CAIXA ECONOMICA Prof. Milton M. Ueta Matemática parte 01 1 I

CAIXA ECONOMICA
Matemática parte 01
Prof. Milton M. Ueta
– par (somente para radicandos positivos)
o
resultado será positivo;
– ímpar
o resultado terá o sinal do radicando;
I. CONJUNTOS NUMÉRICOS
1. Conjunto dos números Inteiros (Z)
Z = ..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...
EXERCÍCIOS
Calcular o valor das expressões a seguir:
1) – [5 + (–1 + 3)] – {–2 + [–3 – (5 – 7)] – (–1)} =
Subconjuntos:
Z * ... conjunto dos números inteiros não nulos
Z + ... conjunto dos números inteiros não negativos
Z – ... conjunto dos números inteiros não positivos
Z +* ... conjunto dos números inteiros positivos
Z –* ... conjunto dos números inteiros negativos
2) –3 – 4.(–3) + (–7) – (–5).2 + 1 =
3) (–4 + 12) : (–1 – 3) – {–3 – [(–5) – (–8 – 4) : (5 –
3)] . (–3 + 5)} : (–9 + 8) =
Representação geométrica
–3
–2
–1
0
1
2
3
4) [(–1 – 4).3 – 4.(–5)] – [(–2 – 8) : (–1 – 1) + 2.(–
6)] =
Z
5) 24 – 3 {2 – 3 [4 – 2(16 : 4 + 3)] + 1} – 10:2 =
menor
origem
maior
6) 15 – (–16:4) + (2 – 4)3 + 8:(–2) – (–2) – (–8:2) =
Módulo ou valor absoluto de um número – é a
distância do número à origem.
7) [(–5)2 : (–2 – 3) + (–3 – 1)3 : (1 – 5)2]: [–5 – 3.(–
2)] =
Números opostos ou simétricos – são números
eqüidistantes da origem.
8) (–2 + 3) . (–3 – 1)2 – [(–5 – 2)2 : (–1 – 6) + (–1)2 .
(–4 + 5)3] =
Oposto de: – ( )
2
0
4 – (–1 – 4)2 =
: (–5 + 3)} .
ADIÇÃO
– sinais iguais: soma-se os valores absolutos e
conserva-se o sinal.
– sinais diferentes: subtrai-se os valores
absolutos e atribui-se ao resultado o sinal do
maior em módulo.
10) 10 – [5 – (4 – 3) + ( 49 – 64 ) + (6 – 7) – (8
3
2
– 9) + (–2) ] =
Respostas
1) –5
2) 13
6) 13
7) –9
SUBTRAÇÃO: transforma-se em adição, somandose o primeiro com o oposto do segundo.
Ex.: (–7) + (+3) – (–2) + (–5) – (+1) =
Q=
MULTIPLICAÇÃO ou DIVISÃO (de dois números)
– sinais iguais: resultado positivo.
– sinais diferentes: resultado negativo.
POTENCIAÇÃO – se o expoente for:
– par
o resultado será positivo;
– ímpar
o resultado terá o sinal da base.
Obs.: –32
(–3)2
3) –7
8) 22
4) 12
9) 24
5) –80
10) 9
2. Conjunto dos números Racionais (Q)
Número racional é todo número que pode ser
escrito sob forma de fração.
ADIÇÃO ALGÉBRICA: transforma-se todas as
operações de subtração em adição, elimina-se os
parênteses e os sinais das operações.
Multiplicação de mais de dois fatores – se o
número de fatores negativos for:
– par
o resultado será positivo;
– ímpar
o resultado será negativo.
2
9) (–1 + 4) – {– 49 – [(–7) + (–5 – 4) : (– 9 ))]
Operações em Z:
Obs.: -6
2
3.
a
/ a Z e b Z*
b
6
-2
-6
2
-3
Conjunto dos números Reais (IR)
Número irracional é todo número decimal, com
número infinito de casas decimais, e que não
podem ser escritos sob forma de fração.
Exemplos:
0,101001000100001...
–1,23456789101112...
= 3,141592653589...
2 1,414213.. .
RADICIAÇÃO – se o índice da raiz for:
1
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À reunião do conjunto dos números racionais
com o conjunto dos números irracionais
denominamos conjunto dos números Reais.
Representação geométrica
1
3
-3
2
–2
–1
0
1
2 2
2
3
IR
laranjas, mas o segundo ficou com 2 laranjas a
mais que o primeiro, restando para o terceiro 25
laranjas. Quantas laranjas havia ao todo?
13. Na partilha de uma herança coube ao mais
velho de três irmãos a metade menos R$
8.000,00; o segundo recebeu um terço mais R$
5.000,00, e o mais moço recebeu os R$
21.000,00 restantes. Qual o valor total da
herança repartida?
EXERCÍCIOS
1. Se cinco oitavos de x são 350, então qual é o
valor de x?
14. Um pai tem 32 anos e seus três filhos, 10, 7 e 5
anos. Daqui a quantos anos a soma das idades
dos três filhos será igual à idade do pai?
2. Que fração restará de x se subtrairmos três
sétimos do seu valor?
15. Que horas são, se 1/5 do tempo que resta do
dia é igual ao tempo decorrido?
3. Que fração restará de x se subtrairmos 3/7 do
seu valor e, em seguida, metade do restante?
16. Os 2/3 de 5/3 do preço de uma moto equivalem
a 3/2 de 2/5 do preço de um automóvel avaliado
em R$ 9.600,00, Qual é o preço da moto?
4. Os três quintos do ordenado de um funcionário
correspondem a R$ 720,00. Quantos são 7/8 da
metade do ordenado deste funcionário?
5. Após saldar 4/5 de uma dívida, André ficou
devendo, ainda, R$ 300,00. Qual era o valor da
dívida original de André?
6. Se adicionarmos a terça parte de um número à
sua metade, o resultado obtido será 3 unidades
menor que o número inicial. Qual é este
número?
7. Cínthia gastou 2/3 da quantia que tinha e, em
seguida, 1/3 do restante, ficando ainda com R$
260,00. Qual a quantia que Cínthia possuía de
início?
8. Um garoto possui 2/3 da altura de seu pai e 4/3
da altura de seu irmão mais moço. Qual é a
altura deste último se a altura do pai é 180 cm?
9. No primeiro dia de uma jornada, um viajante fez
3/5 do percurso. No segundo dia andou 1/3 do
restante. Quanto falta para completar a jornada
se o percurso completo é de 750 km?
10. Se um rapaz separar o dinheiro que tem em três
partes, sendo a primeira igual à terça parte e a
segunda igual à metade do total, então a
terceira parte será de R$ 35,00. Quanto dinheiro
tem este rapaz?
17. Num ônibus viajam 2 passageiros sentados em
cada banco e 26 passageiros em pé. Se
sentassem 3 passageiros em cada banco,
ficariam 2 bancos vazios. Quantos passageiros
viajam nesse ônibus?
18. Qual é o número que se deve somar aos dois
termos da fração 6/11 para que se obtenha uma
fração equivalente a 3/4?
Respostas
1. 560
2. 4x / 7
3. 2x / 7
4. R$ 525,00
5. R$ 1.500,00 6. 18 7. R$ 1.170,00
8. 90 cm
9. 200 km
10. R$ 210,00
11. 60 l
12. 81 laranjas
13. R$ 108.000,00
14. 5 anos
15. 4 horas 16. R$ 5.184,00 17. 90 passageiros
18. 9
II. SISTEMAS DE EQUAÇÕES
É qualquer conjunto de equações.
s
Ex .:
sistema com 2 equações e
x + 2y = 4
2 incógnitas
2x – y = 3
{
x – y + 2z = 4
2x + y – z = 1
x + 3y + z = 3
sistema com 3 equações e
3 incógnitas
{
x2 + 2y = 4
2
2x – y = 3
sistema com 2 equações e
2 incógnitas
{
11. De um barril, incialmente cheio, retira-se 1/4 do
volume que continha e mais 21 litros, restando,
então, apenas 2/5 do volume. Qual é a
capacidade deste barril?
Sistema Linear
equações lineares.
12. Ao tentar dividir certa quantidade de laranjas em
três montes iguais, um feirante percebeu que o
primeiro monte ficou realmente com 1/3 das
Métodos de resolução de sistemas
1o) Método da substituição
Ex.:
x + 2y = 4
2x – y = 3
2
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é
qualquer
sistema
{
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Respostas
1. R$ 40,00
5. Marcelo
2o) Método da adição
Ex.:
x + 2y = 4
2x – y = 3
{
EXERCÍCIOS
1. Num atelier de costura empregam-se 4
gerentes, 8 costureiras e 12 ajudantes. Cada
gerente ganha por dia tanto quanto 2
costureiras ou 4 ajudantes. Qual o valor da
diária de cada costureira, se a folha mensal
desta equipe é de R$ 26.400,00?
