 e C2, cuja capacitância equivalente
chamaremos de C12 e, em seguida, resolveremos a associação em paralelo entre C12 e C3, cuja
capacitância equivalente chamaremos de C123.
1
1 1 C2  C1
 

C12 C1 C2
C1C2
C12 
10,3  F 4,80  F  3, 2741
C1C2

C1  C2 10,3  F   4,80  F 
F
A capacitância equivalente final vale:
C123  C12  C3   3, 2741  F   3,90 F  7,1741 F
C123  7,17  F
17. (a) Três capacitores estão ligados em paralelo. Cada um deles tem armaduras de área A, com
espaçamento d entre elas. Qual deve ser a distância entre as armaduras placas de um único
capacitor, cada uma com área também igual a A, de modo que a sua capacitância seja igual à da
associação em paralelo? (b) Repita o cálculo supondo que a associação seja em série.
(Pág. 93)
Solução.
(a) A capacitância da associação em paralelo (Cassoc) é igual à capacitância do capacitor isolado
(Cisol).
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d
C, A
l
C, A
C, A
C, A
Logo:
Cassoc  Cisol
C C C 
3C 
3
0 A
0 A
l
0 A
l

0 A
d
l
d
l
3
(b) A capacitância da associação em série (Cassoc) é igual à capacitância do capacitor isolado (Cisol).
l
d
d
d
C, A
C, A
C, A
C, A
Logo:
Cassoc  Cisol
1
0 A
1 1 1
    
l
C C C 
C 0 A

3
l
1 0 A 0 A

3 d
l
l  3d
20. Imagine que você disponha de vários capacitores de 2,0 F, capazes de suportar, sem ruptura
dielétrica, 200 V. Como seria possível combinar esses capacitores, de modo a obter um sistema
capaz de resistir à diferença de potencial de 1.000 V e com uma capacitância de (a) 0,40 F e
(b) 1,2 F?
(Pág. 93)
Solução.
(a) É possível satisfazer a condição do enunciado por meio de uma associação em série de cinco
capacitores de C1 = 2,0 F.
C1
C1
C1
C1
C1
C1/5
=
V
V
V
V
V
5V
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1
1 1 1 1 1
5
     
Ceq C1 C1 C1 C1 C1 C1
C1  2, 0  F 

5
5
Ceq  0, 40  F
Ceq 
Associando-se em série cinco capacitores que suportam individualmente uma tensão de 200 V, a
tensão total que a associação poderá suportar é:
Veq  V  V  V  V  V  5V  5  200 V 
Veq  1.000 V
(b) No item anterior, a associação em série de cinco capacitores de 2,0 F produziu uma
capacitância equivalente de 0,40 F. Para produzir uma capacitância equivalente de 1,2 F seria
necessário associar em série cinco capacitores de:
1
5

Ceq C2
C2  5Ceq  5 1, 2  F  6,0 F
É possível construir um capacitor equivalente a 6,0 F associando-se três capacitores de 2,0 F em
paralelo.
C1
C2 = 3C1
C1
=
C1
V
V
Ceq  C1  C1  C1  3C1  3  2,0  F  6,0 F
É preciso lembrar que todos os capacitores que participam de uma associação em paralelo estão
sujeitos à mesma diferença de potencial do capacitor equivalente. Isto faz com que a limitação da
voltagem total também seja satisfeita. A associação total é representada no esquema abaixo, onde
todos os quinze capacitores têm capacitância C1 = 2,0 F:
21. A Fig. 28 mostra dois capacitores em série, com uma seção central rígida, de comprimento b,
que pode se mover verticalmente. Mostre que a capacitância equivalente a esta associação
independe da posição da seção central, sendo dada por
C
0 A
a b
,
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(Pág. 93)
Solução.
A capacitância equivalente (Ceq) de uma associação em série de dois capacitores (C1 e C2, onde C1 é
o capacitor superior da Fig. 28 e C2 é o inferior) é dada por:
1
1
1
 
(1)
Ceq C1 C2
Se chamarmos de x a distância de separação de C1, a separação de C2 será a – b – x. Logo,
teremos:
1
1
1
x
a b  x a b