2. Numa seção eleitoral votaram 1.260 eleitores,
onde dois candidatos disputam o mesmo cargo.
O eleito obteve 153 votos a mais que seu
concorrente, e 147 votos foram anulados.
Quantos votos obteve o candidato eleito?
3. Dois homens, três mulheres e seis crianças
conseguem carregar juntos um total de 69
quilos. Cada homem carrega tanto quanto uma
mulher e uma criança, enquanto cada mulher
consegue carregar tanto quanto três crianças.
Quanto quilos cada homem consegue carregar?
4. Num pátio existem automóveis e bicicletas. O
número total de rodas é 130 e o número de
bicicletas é o triplo do número total de
automóveis. Calcule o número total de veículos
que se encontram no pátio.
5. A quantia de R$ 2.100,00 foi distribuída entre
Marcos, Mário, Marcelo e Márcio, de modo que
a Mário recebeu metade do que Marcos
recebeu; Marcelo recebeu metade da soma do
que receberam Marcos e Mário; Márcio recebeu
metade da quantia que coube a Marcelo. Quem
recebeu R$ 600,00?
6. A idade de Antônio é 1/6 da idade de Benedito,
César tem metade da idade de Antônio, e Dilson
tem tantos anos quanto César e Antônio juntos.
Qual é a idade de Benedito, se a soma das
quatro idades é 54 anos?
7. A soma de três números é 110. Determinar o
menor deles sabendo que o segundo é um terço
do primeiro e que o terceiro é 3/8 da soma dos
dois primeiros.
8. Um professor decide presentear um grupo de
alunos com livros. Se ele der 2 livros a cada
aluno, sobrarão 20 livros e, se der 3 livros a
cada aluno, faltarão 30 livros. Determinar a
quantidade de livros que o professor pretende
distribuir.
2. 633 votos
6. 36 anos
3. 12 kg
7. 20
III. RAZÃO E PROPORÇÃO
1. Razão
Razão entre dois números é o quociente do
primeiro pelo segundo.
antecedente
a ou a : b (lê-se: a está para b).
b
conseqüente
Razões inversas – são razões cujo produto é igual
a 1.
Aplicação: Escala
Escala =
medida do desenho
medida real
Exemplos
1) Uma área retangular com dimensões 180m x
300m está representado em uma folha de papel,
respectivamente, por 15cm x 25cm. Qual é a
escala utilizada?
2)
A distância entre dois pontos em um
determinado mapa, de escala 1: 15.000, é igual
a 14 cm. Qual é a distância real, em metros,
entre esses dois pontos?
3) A distância entre um posto de gasolina na saída
da cidade e uma chácara é de 42 km. Qual é a
medida dessa distância, em cm, em um mapa
de escala 1:5.000?
2. Proporção
É uma igualdade de duas razões.
meios
a
b
c
d
ou
a:b :: c:d
extremos
Propriedade fundamental – o produto dos meios
é igual ao produto dos extremos.
a
b
c
d
b.c = a.d
Proporção contínua – uma proporção é dita
contínua se apresentar os meios iguais (ou os
extremos iguais).
Outras propriedades:
3
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4. 52
8. 120
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1a) a
b
c
d
2a) a
b
c
d
2
3a) a 2
b
c2
d2
a b
a
c
c
d ou a b
b
c
d
d
a c
b d
a.c
b.d
{
2) Determinar dois números cuja diferença é 12,
sabendo-se que a razão entre eles é 8/5.
3) Determinar os antecedentes de uma proporção
cujos conseqüentes são 7 e 4, sabendo-se que
a diferença entre duas vezes o primeiro
antecedente e três vezes o segundo é 10.
4) Determinar dois números cuja diferença de seus
quadrados é 64, e a razão entre eles é 5/3.
Proporção múltipla – é uma igualdade de três ou
mais razões. A razão entre eles é denominado
constante de proporcionalidade.
Divisão
neste caso, 12 e 6 são números
diretamente proporcionais (D.P.)
Multiplicação
12 . 6 = 72
6. Determinar os antecedentes de uma proporção
cujos conseqüentes são 7 e 10, sabendo-se que
a diferença entre oito vezes o primeiro
antecedente e cinco vezes o segundo é 15.
7. Determinar dois números, sabendo-se que a
soma do dobro do primeiro com a terça parte do
segundo é igual a 42, e a razão entre eles é de
10/3.
8. Determinar os antecedentes de uma proporção
cujos conseqüentes são 3 e 4, sabendo-se que
a soma de seus quadrados é igual a 100.
9. Determine x, y e z de modo que as sucessões
(x, 32, y, z) e (3, 4, 7, 9) sejam diretamente
proporcionais.
3. Divisão proporcional
2
4. Uma caixa contém 35 bolas azuis e vermelhas.
Depois de se retirar 3 bolas, ficaram na caixa
bolas azuis e vermelhas na razão de 1/3.
Quantas bolas azuis ficaram na caixa?
5. Num galinheiro existem galinhas e galos na
razão de 3/17. Sabendo que o número de
galinhas supera em 210 o número de galos,
determine a quantidade de galos desse
galinheiro.
Exemplos
1) Resolver o sistema:
a + b = 21
a b
5 2
12
6
Matemática parte 01
neste caso, 12 e 6 são números
inversamente proporcionais (I.P.)
10. Determine x e y de modo que as sucessões (20,
x, y) e (3, 4, 5) sejam inversamente
proporcionais.
11. Dividir 625 em partes diretamente proporcionais
a 5, 7 e 13.
12. Dividir 96 em partes proporcionais a 1,2; 2/5 e 8.
EXERCÍCIOS
1. A razão entre a velocidade de um automóvel e a
de um avião é de 1/6. Sabendo que o automóvel
vence 330 km em 5 horas e 30 minutos,
determinar a velocidade do avião.
2. Para usar certo tipo de tinta concentrada, é
necessário diluí-la em água na proporção de 3 :
2 (proporção de tinta concentrada para água).
Sabendo que foram comprados 9 litros dessa
tinta concentrada, quantos litros de tinta serão
obtidos após a diluição na proporção
recomendada?
3. O filho nasceu quando o pai tinha 27 anos.
Hoje, a razão entre as idades é de 4/1.
Determine suas idades.
4
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13. Dividir 21 em partes inversamente proporcionais
a 3 e 4.
14. Dividir
1.090
em
partes
proporcionais a 2/3, 4/5 e 7/8.
inversamente
15. Dividir 108 em partes diretamente proporcionais
a 2 e 3, e inversamente proporcionais a 5 e 6.
16. Dividir 560 em partes diretamente proporcionais
a 3, 6 e 7, e inversamente proporcionais a 5, 4 e
2.
17. Repartir uma herança de R$ 460.000,00 entre
três pessoas na razão direta do número de
filhos de cada uma e na razão inversa das
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idades
delas. As três pessoas têm,
respectivamente, 2, 4 e 5 filhos, e as idades
respectivas são 24, 32 e 45 anos.
18. Dois irmãos repartiram uma herança em partes
diretamente proporcionais às suas idades.
Sabendo que cada um deles ganhou,
respectivamente R$ 3.800,00 e R$ 2.200,00, e
que as suas idades somam 60 anos, qual é a
idade de cada um deles?
19. Dividindo o número 224 em três partes tais que
sejam
ao
mesmo
tempo,
diretamente
proporcionais a 2/3, 4/5 e 2/7 e inversamente
proporcionais a 1/6, 3/10 e 5/14, qual será a
parte maior?
20. As sucessões: 2, x, y + 1 e z, 5 e 8 são
inversamente proporcionais e o fator de
proporcionalidade entre elas é 120. Determinar
o valor de x + y – z .
Respostas
1. 360 km/h
3. 36 e 9
4. 8
2. 15 l
5. 45
6. 17,5 e 25
7. 20 e 6
8. 6 e 8
9. 24, 56 e 72
10. 15 e 12 11. 125, 175 e 325
12. 12, 4 e 80
13. 12 e 9
14. 420, 350 e 320
15. 48 e 60
16. 60, 150 e 350
17. 120.000, 180.000 e 160.000
18. 38 e 22
19. 120
20. –22
IV. REGRA DE TRÊS
1. Grandezas proporcionais
Duas grandezas são ditas proporcionais se
existir uma proporção entre suas variações.
Grandezas:
– diretamente proporcionais:
mesmo sentido)
– inversamente proporcionais:
sentidos inversos)
ou
(setas no
ou
(setas em
2. Regra prática:
1a) identificar as grandezas envolvidas;
2a) localizar a incógnita (x);
3a) definir uma seta ( ou
) para a grandeza na
qual se encontra a incógnita;
a
4 ) comparar cada grandeza com aquela em que
se encontra a incógnita.
Matemática parte 01
seriam necessários para pintar o mesmo
prédio?
3. Um veículo trafegando com uma velocidade
média de 60 km/h faz determinado percurso em
duas horas. Quanto tempo levaria um outro
veículo para cumprir o mesmo percurso se
mantivesse uma velocidade média de 80 km/h?
4. Uma roda d’água dá 390 voltas em 13 minutos.
Quantas voltas terá dado em uma hora e meia?
5. Duas rodas dentadas estão engrenadas uma na
outra. A menor tem 12 dentes e a maior tem 78
dentes. Quantas voltas terá dado a menor
quando a maior der 10 voltas?
6. Um comerciante comprou duas peças de um
mesmo tecido. A mais comprida custou R$
660,00, enquanto a outra, 12 metros mais curta,
custou R$ 528,00. Quanto media a mais
comprida?
7. Se 2/5 de um trabalho foram feitos em 10 dias
por 24 operários que trabalhavam 7 horas por
dia, então quantos dias serão necessários para
terminar o trabalho, sabendo que 4 operários
foram dispensados e que o restante agora
trabalha 6 horas por dia?
8. Um grupo de 15 mineiros extraiu em 30 dias 3,5
toneladas de carvão. Se esta equipe for
aumentada para 20 mineiros, em quanto tempo
serão extraídos 7 toneladas de carvão?
9. Se 27 operários, trabalhando 6 horas por dia
levaram 40 dias para construir um parque de
formato retangular medindo 450 m de
comprimento por 200 m de largura, quantos
operários serão necessários para construir um
outro parque, também retangular, medindo 200
m de comprimento por 300 m de largura, em 18
dias e trabalhando 8 horas por dia?
10. Uma turma de 15 operários pretende terminar
em 14 dias certa obra. Ao cabo de 9 dias,
entretanto, fizeram somente 1/3 da obra. Com
quantos operários a turma original deverá ser
reforçada para que a obra seja concluída no
tempo fixado?
11. Se m homens fazem um trabalho em d dias, em
quantos dias m + r homens farão o mesmo
trabalho?
EXERCÍCIOS
1. Se 3 kg de queijo custam R$ 24,60, quanto
deste queijo poderei comprar com R$ 53,30?
2. Em 8 dias 5 pintores pintam um prédio inteiro.
Se fossem 3 pintores a mais, quantos dias
5
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Respostas
1. 6,5 kg 2. 5 dias 3.
4.
2.700
1h30min
voltas
5.
65 6. 60 m 7. 21 dias
8. 45 dias
voltas
9. 30 operários 10.
39 11. md : (m + r)
operários
V. PORCENTAGEM
1. Taxa de porcentagem
Razão centesimal (razão porcentual
percentil) é toda razão de conseqüente 100.
V=C–P
EXERCÍCIOS
1. Qual é a porcentagem correspondente à fração
13/40?
2. Meio, quantos por cento são de 5/8?
3. Quanto é 20% de 40% de 30% de 1.000?
4. Quantos por cento são
9%
4 %?
5. Um ano depois de ter sido negociada por R$
1.200,00, uma obra de arte foi vendida por R$
6.000,00. De quanto foi o percentual de
aumento?
6. Em uma certa cidade as tarifas de ônibus foram
majoradas, passando de R$ 16,00 para R$
20,00. De quanto foi o percentual de aumento?
7. A população de uma cidade aumenta à taxa de
10% ao ano. Sabendo-se que em 2007 a
população era de 200.000 habitantes, quantos
habitantes esta cidade terá em 2010?
8. A soma de dois números x e y é 28 e a razão
entre eles é de 75%. Qual é o maior desses
números?
9. Num grupo de 400 pessoas, 70% são do sexo
masculino. Se nesse grupo 10% dos homens
são casados e 20% das mulheres são casadas,
qual o número de pessoas casadas?
10. Comprei um objeto por R$ 80,00 e o vendi por
R$ 100,00. Qual foi o percentual do meu lucro
sobre o preço de custo?
6
Atualizada 15/02/2008
12. Um lucro de 25% sobre o preço de custo de
uma mercadoria corresponde a quanto por
cento se for calculado sobre o preço de venda?
ou
2. Lucro ou Prejuízo
Nos problemas de vendas com lucro (L) ou
prejuízo (P), temos:
ou
11. Comprei um objeto por R$ 80,00 e o vendi por
R$ 100,00. Qual foi o percentual do meu lucro
sobre o preço de venda?
13. Um prejuízo de 50% sobre o preço de custo de
uma mercadoria corresponde a quanto por
cento se for calculado sobre o preço de venda?
Ao substituirmos o conseqüente 100 pelo
símbolo % (lê-se: “por cento”), temos uma taxa de
porcentagem (ou taxa percentual).
V=C+L
Matemática parte 01
14. Para obter um lucro de 25% sobre o preço de
venda de um produto adquirido por R$ 615,00, o
comerciante deverá vendê-lo por quanto?
15. Antônio comprou um conjunto de sofás com um
desconto de 20% sobre o preço de venda.
Sabendo-se que o valor pago por Antônio foi de
R$ 1.200,00, qual era o preço de venda da
mercadoria?
16. Um produto é vendido com um lucro bruto de
20%. Sobre o preço total da nota, 10%
corresponde a despesas. De quantos por cento
foi o lucro líquido do comerciante?
17. Um cliente obteve de um comerciante desconto
de 20% no preço da mercadoria. Sabendo-se
que o preço de venda, sem desconto, é superior
em 20% ao do custo, pode-se afirmar que
houve, por parte do comerciante, um lucro ou
prejuízo e de quanto?
18. Uma mercadoria que custava R$ 20.000,00
sofreu três reajustes sucessivos de 10%, 20% e
novamente 10%. Qual o novo preço deste
produto após a aplicação destas taxas sobre
taxas?
19. Um comerciante comprou 350 litros de
aguardente à razão de $ 1,35 o litro. Que
quantidade de água ele deverá acrescer à
aguardente para vendê-la a $ 1,75 o litro, e
ainda ganhar 30% sobre o preço de compra?
20. Um pequeno criador possui 4 vacas que dão,
cada uma, 6 litros de leite por dia. Cada litro de
leite produz 60% de seu peso de nata, e esta
produz 60% de seu peso de manteiga, que é
vendida a R$ 20,00 o kg. Supondo que cada
litro de leite pese 1.000 g, qual o valor total, em
reais, da manteiga produzida em 30 dias?
21. O salário mensal de um vendedor é constituído
de uma parte fixa igual a R$ 2.300,00 e mais
uma comissão de 3% sobre o total das vendas
que exceder a R$ 10.000,00. Estima-se em 10%
o percentual de descontos diversos que incidem
sobre o salário bruto. Em determinado mês o
vendedor recebeu, líquido, o valor de R$
4.500,00. Quanto ele vendeu neste mês?
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22. Num certo grupo de 300 pessoas sabe-se que
98% são do sexo masculino. Quantos homens
deveriam sair do grupo para que o restante
deles passasse a representar 97% das pessoas
presentes no grupo remanescente?
Respostas
1. 32,5%
2. 80%
3. 24
4. 32%
5. 400%
6. 25%
7. 266.200 hab
8. 16
9. 52
10. 25%
11. 20%
12. 20%
13. 100% 14. R$ 820,00
15. R$ 1.500,00
16. 8%
17. prejuízo de 4%
18. R$ 29.040,00 19. 1 l
20. R$ 5.184,00
21. R$ 100.000,00
22. 100 homens
VI. SISTEMAS DE MEDIDA
1. Comprimento
– centímetro cúbico (cm3): 1 cm3 = 10–6 m3
– milímetro cúbico (mm3): 1 mm3 = 10–9 m3
4. Massa
Unidade: grama (g)
Múltiplos
– quilograma (kg): 1 kg = 1.000 g
– hectograma (hg): 1 hg = 100 g
– decagrama (dag): 1 dag = 10 g
Submúltiplos
– decigrama (dg): 1 dg = 0,1 g
– centigrama (cg): 1 cg = 0,01 g
– miligrama (mg): 1mg = 0,01 g
Tonelada (ton): 1 ton = 1.000 kg.