0 A
Ceq  0 A
0 A
0 A
0 A
x
a b  x
Portanto:
 A
Ceq  0
a b
24. Quando giramos a chave S da Fig. 30 para a esquerda, as armaduras do capacitor de
capacitância C1 adquirem uma diferença de potencial V0. Inicialmente, C2 e C3 estão
descarregados. A chave S é agora girada para a direita. Quais os valores das cargas finais q1, q2,
e q3 sobre os capacitores correspondentes?
(Pág. 94)
Solução.
Considere a seqüência de operações no circuito mostradas no esquema abaixo:
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q2,V2
+++

q0,V0
C2
q0,V0
C2
+++

V0
C1
V0
C1
C3
V0
q1,V1
B
+++

C1
C3
A
C2
+++

V0
C1
C3
C
C2
q3,V3
+++

C3
D
No circuito B, a chave S é girada para a esquerda. O capacitor C1 adquire diferençca de potencial
igual à da bateria (V0) e carga q0 igual a:
q0  C1V0
(1)
No circuito D, a chave S é girada para a direita. A carga q0 é distribuída entre os três capacitores. A
diferença de potencial de C1 ,V1, diminui enquanto que a de C23 (capacitor equivalente a C2 e C3),
,V23, aumenta até ficarem iguais. Podemos desenvolver o seguinte cálculo:
V1  V23
q1 q23

C1 C23
(2)
Como C23 é uma associação em série de capacitores, teremos:
CC
C23  2 3
C2  C3
(3)
e
q23  q2  q3
(4)
Portanto, a distribuição de carga entre os capacitores fica da seguinte forma:
q0  q1  q2  q1  q3
q2  q0  q1
(5)
Substituindo-se (4) em (2):
Cq
q1  1 2
C23
(6)
Substituindo-se (5) em (6):
q1 
C1  q0  q1 
C23

C1q0 C1q1

C23 C23

C  Cq
q1 1  1   1 0
 C23  C23
q1 
 1 
C1q0  C23 

  C1q0 

C23  C1  C23 
 C1  C23 
(7)
Substituindo-se (3) em (7):
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

1
q1  C1q0 
 C  C2C3
 1 C C
2
3

Substituindo-se (1) em (8):




C2  C3
  C1q0 


 C1C2  C1C3  C2C3 


(8)


C1C2  C1C3
q1  C1V0 

 C1C2  C1C3  C2C3 
Da Eq. (5), temos:




C1C2  C1C3
C1C2  C1C3
q2  C1V0  C1V0 
  C1V0 1 

 C1C2  C1C3  C2C3 
 C1C2  C1C3  C2C3 
 C C  C1C3  C2C3  C1C2  C1C3 
q2  C1V0  1 2

C1C2  C1C3  C2C3




C2C3
q2  C1V0 

 C1C2  C1C3  C2C3 
Como q2 = q3:


C2C3
q3  C1V0 

 C1C2  C1C3  C2C3 
26. Um capacitor de armaduras planas, mas não paralelas, é constituído por duas placas quadradas
que formam entre si um ângulo , conforme na Fig. 32. O lado do quadrado é igual a a. Mostre
que a capacitância deste capacitor, para valores de  muito pequenos, é
 a 2  a 
C  0 1 

d  2d 
(Sugestão: O capacitor pode ser dividido em faixas infinitesimais que estejam efetivamente em
paralelo.)
(Pág. 94)
Solução.
Considere o esquema abaixo:
a
y

d
x
dx
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Tomando-se dois elementos de placas de comprimento dx e largura a, o conjunto representa um
capacitor de placas paralelas de capacitância dC que possui área dA e distância de separação entre
as placas l. Capacitância dC:
 dA  adx
 0 adx
dC  0  0

l
d  y d  x tan 
O capacitor da figura pode ser considerado como sendo uma associação em paralelo de capacitores
dC e, neste caso, somam-se (integram-se) as capacitâncias:
a
 0 adx
C   dC  
0 d  x tan 
C
 0 a  a tan  
ln 1 

tan  
d 
(1)
No Apêndice H deste livro vê-se que a função ln (1+x) pode ser expandida em série de Taylor,
sendo o resultado:
1
1
ln 1  x   x  x 2  x3   x  1
2
3
Considerando-se
a tan 
x
d
e tomando-se apenas os dois primeiros termos da série:
2
2
 a tan   a tan  a tan  a tan   a tan  
ln 1 




1 

d 
d
2d 2
d 
2d 

Considerando-se   0, isto implica em tan   . Logo:
 a tan   a
ln 1 

d  d

Substituindo-se (2) em (1):
C
C
 a 
1 

 2d 
(2)
 0 a a  a 
1
 d  2d 
 0a2 
a 
1 

d  2d 
27. A diferença de potencial fornecida pela bateria B da Fig. 33 é igual a 12 V. (a) Calcule a carga
em cada capacitor após ter sido fechada a chave S1. (b) Idem, quando também estiver fechada a
chave S2. Suponha que C1 = 1 F, C2 = 2 F, C3 = 3 F e C4 = 4 F.
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(Pág. 94)
Solução.
(a) Considere o esquema a seguir:
C1 C3
C13
=
C2 C4
C24
V
V
Os capacitores C1 e C3 estão associados em série. Isto significa que:
CC
C13  1 3
C1  C3
q1  q3
O mesmo é verdadeiro para os capacitores C2 e C4:
CC
C24  2 4
C2  C4
q2  q4
Como a ddp entre as placas de C13 e C24 é igual a V, temos:
V  V1  V3  V2  V4
Tomando-se:
V  V1  V3 
q1 q3 q1 q1