1 quilate = 2 dg.
5. Capacidade
Unidade: litro ( l )
Unidade: metro (m)
Múltiplos
– quilômetro (km): 1 km = 1.000 m
– hectômetro (hm): 1 hm = 100 m
– decâmetro (dam): 1 dam = 10 m
Múltiplos
– quilolitro (kl): 1 kl = 1.000 l
– hectolitro (hl): 1 hl = 100 l
– decalitro (dal): 1 dal = 10 l
Submúltiplos
– decímetro (dm): 1 dm = 0,1 m
– centímetro (cm): 1 cm = 0,01 m
– milímetro (mm): 1 mm = 0,01 m
Submúltiplos
– decilitro (dl): 1 dl = 0,1 dl
– centilitro (cl): 1 cl = 0,01 cl
– mililitro (ml): 1 ml = 0,01 ml
2. Área
6. Tempo
1 dia = 24 h
Unidade: metro quadrado (m2)
1 h = 60 min
1 min = 60 s
Observações:
Múltiplos
2
2
6
– quilômetro quadrado (km ): 1 km = 10 m
2
– hectômetro quadrado (hm2): 1 hm2 = 104 m2
– decâmetro quadrado (dam2): 1 dam2 = 102 m2
Submúltiplos
– decímetro quadrado (dm2): 1 dm2 = 10–2 m2
2
2
–4
2
– centímetro quadrado (cm ): 1 cm = 10 m
2
2
–6
– milímetro quadrado (mm ): 1 mm = 10 m2
3. Volume
1 l = 1 dm
3
água destilada à temperatura de 4o C: 1 l = 1 kg.
TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES
kg
km hg
kl hm
hl
dag
dam g
dal m
10 (p/ cada degrau)
dg
3
Unidade: metro cúbico (m )
Múltiplos
– quilômetro cúbico (km3): 1 km3 = 109 m3
– hectômetro cúbico (hm3): 1 hm3 = 106 m3
– decâmetro cúbico (dam3): 1 dam3 = 103 m3
l
10
(p/ cada degrau)
dm
dl
cg
cm
cl
mg
mm
ml
Área (m2): 100 (p/ cada degrau)
Volume (m3): 1.000 (p/ cada degrau)
Submúltiplos
– decímetro cúbico (dm3): 1 dm3 = 10–3 m3
7
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EXERCÍCIOS
1. Efetue dando a resposta em g:
0,083 kg + 54 mg + 3,14 dag + 8,6 kg + 1,03 g
=
2. Efetue dando a resposta em l:
55 l + 0,35 da l + 400 c l + 3,6 da l =
3. Efetue dando a resposta em m:
543,21 cm + 0,002 km =
4. Efetue dando a resposta em m2:
16 m2 + 701 dm2 + 0,415 dam2 + 0,0025 km2 =
5. Efetue dando a resposta em m3:
8 dam3 + 0,045 hm3 + 22 m3 + 2130 dm3 =
3
6. Em uma sala há 200 pessoas e tem-se 6 m de
ar para cada uma. Se a largura da sala é de 30
m e o comprimento 8 m, qual é a altura?
7. Quantos pedaços de papel de 520 cm2 cada um
serão necessários para cobrir as quatro paredes
de uma sala retangular de 14 m de
comprimento, 8 m de largura e 5 m de altura, e
que tem 3 janelas e uma porta medindo cada
uma 1,50 m por 2 m?
8. Enchi um tanque de 1 m de comprimento, 80 cm
de largura e 60 cm de altura, com 30 latas de
água de mesma capacidade. Qual a capacidade
em litros de cada lata?
9. Uma caixa de injeções contém 4 ampolas de 12
ml cada uma, de um produto revigorante.
Quantas caixas poderá ser produzido com 6 m3
desse produto?
15. Uma torneira enche um tanque em 3 horas
enquanto um ralo o esvaziaria em 5 horas. Em
quanto tempo o tanque vazio se encherá se, ao
abrir a torneira, o ralo for deixado aberto
também?
Respostas
1. 8.715,484 g 2. 98,5 l
3. 7,4321 m
4. 2.564,51 m2 5. 53.024,13 m3 6. 5 m
7. 4.000
8. 16 l 9. 125.000 caixas
10. 48 dias
11. 9h36min
12. 2h24min
13. 1h52min30s
14. 9h20min
15. 7h30min
VII. EQUAÇÕES
1. Equação do 1o grau
É toda equação que pode ser escrita sob a
forma:
ax + b = 0 , com a
a e b ... coeficientes
x ... variável
Exemplo
Resolver a equação 3x – 2 = x + 5.
2. Equação do 2o grau
É toda equação que pode ser escrita sob a forma:
ax2 + bx + c = 0 , com a
12. Uma torneira enche um tanque em 6 horas
enquanto uma outra faria o mesmo em 4 horas.
Em quanto tempo as duas torneiras, juntas,
encheriam o tanque?
13. Uma torneira enche um tanque de 1,60 m de
comprimento; 0,08 dam de largura e 5.400 mm
de altura em 5 horas. Uma outra torneira leva 3
horas para encher o mesmo tanque. Em quanto
tempo as duas torneiras juntas levariam para
encher esse tanque?
14. Duas torneiras juntas enchem um tanque em 4
horas. Uma delas leva 7 horas para encher o
mesmo tanque. Quanto tempo a outra levaria
para encher esse tanque?
8
Atualizada 15/02/2008
0.
a, b e c ... coeficientes
x ... variável
Raízes: fórmula de Baskara
10. Um relógio de ponteiros é acertado no primeiro
dia do mês e adianta 15 minutos por dia. Depois
de quanto tempo marcará novamente a hora
exata?
11. Que horas são se dois terços do tempo que
resta do dia é igual ao tempo decorrido?
0.
x
b
2a
, onde
b 2 4ac
Discriminante ( ):
0
duas raízes reais e distintas;
=0
duas raízes reais e iguais;
0
não tem raízes reais.
Relações de Girard: Soma e Produto das raízes
Seja a equação ax2 + bx + c = 0, com a 0, e
x1 e x2 suas raízes. A soma (S) e o produto (P) das
raízes é dada por:
b
S = x 1 + x2 =
a
c
P = x1.x2 =
a
{
Se a = 1, temos x2 – Sx + P = 0, onde:
S = x 1 + x2 = – b
P = x1.x2 = c
{
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EXERCÍCIOS
1. Pensei em um número. Multipliquei-o por 4,
depois somei 6 ao resultado, dividi tudo por 2 e
subtraí 7 do quociente obtendo, finalmente 12.
Qual foi o número em que pensei?
2. Qual é o número que adicionado a 5 é igual à
sua metade mais 7?
3. O triplo de um número menos 40 é igual à sua
metade mais 20. Qual é este número?
4. Qual é o número cujo triplo excede de 16 a sua
terça parte?
5. Resolver as equações:
a) x2 – 25 = 0
b) x2 – 6x = 0
c) –x2 + x + 20 = 0
d) –3x2 + 60 = 0
e) –5x2 + 7x = 0
f ) 2x2 + 3x – 2 = 0
g) x2 + 4 = 0
h) x2 – 13x + 12 = 0
i ) x2 – 3x + 4 = 0
18. Determine a menor raiz da equação: x4 – 5x2 + 4
= 0.
Respostas
1. 8
2. 4
5. a) V = –5, 5
3. 24
b) V = 0, 6
4. 6
c) V = –4, 1/2
d) V = { - 2 5 ,2 5 } e) V = 0, 7/5 f ) V = –2, 1/2
g) V =
h) V = 1, 12
i) V =
6. É raiz.
7. m = 4
8. m = –9
9. m = 4
10. –5 e 3
11. 10 e 11
12. 8
13. 7
14. 2 e 3
15. 10 e 12
16. 9
17. 5
18. –2
VIII. FUNÇÕES
1. Função do 1o grau
f: IR
IR, f(x)
y = ax + b; a
0
Gráfico: reta.
y
2
6. Verifique se –2 é raiz da equação: 2x – 5x – 18
= 0.
b
7. Determine m na equação mx2 – 3x + (m – 5) = 0
para que uma de suas raízes seja igual a 1.
8. Determine m na equação 2x2 + mx – x + 8 = 0
para que a soma de suas raízes seja igual a 5.
9. Determine m tal que as raízes de mx2 + 12x + 9
= 0 sejam iguais.
10. Determine dois números cuja soma seja –2 e o
produto seja –15.
11. Decompor o número 21 em duas parcelas tais
que o produto entre elas seja 110.
12. A soma de um número natural com o seu
quadrado é igual a 72. Determine este número.
13. A soma de um certo número inteiro com o seu
inverso é igual a 50/7. Qual é esse número?
14. Determine dois números inteiros e consecutivos
tais que a soma dos seus inversos seja 5/6.
x
a ... coeficiente angular: a = tg
(
inclinação da reta)
b ... coeficiente linear: interseção da reta com o
eixo das ordenadas (eixo y) x = 0.
Raiz é o ponto de interseção da reta com o eixo
das abscissas (eixo x): f(x) = 0.
y = ax + b, para y = 0
ax + b = 0 (equação do
1o grau): x = –b/a (raiz)
Variação:
a 0
função crescente (0o
a 0
função decrescente (90o
2. Função do 2o grau (ou função quadrática)
f: IR
17. Determine o maior de três números naturais e
consecutivos tais que a soma dos quadrados
dos dois menores seja igual ao quadrado do
maior.
9
Atualizada 15/02/2008
y = ax2 + bx + c; a
IR, f(x)
0
Gráfico: parábola
y
15. Determine dois números pares, positivos e
consecutivos cujo produto seja 120.
16. A diferença entre o quadrado e o triplo de um
número natural é igual a 54. Determine esse
número.
90o)
180o)
x2
x1
x
c
V
A parábola é uma curva simétrica em relação à reta
vertical que passa pelo seu vértice.
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V ... vértice (ponto de mudança de variação)
x1 e x2 ... raízes
c ... interseção com o eixo das ordenadas
Raízes: f(x) = 0
grau)
ax2 + bx + c = 0 (equação do 2o
Estudo do discriminante ( ):
0
2 raízes reais e distintas (parábola
secante)
= 0
2 raízes reais e iguais (parábola
tangente)
0
não possui raízes reais (parábola
externa)
Coordenadas do vértice: V(xv,yv)
xv
b
2a
yv
e
4a
EXERCÍCIOS
1. Resolver as inequações:
a) 3x – 2 20
c) x
2
1
5
9. Um terreno retangular deve ser guarnecido por
uma cerca por três lados, havendo um rio que
serve de limite natural para o quarto lado.
Nessas condições, encontre as dimensões do
maior lote que possa ser guarnecido com 240
metros de cerca.
1. a) S = x
IR / x
b) S = x
IR / x
c) S = x
IR / x
d) S = x
IR / x
e) S = x
IR / x
2. –2
4. a) S = x
b) S = x
c) S = x
d) S = 1
e) S = IR
6 – 3x
1 x 1
5
2
1
1
d)
x
1
2
3
e) 1 x 5 x 2
4
3
8. Um pecuarista dispõe de 12 rolos de arame de
500 metros para cercar, com 5 fios, um terreno
retangular onde será plantado uma variedade
especial de capim, com vistas a prover o gado
de ração na época da seca. Quais devem ser as
dimensões do terreno para que se possa plantar
o máximo possível de capim?
Respostas
Concavidade da parábola:
a 0
para cima
vértice é ponto de mínimo
(yv: valor mínimo da função)
a
0
para baixo
vértice é o ponto de
máximo (yv: valor máximo da função)
b) 8.(1 – 2x)
7. Um ciclista que fez uma viagem de 630 km teria
gasto menos 4 dias se pedalasse mais 10 km
por dia. Quantos dias gastou na viagem?
1
2
3. –1
IR / x –2 ou x
IR / 0 x 5
IR / –2 x 3
3
f) S = x IR /
5. x IR / 1 x 9
8. 300m x 300m
x
2
2. Dê o maior número inteiro que satisfaça a
inequação: 2 – 3x 7.
3. Dê o maior número inteiro que satisfaça a
inequação:
x 7x 3 1
4
4. Resolver as inequações:
a) x2 – 4 0
d) –x2 + 2x – 1
2
b) – x + 5x 0
e) x2 + 1 0
2
2
c) x – x – 6 0
f) x – 3 0
22
3
2
13
1
22
9
2
3
x
6. –3
7. 18 dias
9. 120m x 60m
3. Função Exponencial
Revisão: Potenciação
Definição
Potenciação é um produto de fatores iguais.
an = a.a.a. ... a, a IR e n IN / n
a0 = 1
0
2
m
an
a1 = a
n
a
n
1
a
n
2
1 ;a 0
an
a m ;n 0 .
5. Determine os valores reais de x, de modo que
x2 – 10x + 9 0.
6. Calcular a soma das raízes inteiras que
satisfazem à inequação: 5x2 + 13x – 6 0.
10
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Nomenclatura
2. Resolver as equações a seguir:
a) 2x = 32
e) 2x – 2x+1 + 2x+2 = 24
x+1
x–2
b) 27 = 9
f) 2.3x – 3x–1 = 5
x–1
c) (1/2) = 1/8
g) 4x – 2x+3 = 0
x
x+2
d) 8 = (1/4)
h) 4x – 5.2x + 4 = 0
expoente
23 = 8
potência
base
3. Resolver as inequações a seguir:
a) 3x 27
c) (1/3)x–1 1/81
x–1
x–2
b) 8
4
d) 8x (1/4)x+2
23 = 8
potência
Observações:
mn
mn
1ª) a
a
2ª) –an = –(a n)
Propriedades: {a, m, n}
1ª) am·an = am+n
2ª) am:an = am–n, a 0
3ª) (am)n = am n
4ª) (a·b)n = an·bn
n
an , b 0
5ª) a
b
bn
IR
Conseqüências
1ª) loga1 = 0
2ª) logaa = 1
3ª) logaan = n
4ª) aloga b = b
2. a) V={5}
b) V={–7}
c) V={4}
d) V={–4/5}
e) V={3}
f ) V={1}
g) V={3}
h) V={0, 2}
3}
–1}
c) S={x IR/ x 5}
d) S={x IR/ x
–
8. Função Logarítmica
Logaritmo
Definição
y = ax; 0
IR, f(x)
c) crescente
d) decrescente
3. a) S={x IR/ x
b) S={x IR/ x
4/5}
Função Exponencial
f: IR
Respostas
1. a) crescente
b) decrescente
a
ax = b, a IR+ / 0 a 1, b IR+* e
logab = x
1
Conjunto Imagem: Im f = IR+
x IR
Nomenclatura
Gráfico
Função crescente
decrescente
a
antilogaritmo ou logaritmando
Função
logab = x
1
0
y
a
logaritmo
base
1
y
log28 = 3
1
1
x
x
Comparação de potências
a) igualdade
am = an
m = n, 0
a
Mudança de base: logab = logb/loga
1
Sistema de logaritmos
a) decimal: base 10
log10b = log b
b) neperiano: base e
logeb = ln b, e = 2,71828... (número neperiano)
b) desigualdade
am
an
m
n, se a 1
am
an
m
n, se 0
a
logaritmo
Propriedades
1ª) loga(m·n) = logam + logan
2ª) loga(m/n) = logam – logan
3ª) logamn = n·logam
1
Obs.: log 2
EXERCÍCIOS
1. Representar graficamente as funções IR
f(x) = y a seguir:
a) y = 3x
c) y = (5/2)x
x
b) y = (1/4)
d) y = (2/3)x
11
Atualizada 15/02/2008
0.3010 e log 3
0.4771
IR,
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EXERCÍCIOS
1. Calcular:
a) log216
(1/81)
b) log1/3(1/9)
c) log525
e)
log3
d) 2log27
f ) log2 3 4
2. Sabendo que log 2 0.3010 e log 3
determinar:
a) log 8
c) log 6
e) log 5
b) log 9
d) log 12
f) log 200
Respostas
1. a) 4 b) 2
2/3
2. a) 0,9030
d) 1,0794
c) 2
d) 7
b) 0,9542
e) 0,6990
0.4771,
a) log2 x log2 (6–x)
b) log1/3 x log1/3 (6–2x)
c) log2 (5x+2) log2 (x+10)
d) (log2 x)2 – 9.log2 x + 8 0
Respostas
1. a) crescente
b) decrescente
2. a) V={3}
e) –4
3. a) S={x
b) S={x
c) S={x
d) S={x
f)
c) 0,7781
f) 2,3010
c) crescente
d) decrescente
b) V={2}
c) V={–2}
d) V={0, 3}
IR/ 3 x 6}
IR/ 2 x 3}
IR/ x 2}
IR/ 0 x 3}
Função Logarítmica
f: IR+*
IR, f(x)
y = logax; 0
a
IX. PROGRESSÕES
1. Seqüências
É toda sucessão ordenada de termos (números,
letras, figuras, palavras, etc.) que obedeçam a um
padrão de formação.