 
C1 C3 C1 C3
1 1 
V  q1   
 C1 C3 
CC
q1  V 1 3
C1  C3
q1  q3  9 μC
De forma semelhante:
CC
q2  V 2 4
C2  C4
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q2  q4  16 μC
(b) Considere o esquema a seguir:
C1 C3
C1
C3
C12
=
C2 C4
C2
V
C4
V
C34
=
V
q
q
V  V12  V34  12  34
C12 C34
Onde, por se tratar de uma associação de capacitores em série:
q12  q34
Logo:
 1
1 
V  q12 


 C12 C34 
C C
q12  q34  V 12 34
C12  C34
Como C12 e C34 são associações de capacitores em paralelo, temos:
q12  q34  V
 C1  C2  C3  C4 
 C1  C2    C3  C4 
q12  q34  25, 2 μC
Mas:
V12 
q12
 8, 4 μC
C12
Logo:
q1  V12C1
q1  8, 4 μC
q2  V12C2
q1  16,8 μC
De forma semelhante:
q3  10,8 μC
q1  14, 4 μC
30. As tentativas de construção de um reator de fusão termonuclear controlada que, se bemsucedidas, poderiam fornecer uma enorme quantidade de energia a partir do hidrogênio pesado
existente na água do mar, envolvem usualmente a passagem de correntes elétricas muito
intensas por pequenos períodos de tempo em bobinas que produzem campos magnéticos. Por
exemplo, o reator ZT-40, do Laboratório Nacional de Los Alamos (EUA), tem salas cheias de
capacitores. Um dos bancos de capacitores tem capacitância de 61,0 mF a 10,0 kV. Calcular a
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energia armazenada, (a) em joules e (b) em kW.h.
(Pág. 95)
Solução.
(a) A energia potencial acumulada num capacitor carregado, de capacitância C sujeito à uma
diferença de potencial V, é dada por:
2
1
1
U  CV 2  61,0 3 F 10,0 3 V  3,05 6 J
2
2
U  3,05 MJ


(b) Lembrando-se que:
kW
h
1 J  W s 3 
 2,777
10 W 3.600 s
Teremos:
U   3,05 6 J  2,777

7 kW  h
7 kW  h   0,84722
kW  h
U  0,847 kW  h
32. Dois capacitores, um de 2,12 F e outro de 3,88 F são ligados em série, com uma diferença de
potencial de 328 V entre os terminais da associação. Calcular a energia total armazenada nos
capacitores.
(Pág. 95)
Solução.
Podemos representar a associação em série dos capacitores C1 e C2 pelo capacitor equivalente C12:
CC
C12  1 2
C1  C2
A energia potencial acumulada no capacitor C12 sujeito à diferença de potencial V vale:
1
U  C12V 2
2
Logo:
U
6
6
1 C1C2 2 1  2,12 10 F  3,88 10 F 
2
V 
 328 V   0,073745
6
6
2 C1  C2
2  2,12 10 F    3,88 10 F 
J
U  73,7 mJ
34. Um banco de capacitores ligados em paralelo, contendo 2.100 capacitores de 5,0 F cada, é
usado para armazenar energia elétrica. Quanto custa carregar este banco até a diferença de
potencial nos terminais da associação atingir 55 kV, supondo um custo de 3 centavos por kW.h?
(Pág. 95)
Solução.
Considere o seguinte esquema:
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12
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}
V
U
C
1
U
C
2
U
C
3
U
C
2.100
V
A tarifa total T a ser paga pelo carregamento dos N capacitores é o produto da tarifa t pela energia
acumulada nos N capacitores (CN).
T  t U N  NtU
Na expressão acima, U é a energia acumulada em cada um dos capacitores da associação.
1
 1
T  Nt  CV 2   NtCV 2
2
 2
1
cents
kW.h 
2
6
 2,78 7
 2.100  3,0
  5,0  F   55.000 V   13, 2449
2
kW.h
J 

T  13 cents
T
cents
38. Seja um capacitor cilíndrico de raios iguais a a e b, respectivamente como ilustra a Fig. 4.
Mostre que a metade da sua energia potencial elétrica está acumulada no interior de um cilindro
de raio igual a
r  ab .
(Pág. 95)
Solução.
Considere o esquema a seguir:
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





+
a
+

+
+

+
r+
+

b

+






Capacitância de um capacitor cilíndrico:
L
C  2 0
ln  b a 
Energia potencial elétrica acumulada num capacitor cilíndrico:
2
q 2 q ln  b a 
U