1
Conjunto Imagem: Im f = IR
Gráfico
Função crescente
decrescente
y
a
Representação: (a1, a2, a3, ..., an, ...), n IN*
Função
1
y
0
1
1
a
1
x
x
2. Progressão aritmética (P.A.)
É toda sucessão de termos em que, a partir do
segundo termo, a diferença entre um termo e seu
antecessor constante.
Comparação de logaritmos
a) igualdade
logam = logan
Exemplo
Complete cada seqüência lógica a seguir:
a) (B, D, G, L, Q, .........)
c) (2, 9, 16, 23, 30,
........)
b) (4, 5, 7, 11, 19, .........)
d) (1, 3, 9, 27, 81,
x
.........)
m=n
Representação
P.A.(a1, a2, a3, ..., an, ...)
b) desigualdade
logam
logan
m
n, se a 1
logam
1
logan
m
n, se 0
Razão: r = an – an–1
a
EXERCÍCIOS
1. Representar graficamente as funções IR
f(x) = y a seguir:
a) y = log2 x
c) y = log5/2 x
b) y = log1/3 x
d) y = log2/3 x
2. Resolver as equações a seguir:
a) log2 x = log2 (6–x)
b) log1/3 x = log1/3 (6–2x)
c) log2 (5x–2) = log2 (x–10)
d) (log2 x)2 – 9.log2 x + 8 = 0
Classificação:
r 0
crescente
r 0
decrescente
r=0
constante
IR,
Termo geral: an = a1 + (n–1)r ou an = am + (n–m)r,
n m.
Representação conveniente:
– P.A. de três termos: (x–r, x, x+r)
– P.A. de cinco termos: (x–2r, x–r, x, x+r, x+2r)
– P.A. de quatro termos: (x–3r, x–r, x+r, x+3r),
razão 2r
Propriedades:
3. Resolver as inequações a seguir:
12
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1a) Em qualquer P.A., a soma de dois termos (com
exceção dos extremos) eqüidistantes dos
extremos é igual a soma dos extremos.
P.A.(a1, a2, ..., an)
a1 + k + an – k = a1 + an
2a) Termo médio: em qualquer P.A., cada termo
(com exceção dos extremos) é a média
aritmética de dois termos eqüidistantes ao
mesmo.
an
P.A.(a1, a2, ..., an, ...)
an - k
an
k
2
Conseqüência
Numa P.A. de três termos temos:
P.A.(a, b, c)
b
a c
2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
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a10 = 190 e r = 8; a1 = ?
a46 = 280 e r = –2; a1 = ?
a10 = –30 e r = –3; a1 = ?
a8 = 0 e r = –5; a1 = ?
a6 = 2 e r = 2; a20 = ?
a10 = 15 e r = 3; a30 = ?
a20 = 40 e r = –10; a100 = ?
a37 = 56 e r = 12; a49 = ?
9. Determine o número de termos de cada P.A. a
seguir:
a) (1, 7, 13, ..., 121)
b) (–3, 0, ..., 39)
c) (108, 117, ..., 999)
10. Sabendo que os três primeiros termos de uma
P.A. são, respectivamente, x – 1, x + 5 e 4x – 4,
determine o valor do quarto termo.
11. Calcular x de modo que 3x – 1, x + 3 e x + 9
sejam, respectivamente, termos consecutivos
de uma P.A.
Soma dos n primeiros termos de uma P.A.:
Sn
a1 an n
2
EXERCÍCIOS
1. Complete cada uma das seqüências a seguir:
a) (2, 3, 5, 8, 12, .....)
b) (2, 4, 4, 6, 5, 4, ......)
c) (10, 40, 90, 61, 52, .......)
d) (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ......)
2. Determinar o valor do vigésimo termo da
seqüência: an = n2 – 2n.
3. Calcular a soma dos seis primeiros termos da
seqüência: an = 2n – 1.
4. Determinar o quinto termo de uma seqüência
cujo valor do primeiro termo é 4 e, cada termo a
partir do segundo é dado por an = an–1 + 5.
12. Sabendo que o termo geral de uma P.A. é an =
2n + 3, determine a soma dos 8 primeiros
termos dessa P.A.
13. Calcular a soma dos 20 primeiros termos da
sucessão (10, 13, 16, 19, ...)
14. Calcular a soma dos 30 primeiros números
ímpares.
15. Calcular a soma de todos os múltiplos de 7
compreendidos entre 10 e 100.
16. Quantos são os múltiplos de 3 entre 100 e 900?
17. Quantos são os múltiplos de 3 e 7 entre 100 e
900?
18. Quantos são os múltiplos de 3 ou 7 entre 100 e
900?
5. Determine a razão de cada P.A. a seguir:
a) (34, 41, 48, 55, 62)
c) (19, 17, 15)
b) (–30, –27, –24)
d) (4/3, 1/2, ...)
19. Numa urna há 1.000 bolinhas. Retirando 3
bolinhas na primeira vez, 6 bolinhas na
segunda, 9 na terceira, e assim por diante,
quantas bolinhas restarão na urna após a
vigésima retirada?
6. Determine o 10o termo de cada P.A. do
exercício anterior.
20. Determine x na equação: x + 2x + 3x + ... + 39x
+ 40x = 4.100.
7. Determine a razão de cada P.A. a seguir,
dados:
a) a1 = 5 e a11 = 85
c) a1 = 50 e a13 = –
10
b) a1 = 100 e a16 = 40
d) a20 = 200 e a100
= 240
8. Determine o termo pedido em cada P.A. a
seguir:
13
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21. Determinar três números em P.A. cuja soma é
21 e o produto, 280.
22. Determinar quatro números inteiros em P.A.
cuja soma é 36 e o produto 3.465.
23. Qual é a razão de uma P.A., sabendo que a
soma do terceiro termo com o oitavo é 74, e a
soma do quinto com o décimo segundo é 110?
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24. Qual é o valor do primeiro termo de uma P.A.
crescente de 3 termos, sabendo que a soma
deles é 36 e a diferença entre os extremos é
10?
25. Qual é a medida do menor ângulo interno de um
triângulo, sabendo que suas medidas estão em
P.A. e que um dos ângulos mede 105o.
26. Determinar a medida da hipotenusa de um
triângulo cujas medidas dos lados estão em
P.A. e o perímetro mede 60 cm.
27. Um teatro tem 150 lugares. Sabendo-se que
possui 15 cadeiras na 1a fila, 19 cadeiras na 2a
fila, 23 na 3a, e assim seguem a composição
das outras filas. Quantas filas de cadeiras tem o
teatro?
28. Um corpo descendo por um plano inclinado
percorre 6 metros no primeiro minuto, 10 metros
no segundo minuto, 14 metros no terceiro
minuto, e assim por diante. Quantos minutos
gastará para percorrer 7.198 metros?
Respostas
1. a) 17 b) 4
c) 63
d) 200
2. 360 3. 36
4. 24
5. a) 7
b) 3
c) –2
d) –5/6
6. a) 97
b) –3
c) 1
d) 13/3
7. a) 8
b) –4
c) –5
d) 1/2
8. a) 118
b) 370
c) –3
d) 35
e) 30 f) 75
g) –760
h) 200
9. a) 21
b) 7
c) 15
10. 22 11. –
1
12. 96 13. 770
14. 900
15. 728
16.
266
17. 38 18. 342
19. 370
20. 5
21. 4, 7 e
10
22. 3, 7, 11 e 15
23. 6
24. 7
25. 15o
26. 25 cm
27. 6
28. 59 min
3. Progressão geométrica (P.G.)
É toda sucessão numérica na qual, cada termo a
partir do segundo é o antecessor multiplicado por
uma constante denominada razão (q).
Representação
P.G.(a1, a2, a3, ..., an, ...)
Razão: q
an
an - 1
Termo geral: an = a1.q n–1
n m.
ou an = am.q n–m,
Representação conveniente:
- P.G. de três termos: ( x , x , x.q )
q
- P.G. de cinco termos: ( x , x , x , x.q , x.q2
q
q2
)
x
- P.G. de quatro termos: (
, x , x.q, x.q3),
q
3
q
2
razão q
Propriedades:
1a) Em qualquer P.G., o produto de dois termos
(com exceção dos extremos) eqüidistantes dos
extremos é igual ao produto dos extremos.
P.A.(a1, a2, ..., an)
a1 + k.an – k = a1.an
2a) Termo médio: em qualquer P.G., cada termo
(com exceção dos extremos) é a média
geométrica de dois termos eqüidistantes ao
mesmo.
P.A.(a1,
a2,
an
an - k an
...,
an,
...)
k
Soma dos n primeiros termos de uma P.G.:
Sn
a1 q n - 1
q -1
ou
Sn
a1 1 - q n
1- q
Soma dos termos de uma P.G. ilimitada
convergente (0 q 1):
S
a1
1- q
EXERCÍCIOS
1. Determine a razão de cada P.G. a seguir:
a) (3, 6, 12, 24)
d) (6, 6 2 , 12)
b) (1/2, –1, 2, –4)
e) (2 6 , 6 2 , ... )
c) (65, 0, 0)
f ) (1/2, 2/3, ... )
2. Determine o sétimo termo de cada P.G. do
exercício anterior.
3. Determine a razão de cada P.G. a seguir:
Classificação:
a) a1 = 6 e a6 = 192
- q 1 e a1 0 ou 0 q 1 e a1 0
crescente
b) a1 = 10 e a8 = –1.280
- q 1 e a1 0 ou 0 q 1 e a1 0
3 3 3 3
decrescente
4 4 4 4...
c) a3 = –125 e a7 = –2.000
- q = 1 ou a1 = 0
constante
d) a5 = 2/3 e a9 = 54
-q 0
alternante
14
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4. Determine o termo pedido em cada P.G. a
seguir:
a) a3 = 10 e q = 2; a8 = ?
b) a3 = 8 e q = 3 ; a7 = ?
c) a6 = 12.500 e q = –5; a1 = ?
d) a12 = 5/8 e q = 1/2; a1 = ?
5. Determine o número de termos de cada P.G. a
seguir:
a) (3, 6, ..., 768)
b) (1/9, 1/3, ..., 729)
c) (2/3, 2, ..., 486)
d) (100; 20; ...; 0,0064)
7. Determine o valor de x para que (1 + x), (13 + x)
e (49 + x) sejam termos consecutivos de uma
P.G.
8. Sendo
3 x 2,
6,
12
e
12 x 2
o
o
o
o
respectivamente o 1 , 2 , 4 e 5 termos de uma
P.G., determine o valor de x.
9. Qual o número que deve ser somado a: –2, 7 e
43, para que os números obtidos estejam em
P.G.?
10. Calcule o valor da soma dos 7 primeiros termos
da P.G.(3, 6, 12, ...).
11. Determine o valor da expressão: 23 + 24 + 25 +
26 + ... + 210.
12. Determinar o valor de n na equação: 1 + 1 + 2
2
2
n
+ 2 + ... + 2 = 1.023,5.
13. Numa P.G. de três termos positivos (a, b, c)
temos: a + b + c = 91 e a.c = 441. Determine o
valor de a + c.
14. Calcular a razão de uma P.G. de quatro termos
positivos, sabendo que a soma dos dois
primeiros é 1 e a soma dos dois últimos é 9.
15. A soma dos n primeiros termos de uma P.G. é
n 1 3
dada por Sn 3
. Determine o valor do
2
o
2 termo.
16. Determinar a soma dos n primeiros termos de
uma P.G. cujo termo geral é an = 3.22n.
17. Sabendo-se que a soma dos 10 primeiros
termos de uma P.G. é 3.069 e que a razão é 2,
qual é o valor do 5o termo?
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b)
19. Calcular o limite da soma dos termos da P.G.(
2 2 , 1 1 , 2 , 1 , ...).
3
3 3
3
20. A soma dos termos de uma P.G. infinita é 3.
Sabendo que o primeiro termo é igual a 2,
determine o quarto termo dessa P.G.
21. Calcular o valor limite de
6. Determinar a razão de uma P.G. de três termos,
sabendo que a soma de seus termos é 14 e o
produto 64.
15
18. Resolver as equações:
a) x x x x ... 6
2 4 8
x x x ... 90
3 9
3 3 3 3
4 4 4 4... .
22. Ligando-se os pontos médios dos lados de um
quadrado de lado 7 cm obtém-se outro
quadrado, com o qual se procede do mesmo
modo e assim indefinidamente. Calcular o limite
da soma das áreas de todos os quadrados
assim obtidos.
23. Unem-se os pontos médios dos lados de um
triângulo equilátero de lado 6 cm e obtém-se
outro triângulo equilátero. Unem-se os pontos
médios desse outro e obtém-se um outro, e
assim sucessivamente. Calcular o limite da
soma das áreas de todos esses triângulos.
24. A soma de três termos em P.A. crescente é 15.
Adicionando-se 3, 7 e 17 respectivamente ao
primeiro, segundo e terceiro termo, obtém-se
uma P.G. de razão maior que 1. Qual o valor
dessa razão?
Respostas
1. a) 2
b) –2
c) 0 d) 2 e) 3 f ) 4/3
2. a) 192 b) 32 c) 0 d) 48 e) 54 f )
2.048/729
3. a) 2
b) –2
c) –2 ou 2
d) –3 ou
3
4. a) 320
b) 72
c) –4
d) 1.280
5. a) 9
b) 9
c) 7
d) 7 6. 2 ou 1/2
7. 5
8. 0
9. 2.040
10. 5
11. 381
12. 9
13. 70 14. 3
15. 9
16. 4(4n – 1)
17.
18. a) 3
b) 60
19. 16/3
20. 2/27
48
21. 2
22. 98 cm2
23. 12 3 cm2
X. ANÁLISE COMBINATÓRIA
1. Fatorial
Fatorial de n (ou n fatorial)
n! = n.(n–1).(n–2). ... .3.2.1, n
1! = 1 e 0! = 1
IN / n
24. 2
2.
Exemplo: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
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2. Permutação
Matemática parte 01
4. Quantos anagramas da palavra ESAF começam
por vogal?
Simples
5. Quantos anagramas da palavra ESAF começam
por consoante e terminam por vogal?
Pn = n!
Com repetição
6. Em quantos anagramas da palavra ESAF as
letras S e A aparecem juntas e nesta ordem?
n!
,
a! ß! ! ...
PR na, ß, , ...
+
+ + ... = n
7. Em quantos anagramas da palavra ESAF as
letras S e A aparecem juntas?
Circular
8. Quantos anagramas da palavra
começam e terminam por vogal?
(PC)n = (n – 1)!
9. Em quantos anagramas da palavra PROVA as
letras P e R aparecem juntas?
3. Arranjo
Simples
A n, p
4.
10. Quantos anagramas podem ser obtidos com as
letras da palavra CASA?
Com repetição
n!
n-p !
AR n, p
np
11. Quantos anagramas podem ser obtidos com as
letras da palavra BANANA?
Combinação
Simples
CR n, p
Com repetição
Cn
C n, p
p - 1, p
n!
n-p ! p !
Propriedades:
1a) C n, 0 = 1
2a) C n, 1 = n
3a) C n, n = 1
4a) C n, n–p = C n , p
n
5a)
C n, i
i
e) 6! 4!
5! 7!
f)
c)
n!
(n 1)!
5!
3! 2!
g) n!
d)
5!
3! 2!
13. Quantos anagramas
começam por vogal?
palavra
BANANA
da
14. Numa catedral há 10 portas. De quantas
maneiras uma pessoa poderá entrar na catedral
e sair por uma porta diferente da que usou para
entrar?
18. Quantos números pares de três algarismos
distintos podem ser formados usando-se
apenas os algarismos 6, 7, 8 e 9?
(n 1)!
n!
19. Quantos números de cinco algarismos podem
ser formados usando-se apenas os algarismos
1, 2 e 3?
4,3
b) (PR)7
c) (PC)5
f ) C7,4
g) (CR)5,3
d)
3. Quantos anagramas podem ser obtidos com as
letras da palavra ESAF?
16
BANANA
17. Quantos números de três algarismos podem ser
formados usando-se apenas os algarismos 6, 7,
8 e 9?
(n 1)!
(n 1)!
e) (AR)2,5
palavra
16. Quantos números de três algarismos distintos
podem ser formados usando-se apenas os
algarismos 6, 7, 8 e 9?