2C
4 0 L
(1)
Densidade de energia (u) entre as placas de um capacitor cilíndrico:
dU
u
dV
1

dU  udV    0 E 2  .  L.2 r.dr 
2

Campo elétrico entre as placas de um capacitor cilíndrico:
q
E
2 0 Lr
(2)
(3)
Substituindo-se (3) em (2):


q2
dU   0  2 2 2 2   Lrdr
 4  0 L r 
dU 
q 2 dr
4 0 Lr
Condição que resolve o presente problema:
r
U
a dU  2
Substituindo-se (1) e (4) em (5):
(4)
(5)
2
q 2 dr r dr 1  q ln  b a  
 

4 0 Lr a r 2  4 0 L 
ln
r 1 b
 ln
a 2 a
2
b
r
ln    ln
a
a
2
r b
  
a a
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r
b

a
a
r  ab
40. Mostre que as armaduras de um capacitor plano de placas se atraem mutuamente com uma força
igual a
q2
F
2 0 A
Obtenha este resultado calculando o trabalho necessário para aumentar a separação entre as
armaduras x para x + dx.
(Pág. 95)
Solução.
Considere o seguinte esquema, em que temos um capacitor de placas planas e paralelas, separadas
por uma distância x e carregado com carga q.
q
+q
       



F 






 ds 




F
x
dx
A placa da direita é movida para a direita através de uma distância dx. O trabalho W realizado pela
força F pode ser calculado da seguinte forma:
dW  F  ds  Fdx cos 
dW  Fdx
(1)
O mesmo trabalho é equivalente à variação de energia potencial do sistema:
dW  dU   U  U 0   U 0  U 
q2
q2 q2  1 1 

   
2C0 2C 2  C0 C 
q2  x
x  dx 
q2
dW  

 x  x  dx 

2   0 A  0 A  2 0 A
dW  
q 2 dx
2 0 A
(2)
Comparando-se (1) e (2):
F
q2
2 0 A
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42. Uma bolha de sabão R0 adquire lentamente uma carga elétrica q. Por causa da repulsão entre as
cargas superficiais, o raio aumenta ligeiramente até o valor R. A pressão do ar dentro da bolha
diminui, por causa da expansão, até p(V0/V) onde p é a pressão atmosférica, V0 é o volume
inicial e V é o volume final. Mostre que
q 2  32 2 0 pR  R3  R03  ,
(Sugestão: Considere as forças atuantes sobre um elemento de área da bolha carregada. Elas são
devidas a (i) pressão do gás, (ii) pressão atmosférica, (iii) tensão eletrostática; veja o Problema
41).
(Pág. 95)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação, onde pi e pf são as pressões internas da bolha antes e
após a deposição das cargas, respectivamente:
Vamos analisar as forças que agem sobre um elemento de área A da bolha carregada. De fora para
dentro da bolha age a força devida à pressão atmosférica, Fatm. De dentro para fora agem a força
devida à pressão do ar no interior da bolha, Fint, e a força devida à tensão eletrostática, Feletr (veja o
enunciado do Problema 41). O estudante deve notar que a tensão superficial da bolha, que tende a
reduzir seu volume, foi desprezada. O somatório dessas forças deve ser nulo.
F  0
Fint  Feletr  Fatm
As forças devidas a cada uma das pressões são iguais às respectivas pressões multiplicadas pelo
elemento de área considerado (F = p A), enquanto que a tensão eletrostática (força por unidade de
área) é obtida como resultado do Problema 41.
1
p f  A   0 E 2  A  p  A
2
A bolha comporta-se como um condutor em relação às cargas, que se espalham homogeneamente
por sua superfície. O campo elétrico no interior da bolha é nulo, enquanto que na superfície externa
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vale /0 (ver Capítulo 28 – Campo Elétrico). O valor de pf é dado no enunciado do problema.
Assim, teremos:
2
V 1  
p 0  0    p
V 2  0 
A densidade superficial de cargas  corresponde à razão entre a carga total q e a área superficial da
bolha.
4 3
 q
  R0  1 
3
   4 R 2
p
0
 4 3  2  0

R



3

2


 p


 R03 

p
1  3 
32 2 0 R 4
 R 
q2
q 2  32 2 0 pR  R3  R03 
44. É dado um capacitor de 7,40 pF com ar entre as armaduras. Você é solicitado a projetar um
capacitor que armazene até 6,61 J com uma diferença de potencial máxima de 630 V. Qual dos
dielétricos da Tabela 1 você usará para preencher o espaço entre as armaduras do capacitor,
supondo que todos os dados são exatos, isto é, a margem de erro é zero?
(Pág. 95)
Solução.
Se a capacitância do capacitor com vácuo entre as placas for C0, com ar entre as placas for C1 e com
outro dielétrico for C2, valem as seguintes relações:
C1  1C0
C2   2C0
C1 1C0

C2  2C0
C2 
2
C
1 1
A energia potencial acumulada no capacitor C2 vale:
1
U 2  C2V22
2
Substituindo-se (1) em (2):
(1)
(2)

1
U 2   2 C1 V22
2  1 
Resolvendo-se para 2:
2 1,00   6,616 J 
21U 2
2 

 4,501099
C1V22  7, 40 12 F   630 V 2
 2  4,50
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De acordo com a Tabela 1 (Pág. 86), o material com  = 4,5 corresponde ao ÓLEO DE
TRANSFORMADOR.
46. Um capacitor de armaduras, cujo dielétrico é o ar, tem capacitância igual a 51,3 pF. (a) Se as
armaduras têm área de 0,350 m2, qual é a sua separação? (b) Se a região entre as armaduras for
preenchida agora com material de constante dielétrica igual a 5,60, qual é a nova capacitância?
(Pág. 95)
Solução.
(a) Um capacitor com placas planas e paralelas de área A e separação d possui capacitância C0 dada
por:
 A
C0  0
d
Logo:
d
0 A
C0
8,85  F/m  0,350 m   0,06038

51,3  F
12
2
12
m
d  6,04 cm
(b) Preenchendo-se o espaço entre as placas com dielétrico , a nova capacitância C será:
C   C0   5,60  51,3 12 F  2,8728 10 F
C  287 pF
48. Uma certa substância tem constante dielétrica 2,80 e sua rigidez dielétrica é 18,2 MV/m. Se é
usada como dielétrico em um capacitor de armaduras paralelas, qual a área mínima das
armaduras para que a capacitância seja 68,4 nF e o capacitor possa resistir a uma diferença de
potencial de 4,13 kV?
(Pág. 95)
Solução.
A capacitância C de um capacitor de placas planas e paralelas com material dielétrico  entre as
placas é dada por:
C   C0
Na equação acima, C0 é a capacitância do mesmo capacitor sem o material dielétrico entre as
placas. Esta capacitância é dada pela equação a seguir, em que A é a área das placas e d é a distância
de separação entre elas.
 A
C0  0
d
Logo:
 A
C  0
d
Cd
A
 0
Multiplicando-se e dividindo-se a equação acima por Vmax, teremos:
________________________________________________________________________________________________________
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A
CVmax
 0

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CV
d
1
 max 
Vmax
 0 Emax
68, 4 9 F  4,13 3 V 

CVmax
A

 0,62637
 0 Emax  2,80  8,85 12 F/m 18, 2 6 V/m 
m2
A  0,626 m2
50. Você foi encarregado de projetar um capacitor portátil que possa armazenar 250 kJ de energia e
escolhe um capacitor de armaduras paralelas com dielétrico. (a) Qual o menor valor possível
para o volume do capacitor, se for usado um dielétrico selecionado entre aqueles listados na
Tabela 1 e para os quais é dado o valor da rigidez dielétrica? (b) Capacitores modernos de alto
desempenho e que podem armazenar 250 kJ têm volumes iguais a 0,087 m3. Supondo que o
dielétrico usado tenha a mesma rigidez dielétrica do item (a), qual deve ser a sua constante
dielétrica?
(Pág. 95)
Solução.
(a) O campo elétrico entre as placas de um capacitor, carregado com carga q e preenchido com
dielétrico , vale:

q
E

 0  0 A
Na expressão acima,  é a densidade de carga em cada placa do capacitor. Resolvendo-se a equação
acima para A e multiplicando-se ambos os membros por d, a distância de separação das placas,
teremos:
q V 
qV
 
 0 E
 0 E  E   0 E 2
Reconhecendo-se que Ad é o volume entre as placas e que q é o produto da capacitância C pela
diferença de potencial entre as placas V, teremos:
Ad 
Ad 
q
d
 CV V
 0 E 2

CV 2
 0 E 2
(1)
A energia potencial acumulada no capacitor é dada por:
1
U  CV 2
2
Logo:
CV 2  2U
Substituindo-se (2) em (1):
2U
Ad 
 0 E 2
(2)
(3)
Na condição-limite apresentada pelo problema (volume mínimo), o campo elétrico E corresponde à
rigidez dielétrica suportada pelo material dielétrico. Como o volume Ad é inversamente
proporcional à constante dielétrica e à rigidez dielétrica, o capacitor de menor volume deverá ser
construído pelo dielétrico que possua maior produto  E2. Na Tabela 1 (Pág. 86) citada no
enunciado, a substância de maior produto  E2 é a mica ( = 5,4, E = 160 kV/mm). Logo:
________________________________________________________________________________________________________
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Ad 
2  250 3 J 
 5, 4  8,85 12 F/m  160 

kV 1.000 V 1.000 mm 



mm
kV
m

2
 0, 40868
m3
Ad  0, 41 m3
(b) Resolvendo-se (3) para a constante dielétrica:
2U

Ad  0 E 2

2  250 3 J 
 0, 087 m 8,85 
3
12
kV 1.000 V 1.000 mm 

F/m  160 



mm
kV
m


2
 25,3669
F
  25 F
51. Uma chapa de cobre de espessura b é introduzida exatamente no meio das armaduras de um
capacitor plano, que estão separadas pela distância d (veja a Fig. 35). (a) Qual o valor da
capacitância, depois da introdução da placa? (b) Se a carga nas armaduras mantém o valor
constante q, ache a razão entre a energia armazenada antes e depois da introdução da placa. (c)
Qual o trabalho realizado sobre a placa para inseri-la? A placa é puxada para dentro do
capacitor ou você tem de empurrá-la?
(Pág. 95)
Solução.
Considere o seguinte esquema:
C0,V0
+q
E0








       
d








+q
       
       
E0
q
C,V
q +q
q
E0








b
d
(a) A introdução de um material condutor entre as placas de um capacitor carregado causa
separação de cargas no condutor. Como o campo elétrico no interior do condutor deve ser zero
(equilíbrio eletrostático), deduz-se que a separação de cargas no condutor gerou um campo elétrico
________________________________________________________________________________________________________
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que neutralizou o campo produzido pelas cargas nas placas. Para que isso seja possível, as cargas
induzidas no condutor devem ser iguais, em módulo, às cargas nas placas. O efeito líquido da
introdução do material condutor é a criação de dois capacitores em série, de carga q, área A,
separação das placas (d  b)/2 e capacitância C’. Chamando-se C a capacitância da associação em
série, ou seja, do capacitor original mais a placa de cobre introduzida, teremos:
1 1 1
2
  
C C' C' C'
0 A
d  b 2 0 A
2 0 A
C'
C
 2  d b 
2
2
2
2  d  b
C
0 A
d b
(b) A razão entre a energia armazenada antes (U0) e depois (U) da introdução da placa, vale:
2
 0 A 
1
E0 d 

C0V02
2


U0 2
CV
 d 

 0 02 
1
2
U
 0 A 
CV 2 CV
 E0  d  b  


2
 d b 
U0
d

U d b
A introdução da lâmina faz com que a energia potencial do sistema diminua.
(c) Por definição, o trabalho realizado pela força elétrica vale:
W  U   U  U 0   U 0  U
2
1
1
1 A
1  A 
2
W  C0V02  CV 2   0   E0 d    0   E0  d  b 
2
2
2 d 
2  d b 
1
1
W   0 AE02 d   0 AE02  d  b 
2
2
 AE
W  0 0 E0 d   d  b 
2
 AE
W  0 0 E0b
(1)
2
Chamando-se de  a densidade de cargas em cada placa do capacitor, o campo elétrico E0 valerá:

q
E0  
(2)
0 0 A
 0 AE0  q
(3)
Substituindo-se (2) e (3) em (1):
q q
W
b
2 0 A
q 2b
W
2 0 A
________________________________________________________________________________________________________
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O trabalho realizado por uma força externa é o negativo desse trabalho:
Wext  W  
q 2b
2 0 A
Quando a lâmina de cobre começa a ser introduzida no espaço entre as placas do capacitor, as
cargas já existentes na s placas polarizam a extremidade da lâmina e as cargas induzidas são
atraídas para dentro do capacitor. Como as cargas induzidas estão presas na lâmina, esta também é
atraída para dentro do capacitor. Logo, a força externa precisa puxar a lâmina para fora das placas
para neutralizar a força de atração e manter constante a velocidade de entrada da placa de cobre. A
atração da lâmina pelas placas e sua aproximação, fazem com que a energia potencial do sistema
diminua, como revelou o resultado do item (b).
54. Um capacitor de armaduras paralelas contém dois dielétricos diferentes, como mostra a Fig. 36.
Mostre que o valor de sua capacitância é dado por
 A   
C  0  e1 e 2 
d 
2

Verifique a correção deste resultado em todos os casos particulares que você for capaz de
imaginar. (Sugestão: Você pode justificar a idéia de que este sistema é equivalente a dois
capacitores ligados em paralelo?)
(Pág. 96)
Solução.
Quando o capacitor acima for carregado, toda a superfície de cada placa deve estar no mesmo
potencial, uma vez que cada placa estará conectada diretamente à fonte de potencial. Isto implica
em que a área das placas que envolverem o dielétrico 1 terá carga q1 e capacitância C1 e a área das
placas que envolverem o dielétrico 2 terá carga q2 e capacitância C2.
q  q C V  C2V0
C 1 2  1 0
 C1  C2
V0
V0
Note que a expressão acima corresponde a uma associação de capacitores em paralelo.
C
C C
C  1 0   2 0  0 1   2 
2
2
2
Na expressão acima, C0 é a capacitância do capacitor sem os dielétricos presentes.
 A
C  0 1   2 
2d
55. Um capacitor de armaduras paralelas contém dois dielétricos, como mostra a Fig. 37. Mostre
que o valor de sua capacitância é dado por
2 A    
C  0  e1 e 2 
d   e1   e 2 
Verifique a correção deste resultado para todos os casos particulares que for capaz de imaginar.
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(Sugestão: Você pode justificar a idéia de que este sistema é equivalente a dois capacitores
ligados em série?)
(Pág. 96)
Solução.
O cálculo da capacitância C é feito por meio da equação fundamental da capacitância, em que q0 é a
carga nas placas do capacitor e V é a diferença de potencial entre as placas:
q
C 0
(1)
V
Ao longo do dielétrico 1, a diferença de potencial é V1 e o campo elétrico é E1. Ao longo de 2, V2
e E2. Logo, a diferença de potencial vale:
V  V1  V2  E1
d
d E d E d Ed 1 1 
 E2  0  0  0   
2
2 1 2  2 2
2  1  2 
Na equação acima, E0 é o campo elétrico entre as placas sem os dielétricos.
V
V0  1   2 


2  1 2 
(2)
Substituindo-se (2) em (1):
C
 1 2 
2q0  1 2 

  2C0 

V0  1   2 
 1   2 
Nas equações acima, C0 é a capacitância do capacitor sem as camadas de dielétrico e V0 é a
diferença de potencial entre suas placas. Logo:
C
2 0 A  1 2 


d  1   2 
Esta expressão é a mesma que será obtida se considerarmos que o capacitor do problema é uma
associação em série de capacitores C1 e C2, que possuem dielétricos 1 e 2, respectivamente.
56. Qual é a capacitância do capacitor da Fig. 38? A área de armadura é A.
(Pág. 96)
Solução.
________________________________________________________________________________________________________
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Considerando-se o resultado dos Problemas 54 e 55, podemos considerar o capacitor acima como
uma associação de capacitores C1, C2 e C3, sendo que C2 e C3 estão em série e C1 está em paralelo
com C23, que é o capacitor equivalente à associação de C2 e C3. Logo:
(1)
C  C1  C23
A capacitância C1 vale:
 A
   1 0 A
C1 
2d
4d
A capacitância da associação C23 vale:
(2)
  2 0 A   3 0 A 



C2C3
2d  2d   0 A   2 3 

C23 




 2 0 A  3 0 A
C2  C3
2d   2   3 

2d
2d
Substituindo-se (2) e (3) em (1):
(3)
1 0  
2
C
C
1 0 A  0 A   2 3   0 A  1  2 3 



 

4d
2d   2   3  2d  2  2   3 
0 A 
2 2 3 
 1 

4d 
 2  3 
59. Duas placas paralelas de área igual a 110 cm2 possuem cargas de sinais opostos e módulo igual
a 8,9  107C. A intensidade do campo elétrico no interior do material dielétrico que preenche o
espaço entre elas é de 1,4  106 V/m. (a) Calcule o valor da constante dielétrica do material. (b)
Determine o valor da carga induzida em cada superfície do dielétrico.
(Pág. 96)
Solução.
(a) A constante dielétrica  é dada pela razão entre o campo elétrico entre as placas sem a presença
do dielétrico, E0, e o campo no interior do dielétrico, E:
E
 0
E
O campo sem o dielétrico vale:
q

E0   0
0 0 A
Logo:
8,9  C
q
 0 
 6,5301
12
 0 AE 8,85  F/m 110 4 m2 1, 4 6 V/m 
7
  6,5
(b) Considere a aplicação da lei de Gauss ao capacitor com o dielétrico, de acordo com o esquema
abaixo:
________________________________________________________________________________________________________
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Problemas Resolvidos de Física
+q’ q0
       










+q0 q’
E







 0  E  dA  q0  q '
 0 EA  q0  q '
q '  q0   0 EA  8,9 7 C  8,85 12 F/m 1, 4 6 V/m 110 4 m2 
q '  7,53717 C
q '  0,75 C
61. Um capacitor tem armaduras paralelas cuja área é de 0,118 m2 e estão separadas por 1,22 cm.
Uma bateria carrega as armaduras até que a diferença de potencial entre elas seja 120 V, sendo
então desligada. Uma placa de dielétrico, de espessura de 4,30 mm e constante dielétrica 4,80, é
então colocada simetricamente entre as armaduras do capacitor. (a) Ache a capacitância antes da
introdução do dielétrico. (b) Qual a capacitância após introduzirmos o dielétrico? (c) Qual o
valor da carga livre q antes e depois da introdução do dielétrico? (d) Qual o campo elétrico no
espaço entre as armaduras e o dielétrico? (e) Qual o campo elétrico no interior do dielétrico? (f)
Com o dielétrico colocado, qual a diferença de potencial entre as armaduras? (g) Qual o
trabalho externo realizado no processo de inserir o dielétrico?
(Pág. 96)
Solução.
(a) A capacitância C0 antes da introdução do dielétrico vale:
C0 
0 A
d
8,85 

12
F/m  0,118 m2 
 0,0122 m 
 8,5598
11 F
C0  85,6 pF
(b) Ver adiante.
(c) A carga livre q0 nas placas, antes da introdução do dielétrico, vale:
q0  C0V0  8,5598 11 F 120 V   1,0271 8 C
q0  10,3 nC
Como o capacitor estava desconectado da bateria quando o dielétrico foi introduzido, não há
mudança na quantidade de carga nas placas do capacitor. Seja q a carga após a introdução do
dielétrico. Logo:
q  10,3 nC
(d) Considere o esquema abaixo, onde uma superfície gaussiana envolve uma das placas do
capacitor:
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E0
E0
+q0
E0

E







       









q0
b
d
Aplicando-se a lei de Gauss:
 0   E  dA  q0
 0 1 E0 A  q0
1,0271 8 C 

q0
E0 

 9.836,0655
 0 A 8,85 12 F/m  0,118 m2 
V/m
E0  9,84 kV/m
(e) O campo elétrico no interior do dielétrico, E, vale:
E
E0


 9.836, 0655
 4,80 
V/m 
 2.049,8032
V/m
E0  2,05 kV/m
(f) Considere o esquema abaixo:
+q0

E
ds
E0








       
E0








q0
b
d
A diferença de potencial entre as armaduras do capacitor com o dielétrico vale:

d b

0
V   E  ds  
b
E0 ds   Eds
0
V  E0  d  b   Eb
V   9.836, 0655
  2.049,8032
V/m   0, 0122 m    4,30 3 m   
V/m   4,30 3 m   86,5163
V
________________________________________________________________________________________________________
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V  86,5 V
(b) Agora podemos calcular a capacitância C do capacitor após a introdução do dielétrico com mais
facilidade:
8
q0 1, 0271  C 
C 
 1,1872
V
86,5163 V 
10 F
C  119 pF
(g) O trabalho realizado pelo agente externo, Wext, ao introduzir o dielétrico vale:
1
1
Wext  Wint    U   U  U  U 0  CV 2  C0V02
2
2
1
1
2
2
Wext  1,1872 10 F 86,5163 V   8,5598 11 F 120 V 
2
2
Wext  1,7196
7 J
Wext  0,172  J
Este resultado indica que após a introdução do dielétrico a energia potencial do dielétrico diminuiu
(Wext  0  Wint  0  U  0). Isto significa que o dielétrico é puxado para a região entre as
placas pelas forças elétricas, que realizam trabalho positivo sobre o dielétrico. A força externa
(representada pela mão que segura o dielétrico) realiza trabalho negativo sobre o dielétrico para que
o mesmo possa ser introduzido com velocidade constante.
62. Uma placa dielétrica de espessura b é introduzida entre as armaduras de um capacitor plano, que
estão separadas pela distância d. Mostre que a capacitância é dada por
 e 0 A
C
 e d  b  e  1
(Sugestão: Siga o procedimento usado no Exemplo 9.) Esta fórmula prevê corretamente o
resultado numérico do Exemplo 9? Serão razoáveis os resultados previstos para os casos
particulares em que b = 0, e = 1 e b = d.
(Pág. 96)

E
ds






d


E0








       
       
Solução.
Considere o esquema abaixo, em que à esquerda temos um capacitor de placas planas paralelas sem
dielétrico C0 e à direita o mesmo capacitor com dielétrico, o que modifica sua capacitância para C.
E0 C,V
E0
C0,V0
+q0
+q0
q0
q0








b
d
O cálculo da capacitância C é feito por meio da equação fundamental da capacitância:
________________________________________________________________________________________________________
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Problemas Resolvidos de Física
q0
V
Precisamos agora calcular a diferença de potencial V do capacitor com dielétrico.
C

d b

0
V   E  ds  
b
E0 ds   Eds
0
V  E0  d  b   Eb
Também podemos afirmar que:
q
E0  0
0 A
E
(1)
q0
 0 A
(2)
(3)
(4)
Substituindo-se (3) e (4) em (2):
V
q0
q
q
b
 d  b   0 b  0  d  b  
0 A
 0 A
0 A 

V
q0   d  b   1 


0 A 


(5)
Substituindo-se (5) em (1):
 0 A
C
 d  b   1
________________________________________________________________________________________________________
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