2n
EXERCÍCIOS
1. Simplifique:
a) 7!
b) 4!
5!
6!
2. Calcular:
a) P4
A 9,3
12. Quantos anagramas da
começam pela letra N?
15. De quantos modos 5 pessoas podem se sentar
em 8 cadeiras?
0
h) n!
PROVA
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20. Quantos subconjuntos de dois elementos tem o
conjunto M = m, n, p, q ?
21. Quantas comissões de 3 pessoas podem ser
formadas a partir de um grupo de 8 pessoas?
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22. Devo escolher 4 livros diferentes dentre os 10
títulos que mais me agradaram em uma livraria.
De quantas maneiras posso fazê-lo?
23. Uma comissão com 2 brasileiros e 2 argentinos
deve ser formada a partir dos componentes de
um grupo onde estão presentes 6 brasileiros e 8
argentinos. De quantos modos distintos esta
comissão pode ser formada?
24. A partir de um grupo de 5 homens e 3 mulheres,
quantas comissões podem ser formadas que
tenha:
a) somente 2 mulheres?
b) no mínimo 2 mulheres?
c) no máximo 2 mulheres?
25. Quantos triângulos podem ser obtidos
escolhendo-se os seus vértices dentre 7 pontos
distintos marcados sobre uma circunferência?
26. Quatro pontos distintos são marcados sobre
uma reta r, e cinco outros sobre uma reta s
paralela a r. Quantos triângulos distintos podem
ser obtidos usando como vértices três desses
pontos?
27. Quantos subconjuntos podem ser formados a
partir do conjunto A = 1,2,3,4,5,6 ?
28. No exercício anterior, quantos subconjuntos
contem o elemento 5?
29. João e Maria fazem parte de um grupo de 12
pessoas. De quantas maneiras é possível
formar um grupo com 5 pessoas, se João e
Maria devem necessariamente fazer parte?
30. No exercício anterior, quantos são os grupos de
5 pessoas em que João e Maria não fazem
parte?
31. De quantas maneiras podemos formar uma
comissão com 3 moças e 2 rapazes escolhidos
dentre 5 moças e 5 rapazes que pertencem a
um grêmio?
32. Numa prova, os alunos devem escolher e
responder somente 10 das 12 questões que a
compõem. Quantas maneiras diferentes existem
para um aluno escolher as 10 questões que ele
deve responder?
33. Ao final de uma reunião, cada um dos presentes
cumprimentou os demais com um aperto de
mão uma única vez. Quantas pessoas estavam
presentes se ao todo foram trocados 36 apertos
de mão?
Matemática parte 01
que, pelo menos um dentre os escolhidos seja
professor de Matemática?
35. Um bar vende apenas 3 sabores de refrigerante:
guaraná, laranja e limão. De quantas maneiras
uma pessoa pode comprar 5 garrafas de
refrigerante?
36. De quantas maneiras pode-se responder a 10
testes de uma prova do tipo Verdadeiro ou
Falso?
37. De quantas maneiras 5 pessoas podem sentarse ao redor de uma mesa circular?
Respostas
1. a) 42
b) 1/30
e) 31/215
f)n
2. a) 24
b) 35
e) 32
f ) 35
3. a) 24 4. 12
5. 8
8. 12
9. 48
10. 12
13. 30
14. 90
15. 56
18. 12
19. 243 20. 6
23. 420 24. a) 30
b) 10
26. 70
27. 64
28. 32
31. 100 32. 66
33. 9
36. 1.024
37. 24
c) 10
g) –n
c) 24
g) 35
6. 6
11. 60
16. 24
21. 56
c) 46
29. 120
34. 34
d) 15
h) 1/n
d) 504
7. 12
12. 20
17. 64
22. 210
25. 35
30. 672
35. 21
XI. PROBABILIDADE
1. Conceitos básicos
Experimento (ou fenômeno) aleatório – repetido em
condições semelhantes apresentam resultados
imprevisíveis.
Espaço amostral (ou conjunto universo) – conjunto
contendo todos os resultados possíveis de um
experimento.
Evento – qualquer subconjunto do espaço
amostral. Podem ser:
- evento certo: é o próprio espaço amostral;
- evento impossível: é o subconjunto vazio do
espaço amostral;
- evento elementar: qualquer subconjunto unitário
do espaço amostral;
- eventos
mutuamente
exclusivos:
são
subconjuntos disjuntos;
- eventos complementares (ou contrários): a união
resulta no espaço amostral.
Espaço amostral equiprovável – a probabilidade de
ocorrer cada um de seus eventos elementares é:
1 , n(E) ... no de elementos do espaço amostral
n(E)
34. De um grupo de 7 professores, 4 lecionam
Matemática. De quantos modos pode-se formar
uma comissão com 3 componentes de forma
17
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2. Probabilidade de ocorrer um evento
Sendo A um evento qualquer de um espaço
amostral equiprovável, temos:
n(A)
n(E)
P(A)
n(A) ... no de elementos do evento
n(E) ... no de elementos do espaço amostral
Propriedades:
1a) 0 P(A) 1;
2a) evento certo: P(E) = 1;
3a) evento impossível: P( ) = 0;
Matemática parte 01
qual é a probabilidade das duas primeiras bolas
serem pretas e a terceira vermelha?
8. Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam
Matemática, 150 Direito e 10 as duas disciplinas.
Um aluno sendo escolhido ao acaso, Qual é a
probabilidade de que ele estude somente Direito?
9. No problema anterior, qual é a probabilidade de
que ele estude Direito, sabendo que ele estuda
Matemática?
10. Uma urna contém 5 bolas verdes e 3 azuis.
Duas bolas são retiradas ao acaso. Qual é a
probabilidade de que as duas bolas sejam verdes?
Dados dois eventos A e B, a probabilidade de
ocorrer:
- A ou B: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
- A e B: P(A B) = P(A).P(B/A)
11. Seis pessoas, entre elas Maria e José, estão
dispostas em fila. Qual é a probabilidade de Maria
e José estarem um ao lado do outro?
P(B/A) ... probabilidade de ocorrer B sendo que A
já tenha ocorrido.
12. Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual é a
probabilidade de que ocorram exatamente 3 caras?
Se A e B são mutuamente exclusivos, então:
P(A B) = 0 e P(B/A) = P(B).
13. Um dado é lançado 3 vezes. Qual é a
probabilidade de que ocorra o número 5
exatamente duas vezes?
Dados dois eventos complementares A e B, temos:
- P(A B) = P(A) + P(B) = 1
- P(A B) = 0
- sendo P(A) = a e P(B) = b, então a
probabilidade do evento A ocorrer exatamente k
vezes em n tentativas será dada por:
k
Pk(A) = Cn.ak.bn–k
EXERCÍCIOS
1. Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a
20. Sorteando-se uma delas, qual é a probabilidade
de que se obtenha um número múltiplo de 5?
2. Um dado é lançado e sua face superior é
observada. Qual é a probabilidade de que ocorra
um número maior que 4?
3. Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a
10. Sorteando-se uma delas, qual é a probabilidade
e que se obtenha um número múltiplo de 2 ou de
3?
4. No problema anterior, qual é a probabilidade de
que se obtenha um número múltiplo de 2 e de 3?
5. Uma urna contém 5 bolas verdes, 4 brancas e 3
azuis. Sorteando-se uma bola, qual é a
probabilidade de que ela seja azul ou branca?
14. Dois dados são lançados. Qual a probabilidade
de que a soma dos resultados obtidos seja maior
que 8?
15. Numa fazenda, 20% do gado são da raça
holandesa, 30% são vacas e 40% das vacas são
da raça holandesa. Se um animal é escolhido ao
acaso, qual a probabilidade de:
a) ser uma vaca de raça holandesa?
b) não ser uma vaca e ser da raça holandesa?
c) não ser uma vaca, sabendo-se que é da raça
holandesa?
16. Qual a probabilidade de um piloto vencer uma
corrida se, segundo os técnicos de sua equipe, a
suas chances são de 9 para 7?
Respostas
1. 1/5 ou 20%
2. 1/3
5. 7/12
6.
7. 5/34
5/12
10. 5/14
11.
12.
1/3
5/16
15. a) 3/25
b) 2/25
3. 7/10
8. 7/25
4. 1/10
9. 1/8
13.
5/72
c) 2/5
14.
5/18
16.
9/16
6. No problema anterior, qual é a probabilidade de
que ela não seja branca nem azul?
7. Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas
vermelhas. Retirando-se 3 bolas sem reposição,
18
Atualizada 15/02/2008
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores